Deux poutres de section transversale W10$\times$26 sont reliées entre elles par un assemblage par platine d'extrémité à moment étendu raidie à quatre boulons. Les platines d'extrémité ont une épaisseur de 1/2'' et sont connectées par 3 rangées de boulons. Tout l'acier est de nuance A572 Gr. 50 (f_y = 50 ksi, f_u = 65 ksi) et les boulons sont de nuance 3/4'' grade A325 (f_yb =92 ksi, f_ub = 119,7 ksi). L'assemblage est chargé par le moment fléchissant maximal déterminé par calcul manuel à l'aide du Design guide 16 et de l'AISC 360-16. 

Section transversale de la poutre

Dimensions de l'assemblage par platine d'extrémité

Modèle transparent avec dimensions de l'élargisseur et charge appliquée

Calcul manuel

Le calcul manuel est effectué conformément au Design guide 16 : Flush and Extended Multiple-Row Moment End-Plate Connections – Chapitre 4 : Extended End-Plate Design et à l'AISC 360-16 – Chapitre J. Les vérifications suivantes sont requises :

• Résistance des boulons en traction – AISC 360-16 – J3.6
• Plastification de la platine d'extrémité – Design guide 16
• Résistance des soudures – AISC 360-16 – J2.4

Le dimensionnement des poutres est supposé vérifié par ailleurs.

Résistance à la plastification des boulons et de la platine d'extrémité

Résistance en traction des boulons

$$A_b = \frac{\pi d_b^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0.75^2}{4} = 0.442 \,\textrm{in}^2$$

$$P_t = R_n = F_n A_b = 90 \cdot 0.442 = 39.8 \,\textrm{kip}$$

Précontrainte des boulons serrés au contact :

$$T_b = 0.5 \cdot 28 = 14 \,\textrm{kip}$$

Efforts de levier

Les efforts de levier sont déterminés conformément au Design guide 16 – Tableau 4-1 :

Rangée de boulons intérieure :

$$a_i = 3.682 \left ( \frac{t_p}{d_b} \right )^3 - 0.085 = 3.682 \left( \frac{0.5}{0.75} \right)^3 - 0.085 = 1.006$$

$$w' = b_p / 2 - (d_b + 1/16) = 5.787 / 2 - (0.75 + 1/16) = 2.081 \,\textrm{in}$$

$$F'_i = \frac{t_p^2 F_{py} \left ( 0.85 \frac{b_p}{2} + 0.80 w' \right ) + \frac{\pi d_b^3 F_t}{8}}{4 p_{f,i}}$$

$$F'_i = \frac{0.5^2 \cdot 50 \left ( 0.85 \cdot \frac{5.787}{2} + 0.80 \cdot 2.081 \right ) + \frac{\pi \cdot 0.75^3 \cdot 90}{8}}{4 \cdot 1.759} = 9.446$$

$$Q_{max,i}= \frac{w' t_p^2}{4 a_i} \sqrt{F_{py}^2 -3 \left( \frac{F'_i}{w' t_p} \right)^2 }$$

$$Q_{max,i}= \frac{2.081 \cdot 0.5^2}{4 \cdot 1.006} \sqrt{50^2 -3 \cdot \left( \frac{9.446}{2.081 \cdot 0.5} \right)^2 }  = 6.137 \,\textrm{kip}$$

Rangée de boulons extérieure :

$$a_o = 3.682 \left ( \frac{t_p}{d_b} \right )^3 - 0.085 = 3.682 \left( \frac{0.5}{0.75} \right)^3 - 0.085 = 1.006$$

$$w' = b_p / 2 - (d_b + 1/16) = 5.787 / 2 - (0.75 + 1/16) = 2.081 \,\textrm{in}$$

$$F'_o = \frac{t_p^2 F_{py} \left ( 0.85 \frac{b_p}{2} + 0.80 w' \right ) + \frac{\pi d_b^3 F_t}{8}}{4 p_{f,o}}$$

$$F'_o = \frac{0.5^2 \cdot 50 \left ( 0.85 \cdot \frac{5.787}{2} + 0.80 \cdot 2.081 \right ) + \frac{\pi \cdot 0.75^3 \cdot 90}{8}}{4 \cdot 2} = 8.308$$

$$Q_{max,i}= \frac{w' t_p^2}{4 a_o} \sqrt{F_{py}^2 -3 \left( \frac{F'_o}{w' t_p} \right)^2 }$$

$$Q_{max,i}= \frac{2.081 \cdot 0.5^2}{4 \cdot 1.006} \sqrt{50^2 -3 \cdot \left( \frac{8.308}{2.081 \cdot 0.5} \right)^2 }  = 6.212 \,\textrm{kip}$$ 

Plastification de la platine d'extrémité

$$s=\frac{1}{2} \sqrt{b_p g} = \frac{1}{2} \sqrt{5.787 \cdot 3.387} = 2.214 \,\textrm{in}$$

La dimension s est supérieure à la dimension d_e, donc le cas 2 s'applique.

Mécanisme de plastification de la platine d'extrémité (Design guide 16)

$$Y = \frac{b_p}{2} \left[ h_1 \left( \frac{1}{p_{f,i}} + \frac{1}{s} \right) + h_o \left( \frac{1}{p_{f,o}} + \frac{1}{2s} \right) \right] + \frac{2}{g} [h_1 (p_{f,i}+s) + h_o (d_e + p_{f,o})]$$

$$Y = \frac{5.787}{2} \left[ 8.115 \left( \frac{1}{1.759} + \frac{1}{2.214} \right) + 12.315 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 2.214} \right) \right] + \frac{2}{3.387} [8.115 (1.759+2.214) + 12.315 (1.5 + 2)] = 94.310 \,\textrm{in}$$

$$\frac{M_n}{\Omega} = \frac{M_{pl}}{\Omega} = \frac{F_{py} t_p^2 Y}{\Omega} = \frac{50 0.5^2 \cdot 94.310}{1.67} = 705.911\,\textrm{kip-in}$$

Rupture des boulons avec effet de levier

$$\frac{M_n}{\Omega} =\frac{1342.4}{2} = 671.198 \,\textrm{kip}$$

Rupture des boulons sans effet de levier

$$\frac{M_n}{\Omega} =\frac{2P_t(d_o+d_1)}{\Omega}\frac{2\cdot 39.8 \cdot (12.095+7.895)}{2} = 795.602 \,\textrm{kip}$$

Le mode de rupture déterminant est celui présentant la résistance la plus faible, c'est-à-dire la rupture des boulons avec effet de levier, $\frac{M_n}{\Omega}=671.198 \,\textrm{kip}$.

Résistance des soudures

Dans le calcul manuel, on suppose que la soudure efficace transmettant le moment fléchissant est une croix constituée de la soudure du raidisseur sur l'extension de la platine d'extrémité (l = 3,5 in, w = 1/4''), de la soudure de la semelle sur la platine d'extrémité (l = 5,787 in, w = 1/4''), et de la soudure de la partie efficace estimée de l'âme sur la platine d'extrémité (l = 3,5 in, w= 1/4''). Le centre de gravité de cette croix se trouve commodément au niveau de la semelle de la poutre, de sorte que le bras de levier est de 9,874 in. La croix de soudure doit transmettre un effort M_u/9,874 = 671/9,874 = 68 kip.

$$A_{we} = 1/4 \cdot 2\cdot (3.5+5.787+3.5) / \sqrt(2)=4.52\,\textrm{in}^2$$

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 40^\circ) = 53 \,\textrm{ksi}$$

$$R_n/\Omega = F_{nw} A_{we} / \Omega = 53 \cdot 4.52 / 2= 119.78 \,\textrm{kip}$$

La résistance des soudures est suffisante.

La résistance des soudures comprimées n'est pas vérifiée ici, car il est supposé que les charges sont transmises par contact direct.

Vérification dans IDEA StatiCa

Dans IDEA StatiCa Connection, tous les efforts de levier et les lignes de plastification sont déterminés automatiquement par analyse par éléments finis. Les efforts dans les boulons sont affichés en incluant les efforts de levier. Le centre de rotation est également calculé automatiquement et ne nécessite aucune hypothèse préalable. Toutes les soudures sont vérifiées et aucun transfert d'effort par contact n'est supposé. La solution de contournement consisterait à définir un contact ou une soudure bout à bout à la place d'une soudure d'angle.

Contrainte de Von Mises

Déformation plastique, charge appliquée et efforts dans les boulons sur un modèle déformé (échelle 10$\times$)

Détail de la déformation de la platine d'extrémité (échelle 20$\times$)

Vérification des contraintes et déformations dans les plaques

Vérification des boulons

Vérification des soudures

La rigidité peut également être facilement évaluée dans IDEA StatiCa Connection. Cet assemblage est proche de la frontière entre rigide et semi-rigide. La frontière dépend de la longueur de la poutre connectée.

Rigidité de l'assemblage

Comparaison

IDEA StatiCa Connection fournit les mêmes résultats que le calcul manuel. Les boulons sont utilisés à 99,7 %, les platines d'extrémité plastifient, la déformation plastique est de 1,8 %, ce qui signifie que le mode de rupture par plastification de la platine d'extrémité est proche. La forme déformée coïncide avec la déformation supposée dans le Design Guide 16. Le taux de travail de 100 % correspond à un moment fléchissant de 673 kip-in (différence de 0,3 %).