En pratique, les ingénieurs peuvent rencontrer différents types d'éléments finis (des simples éléments barre 1D aux éléments volumiques 3D plus complexes) utilisés dans de nombreuses applications pour l'analyse et le dimensionnement des éléments structurels. Une caractéristique commune à la plupart des calculs courants est le comportement linéaire des modèles, dont les avantages sont indéniablement la rapidité, la clarté et, tout simplement, le fait que pour un grand nombre de problèmes, cette solution est tout à fait suffisante.

En particulier dans le domaine des structures en béton, il arrive souvent que l'approche linéaire ne soit pas suffisante, simplement parce qu'après l'apparition des premières fissures dans l'élément chargé, les contraintes sont redistribuées et le problème devient fortement non linéaire.

Dans ces cas, il est nécessaire de choisir une approche plus sophistiquée. Pour les cas 1D, on trouve souvent des méthodes analytiques définies directement dans les normes. Par exemple, les modèles Bielle et Tirant, très répandus, peuvent être construits pour les éléments plans 2D et les régions de discontinuité (régions D), ou bien on peut utiliser la méthode du champ de contraintes, plus sophistiquée, implémentée dans IDEA StatiCa Detail, la CSFM.

Cependant, si l'ingénieur est confronté à un problème qui ne peut pas être simplifié en un comportement plan, les options sont très limitées. Il est bien sûr possible de construire un modèle Bielle et Tirant 3D ou d'utiliser un logiciel semi-scientifique pour une analyse précise. Ces procédures sont souvent chronophages, non conformes aux normes et nécessitent un ingénieur maîtrisant les méthodes de modélisation avancées.

C'est pourquoi IDEA StatiCa a développé et implémenté la CSFM 3D (Méthode du Champ de Contraintes Compatible) dans l'application Detail. La CSFM 3D étend la CSFM éprouvée à la troisième dimension. Elle offre une solution rapide et conforme aux normes, principalement destinée à l'ingénieur au quotidien, qui acquiert ainsi une nouvelle capacité unique pour traiter en toute sécurité les détails complexes des structures en béton.

La méthode 3D CSFM définit le comportement du béton sur la base de la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb modifiée pour un chargement monotone. La méthode considère les contraintes principales de compression dans le béton et les contraintes dans le ferraillage (σ_sr) au niveau des fissures, tout en négligeant la résistance en traction du béton (coupure en traction), à l'exception de son effet de raidissement sur le ferraillage (Raidissement en traction).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Les barres d'armature sont liées aux éléments finis volumiques du béton par des éléments d'adhérence, ce qui permet le glissement entre le béton et le ferraillage. Il convient de noter que la méthode 3D CSFM n'est pas adaptée à la simulation du béton non armé en raison de l'absence de traction, ce qui peut conduire à des déformations erronées et à la divergence du modèle. En général, la théorie de Mohr-Coulomb comprend deux propriétés fondamentales qui gouvernent l'évolution de la surface de plasticité en compression et partiellement en traction : l'angle de frottement interne φ et le paramètre de cohésion c. La méthode 3D CSFM suppose un angle de frottement interne nul (Fig. 1.2.1e), ce qui conduit à un calcul conservatif, la surface de plasticité ressemblant au modèle de Tresca, indépendant du premier invariant des contraintes.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Béton 

Le modèle de matériau présenté est un modèle de plasticité à surfaces multiples, obtenu par la combinaison des modèles de Mohr-Coulomb et de Rankine pour un chargement monotone. Il est important de noter que ce modèle ne traite pas le déchargement ; par conséquent, les variables d'état ne sont pas stockées, contrairement aux modèles de plasticité classiques utilisés pour le chargement cyclique.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Comme déjà mentionné, le modèle de matériau est destiné aux applications qui calculent la réponse du béton armé (il ne convient pas au béton non armé). Cela est dû à l'exclusion du béton en traction. Par conséquent, le modèle ne convient pas non plus aux éléments structurels pour lesquels les règles de calcul du béton armé, telles que le taux de ferraillage minimal, l'espacement maximal des barres, etc., ne sont pas respectées. Il faut également ajouter que, pour des raisons de stabilité numérique, une très faible résistance en traction est définie dans le modèle. La partie en traction est limitée par des plans correspondant au modèle de Rankine.

La méthode 3D CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'elle considère une branche plastique infinie après l'atteinte de la contrainte maximale). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures qui ruinent en compression. Toutefois, leur capacité ultime est correctement prédite lorsque l'augmentation de la fragilité du béton avec sa résistance est prise en compte au moyen du coefficient de réduction 𝜂_𝑓𝑐 défini dans le fib Model Code 2010 comme suit :

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

f_c est la résistance caractéristique du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

La valeur f_c,red est ensuite comparée à la contrainte principale équivalente σ_c,eq dans le béton, qui sera définie plus loin, en tenant compte bien entendu de tous les coefficients de sécurité prescrits par la norme.

Une description détaillée du modèle de béton est disponible au lien suivant :

• Modèle de matériau béton pour 3D Detail

Ferraillage

Le diagramme contrainte-déformation bilinéaire des barres d'armature, tel que défini par les normes de calcul (Fig. 1.2.1d), représente un modèle idéalisé. Ce modèle nécessite de connaître, lors de la phase de conception, les propriétés de base du ferraillage, en particulier la classe de résistance et de ductilité. Il est également possible pour l'utilisateur de définir une relation contrainte-déformation personnalisée.

Le raidissement en traction est pris en compte en modifiant la relation contrainte-déformation de la barre d'armature nue afin de représenter la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m) (Fig 1.2.1b).

Ancrage

Le glissement d'adhérence entre le ferraillage et le béton est introduit dans le modèle par éléments finis en considérant la relation constitutive simplifiée rigide-parfaitement plastique présentée à la (Fig. 1.2.1f), où f_bd est la valeur de calcul (valeur pondérée) de la contrainte d'adhérence ultime spécifiée par la norme de calcul pour les conditions d'adhérence considérées.

Il s'agit d'un modèle simplifié dont le seul but est de vérifier les prescriptions d'adhérence selon les normes de calcul (c'est-à-dire l'ancrage du ferraillage). La réduction de la longueur d'ancrage lors de l'utilisation de crochets, de boucles et de formes de barres similaires peut être prise en compte en définissant une certaine capacité à l'extrémité du ferraillage, comme cela sera décrit plus loin.

Ancrages

L'élément d'ancrage est défini comme étant capable de transmettre des efforts normaux de traction ou de compression, ainsi que des efforts de cisaillement, en tenant compte de la rigidité en flexion. 

Les types d'ancrages suivants sont disponibles :

• Ancrages coulés en place

  • Ferraillage
  • Rondelle
  • Goujon à tête
• Ferraillage coulé en place

  • Ferraillage
  • Tiges filetées

Coulé en place - Ferraillage

Modélisé comme un ferraillage à haute adhérence noyé dans le béton. La résistance d'adhérence est calculée selon les règles de la norme choisie, de la même manière que pour le ferraillage courant. À l'extrémité de l'ancrage, un type d'ancrage peut être défini, fonctionnant de manière identique au ferraillage : un ressort d'ancrage est appliqué avec le coefficient β défini selon la norme choisie. Trois formes géométriques sont disponibles : droite, en L, en U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Coulé en place - Rondelle et goujon à tête

La rondelle et la tête du goujon à tête sont modélisées comme un élément coque-plaque, constitué du matériau correspondant et fixé directement à la tige de l'ancrage. Cet élément transmet la charge au béton par un contact en compression uniquement. Formes disponibles : circulaire et carrée (uniquement circulaire pour le goujon à tête), avec des dimensions personnalisables. Le modèle de la rondelle et de la tête est élastique et n'est pas vérifié en résistance. 

Au niveau du modèle par éléments finis, l'arrachement de l'ancrage est vérifié directement. Le contact en compression comporte des critères d'arrêt définis de manière à ce qu'il ne puisse pas transmettre au béton une contrainte de contact supérieure à celle prescrite par la norme choisie. En pratique, cela signifie que si l'ancrage était chargé par un effort non conforme à la vérification à l'arrachement, le calcul s'arrêterait prématurément, car ce critère d'arrêt serait dépassé lors de la poursuite du chargement.

La tige de l'ancrage a une résistance d'adhérence nulle : toute la charge est transmise au béton par la plaque ou la tête.

Post-installé - Ferraillage et tige filetée

Conçus comme des barres installées dans des trous forés et scellées à l'aide d'un adhésif. L'ingénieur spécifie directement la résistance d'adhérence de calcul à partir de la spécification technique du produit adhésif.

Modèle de matériau des ancrages en acier de boulon

Pour les ancrages en acier de boulon (tiges filetées et ancrages avec rondelle), deux propriétés du modèle de matériau diffèrent des valeurs nominales du matériau du boulon : le module d'élasticité et la ductilité. Toutes deux décrivent le comportement de l'assemblage boulonné et la géométrie des éprouvettes sur lesquelles les valeurs nominales sont mesurées. Elles ne dépendent pas de la norme de calcul et sont donc appliquées de manière identique pour toutes les normes de calcul. Le diagramme contrainte-déformation nominal du matériau du boulon, ainsi que le diagramme modifié par les coefficients C_E et C_A sont affichés dans l'onglet Materials (Fig. 1.2.4).

Rigidité élastique. Le module d'élasticité du matériau du boulon est réduit par le coefficient C_E :

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - module d'élasticité du boulon
• E_b - module d'élasticité de l'ancrage utilisé dans l'analyse

Cette approche a été adoptée sur la base des dernières recherches (non encore publiées ; la référence sera ajoutée après publication), dans lesquelles le module d'élasticité effectif de l'assemblage boulonné a été calibré par analyse par éléments finis à partir d'une vaste base de données d'essais sur boulons. Ce choix est confirmé par les résultats expérimentaux déjà publiés de Janković et al. (2025) : dans 66 essais de traction sur des tiges filetées de 1000 mm de long (M20 à M30, classes 8.8 et 10.9), la rigidité initiale mesurée correspondait à 0,8·E·A_s/L_b, avec un rapport moyen entre rigidité prédite et rigidité mesurée de 0,98 et un coefficient de variation de 7,9 %. Pour des tiges de cette longueur, l'influence des écrous et de l'engagement du filetage est négligeable ; la réduction représente donc un module d'élasticité effectif de la tige filetée elle-même. Du reste, le même facteur figure dans la rigidité d'un boulon tendu selon l'EN 1993-1-8 (coefficient 1,6 pour une rangée de deux boulons).

Ductilité. La ductilité du matériau du boulon est caractérisée par l'allongement en pourcentage après rupture A, typiquement d'environ 10 %. Ces valeurs sont mesurées sur de courtes éprouvettes, où la striction locale représente une grande partie de l'allongement mesuré. La longueur de la zone de striction ne dépend pas de la longueur de l'éprouvette ; l'allongement en pourcentage diminue donc lorsque l'éprouvette s'allonge. Pour des ancrages noyés sur plusieurs centaines de millimètres dans le béton, il est sensiblement inférieur à la valeur spécifiée. L'application utilise donc la ductilité réduite :

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - allongement en pourcentage après rupture du matériau du boulon
• A_red - ductilité réduite, utilisée comme critère d'arrêt en déformation de l'ancrage
• C_A - coefficient de réduction de la ductilité
• L_s - longueur noyée de l'ancrage [mm]

Lorsque la déformation dans l'ancrage atteint A_red, le critère d'arrêt est atteint et l'analyse est interrompue, de la même manière que pour les autres critères d'arrêt de la méthode 3D CSFM.

L'équation a été adoptée sur la base des dernières recherches (non encore publiées ; la référence sera ajoutée après publication), qui fournissent une approximation de la déformation plastique d'un boulon à sa résistance ultime, calibrée sur une vaste base de données d'essais sur boulons : Δ_u,p = A · (0,177 · L + 2,19), où L est la longueur déformable du boulon en mm. Le terme proportionnel à la longueur représente l'allongement uniforme de la tige, et le terme constant représente la contribution locale de la striction. Dans l'application, la longueur noyée de l'ancrage L_s est prise comme cette longueur, et la division de Δ_u,p par L_s donne la déformation A/C_A. Le coefficient C_A augmente avec la longueur et tend vers la limite 1/0,177 = 5,65. Pour des longueurs noyées de 200 mm et plus, il dépasse 5,3 ; la ductilité de l'ancrage est donc réduite à environ un cinquième de la valeur nominale, par exemple de 12 % à environ 2,2 % pour L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Pour plus d'informations sur la liaison des différents types d'ancrages à la platine de base ou à la platine noyée, consultez le chapitre Types d'éléments finis - Dispositifs de transfert de charge. 

Dans le chapitre suivant, nous examinerons comment la théorie de Mohr-Coulomb est implémentée dans 3D CSFM. Nous expliquerons comment l'effet de confinement (contrainte triaxiale) est pris en compte et comment la contrainte principale équivalente σ_c,eq est calculée, celle-ci servant à déterminer la capacité portante du point de vue du béton.

Introduction à la théorie

La théorie de Mohr–Coulomb est un modèle mathématique décrivant le comportement des matériaux fragiles soumis à une contrainte de cisaillement et à une contrainte normale. La plupart des matériaux d'ingénierie classiques suivent cette règle sur au moins une partie de leur enveloppe de rupture en cisaillement. De manière générale, la théorie s'applique aux matériaux dont la résistance en compression dépasse largement la résistance en traction.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.1\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

En génie des structures, elle sert à déterminer la charge de rupture ainsi que l'angle de fracture correspondant au déplacement de la surface de rupture dans le béton et les matériaux similaires. L'hypothèse de frottement de Coulomb permet de déterminer la combinaison de contrainte de cisaillement et de contrainte normale qui provoquera la rupture du matériau. Le cercle de Mohr permet de déterminer quelles contraintes principales produiront cette combinaison de contrainte de cisaillement et de contrainte normale, ainsi que l'angle du plan dans lequel elle se produira. Selon le principe de normalité, la contrainte introduite à la rupture sera perpendiculaire à la droite décrivant la condition de rupture. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.2\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

On peut montrer qu'un matériau qui se rompt selon l'hypothèse de frottement de Coulomb présente un déplacement à la rupture formant avec la ligne de fracture un angle égal à l' angle de frottement. La résistance du matériau peut ainsi être déterminée en comparant le travail mécanique externe introduit par le déplacement et la charge extérieure avec le travail mécanique interne introduit par la déformation et la contrainte le long de la ligne de rupture. Par conservation de l'énergie, la somme de ces travaux doit être nulle, ce qui permet de calculer la charge de rupture de la construction.

Implémentation dans 3D CSFM

En général, pour un angle de frottement interne donné du béton, qui est d'environ φ = 30-40° selon les références [1], [2], [3], [4], les cercles de Mohr correspondant aux résistances en traction et en compression du béton peuvent être construits comme sur la Figure 1.3.3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.3\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

où f_c est la résistance du béton en compression, f_ct est la résistance du béton en traction, φ est l'angle de frottement interne, et σ_c1, σ_c3 sont les contraintes principales du béton sous compression triaxiale.

On remarque que lorsque la contrainte principale σ_c3 augmente, la différence maximale possible entre les valeurs de σ_c3 et σ_c1, que nous définissons comme σ_c,eq maximale (voir ci-dessous), augmente également. Cette différence correspond à deux fois la contrainte déviatorique, définie dans la littérature comme le rayon des cercles de Mohr.

Dans 3D CSFM tel qu'implémenté dans IDEA StatiCa Detail, l'angle de frottement interne est considéré égal à φ = 0°, comme indiqué sur la Figure 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.4\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

La conséquence pratique de cette implémentation est que la différence maximale entre σ_c3 et σ_c1 reste constante lorsque σ_c3 augmente. 

La contrainte principale équivalente exprime la contrainte uniaxiale équivalente pour un état de contrainte triaxial général.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

La valeur de σ_c,eq peut donc être comparée directement aux limites de résistance uniaxiale définies par les normes.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

où σ_c,lim est la résistance uniaxiale de calcul (pondérée) du béton f_c.

En comparant la Figure 1.3.3, où l'angle de frottement interne réel est utilisé, et la Figure 1.3.4, qui présente l'implémentation de la théorie de Mohr-Coulomb avec un angle de frottement interne nul, on constate que l'approche retenue pour les calculs dans Detail est très conservatrice pour l'évaluation de l'état de contrainte triaxial.

Pour mieux comprendre les zones soumises à une contrainte de compression triaxiale, l'expression de l'augmentation de la résistance effective du matériau due à la compression triaxiale a été ajoutée à l'application IDEA StatiCa Detail sous la forme du rapport σ_c3/σ_c,lim. Vous trouverez ce rapport dans la vérification normative de la résistance.

Dans les résultats auxiliaires, l'utilisateur trouve également le facteur κ, qui décrit la triaxialité d'une autre manière. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

La vérification de la résistance du béton peut alors être réécrite comme suit :

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Il découle de ce qui précède que si l'élément est soumis à une contrainte hydrostatique - σ_c3=σ_c2=σ_c1, la contrainte principale équivalente σ_c,eq sera nulle et le facteur kappa tendra vers l'infini.

Plus d'informations ici : Contrainte triaxiale – l'effet de confinement actif

Équations d'équilibre

La théorie des petites déformations permet d'établir l'équation d'équilibre à partir du volume non déformé, selon une approche du premier ordre. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.1\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Équations de compatibilité

Un corps solide est constitué de volumes infinitésimaux, ou points matériels, tous reliés entre eux sans vides ni chevauchements. Des conditions mathématiques doivent être respectées afin d'éviter l'apparition de vides ou de chevauchements lorsqu'un milieu continu se déforme.

Équations constitutives

Les équations constitutives qui régissent le comportement des éléments 3D jouent un rôle déterminant dans l'analyse du comportement des matériaux en mécanique des structures. Ces équations sont formulées pour prendre en compte le comportement isotrope non linéaire, valable pour les éléments massifs (solid block) dans IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.2\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

Le CSFM 3D considère des champs de contraintes continus dans le béton (éléments finis 3D), complétés par des éléments discrets de type « barre » représentant le ferraillage (éléments finis 1D). Par conséquent, le ferraillage n'est pas intégré de manière diffuse dans les éléments finis 3D du béton, mais il est modélisé explicitement et connecté à ceux-ci. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.1.1\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Le modèle d'analyse non linéaire (inélastique) par éléments finis est créé à partir de plusieurs types d'éléments finis utilisés pour modéliser le béton, le ferraillage et l'adhérence entre les deux. Les éléments de béton et de ferraillage sont d'abord maillés indépendamment, puis interconnectés à l'aide de liaisons multipoints (éléments MPC). Cela permet au ferraillage d'occuper n'importe quelle position, sans être limité aux nœuds du maillage tétraédrique. Pour vérifier la longueur d'ancrage, des éléments d'adhérence et des éléments ressort d'extrémité d'ancrage sont insérés entre le ferraillage et les éléments MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.1\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Béton

Le béton est analysé à l'aide d'éléments tétraédriques mixtes avec rotations nodales. Les éléments tétraédriques permettent de mailler des régions de topologie quelconque, tandis que la formulation implémentée garantit des résultats de déformation précis (sans contrainte de cisaillement parasite, connue sous le nom d'effet de verrouillage en cisaillement), même pour un maillage grossier qui ne conviendrait pas à une formulation d'éléments tétraédriques linéaires. 

Une intégration complète est utilisée. Cela signifie que chaque élément est doté de quatre points d'intégration situés dans le volume. Une telle intégration fournit un champ de déformation et de contrainte précis, permettant une évaluation et une présentation satisfaisantes des résultats sur l'ensemble du volume. Par la suite, les critères d'arrêt sont établis à partir de la valeur au point d'intégration.

Ferraillage

Les barres d'armature sont modélisées par des éléments « barre » 1D à deux nœuds (CROD), qui possèdent uniquement une rigidité axiale. Ces éléments sont reliés à des éléments d'« adhérence » spéciaux, développés pour modéliser le comportement de glissement entre une barre d'armature et le béton environnant. Ces éléments d'adhérence sont ensuite reliés par des éléments MPC (liaison multipoint) au maillage représentant le béton. Cette approche permet le maillage indépendant du ferraillage et du béton, leur interconnexion étant assurée ultérieurement.

Éléments d'adhérence

La longueur d'ancrage est vérifiée en introduisant dans le modèle par éléments finis les contraintes de cisaillement d'adhérence entre les éléments de béton (3D) et les éléments de barre d'armature (1D). Pour cela, le type d'élément fini « adhérence » a été développé.

L'élément d'adhérence est défini comme un élément fini de coque relié, par sa première couche, aux éléments représentant le ferraillage et, par sa seconde couche, au maillage du béton via des liaisons multipoints (éléments MPC). Il convient de noter que l'élément d'adhérence est toujours représenté dans cet article avec une hauteur non nulle, qui est cependant définie comme infinitésimale dans le modèle.

Le comportement de cet élément est décrit par la contrainte d'adhérence, τ_b, sous la forme d'une fonction bilinéaire du glissement entre les nœuds supérieur et inférieur, δu, voir (Fig. 2.2.2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.2\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

Le module de rigidité élastique de la relation adhérence-glissement, Gb, est défini comme suit :

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            coefficient dépendant de la surface de la barre d'armature (par défaut kg = 0,2)

E_c            module d'élasticité du béton (pris égal à Ecm dans le cas de l'EN)

Ø             le diamètre de la barre d'armature

Les valeurs de calcul (valeurs pondérées) de la contrainte de cisaillement d'adhérence ultime, f_bd, fournies dans les codes de calcul sélectionnés, EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, sont utilisées pour vérifier la longueur d'ancrage. Le durcissement de la branche plastique est calculé par défaut comme Gb/105.

Ressort d'ancrage

La présence d'extrémités d'ancrage sur les barres d'armature (c.-à-d. coudes, crochets, boucles…), conformes aux prescriptions des codes de calcul, permet de réduire la longueur d'ancrage de base des barres (l_b,net) d'un certain facteur β (appelé « coefficient d'ancrage » ci-après). La valeur de calcul de la longueur d'ancrage (lb) est alors calculée comme suit :

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.3\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

La réduction de la longueur d'ancrage est prise en compte dans le modèle par éléments finis au moyen d'un élément ressort situé à l'extrémité de la barre (Fig. 2.2.3a), défini par la loi de comportement représentée sur la (Fig. 2.2.3b). L'effort maximal transmis par ce ressort (F_au) est :

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

où :

β             le coefficient d'ancrage en fonction du type d'ancrage

A_s            la section de la barre d'armature

f_yd           la valeur de calcul (valeur pondérée) de la limite d'élasticité du ferraillage

Platine de base

La platine de base est modélisée comme un élément coque élastique. L'acier utilisé pour les platines de base est défini dans l'onglet Matériaux. La seule propriété physique est le module d'élasticité E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.1\qquad The base plate material definition}}}$$

La platine de base peut être chargée par une charge ponctuelle (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) et par un groupe d'efforts (Fx, Fy, Fz), principalement utilisé pour charger les modèles exportés depuis IDEA StatiCa Connection. Notez que les forces et moments ponctuels sollicitent directement le nœud correspondant de la platine de base. Il n'y a donc aucune redistribution, hormis celle due à la rigidité de la platine de base. 

Cette implémentation permet d'importer depuis IDEA StatiCa Connection les effets de charge appliqués à la platine de base à l'emplacement des éléments finis de soudure individuels, avec une valeur et une direction déterminées à partir de la contrainte générale de chaque élément fini de soudure. Plus de détails sont disponibles dans le chapitre correspondant de ce document.

La seconde option de chargement est le tronçon (Stub), qui représente une courte portion du poteau au-dessus de la platine de base. Le tronçon est modélisé comme une structure d'éléments coques élastiques et constitue une interface physiquement réaliste entre les efforts internes et la platine. L'utilisateur sélectionne une section pour le tronçon dans une base de données de sections standard. Le jeu de 6 composantes d'efforts internes (efforts et moments) est appliqué en un point unique sur la face inférieure du tronçon, c'est-à-dire à la base du poteau. Des liaisons (contraintes cinématiques) transmettent les efforts à la face supérieure du tronçon, d'où ils sont naturellement redistribués à travers le tronçon vers la platine de base, les ancrages et le béton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.2\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Mécanisme de transfert du cisaillement (de la platine de base au massif béton)

Un contact avec frottement, travaillant uniquement en compression, est défini entre la platine de base et le béton. Pour le transfert du cisaillement, l'utilisateur peut choisir parmi trois options :

• Par les ancrages
• Par frottement
• Par bêche

Le logiciel ne permet pas de combiner ces mécanismes de transfert du cisaillement. 

Le coefficient de frottement doit être saisi comme une valeur de calcul (pondérée). Si l'effort de cisaillement résultant F_xy dépasse l'effort de compression F_z multiplié par le coefficient de frottement μ, le calcul s'arrête et l'ensemble des charges n'est pas appliqué au modèle. La condition s'écrit comme suit :

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Ceci est illustré dans l'exemple suivant, où deux cas de charge sont considérés. 

• LC1 - Type permanent - F_z = 100 kN
• LC2 - Type variable - F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.3\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

Lors de la première étape de calcul, toute la charge permanente est appliquée. Ensuite, la charge variable est appliquée progressivement jusqu'à atteindre la valeur de l'effort de compression multipliée par le coefficient de frottement.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.4\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

Le graphique de la Figure 2.3.5 définit le comportement du contact avec frottement entre la platine de base et le béton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.5\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

La valeur de F_zμ diffère à chaque incrément du calcul, alors que la valeur de la déformation maximale en cisaillement u_xy reste constante. 

Si l'effort normal de compression F_z et l'effort de cisaillement F_xy sont saisis dans un seul type de cas de charge (par ex. uniquement permanent), et que la condition F_xy / (F_zμ) ≤ 1 n'est pas satisfaite, aucune charge ne sera appliquée au modèle, car la condition n'est satisfaite à aucun incrément du calcul.

La bêche est liée au maillage du béton par des liaisons (contraintes cinématiques) qui ne permettent que le transfert de contraintes normales de compression. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.6\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

La bêche est modélisée à l'aide d'éléments coques élastiques, dont le matériau est défini par le module d'élasticité E.

Les résultats ne sont ni évalués ni affichés pour la platine de base ni pour la bêche.

 Options de la platine de base  (déport, calage au mortier)

Le jeu d'options de déport suivant, entièrement aligné avec l'application Connection, est disponible.

• Direct
• Joint de mortier – écrous par le dessus
• Joint de mortier – écrous par le dessus et le dessous
• Espace

La couche de mortier est modélisée comme un élément coque, en tenant compte de sa rigidité. Notez que les éléments coques sont incompressibles dans le sens de leur épaisseur. Cela contribue à redistribuer les efforts locaux vers le béton et reste valable pour les épaisseurs de calage typiques utilisées en pratique, soit 25 à 50 mm.

La distinction entre des écrous uniquement par le dessus (liaison articulée entre l'ancrage et la platine de base) et des écrous par le dessus et le dessous (liaison encastrée entre l'ancrage et la platine de base) influence fortement la résistance au cisaillement du point de vue de la pression diamétrale sur le béton.

Ancrages

Les éléments finis représentant les ancrages sont modélisés de manière à pouvoir transmettre au béton des efforts normaux et de cisaillement, en tenant également compte de la rigidité en flexion des ancrages. Pour modéliser le glissement entre l'ancrage et le béton environnant, les mêmes éléments d'adhérence et MPC que pour le ferraillage sont utilisés. Avec la différence suivante :

• Pour les ancrages post-installés (chimiques), il est nécessaire de spécifier la résistance d'adhérence de calcul.
• Pour les rondelles et les goujons à tête, l'adhérence est négligée le long de la tige de l'ancrage. Tout l'effort axial est alors transmis au béton par la rondelle ou la tête de l'ancrage.

Adhérence dans l'enrobage de béton - Pour les ancrages liés au béton par adhérence le long de la tige, c'est-à-dire les ancrages en barres d'armature scellées dans le béton coulé en place et les ancrages post-installés (chimiques), les éléments d'adhérence ne sont pas actifs dans l'enrobage de béton. L'application détermine automatiquement l'enrobage comme la distance entre la surface du béton et la face de l'armature de surface (Fig. 2.3.7a). Sur cette longueur, la résistance d'adhérence entre l'ancrage et le béton est nulle, et l'ancrage n'est lié au béton par des éléments d'adhérence qu'en dessous de l'enrobage, sur la partie restante de sa profondeur d'ancrage (Fig. 2.3.7b). Tout l'effort transmis par adhérence est donc introduit dans le béton confiné par l'armature de surface, et les contraintes d'adhérence de l'ancrage dans l'enrobage sont nulles dans les résultats.

La raison en est le comportement différent de l'enrobage de béton à la rupture. Le 3D CSFM utilise un modèle de matériau plastique pour le béton, qui permet aux contraintes de se redistribuer (voir le chapitre 1.2). L'enrobage de béton à proximité d'une surface libre, en revanche, se rompt de manière fragile, selon la mécanique de la rupture, sans aucune réserve plastique. Si l'adhérence était active dans l'enrobage, le modèle développerait un champ de compression dans une zone qui ne peut pas le reprendre de manière fiable en réalité, et il surestimerait la contribution de l'enrobage à la résistance de l'ancrage. Cette erreur augmente avec l'épaisseur de l'enrobage. De plus, l'enrobage est la partie du modèle exposée à l'environnement (carbonatation, chlorures, agents agressifs) ; ses propriétés peuvent donc se dégrader pendant la durée de vie de la structure. Négliger l'adhérence dans l'enrobage est par conséquent une hypothèse conservatrice, cohérente avec les hypothèses de base du 3D CSFM.

Cette hypothèse ne s'applique qu'aux ancrages qui transmettent la charge au béton par adhérence le long de la tige. Les goujons à tête et les ancrages avec rondelles transmettent l'effort axial par la tête ou la plaque, avec une adhérence nulle le long de la tige ; ils ne sont donc pas concernés. Le ferraillage ordinaire n'est pas non plus concerné. L'influence sur la résistance est la plus marquée pour les ancrages dont la résistance est gouvernée par l'adhérence et qui sont installés dans des éléments à fort enrobage de béton, car une plus grande partie de la profondeur d'ancrage ne contribue pas à la résistance.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.7\qquad Anchor with bond along the shank}}}$$

Les ancrages peuvent être liés aux platines de base. Pour cette liaison, une contrainte cinématique entièrement non linéaire est utilisée pour relier l'extrémité de l'ancrage à un nœud de la platine de base. Cette contrainte permet de contrôler tous les degrés de liberté afin de garantir, par exemple, que les ancrages ne transmettent aucun effort de compression depuis la platine de base, ou qu'aucun cisaillement n'est transmis par l'ancrage lors de la modélisation d'une bêche, etc. 

Les propriétés Liaison avec la platine de base des ancrages permettent à l'utilisateur de contrôler si l'ancrage sera relié à la platine de base par la contrainte mentionnée précédemment, et de quelle manière. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.8\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

La case à cocher Transfert du cisaillement permet de contrôler si l'ancrage et la platine de base seront liés ou non vis-à-vis du cisaillement. Notez que la combinaison des mécanismes de transfert du cisaillement n'est pas prise en charge ; pour un transfert par frottement et par bêche, cette case à cocher n'a donc aucune incidence. En revanche, pour un transfert du cisaillement par les ancrages, ce champ permet d'exclure certains ancrages du transfert du cisaillement.

La case à cocher Transfert des efforts axiaux permet de contrôler si l'ancrage et la platine de base seront liés ou non dans la direction axiale. Elle est principalement utilisée pour l'export depuis la fonctionnalité Connection (voir le chapitre correspondant). Pour une modélisation manuelle, il est logique de toujours laisser cette case cochée.

Lorsque la case est décochée, l'ancrage est déconnecté en traction comme en compression (dans le cas d'un modèle exporté depuis l'application Connection, la liaison est remplacée par un couple de forces). Si la case est cochée, l'ancrage est toujours lié à la platine en traction, mais la liaison en compression est déterminée par le type d'ancrage et le type de déport. Pour plus d'informations, voir la Figure 2.3.8.

Filetage coupé

Contrôlé par une case à cocher dans les propriétés de l'ancrage, il a deux objectifs :

1. Il définit la manière dont l'ancrage est lié à la platine de base :

• Pour les goujons à tête et le ferraillage scellé dans le béton coulé en place liés à la platine de base (et non aux platines noyées), il fait la distinction entre une liaison boulonnée (articulée) et une liaison soudée (encastrée) — visible dans la scène 3D.
• Notez que le mode de liaison entre l'ancrage et la platine a une influence significative sur la résistance au cisaillement du point de vue de la pression diamétrale sur le béton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.9\qquad Cut threads options}}}$$

2. Pour l'Eurocode, la résistance de l'ancrage à filetage coupé est réduite conformément à l'EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Ce paramètre peut être défini dans les paramètres du projet. Pour les tiges filetées et les rondelles, il est recommandé de laisser ce paramètre activé en permanence.

Liaison axiale et en rotation entre l'ancrage et la platine de base

Comme déjà mentionné dans ce chapitre, selon le type d'ancrage, le réglage du déport et la prise en compte ou non d'un filetage coupé, les ancrages sont liés à la platine de base de différentes manières. En termes de liaison en rotation, celle-ci peut être articulée / encastrée. En termes de liaison axiale, elle peut être traction / traction + compression. Les types de liaison en rotation influencent fortement la résistance au cisaillement du point de vue de la pression diamétrale sur le béton. Dans une scène 3D, il est facile de déterminer si un ancrage est lié de manière encastrée ou articulée grâce à la présence d'écrous, voir la Figure 2.3.10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.10\qquad Rotational constraints}}}$$

Le tableau suivant présente toutes les combinaisons possibles de liaisons de la platine de base avec les ancrages, ainsi que les liaisons en rotation et axiales correspondantes.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.11\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Platines noyées

La platine noyée est un cas particulier de platine de base. Elle est modélisée de manière analogue, avec les différences suivantes :

La platine étant noyée dans un massif en béton, aucun type de déport ne peut être spécifié. La profondeur d'encastrement de la platine est négligée. La platine, modélisée par des éléments coques, est placée directement sur la surface du béton. Par conséquent, les faces latérales de la platine ne sont pas considérées comme appuyées sur le béton.

Il est uniquement possible d'utiliser du ferraillage et des goujons à tête qui, comme les ancrages classiques, peuvent être configurés pour être liés à la platine dans les directions axiale et de cisaillement. L'expérience pratique et certains documents nationaux indiquent la nécessité de dimensionner les goujons à tête uniquement pour le cisaillement et le ferraillage pour l'effort axial. Du point de vue des liaisons axiales et en rotation, les ancrages sont toujours liés de manière encastrée et en traction + compression.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.12\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Les éléments finis sont implémentés en interne, et le modèle d'analyse est généré automatiquement, sans nécessiter d'intervention d'un utilisateur expérimenté. Le maillage constitue une étape importante de ce processus.

Béton

Tous les éléments en béton sont maillés ensemble. L'application calcule automatiquement une taille d'élément recommandée, en fonction des dimensions et de la forme de la structure et en tenant compte du diamètre de la plus grande barre d'armature. De plus, cette taille d'élément recommandée garantit qu'au moins quatre éléments sont générés dans les parties minces de la structure, telles que les poteaux élancés ou les voiles minces, afin d'obtenir des résultats fiables dans ces zones. Le projeteur peut toujours définir une taille d'élément de béton personnalisée en modifiant le multiplicateur de la taille de maillage par défaut.

Ferraillage

Le ferraillage est divisé en éléments dont la longueur est approximativement égale à la taille des éléments de béton. Une fois les maillages du ferraillage et du béton générés, ils sont reliés entre eux par des éléments d'adhérence, comme illustré à la Fig. 2.2.1.

Raffinement

Le maillage du béton est automatiquement raffiné autour des ancrages, autour des bêches et sous le tronçon de chargement. La taille du maillage raffiné est environ deux fois plus petite que celle du maillage de base du béton. Le rayon de la zone raffinée est défini approximativement comme la taille d'élément multipliée par deux.

Un algorithme standard de Newton-Raphson (NR) complet est utilisé pour trouver la solution d'un problème de MEF non linéaire. 

En général, l'algorithme NR converge rarement lorsque la charge totale est appliquée en une seule étape. Une approche usuelle, également utilisée ici, consiste à appliquer la charge de manière séquentielle en plusieurs incréments et à utiliser le résultat de l'incrément de charge précédent pour initialiser la résolution de Newton de l'incrément suivant. À cet effet, un algorithme de pilotage en charge a été implémenté au-dessus de l'algorithme de Newton-Raphson. Si les itérations NR ne convergent pas, l'incrément de charge courant est réduit de moitié et les itérations NR sont relancées.

Le second objectif de l'algorithme de pilotage en charge est de déterminer la charge critique, qui correspond à certains « critères d'arrêt » : plus précisément, la déformation maximale dans le béton, le glissement maximal dans les éléments d'adhérence, le déplacement maximal dans les éléments d'ancrage et la déformation maximale dans les barres de ferraillage. La charge critique est déterminée par la méthode de dichotomie. Lorsque le critère d'arrêt est dépassé en un point quelconque du modèle, les résultats du dernier incrément de charge sont rejetés et un nouvel incrément, de moitié plus petit que le précédent, est calculé. Ce processus est répété jusqu'à ce que la charge critique soit déterminée avec une certaine tolérance d'erreur.

Pour le béton, le critère d'arrêt a été fixé à une déformation de 5 % en compression (soit environ un ordre de grandeur au-dessus de la déformation réelle à la rupture du béton) et de 7 % en traction, aux points d'intégration des éléments coque. En traction, cette valeur a été fixée afin que la déformation limite du ferraillage, qui est généralement d'environ 5 % sans prise en compte du raidissement en traction, soit atteinte en premier. En compression, la valeur a été retenue parmi plusieurs alternatives comme étant suffisamment grande pour que les effets de l'écrasement soient visibles dans les résultats, mais suffisamment petite pour ne pas engendrer trop de problèmes de stabilité numérique.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 2.5.1\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Pour le ferraillage, le critère d'arrêt est défini en termes de contraintes. Les contraintes étant modélisées au niveau de la fissure, le critère en traction correspond à la résistance en traction du ferraillage, compte tenu du coefficient de sécurité. La même valeur est utilisée pour le critère en compression.

Le critère d'arrêt dans les éléments d'adhérence et les ressorts d'ancrage est α·δ_umax, où δ_umax est le glissement maximal utilisé dans les vérifications normatives et α = 10.

Autres critères d'arrêt pour l'ancrage :

• Arrachement des ancrages à tête (contrainte de contact maximale en compression sur la face supérieure de la tête de l'ancrage). 
• Effort de cisaillement maximal pouvant être transmis par l'ancrage du point de vue de la portance du béton en appui.

Ces deux critères dépendent de la norme sélectionnée. Vous trouverez plus d'informations à leur sujet dans les sections qui expliquent, dans l'application, les parties de l'analyse structurelle dépendantes de la norme.

Les résultats sont présentés séparément pour le béton et pour les éléments de ferraillage. Les valeurs de contrainte et de déformation dans le béton sont calculées aux points d'intégration des éléments volumiques. Cependant, comme il n'est pas pratique de présenter les données de cette manière, les résultats sont présentés par défaut aux nœuds, sous la forme de la valeur maximale de la contrainte de compression issue des points d'intégration de Gauss adjacents dans les éléments connectés. Il convient de noter que cette représentation peut sous-estimer localement les résultats aux bords comprimés des éléments lorsque la taille de l'élément fini est similaire à la hauteur de la zone comprimée.

Les résultats pour les éléments finis de ferraillage sont soit constants pour chaque élément (une seule valeur – par exemple, pour les contraintes dans l'acier), soit linéaires (deux valeurs – pour les résultats d'adhérence). Pour les éléments auxiliaires, tels que les éléments des plaques d'appui, seules les déformations sont présentées.

Le modèle IDEA StatiCa Detail n'a pas toujours besoin d'être modélisé à partir de zéro ou à partir d'un modèle type. Il est également possible d'importer le modèle, y compris les effets de charge, depuis IDEA StatiCa Connection. Dans Connection, la superstructure acier située au-dessus du massif béton est analysée à l'aide d'un modèle 3D non linéaire, tandis que le massif béton lui-même est représenté de manière simplifiée par une fondation de type Winkler. Dans Detail, en revanche, le massif en béton armé est modélisé explicitement et vérifié en détail.

Lors du transfert du modèle, seuls la platine de base, les ancrages et le massif béton sont importés dans Detail – l'élément acier lui-même (et sa rigidité globale) ne l'est pas. Dans le modèle Connection, cet élément acier est relié à la platine de base par une soudure. Les contraintes dans les éléments finis de la soudure sont intégrées et converties en un ensemble d'efforts équivalents qui sollicitent la platine de base dans Detail. De cette manière, l'effet de l'élément acier manquant est représenté par des efforts de soudure appliqués directement à la platine de base.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.7.1\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

En raison de la définition différente de la rigidité entre Connection et Detail (élément acier manquant, modèles de matériaux différents et représentation du béton différente), une liaison directe entre la platine de base et les ancrages dans Detail conduirait généralement à une redistribution différente des charges et, par conséquent, à des efforts de traction différents dans les ancrages. Pour éviter cela, les ancrages sont importés déconnectés axialement de la platine de base. Au lieu de transmettre les efforts axiaux par le contact physique, les efforts de traction dans les ancrages obtenus dans Connection sont appliqués directement aux ancrages dans Detail. Parallèlement, un effort égal et opposé est appliqué à la platine de base à l'emplacement de chaque ancrage, de sorte que l'équilibre global du modèle soit préservé. Cette paire d'efforts (l'un agissant sur l'ancrage, l'autre sur la platine de base) représente l'interaction entre la platine de base et l'ancrage sans permettre de redistribution supplémentaire des efforts axiaux dans Detail. Ces deux efforts opposés sont illustrés sur la Figure 2.7.1.

Toutefois, les efforts de cisaillement sont toujours transmis par la liaison entre la platine de base et les ancrages (ou par la bêche, ou par frottement). Cela est possible car une contrainte est utilisée pour relier la platine de base et les ancrages en cisaillement, ce qui permet de contrôler les degrés de liberté concernés de cette liaison. Dans Detail, l'utilisateur peut donc modifier le ccheminement des efforts de cisaillement – par exemple, en libérant le cisaillement dans deux des quatre ancrages et en ne conservant que les ancrages de rive sollicités en cisaillement – tandis que les efforts axiaux restent tels qu'importés depuis Connection.

Pour les platines coulées en place, nous avons adopté une approche différente. Plusieurs recommandations de calcul européennes exigent que seules les barres de ferraillage soient considérées comme résistant aux efforts axiaux, tandis que les goujons à tête sont supposés ne transmettre que le cisaillement. Comme IDEA StatiCa Connection ne peut pas séparer en interne, lors de l'export, les efforts axiaux dans les ancrages en ferraillage de ceux dans les goujons à tête, les ancrages des platines coulées en place sont importés dans Detail entièrement connectés, y compris dans la direction axiale. Cela permet à l'utilisateur d'activer dans Detail une option de calcul selon laquelle les ancrages en ferraillage ne reprennent que la traction axiale et les goujons à tête ne reprennent que le cisaillement. Dans ce flux de travail, l'effort axial initialement attribué aux goujons à tête doit être redistribué sur les ancrages en ferraillage au sein du modèle Detail. Une telle redistribution ne serait pas possible si nous utilisions l'approche de la paire d'efforts opposés décrite ci-dessus, c'est pourquoi les platines coulées en place sont traitées différemment.

État limite ultime

Les différentes vérifications exigées par les codes de calcul spécifiques sont évaluées à partir des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications à l'ELU sont effectuées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Pour garantir un dimensionnement efficace d'un élément structurel, il est fortement recommandé de réaliser une analyse préliminaire comprenant les étapes suivantes :

• Choisir une sélection des combinaisons de charges les plus défavorables.
• Calculer uniquement les combinaisons de charges à l'état limite ultime (ELU).
• Pour réduire le temps de calcul et traiter d'éventuels problèmes, envisager l'utilisation d'un maillage grossier en augmentant le multiplicateur de la taille de maillage par défaut dans les paramètres (Fig. 3.1.1). Si le modèle se comporte correctement, ramener le multiplicateur à un facteur de 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 3.1.1\qquad Mesh multiplier}}}$$

Un tel modèle se calcule très rapidement, ce qui permet aux projeteurs de vérifier efficacement le détail de l'élément structurel et de relancer l'analyse jusqu'à ce que toutes les exigences de vérification soient satisfaites pour les combinaisons de charges les plus défavorables. Une fois toutes les exigences de vérification de cette analyse préliminaire satisfaites, il est conseillé d'inclure l'ensemble des combinaisons de charges ultimes et d'utiliser une taille de maillage fine (la taille de maillage recommandée par le programme). Les utilisateurs peuvent modifier la taille de maillage à l'aide du multiplicateur, dont la valeur peut varier de 0,5 à 5 (Fig. 3.1.1).

Les résultats et vérifications de base (contrainte, déformation et taux de travail (c'est-à-dire la valeur calculée/valeur limite issue du code), ainsi que la direction des contraintes principales dans le cas d'éléments en béton) sont affichés au moyen de différents tracés où la compression est généralement représentée en rouge et la traction en bleu. Les valeurs minimales et maximales globales pour l'ensemble de la structure peuvent être mises en évidence, de même que les valeurs minimales et maximales pour chaque partie définie par l'utilisateur. Dans un onglet distinct du programme, des résultats avancés tels que les valeurs tensorielles, les déformées de la structure et les taux de ferraillage (effectif et géométrique) utilisés pour calculer le raidissement en traction des barres d'armature peuvent être affichés. En outre, les charges et les réactions pour les combinaisons ou les cas de charge sélectionnés peuvent être présentés.

Béton - ELU

Le modèle de béton implémenté dans 3D CSFM repose sur les lois de comportement en compression uniaxiale prescrites par l'EN 1992-1-1 pour le dimensionnement des sections, qui ne dépendent que de la résistance en compression. Le diagramme parabole-rectangle spécifié dans l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 4.1.1a) est utilisé par défaut dans 3D CSFM, mais les projeteurs peuvent également choisir une relation élastique parfaitement plastique plus simplifiée, conformément à l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 4.1.1b). La résistance en traction est négligée, comme dans le calcul classique du béton armé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 4.1.1\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

L'implémentation de 3D CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte maximale, elle considère un palier plastique avec ε_cu2 (ε_cu3) d'une valeur de 5 %, alors que l'EN 1992-1-1 suppose une déformation ultime inférieure à 0,35 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures qui atteignent la ruine en compression. Cependant, leur capacité ultime f_cd selon l'EN 1992-1-1 3.1.3 est correctement prédite lorsque l'augmentation de la fragilité du béton avec l'accroissement de sa résistance est prise en compte au moyen du coefficient de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le fib Model Code 2010 comme suit :

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α_cc est le coefficient tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression et des effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliquée. Il est défini selon l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). La valeur par défaut est 1,0.

f_ck est la résistance caractéristique du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

Ferraillage

Par défaut, le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé des armatures nues défini dans l'EN 1992-1-1, section 3.2.7 (Fig. 4.1.2) est considéré. La définition de ce diagramme nécessite uniquement de connaître les propriétés de base du ferraillage lors de la phase de conception (résistance et classe de ductilité). Lorsqu'elle est connue, la relation contrainte-déformation réelle du ferraillage (laminé à chaud, écroui à froid, trempé et autorevenu, …) peut être considérée. Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de prendre en compte l'effet de raidissement en traction (il est impossible de calculer l'ouverture des fissures). L'utilisation d'un diagramme contrainte-déformation avec un palier supérieur horizontal ne permet pas de vérifier la durabilité structurelle. Par conséquent, une vérification manuelle des exigences normatives de ductilité est nécessaire.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Le raidissement en traction (Fig. 4.1.3) est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de l'armature nue afin de représenter la rigidité moyenne des armatures noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux codes de calcul modernes. Les modèles de calcul n'utilisant que les propriétés usuelles des matériaux, le format des coefficients partiels de sécurité prescrit par les codes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges d'entrée sont pondérées et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites à l'aide des coefficients de sécurité correspondants prescrits par les codes de calcul, exactement comme dans une analyse conventionnelle du béton. Les valeurs des coefficients de sécurité des matériaux prescrites dans l'EN 1992-1-1, chap. 2.4.2.4, ainsi que les coefficients pour les ancrages prescrits dans l'EN 1992-4, l'EN 1993-1-8 et l'EN 1994-1-1, sont définies par défaut, mais l'utilisateur peut modifier les coefficients de sécurité dans les paramètres de Code et de calcul (Fig. 4.2.1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.1\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Les coefficients de sécurité sur les charges doivent être définis par l'utilisateur dans les Règles de combinaison pour chaque combinaison non linéaire de cas de charge (Fig. 4.2.2). Pour tous les modèles intégrés dans Idea StatiCa Detail, les coefficients partiels de sécurité sont déjà prédéfinis.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.2\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

En utilisant des combinaisons définies par l'utilisateur de coefficients partiels de sécurité appropriés, il est également possible de calculer avec la CSFM 3D selon la méthode du facteur global de résistance (Navrátil, et al. 2017), mais cette approche est rarement utilisée dans la pratique du calcul. Certaines recommandations préconisent la méthode du facteur global de résistance pour l'analyse non linéaire. Cependant, dans les analyses non linéaires simplifiées (telles que la CSFM 3D), qui ne nécessitent que les propriétés des matériaux utilisées dans les calculs manuels conventionnels, il reste préférable d'utiliser le format des coefficients partiels.

Les différentes vérifications requises par l'EN 1992-1-1 sont évaluées à partir des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications à l'ELU sont réalisées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Résistance - Béton

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale équivalente maximale σ_c,eq obtenue par l'analyse EF et la valeur limite σ_c,lim = f_cd.

La contrainte principale équivalente exprime la contrainte uniaxiale équivalente pour un état de contraintes triaxial général.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

La valeur σ_c,eq peut donc être directement comparée aux limites de résistance uniaxiales selon l'EN 1992-1-1 § 3.1.7 (1).

Cette expression découle de l'implémentation de la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb, en supposant de manière conservative un angle de frottement interne φ = 0°.

Résistance - Ferraillage

La résistance du ferraillage est évaluée en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au niveau des fissures σ_sr et la valeur limite spécifiée σ_s,lim :

$σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

où :

f_yk        est la limite d'élasticité du ferraillage selon l'EN 1992-1-1 § 3.2.3,

k          est le rapport entre la résistance en traction f_tk et la limite d'élasticité,
            $k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             est le coefficient partiel de sécurité pour le ferraillage.

Résistance - Ancrages

Les ancrages sont vérifiés vis-à-vis des contraintes normales de la même manière que le ferraillage, en déterminant la valeur limite σ_s,lim.

De plus, les valeurs N_Ed et V_Ed sont déterminées pour les ancrages et vérifiées par rapport à N_Rd,s et V_Rd,s selon la norme sélectionnée. La norme est choisie en fonction du type d'ancrage utilisé dans les paramètres du projet (Project settings).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.1\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}$$

Comme les différentes normes retiennent des approches différentes pour la vérification des ancrages, l'utilisateur peut choisir les normes suivantes pour chaque type d'ancrage :

• Ancrages en matériau de boulon en traction et/ou cisaillement - EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Goujons à tête en traction et/ou cisaillement - EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Ancrages en barre d'armature en traction et/ou cisaillement - EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Ancrages en compression et/ou flexion - EN 1993-1-1

Vérification en traction selon l'EN 1992-4 - 7.2.1.3

$$N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

où :

• c – coefficient de réduction pour les filets taillés  
• f_uk – résistance minimale en traction du boulon
• A_s – section résistante en traction du boulon d'ancrage (réduite par le filetage dans le cas d'un matériau de boulon)
• $\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4$ – coefficient partiel de sécurité pour l'acier 
• f_yk – limite d'élasticité minimale du boulon

Vérification en traction selon l'EN 1993-1-8 - 3.6.1

$$N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$ 

où :

• c – réduction de la résistance en traction des boulons à filetage taillé selon l'EN 1993-1-8 – § 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0,9 – coefficient pour les ancrages non fraisés 
• f_ub – résistance ultime en traction du boulon d'ancrage 
• A_s – section résistante en traction du boulon d'ancrage (réduite par le filetage dans le cas d'un matériau de boulon)
• γ_M2 =1,25 – coefficient partiel de sécurité pour les boulons (EN 1993-1-8, Tableau 2.1) 

Vérification en traction selon l'EN 1992-1-1 - 3.2.7

$$N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}$$

où :

• $k=(f_{t}/f_{y})$ est donné dans l'Annexe C
• f_yk - limite d'élasticité caractéristique
• γ_M2 =1,15 – coefficient partiel de sécurité pour le ferraillage

Vérification en compression selon l'EN 1993-1-1 - 6.3

Utilisée pour tous les ancrages soumis à un effort de compression normal, quels que soient leur matériau ou leur type d'espacement (stand-off). 

$$F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}$$

Où :

• $\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1$ – coefficient de réduction pour le flambement
• $\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]$ – valeur permettant de déterminer le coefficient de réduction pour le flambement χ
• $\alpha=0.49$ – facteur d'imperfection pour la courbe de flambement c (correspondant à la section circulaire pleine)
• $\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}$ – élancement réduit

  • A_s – section de l'ancrage réduite par le filetage
• $N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}$  – effort critique d'Euler
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment d'inertie du boulon

  • d_s – diamètre de l'ancrage réduit par le filetage
• $L_{cr}=2\,l$  – longueur de flambement ; on suppose, du côté de la sécurité, que le boulon est encastré dans le béton et libre de pivoter au niveau de la platine de base 
• $l=l_{a}$ – longueur de l'élément de boulon égale à la moitié de l'épaisseur de la platine de base + le jeu + la moitié du diamètre du boulon ; on suppose, du côté de la sécurité, que la rondelle et l'écrou ne sont pas serrés contre la surface du béton (ETAG 001 – Annexe C – § 4.2.2.4), voir la Figure 4.3.2.

Vérification au cisaillement selon l'EN 1992-4 - 7.2.2.3

Pour une pose directe (stand-off = direct), le cisaillement sans bras de levier est supposé (EN 1992-4 – § 7.2.2.3.1) :

$$V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Pour une pose avec joint de mortier (stand-off = mortar joint), le cisaillement avec bras de levier est supposé (EN 1992-4 – § 7.2.2.3.2) :

$$V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}$$

où :

• k₆ = 0,6 pour les ancrages avec fuk ≤ 500 MPa ; k₆ = 0,5 dans les autres cas
• A_s – section de cisaillement de l'ancrage réduite par le filetage
• f_uk – résistance ultime du boulon d'ancrage
• α_M = 2 – un encastrement total est supposé (EN 1992-4 – § 6.2.2.3)
• $M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)$ – résistance caractéristique en flexion de l'ancrage diminuée de l'effort de traction dans l'ancrage
•  $M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}$ – résistance caractéristique en flexion de l'ancrage (ETAG 001, Annexe C – Équation (5.5b))
• $W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}$ – module de section de l'ancrage
• d – diamètre du boulon d'ancrage ; si le plan de cisaillement passe dans le filetage (ce qui est toujours le cas pour une tige filetée), le diamètre réduit par le filetage est utilisé ; sinon, le diamètre nominal, d_nom, est utilisé
• N_Ed – effort de traction dans l'ancrage
• N_Rd,s – résistance en traction de l'ancrage
• $l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}$ – bras de levier
• t_mortar – épaisseur du mortier (de calage)
• t_bp – épaisseur de la platine de base
• $\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25$ for $f_{uk} \le 800 \text{ MPa}$ and  $\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8$; γ_Ms = 1,5 dans les autres cas – coefficient partiel de sécurité pour la rupture de l'acier (EN 1992-4 – Tableau 4.1)

Vérification au cisaillement selon l'EN 1993-1-8 - 6.2.2

La résistance au cisaillement de l'acier de l'ancrage est déterminée selon l'EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) quel que soit le type de pose, directe ou avec joint de mortier. La résistance et l'épaisseur du mortier de calage doivent être conformes au § 6.2.5 (7).

$$V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}$$

où :

$$F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}$$

• α_v = 0,6 pour les classes 4.6, 5.6, 8.8, et 0,5 pour les classes 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – résistance ultime en traction du matériau du boulon
• A – section résistante en traction du boulon, A = A_s, où As est la section résistante en traction du boulon (réduite par le filetage)
• γ_M2 – coefficient de sécurité - EN 1993-1-8 – Tableau 2.1

$$F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$

• ​ $\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}$
• α_b est un coefficient dépendant de la limite d'élasticité du boulon d'ancrage
• f_yb – limite d'élasticité de l'ancrage ; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – résistance en traction de l'ancrage 
• A_s – section résistante en traction (réduite par le filetage)

Vérification au cisaillement selon l'EN 1993-1-1 - 6.2.6

Ces vérifications normatives s'appliquent aux ancrages reliés à la platine de base avec un jeu, ou aux ancrages directement chargés dont la longueur en saillie est supérieure à 0,5 fois leur diamètre.

$$V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}$$

où :

• A_V = 0,844 A_s – aire de cisaillement
• A_s – section du boulon réduite par le filetage
• f_y – limite d'élasticité du boulon
• γ_M2 – coefficient partiel de sécurité (défini dans les paramètres du projet (Project settings))

Vérification au cisaillement selon l'EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

$$V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}$$

où :

• γ_v est le coefficient partiel pour la connexion au cisaillement selon l'EN 1994-1-1, § 2.4.1.2. La valeur recommandée pour γ_v est de 1,25
• d est le diamètre du fût du goujon, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm ;
• f_u est la résistance ultime en traction spécifiée du matériau du goujon, sans toutefois dépasser 500 MPa.

Dans l'EN 1994-1-1, le § 6.6.3.1 fournit également l'Équation (6.19), qui limite la résistance au cisaillement d'un goujon par la capacité de poinçonnement (portance) du béton. Dans IDEA StatiCa Detail, ce mode de rupture n'est pas vérifié par une formule normative distincte en post-traitement. Il est directement intégré à l'analyse non linéaire par éléments finis comme critère d'arrêt : l'analyse est interrompue avant que l'effort de cisaillement dans un ancrage n'atteigne la valeur P_Rd correspondante
de l'Équation (6.19). Cette approche est retenue car l'Équation (6.19) n'est valable que pour les goujons à tête soudés sur la plaque d'acier et pour des diamètres de goujon compris entre 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, comme spécifié au § 6.6.3.1.

Afin de couvrir un plus large éventail de cas pratiques, nous avons créé une série de modèles de référence 3D dans Abaqus, avec des diamètres d'ancrage de 8 mm à 50 mm et des résistances du béton de C16/20 à C50/60. Les goujons ont été modélisés soit soudés rigidement à la platine de base, soit reliés par une liaison articulée. Les modèles de matériaux et les paramètres de contact dans Detail ont ensuite été calibrés sur ces simulations Abaqus, elles-mêmes vérifiées par rapport à l'Équation (6.19) dans son domaine de validité. Ce critère d'arrêt est valable pour tous les types d'ancrages et toutes les normes EN.

Vérification en flexion selon l'EN 1993-1-1 - 6.2.5

$$M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}$$

Où :

• $W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – module de section du boulon

  • d_s – diamètre de l'ancrage réduit par le filetage
• f_y – limite d'élasticité du matériau
• γ_M2 – coefficient partiel de sécurité (défini dans les paramètres du projet (Project settings))

Moment de flexion de calcul agissant M_Ed - Si l'effort tranchant agit avec un bras de levier, un moment de flexion agissant sur l'élément de fixation doit être pris en compte. Le moment de flexion de calcul agissant sur l'élément de fixation est calculé selon la formule (6.1) de l'EN 1993-1-1 :

$$M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}$$

où :

• V_Ed - est l'effort de cisaillement agissant sur l'élément de fixation considéré
• l_a = a₃ + e₁

  • a₃ = 0,5d_nom, où d_nom est le diamètre de l'ancrage
  • e₁ - est la distance entre la charge de cisaillement et la surface du béton, en négligeant l'épaisseur éventuelle du mortier de calage
• α_M = 2 – un encastrement total est supposé (EN 1992-4 – § 6.2.2.3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.2\qquad Buckling length}}}$$

Interaction traction-cisaillement dans l'acier de l'ancrage

L'interaction traction-cisaillement selon l'EN 1993-1-8 est implicitement incluse dans la vérification au cisaillement de l'ancrage.

L'interaction traction-cisaillement selon l'EN 1992-4 est déterminée séparément pour les modes de rupture de l'acier et du béton conformément au Tableau 7.3. L'interaction dans l'acier est vérifiée séparément pour chaque ancrage.

$$\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1$$

L'EN 1994-1-1 indique à l'article 6.6.3.2 que, si l'effort de traction dans l'ancrage est supérieur à 0,1P_Rd, la vérification n'est pas couverte par cette norme. Dans ce cas, l'interaction est évaluée dans l'application conformément à l'EN 1992-4. Dans ce cas, la vérification au cisaillement ne doit pas être considérée selon l'EN 1994-1-1.

Interaction traction ou compression-flexion dans l'acier de l'ancrage EN 1993-1-1 - 6.2.1

$$\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1$$

où :

• N_Ed – effort de calcul en traction (signe positif) ou en compression (signe négatif)
• N_Rd – résistance de calcul en traction (positive, F_t,Rd) ou en compression (signe négatif, F_c,Rd)
• M_Ed – moment de flexion de calcul
• M_Rd = M_pl,Rd – résistance de calcul en flexion

Vérification à l'arrachement pour les ancrages à tête (rondelles et goujons à tête)

Pour les ancrages à tête, un critère d'arrêt supplémentaire est mis en œuvre afin de vérifier la portance (écrasement) du béton au-dessus de la tête de l'ancrage - arrachement. Pendant l'analyse, l'effort de compression transmis par le contact entre la tête et le béton est surveillé et comparé à la valeur limite donnée par l'EN 1992-4, § 7.2.1.5 (rupture par arrachement des fixations à tête).

$$N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}$$

où :

• A_h est l'aire d'appui de la tête de l'élément de fixation (sans l'aire du fût). 
• f_ck est la résistance caractéristique en compression du béton - EN 1992-1-1 § 3.1.2
• γ_Mp est pris dans l'application égal à γ_Mp = γ_c avec la valeur par défaut de 1,5
•  k₂​ est toujours pris égal à 7,5, c'est-à-dire la valeur pour le béton fissuré. Cela est cohérent avec l'approche CSFM utilisée dans Detail, où la résistance en traction du béton est négligée et où le béton est supposé fissuré en traction. 

Dès que l'effort de contact atteint cette limite normative, le critère d'arrêt est déclenché et l'analyse est interrompue avant que la résistance de calcul à l'arrachement ne soit dépassée.

Ancrage -  Contrainte d'adhérence

La contrainte de cisaillement d'adhérence est évaluée indépendamment comme le rapport entre la contrainte d'adhérence τ_b calculée par l'analyse EF et la résistance d'adhérence ultime f_bd, selon l'EN 1992-1-1 § 8.4.2 :

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

où :

• f_ctd      est la valeur de calcul de la résistance en traction du béton selon l'EN 1992-1-1 § 3.1.6 (2). En raison de la fragilité croissante des bétons de résistance plus élevée, f_ctk,0.05 est limitée à la valeur correspondant au C60/75 selon l'EN 1992-1-1 § 8.4.2 (2)
• η₁       est un coefficient lié à la qualité des conditions d'adhérence et à la position de la barre pendant le bétonnage (Fig. 4.3.3).
• η₁ = 1,0 lorsque des conditions « bonnes » sont obtenues et
• η₁ = 0,7 dans tous les autres cas et pour les barres dans des éléments structurels réalisés en coffrage glissant, sauf s'il peut être démontré que de « bonnes » conditions d'adhérence existent
• η₂        est lié au diamètre de la barre :
  η₂ = 1,0 pour Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 pour Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.3\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

Dans IDEA StatiCa Detail, les conditions d'adhérence sont prises en compte selon la Fig. 4.3.3 c) et d). La direction de bétonnage peut être définie dans l'application pour chaque élément du projet comme suit :

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.4\qquad Direction of concreting}}}$$

Ces vérifications sont réalisées par rapport aux valeurs limites appropriées pour les parties respectives de la structure (c'est-à-dire que, bien qu'il n'y ait qu'une seule classe pour le béton et pour le matériau du ferraillage, les diagrammes contrainte-déformation finaux diffèrent dans chaque partie de la structure en raison des effets de raidissement en traction et d'adoucissement en compression).

Ancrage - Effort total

Effort total F_tot et effort limite F_lim

L'effort total F_tot est un résultat de l'analyse par éléments finis et peut être défini de deux manières.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

où A_s est l'aire de la barre d'armature et σ_s est la contrainte dans la barre.

Ou comme la somme de l' effort d'ancrage F_a et de l' effort d'adhérence F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

où F_a est l'effort réel dans le ressort d'ancrage et F_bond est l'effort d'adhérence, qui peut être obtenu en intégrant la contrainte d'adhérence τ_b sur la longueur de la barre d'armature l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s est le périmètre de la barre d'armature.

L'effort limite F_lim est l'effort maximal dans l'élément de la barre d'armature, en tenant compte de la résistance ultime de la barre et également des conditions d'ancrage (adhérence entre le béton et le ferraillage, crochets d'ancrage, boucles, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

où C_s est le périmètre de la barre d'armature, et l est la longueur depuis l'origine de la barre jusqu'au point considéré.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.5\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

où F_lim,add est l'effort supplémentaire calculé à partir de l'angle entre les éléments voisins. F_lim,2 doit toujours rester inférieur à F_u.

Types d'ancrage à l'extrémité du ferraillage (ancrages et barres d'armature)

Les types d'ancrage disponibles dans le CSFM 3D comprennent la barre droite (c'est-à-dire sans réduction de l'extrémité d'ancrage), le coude, le crochet, la boucle, la barre transversale soudée, l'adhérence parfaite et la barre continue. Tous ces types, ainsi que les coefficients d'ancrage β correspondants, sont présentés à la Fig. 4.3.6 pour le ferraillage longitudinal et à la Fig. 4.3.7 pour les étriers. Les valeurs des coefficients d'ancrage retenues sont conformes à l'EN 1992-1-1, § 8.4.4, Tab. 8.2. Il convient de noter que, malgré les différentes options disponibles, le CSFM 3D distingue trois types d'extrémités d'ancrage : (i) aucune réduction de la longueur d'ancrage, (ii) une réduction de 30 % de la longueur d'ancrage dans le cas d'un ancrage normalisé, et (iii) l'adhérence parfaite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.6\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.7\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Afin de respecter l'EN 1992-1-1, le ressort d'ancrage doit être utilisé dans le calcul ; le ressort d'ancrage est modifié par le coefficient β, de sorte que l'utilisateur doit choisir l'un des types d'ancrage disponibles lors de la définition des conditions de début et de fin du ferraillage. 

Béton - Résistance

Le modèle de béton implémenté pour les calculs de résistance dans la CSFM repose sur la courbe contrainte-déformation parabole-plateau du béton, basée sur la courbe contrainte-déformation parabolique de la Portland Cement Association décrite dans PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. La résistance en traction est négligée, comme dans le calcul classique du béton armé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

L’implémentation de la CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c’est-à-dire qu’après avoir atteint la contrainte maximale, elle considère un palier plastique avec ε_c0 dont la valeur maximale est de 5 %, alors que l’ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 suppose une déformation ultime inférieure à 0,3 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures qui atteignent la rupture en compression. Toutefois, la résistance est correctement prédite lorsque l’augmentation de la fragilité du béton avec sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le fib Model Code 2010 comme suit :

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α₁ est le facteur de réduction de la résistance en compression du béton défini dans l’ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Lors de l’utilisation d’un diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle, il est nécessaire de réduire la contrainte maximale de compression par ce facteur. Cela permet de moyenner la distribution des contraintes dans la zone comprimée de telle sorte que la résistance en compression obtenue soit inférieure ou égale à la résistance en compression calculée à l’aide d’un diagramme contrainte-déformation avec un palier plastique décroissant. 

Φ_c est le facteur de réduction de résistance pour le béton. La valeur par défaut est définie conformément à l’ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

f'_c est la résistance du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

Ferraillage

Un diagramme contrainte-déformation parfaitement élasto-plastique, avec une limite d’élasticité définie, est considéré pour le ferraillage non précontraint. Voir ACI 319-19 Cl. 20.2.1. La définition de ce diagramme nécessite uniquement de connaître les propriétés de base du ferraillage : la résistance et le module d’élasticité.

Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut également être défini par l’utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de prendre en compte l’effet de raidissement en traction. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

où :

Φ_s est le facteur de réduction de résistance pour le ferraillage. La valeur par défaut est définie conformément à l’ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y est la limite d’élasticité du ferraillage

E_s est le module d’élasticité du ferraillage

La valeur de 10 % est retenue comme déformation limite à laquelle le calcul est arrêté. Cette valeur est considérée comme sûre sur la base de l’ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Le raidissement en traction (Fig. 5.1.3)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d’entrée de la barre d’armature nue afin de représenter la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux codes de calcul modernes. Les modèles de calcul n'utilisant que les propriétés standard des matériaux, le format des coefficients partiels de sécurité prescrit par les codes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges d'entrée sont pondérées et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites à l'aide des coefficients de réduction de résistance respectifs, exactement comme dans une analyse conventionnelle du béton.

Les valeurs des coefficients de réduction de résistance sont prescrites dans l'ACI 318-19, chapitre 21, et pour les ancrages dans l'ACI 318-19, chapitre 17, ainsi que dans l'AISC 360-16, chapitres D, E, F, G. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Les coefficients de charge pour les combinaisons de résistance doivent être définis conformément à l'ACI 318-19, tableau 5.3.1.

Sauf indication contraire au chapitre 34, les combinaisons de charges à l'état limite de service ne sont pas définies dans l'ACI 318-19. Il est recommandé d'utiliser les règles de combinaison basées sur l'annexe C de l'ASCE/SEI 7-16. Pour tous les modèles, les coefficients de charge sont déjà prédéfinis.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.3\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Les différentes vérifications requises par l'ACI 318-19 sont évaluées à partir des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications portent sur la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Résistance - Béton

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale équivalente maximale f_c,eq (également σ_c,eq dans le texte précédent) obtenue par l'analyse par éléments finis et la valeur limite f'_c,lim.

La contrainte principale équivalente exprime la contrainte uniaxiale équivalente pour un état de contraintes triaxial général.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

La valeur de f_c,eq peut donc être comparée directement aux limites de résistance uniaxiales. Cette expression découle de la mise en œuvre de la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb, en supposant de manière conservatoire un angle de frottement interne φ = 0°.

Résistance - Ferraillage

La résistance du ferraillage est évaluée en traction comme en compression, comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au droit des fissures f_s et la valeur limite spécifiée f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Résistance - Ancrages

Les ancrages sont vérifiés vis-à-vis des contraintes normales de la même manière que le ferraillage, la valeur limite f_y,lim étant déterminée. 

Afin de faciliter la lecture du texte qui suit, nous répartissons d'abord les ancrages en trois groupes du point de vue de la vérification normative selon l'ACI ou l'AISC.

Groupe 1

• Types d'ancrage

  • Plaque scellée dans le béton (cast-in)
  • Platine de base - Hauteur de calage = direct 
  • Platine de base - Hauteur de calage = joint de mortier - épaisseur de mortier inférieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
  • Ancrage isolé avec une longueur libre inférieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (ACI / AISC)

  • Traction/compression

    • Tous les types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2  
    • Tous les types d'ancrage en compression – AISC 360-16 chap. E
  • Cisaillement sans bras de levier

    • Matériau du boulon – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)
    • Goujons à tête – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a)
    • Ferraillage – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)
  • Interaction de la traction et du cisaillement - ACI 318-19 chap. 17.8

Groupe 2

• Types d'ancrage

  • Platine de base - Hauteur de calage = joint de mortier - épaisseur de mortier supérieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (ACI / AISC)

  • Traction/compression

    • Tous les types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2  
    • Tous les types d'ancrage en compression – AISC 360-16 chap. E
  • Cisaillement avec bras de levier

    • Matériau du boulon – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b) + chap. 17.7.1.2.1.
    • Goujons à tête – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a) + chap. 17.7.1.2.1.
    • Ferraillage – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b) + chap. 17.7.1.2.1.
  • Interaction de la traction et du cisaillement - ACI 318-19 chap. 17.8

Groupe 3

• Types d'ancrage

  • Platine de base - Hauteur de calage = vide
  • Ancrage isolé avec une longueur libre supérieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (ACI / AISC)

  • Traction/compression (avec flambement)

    • Tous les types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2
    • Tous les types d'ancrage en compression – AISC 360-16 chap. E3
  • Flexion

    • Pour tous les types d'ancrage – AISC 360-16 chap. F11
  • Cisaillement

    • Pour tous les types d'ancrage – AISC 360-16 chap. G
  • Interaction de l'effort axial et de la flexion

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Résistance en traction de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

où :

• ϕ_a,t  – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – section résistante en traction (réduite par le filetage)
• f_uta – résistance à la traction spécifiée de l'acier de l'ancrage, qui ne doit pas être supérieure à 1,9 f_ya ni à 860 MPa

Résistance au cisaillement de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a)

La résistance de l'acier au cisaillement pour les goujons à tête est déterminée comme suit :

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

où :
ϕ_a,v – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
A_se,V – section résistante en traction (réduite par le filetage)
f_uta – résistance à la traction spécifiée de l'acier de l'ancrage, qui ne doit pas être supérieure à 1,9 f_ya ni à 860 MPa

Résistance au cisaillement de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)

La résistance de l'acier au cisaillement pour les ancrages en matériau de boulon et en ferraillage est déterminée comme suit :

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

où :

• ϕ_a,v  – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – section résistante en traction (réduite par le filetage)
• f_uta – résistance à la traction spécifiée de l'acier de l'ancrage, qui ne doit pas être supérieure à 1,9 f_ya ni à 860 MPa

Résistance au cisaillement d'un ancrage relié à une base avec mortier - ACI 318-19 chap. 17.7.1.2.1

Si les ancrages sont utilisés avec des bourrelets de mortier de calage (Groupe 2), la résistance de calcul déterminée conformément à 17.7.1.2 doit être multipliée par 0,80.

Interaction de la traction et du cisaillement selon ACI 318-19 chap. 17.8

Il est permis de négliger l'interaction entre la traction et le cisaillement si (a) ou (b) est satisfait.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Si N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pour la résistance déterminante en traction et V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pour la résistance déterminante au cisaillement, l'équation (17.8.3) doit alors être satisfaite.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Résistance en compression de l'ancrage selon AISC 360-16 chap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

où :

• ϕ_a,t  – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en compression selon AISC 360-16 chap. E1
  
• (a) Lorsque : $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  ou     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Lorsque : $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  ou     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – aire de la section brute de l'élément
• E – module d'élasticité de l'acier
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - contrainte critique élastique de flambement
• F_y – limite d'élasticité minimale spécifiée du type d'acier utilisé
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – rayon de giration
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment d'inertie du boulon 

Résistance en flexion de l'ancrage selon AISC 360-16 chap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

où :

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – module de flexion plastique du boulon
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – module de flexion élastique du boulon

Résistance au cisaillement de l'ancrage selon AISC 360-16 chap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

où :

• A_V = 0,844As – l'aire de cisaillement
• A_s – l'aire du boulon réduite par le filetage

Écrasement du béton à l'interface ancrage-béton

La résistance au cisaillement de l'ancrage est également limitée du point de vue de l'écrasement du béton à l'interface ancrage-béton. Les valeurs limites et la méthode permettant de les déterminer sont décrites en détail dans l'article - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Lorsque l'effort de contact atteint cette limite, le critère d'arrêt est déclenché et l'analyse est interrompue avant que la résistance ne soit dépassée.​ 

Vérification à l'arrachement des ancrages à tête (rondelles et goujons à tête)

Pour les ancrages à tête, un critère d'arrêt supplémentaire est mis en œuvre afin de vérifier la pression d'appui sur le béton (écrasement) au-dessus de la tête de l'ancrage - arrachement. Au cours de l'analyse, l'effort de compression transmis par le contact entre la tête et le béton est surveillé et comparé à la valeur limite donnée par l'ACI 318-19, article 17.6.3.2.2a (rupture par arrachement des fixations à tête).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

où :

• $\Phi$ est le facteur de réduction de résistance - Tableau 17.5.3(c)
• A_brg est l'aire d'appui nette de la tête du goujon, du boulon d'ancrage ou de la barre nervurée à tête (sans l'aire de la tige). 
• f'_c est la résistance à la compression spécifiée du béton
• $\Psi_{c,p}$ est le facteur de fissuration pour l'arrachement selon 17.6.3.3 ; il est toujours pris égal à 1,0, c'est-à-dire la valeur correspondant au béton fissuré. Ceci est cohérent avec l'approche CSFM utilisée dans Detail, où la résistance à la traction du béton est négligée et où le béton est supposé fissuré en traction.

Lorsque l'effort de contact atteint cette limite normative, le critère d'arrêt est déclenché et l'analyse est interrompue avant que la résistance à l'arrachement ne soit dépassée.​ 

Ancrage -  Contrainte d'adhérence

La contrainte de cisaillement d'adhérence est évaluée indépendamment comme le rapport entre la contrainte d'adhérence τ_b calculée par l'analyse par éléments finis et la résistance d'adhérence f_bu.

Bien que la résistance d'adhérence ne soit pas définie explicitement dans l'ACI 318-19, le calcul de la longueur de développement figure à la section 25.4.2. Cependant, la résistance d'adhérence étant la donnée de base pour déterminer la longueur de développement (voir R25.4.1.1 et ACI Committee 408 1966), elle peut être calculée comme suit :

Supposons qu'une barre d'armature soit ancrée dans un bloc de béton sur une longueur égale ou supérieure à la longueur de développement l_d ; l'arrachement de la barre conduira alors à la rupture de l'armature et non à l'arrachement du béton. Ceci peut s'écrire avec la formule suivante.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

où :

d_b est le diamètre de la barre d'armature, l_d est la longueur de développement, f_bu est la résistance d'adhérence, f_y est la limite d'élasticité du ferraillage et A_s est l'aire de la barre d'armature.

De ce qui précède, la formule de calcul de la résistance d'adhérence se déduit aisément :

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La longueur de développement l_d est ensuite déterminée selon le Tableau 25.4.2.3 de l'ACI 318-19 comme suit :

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

où :

C = 25 (2,1 en unités métriques) pour les barres no 6 et inférieures et les fils nervurés, C = 20 (1,7 en unités métriques) pour les barres no 7 et supérieures, λ = 1,0 pour le béton de masse volumique normale, ψ_t, ψ_e, ψ_g sont déterminés selon le Tableau 25.4.2.3 de l'ACI 318-19. 

Seul le ferraillage non revêtu ou revêtu de zinc (galvanisé) est pris en charge, d'où ψ_e = 1,0. ψ_g est déterminé automatiquement à partir de la nuance du ferraillage, et ψ_t est déduit automatiquement de la position du ferraillage dans le modèle et du sens de bétonnage, qui peut être défini dans l'application pour chaque élément du projet comme suit.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.1\qquad Direction of concreting}}}$$

Ces vérifications sont effectuées par rapport aux valeurs limites appropriées pour les parties respectives de la structure (c'est-à-dire que, bien qu'il n'y ait qu'une seule nuance pour le béton et pour le ferraillage, les diagrammes contrainte-déformation finaux diffèrent dans chaque partie de la structure en raison des effets de raidissement en traction et d'adoucissement en compression).

Ancrage -  Effort total

Effort total F_tot et effort limite F_lim

L'effort total F_tot est un résultat de l'analyse par éléments finis et peut être défini de deux manières.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

où A_s est l'aire de la barre d'armature et f_s est la contrainte dans la barre.

Ou comme la somme de l' effort d'ancrage F_a et de l' effort d'adhérence F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

où F_a est l'effort réel dans le ressort d'ancrage et F_bond est l'effort d'adhérence, qui peut être obtenu en intégrant la contrainte d'adhérence τ_b sur la longueur de la barre d'armature l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s est le périmètre de la barre d'armature.

L'effort limite F_lim est l'effort maximal dans l'élément de la barre d'armature, compte tenu de la résistance de la barre et également des conditions d'ancrage (adhérence entre le béton et le ferraillage, crochets d'ancrage, boucles, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

où C_s est le périmètre de la barre d'armature et l est la longueur entre l'origine de la barre et le point considéré.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.2\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

où F_lim,add est l'effort supplémentaire calculé à partir de la valeur de l'angle entre les éléments voisins. F_lim,2 doit toujours rester inférieur à F_u.

Les types d'ancrage disponibles dans la CSFM comprennent la barre droite (c'est-à-dire sans réduction de l'extrémité d'ancrage), le crochet à 90 degrés, le crochet à 180 degrés, l'adhérence parfaite et la barre continue. Tous ces types, ainsi que les coefficients d'ancrage β correspondants, sont présentés à la Fig. 5.3.3 pour le ferraillage longitudinal. Les valeurs des coefficients d'ancrage retenues sont déduites de la comparaison de l'équation de la section 25.4.3.1 de l'ACI 318-19 et des équations de la section 25.4.2.3 de l'ACI 318-19. Il convient de noter que, malgré les différentes options disponibles, la CSFM distingue trois types d'extrémités d'ancrage : (i) aucune réduction de la longueur d'ancrage, (ii) une réduction de 30 % de la longueur d'ancrage dans le cas d'un ancrage normalisé, et (iii) l'adhérence parfaite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.3\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Le coefficient d'ancrage pour les étriers est toujours β = 1,0.

Afin de respecter l'ACI, le ressort d'ancrage doit être utilisé dans le calcul ; le ressort d'ancrage étant modifié par le coefficient β, l'utilisateur doit utiliser l'un des types d'ancrage disponibles lors de la définition des conditions de début et de fin du ferraillage. 

Béton - Résistance

Le modèle de béton implémenté pour les calculs de résistance dans le 3D CSFM est basé sur les hypothèses d'équilibre et de compatibilité des déformations du calcul en résistance de l'AASHTO LRFD. Conformément à l'article 5.6.2.1 de l'AASHTO LRFD (2024), la résistance à la traction du béton est négligée.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

L'implémentation du 3D CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte maximale, elle considère un palier plastique avec ε_c0 à une valeur maximale de 5 %, alors que l'article 5.6.2.1 de l'AASHTO LRFD (2024) suppose une déformation ultime inférieure à 0,3 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures qui atteignent la ruine en compression. Toutefois, la résistance est correctement prédite lorsque l'augmentation de la fragilité du béton avec sa résistance est prise en compte au moyen du coefficient de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le Model Code 2010 de la fib comme suit :

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α₁ est le coefficient de réduction de la résistance en compression du béton défini à l'article 5.6.2.2 de l'AASHTO LRFD (2024). Lors de l'utilisation d'un diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle , il est nécessaire de réduire la contrainte de compression maximale par ce coefficient. Cela moyenne la distribution des contraintes dans la zone comprimée de telle sorte que la résistance en compression obtenue soit inférieure ou égale à la résistance en compression calculée à l'aide d'un diagramme contrainte-déformation avec un palier plastique décroissant.

Φ_c est le coefficient de réduction de résistance pour le béton. La valeur par défaut est définie conformément à l'article 5.5.4.2 de l'AASHTO LRFD (2024).

f'_c est la résistance du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

Ferraillage

Un diagramme contrainte-déformation élasto-plastique parfait, avec une limite d'élasticité définie, est considéré pour le ferraillage non précontraint. Voir l'article 5.4.3 de l'AASHTO LRFD (2024). La définition de ce diagramme nécessite uniquement de connaître les propriétés de base du ferraillage : la résistance et le module d'élasticité.

Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut également être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de prendre en compte l'effet de raidissement en traction. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

où :

Φ_s est le coefficient de réduction de résistance pour le ferraillage. La valeur par défaut est définie conformément à l'article 5.5.4.2 de l'AASHTO LRFD (2024).

f_y est la limite d'élasticité du ferraillage

E_s est le module d'élasticité du ferraillage

La valeur de 10 % est retenue comme déformation limite à laquelle le calcul est arrêté. Elle est considérée comme sûre sur la base de l'article 7 de l'ASTM A955/A955M-20c.

Le raidissement en traction (Fig. 6.1.3)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de la barre d'armature nue afin de saisir la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux normes de calcul modernes. Les modèles de calcul n'utilisent que les propriétés standard des matériaux. Le format des coefficients partiels de sécurité prescrit par les normes de calcul peut donc être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges d'entrée sont pondérées et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites à l'aide des coefficients de réduction de résistance correspondants, exactement comme dans l'analyse conventionnelle du béton.

Les valeurs des coefficients de réduction de résistance sont prescrites dans l'AASHTO LRFD (2024), article 5.5.4, et, pour les ancrages, dans l'ACI 318-19, chapitre 17, et l'AASHTO LRFD (2024), article 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Les coefficients de charge et les combinaisons de charges doivent être définis conformément aux AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), article 3.4.1 et tableaux 3.4.1-1 à 3.4.1-6. L'AASHTO LRFD spécifie explicitement les combinaisons de charges à l'état limite de résistance (Strength I à Strength V), y compris les coefficients de charge correspondants pour chaque cas.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.2\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Les différentes vérifications requises par l'AASHTO sont évaluées à partir des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications portent sur la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Résistance - Béton

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale équivalente maximale f_c,eq (notée aussi σ_c,eq dans le texte précédent), obtenue par l'analyse par éléments finis, et la valeur limite f'_c,lim.

La contrainte principale équivalente exprime la contrainte uniaxiale équivalente pour un état de contrainte triaxial général.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

La valeur f_c,eq peut donc être comparée directement aux limites de résistance uniaxiale. Cette expression découle de la mise en œuvre de la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb, en supposant de manière conservative un angle de frottement interne φ = 0°.

Résistance - Ferraillage

La résistance du ferraillage est évaluée en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au droit des fissures f_s et la valeur limite spécifiée f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Résistance - Ancrages

Les ancrages sont vérifiés vis-à-vis des contraintes normales de manière similaire au ferraillage, la valeur limite f_y,lim étant déterminée. 

Afin de faciliter la lecture de la suite du texte, nous répartissons d'abord les ancrages en trois groupes du point de vue de la vérification normative selon l'AASHTO ou l'ACI.

Groupe 1

• Types d'ancrage

  • Platine scellée dans le béton
  • Platine de base - Distance de décalage = directe 
  • Platine de base - Distance de décalage = joint de mortier - épaisseur de mortier inférieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
  • Ancrage isolé avec longueur libre inférieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (AASHTO / ACI)

  • Traction/compression

    • Tous types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2  
    • Tous types d'ancrage en compression – AASHTO article 6.9.2
  • Cisaillement sans bras de levier

    • Matériau du boulon – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)
    • Goujons à tête – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a)
    • Ferraillage – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)
  • Interaction de la traction et du cisaillement - ACI 318-19 chap. 17.8

Groupe 2

• Types d'ancrage

  • Platine de base - Distance de décalage = joint de mortier - épaisseur de mortier supérieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (AASHTO / ACI)

  • Traction/compression

    • Tous types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2  
    • Tous types d'ancrage en compression – AASHTO article 6.9.2
  • Cisaillement avec bras de levier

    • Matériau du boulon – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b) + chap. 17.7.1.2.1.
    • Goujons à tête – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a) + chap. 17.7.1.2.1.
    • Ferraillage – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b) + chap. 17.7.1.2.1.
  • Interaction de la traction et du cisaillement - ACI 318-19 chap. 17.8

Groupe 3

• Types d'ancrage

  • Platine de base - Distance de décalage = vide
  • Ancrage isolé avec longueur libre supérieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (AASHTO / ACI)

  • Traction/compression (avec flambement)

    • Tous types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2
    • Tous types d'ancrage en compression – AASHTO LRFD article 6.9.2
  • Flexion

    • Pour tous types d'ancrage – AAHTO LRFD article 6.12.2.2.7
  • Cisaillement

    • Pour tous types d'ancrage – AASHTO LRFD article 6.10.9
  • Interaction de l'effort axial et de la flexion

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Résistance en traction de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

où :

• ϕ_a,t  – coefficient de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – section résistante en traction (réduite par le filetage)
• f_uta – résistance à la traction spécifiée de l'acier de l'ancrage, qui ne doit pas être supérieure à 1,9 f_ya ni à 860 MPa

Résistance au cisaillement de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a)

La résistance de l'acier au cisaillement pour les goujons à tête est déterminée comme suit :

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

où :
ϕ_a,v – coefficient de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
A_se,V – section résistante en traction (réduite par le filetage)
f_uta – résistance à la traction spécifiée de l'acier de l'ancrage, qui ne doit pas être supérieure à 1,9 f_ya ni à 860 MPa

Résistance au cisaillement de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)

La résistance de l'acier au cisaillement pour les ancrages constitués d'un matériau de boulon et de ferraillage est déterminée comme suit :

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

où :

• ϕ_a,v  – coefficient de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – section résistante en traction (réduite par le filetage)
• f_uta – résistance à la traction spécifiée de l'acier de l'ancrage, qui ne doit pas être supérieure à 1,9 f_ya ni à 860 MPa

Résistance au cisaillement d'un ancrage relié à une base avec mortier - ACI 318-19 chap. 17.7.1.2.1

Si les ancrages sont utilisés avec des plots de calage en mortier de scellement (Groupe 2), la résistance de calcul déterminée conformément à 17.7.1.2 doit être multipliée par 0,80.

Interaction de la traction et du cisaillement selon ACI 318-19 chap. 17.8

Il est permis de négliger l'interaction entre la traction et le cisaillement si (a) ou (b) est satisfait.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Si N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pour la résistance déterminante en traction et V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pour la résistance déterminante au cisaillement, l'équation (17.8.3) doit alors être satisfaite.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Résistance en compression de l'ancrage selon AASHTO LRFD Article 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

où :

• ϕ_a,c  – coefficient de réduction de résistance pour les ancrages en compression selon AASHTO LRFD article 6.5.4.2

• Si $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  alors : $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   Sinon : $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – aire de la section brute de l'élément (in²)
• F_y – limite d'élasticité minimale spécifiée de l'acier utilisé (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - résistance critique élastique au flambement (kip)
• E – module d'élasticité de l'acier (ksi)
• K = 2 – coefficient de longueur efficace selon l'Article 4.6.2.5 
• l – longueur non contreventée dans le plan de flambement (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – rayon de giration
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment d'inertie du boulon 

Résistance en flexion de l'ancrage selon AASHTO LRFD Article 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$