ConcreteKnowledge baseRCSEN (Eurocode)Beam

Interne krachten voor 2D-doorsneden

Dit artikel is ook beschikbaar in

Invoer van interne krachten

De invoer van interne krachten van 2D-staven is afhankelijk van het type 2D-element:

$Schaal-plaat - membraankrachten (n x, n y en n xy), buigende momenten (m x, m y en m xy) en afschuifkrachten (v x en v y) kunnen worden ingevoerd$
$Schaal-wand - membraankrachten (n x, n y en n xy), buigende momenten (m x, m y en m xy) en afschuifkrachten (v x en v y) kunnen worden ingevoerd$
$Plaat - alleen buigende momenten (m x, m y en m xy) en afschuifkrachten (v x en v y) kunnen worden ingevoerd$
$Wand - alleen membraankrachten (n x, n y en n xy) kunnen worden ingevoerd$
$Gedrongen ligger - alleen membraankrachten (n x, n y en n xy) kunnen worden ingevoerd$

	Beschrijving
m_x(y)	Buigend moment in de richting van de x (y)-as. Een positieve waarde veroorzaakt trek aan het onderoppervlak van een 2D-element.
m_xy(yx)	Torsiemoment om de y (x)-as, werkend op de rand evenwijdig aan de x (y)-as. Een positieve waarde veroorzaakt afschuifspanning (trek) aan het onderoppervlak van een 2D-element. Omdat in elk punt van het 2D-element de stelling van gelijkheid van horizontale afschuifspanningen geldt, zijn de torsiemomenten m_xy = m_yx ook gelijk in elk punt van het 2D-element. Daarom wordt in het programma alleen de waarde van m_xyingevoerd.
n_x(y)	Normaalkracht in de richting van de x (y)-as. Een positieve waarde werkt in de richting van de x(y)-as en veroorzaakt trek in de doorsnede.
n_xy(yx)	Normaalkracht werkend in het middenvlak in de richting van de y(x)-as op de rand evenwijdig aan de x(y)-as. Een positieve waarde werkt in de richting van de x(y)-as. Omdat in elk punt van het 2D-element de stelling van gelijkheid van horizontale afschuifspanningen geldt, zijn de normaalkrachten n_xy = n_yx ook gelijk in elk punt van het 2D-element. Daarom wordt in het programma alleen de waarde van n_xyingevoerd.
v_x(y)	Afschuifkracht loodrecht op het middenvlak, werkend op de rand evenwijdig aan de x(y)-as. Een positieve waarde werkt in de richting van de z-as.

\textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}

De volgende typen combinaties moeten worden gedefinieerd voor de toetsingen:

Uiterste grenstoestand/Buitengewoon – de interne krachtcomponenten die voor dit type combinaties zijn gedefinieerd, worden gebruikt voor de UGT-toetsingen van 2D-elementen:
- $Capaciteit N-M-M$
- $Respons N-M-M$
- $Interactie$

en de toetsing van detailleringsregels

$Karakteristiek - de interne krachtcomponenten die voor dit type combinatie zijn gedefinieerd, worden gebruikt voor de toetsing van de spanningsbegrenzing (BGT)$
$Quasi-blijvend - de interne krachtcomponenten die voor dit type combinatie zijn gedefinieerd, worden gebruikt voor de toetsing van de scheurwijdte (BGT)$

Opmerking:

De interne krachtcomponenten v_x en v_y hoeven niet te worden ingevoerd voor de combinatietypen Karakteristiek en Quasi-blijvend, omdat deze waarden niet in de toetsingen worden gebruikt.

Bepalen van de toetsingsrichting

Voor een juiste toetsing van het 2D-element moet de toetsingsrichting worden bepaald. De toetsingsrichting kan voor elk combinatietype afzonderlijk worden ingevoerd met de volgende twee methoden:

Door de gebruiker gedefinieerde richting – de gebruiker definieert de toetsingsrichting als een hoek ten opzichte van de x-as in het vlak van het 2D-element. Deze optie is standaard ingesteld voor het combinatietype UGT en de vooraf ingestelde waarde van de hoek is 0 graden. De toetsingen worden uitgevoerd in de volgende richtingen:
- $Gedefinieerde richting$
- $Richting loodrecht op de gedefinieerde richting$
- $Richting van de drukdiagonaal aan het bovenoppervlak$
- $Richting van de drukdiagonaal aan het onderoppervlak$
Richting van de hoofdspanningen – de toetsingsrichting wordt automatisch berekend als de richting van de hoofdspanningen aan het boven- en onderoppervlak van het 2D-element. Deze optie is standaard ingesteld voor de combinatietypen Karakteristiek en Quasi-blijvend. De toetsingen worden uitgevoerd in de volgende richtingen:
- $Richting van de hoofdspanningen aan het onderoppervlak$
- $Richting loodrecht op de richting van de hoofdspanningen aan het onderoppervlak$
- $Richting van de drukdiagonaal aan het onderoppervlak$
- $Richting van de hoofdspanningen aan het bovenoppervlak$
- $Richting loodrecht op de richting van de hoofdspanningen aan het bovenoppervlak$
- $Richting van de drukdiagonaal aan het bovenoppervlak$

\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}

Analyse van de toetsingsrichting voor de uiterste grenstoestand

Analyse 1

Voor een 2D-element dat alleen belast wordt door buigende momenten (m x = 20 kNm/m, m y = 10 kNm/m, m xy = 5 kNm/m ), waarbij de hoek van de wapening en de hoek van de toetsingsrichting voor de uiterste grenstoestand zijn gewijzigd, worden de resultaten weergegeven in de volgende grafiek:

Uit de analyse volgt:

$Als de wapeningsstaven loodrecht op elkaar staan, zijn de toetsingsresultaten voor verschillende hoeken van de toetsingsrichting vergelijkbaar. Ze zijn niet afhankelijk van de gedefinieerde wapeningshoek en de maximale waarde van de toetsing wordt gevonden voor hoeken van 0, 45 en 90 graden. Deze toetsing kan dus worden uitgevoerd voor een vooraf ingestelde toetsingshoek van 0 graden.$
$Als de wapeningsstaven niet loodrecht op elkaar staan, verschillen de toetsingsresultaten aanzienlijk en wordt de maximale toetsingswaarde ongeveer bereikt in de richting die overeenkomt met de richting van de gemiddelde wapening. Het wordt daarom aanbevolen om de vooraf ingestelde toetsingsrichting te wijzigen of om toetsingen in meer richtingen uit te voeren wanneer de wapeningsstaven niet loodrecht op elkaar staan.$

Analyse 2

Voor orthogonale wapening zijn de waarden van de buigende momenten en de hoek gewijzigd voor de UGT-normtoetsing. De resultaten worden weergegeven in de grafiek:

Uit de analyse volgt dat ook voor verschillende waarden van de buigende momenten de maximale waarde van de toetsing van de uiterste grenstoestand wordt gevonden voor toetsingsrichtingen van 0, 45 en 90 graden. De toetsing kan dus worden uitgevoerd voor een vooraf ingestelde toetsingshoek van 0 graden. Een vergelijkbare conclusie geldt voor 2D-elementen die alleen door normaalkracht worden belast of door normaalkracht in combinatie met buigende momenten.

Herberekening van interne krachten naar toetsingsrichtingen

De gedefinieerde interne krachten worden herberekend naar de toetsingsrichtingen met de transformatieformule van Baumann, beschreven in Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. De berekeningsprocedure is als volgt:

$Berekening van normaalkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element$
$Berekening van hoofdkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element$
$Berekening van herberekende krachten voor elk oppervlak naar de gedefinieerde toetsingsrichting$
$Berekening van herberekende krachten voor elk oppervlak naar het midden$
$Herberekening van afschuifkrachten naar de gedefinieerde toetsingsrichting$

Berekening van normaalkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element

De gedefinieerde interne krachten worden naar beide oppervlakken herberekend met de volgende formules:

{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}

{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}

~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}

De hefboomsarm van de interne krachten (z) moet worden bepaald voor de herberekening van de interne krachten. De hefboomsarm van de interne krachten wordt bepaald met de methode van de grensrek bij belasting door het hoofdbuigmoment in de richtingen van de hoofdmomenten m 1 aan beide oppervlakken. Als de hoofdmomenten gelijk zijn aan nul of als er geen evenwicht wordt gevonden in de richting van de hoofdmomenten, wordt de hefboomsarm van de interne krachten bepaald met de formule:

z=x\cdot d

	Beschrijving
x	De coëfficiënt voor de berekening van de hefboomsarm van de interne krachten wordt gedefinieerd in de instellingen van de nationale norm.
d	De effectieve hoogte van de doorsnede, afzonderlijk berekend voor het boven- en het onderoppervlak van het 2D-element. Voor het onderoppervlak is dit de afstand van het zwaartepunt van de wapeningsstaven aan het onderoppervlak tot de bovenrand van de doorsnede. Voor het bovenoppervlak is dit de afstand van het zwaartepunt van de wapeningsstaven aan het bovenoppervlak tot de onderrand van de doorsnede.

Opmerking:

De hefboomsarm van de interne krachten kan worden geverifieerd in de Response N-M-M-toetsing. Er hoeven alleen buigende momenten te worden ingevoerd en de toetsingsrichting moet overeenkomen met de richting van het hoofdmoment.

In het volgende diagram wordt een verificatie van de hefboomsarm van de interne krachten weergegeven voor de buigende momenten m x = 20 kNm/m, m y = 10 kNm/m, m xy = 5 kNm/m. De richting van de hoofdmomenten is berekend als α m1 = 22,5 graden en de respons van de doorsnede is berekend om de hefboomsarm van de interne krachten te bepalen.

Opmerking:

De hefboomsarmen van de interne krachten voor de herberekening van de interne krachten in de toetsingsrichting en de hefboomsarmen van de interne krachten voor de toetsingen kunnen verschillen, omdat de hefboomsarm voor de herberekening wordt bepaald op een doorsnede die door hoofdmomenten in de richting van de hoofdmomenten wordt belast, en de hefboomsarm voor de toetsing wordt bepaald op een doorsnede die door buigende momenten en normaalkrachten in de toetsingsrichting wordt belast. De waarden van de hefboomsarmen van de interne krachten voor alle combinatietypen worden weergegeven in de tabel Recalculated forces in de navigator Internal forces in section.

Berekening van interne krachten aan beide oppervlakken

De hoofdkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element worden berekend met de formule:

{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}

{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}

En de richting van de hoofdkrachten wordt berekend met de formule:

{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)

Opmerking:

De hoofdkrachten en de richting van de hoofdkrachten voor beide oppervlakken van het 2D-element worden voor alle combinatietypen weergegeven in de tabel Recalculated forces in de navigator Internal forces in section.

Berekening van herberekende interne krachten aan de oppervlakken naar de gedefinieerde toetsingsrichting

De herberekening van de hoofdkrachten naar de toetsingsrichtingen wordt voor elk oppervlak afzonderlijk uitgevoerd met de transformatieformule van Baumann:

{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}

	Beschrijving
i, j, k, i	Index van de toetsingsrichting (richting van de herberekening van interne krachten) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Bijvoorbeeld voor het onderoppervlak en de berekening van de kracht in de j-richting (hoek α₂) is de formule: ${{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}$
${{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}$	De hoek tussen de gedefinieerde toetsingsrichting of de richting van de drukdiagonaal en de richting van de hoofdkrachten aan het onder- of bovenoppervlak van het 2D-element.Gedefinieerde toetsingsrichting α_{1, low(upp)} = α₁ – α_low(upp)Richting loodrecht op de gedefinieerde richting α_{2, low(upp)} = α₂ – α_low(upp)De toetsingsrichting voor de drukdiagonaal α_{3, low(upp)} = α₃ – α_low(upp)
α₁	Gedefinieerde toetsingsrichting voor de betreffende combinatie
α₂	De richting loodrecht op de gedefinieerde richting, α₂= α₁ + 90 graden
α₃	Toetsingsrichting in de richting van de drukdiagonaal in het vlak van het 2D-element. Deze richting wordt geoptimaliseerd om de kracht in deze richting te minimaliseren.

Opmerking:

Als de toetsingsrichting gelijk is aan de richting van de hoofdspanningen, zijn de krachten in de drukdiagonaal nul. Deze richting wordt dan verwaarloosd in de toetsingDe richting van de drukdiagonaal voor alle spanningstoestanden, behalve de hyperbolische spanningstoestand (n_1,low(upp) > 0 en n_1,low(upp) < 0), kan worden berekend met de formule: α₃ = 0,5(α₁ + α₂)De herberekende interne krachten voor beide oppervlakken van het 2D-element en alle toetsingsrichtingen, inclusief de richting van de drukdiagonaal, worden weergegeven in de tabel Recalculated forces

Transformatie van herberekende interne krachten naar het zwaartepunt van de doorsnede

Voor de toetsing van het 2D-element moeten de oppervlaktekrachten in een bepaalde richting worden herberekend naar het zwaartepunt van de doorsnede. Het resultaat is een normaalkracht n d,i en een buigend moment m d,I die in het zwaartepunt van de doorsnede van het 2D-element werken.

m d,i = n lower,i \cdotz s,low + n upper,i \cdotz s,upp

n d,i = n lower,i + n upper,i

	Beschrijving
n_lower,i	Herberekende oppervlaktekrachten aan het onderoppervlak in de i^e toetsingsrichting, waarbij n_lower,i = n_{surface,low,i}.
n_upper,i	Herberekende interne krachten aan het bovenoppervlak in de i^e toetsingsrichting, waarbij n_upper,i = n_{surface,upp,i}.
z_{s,low (upp)}	Afstand van het zwaartepunt van het gedrukte beton of het zwaartepunt van de wapening aan het onder- (boven)oppervlak, waarbij z = z_s,low+ z_s,upp

Opmerking:

Als de richtingen van de drukdiagonalen aan het onder- en bovenoppervlak verschillen, moeten voor de herberekening van de krachten naar het zwaartepunt virtuele krachten worden berekend aan het onderoppervlak in de richting van de drukdiagonaal aan het bovenoppervlak en omgekeerd.

\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}

Herberekening van afschuifkrachten naar de gedefinieerde toetsingsrichting

De afschuifkrachten worden herberekend naar de toetsingsrichting met de formule:

{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})

en de maximale afschuifkracht is:

{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}

en deze werkt in de richting

\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)

	Beschrijving
α_i	Toetsingshoek in de i^e richting

Opmerking:

Bij het toetsen van een 2D-element met relatief grote afschuifkrachten is het raadzaam het 2D-element te toetsen in de richting van de maximale afschuifkracht. Dit betekent dat de gedefinieerde toetsingsrichting overeenkomt met hoek β

Vergelijking van de herberekening van interne krachten met verschillende methoden

Herberekening van krachten volgens EN 1992-1-1

De methode die in EN 1992-1-1 wordt beschreven, wordt in diverse programma's en in de praktijk gebruikt om de rekenwaarden van interne krachten te berekenen. EN 1992-1-1 houdt alleen rekening met loodrechte wapeningsrichtingen. De berekening van de dimensionerende krachten onder invloed van het torsiemoment wordt beschreven in het volgende stroomschema, waarbij m y ³ m x . Een soortgelijk schema kan worden opgesteld voor momenten m y < m x

	Beschrijving
m_xd+,m_xd-	Dimensionerend buigend moment in de richting van de x-as voor het ontwerp en de toetsing van de wapening aan het onderoppervlak (-) of het bovenoppervlak (+)
m_yd+m_yd-	Dimensionerend buigend moment in de richting van de y-as voor het ontwerp en de toetsing van de wapening aan het onderoppervlak (-) of het bovenoppervlak (+)
m_cd+,m_cd-	Dimensionerend buigend moment in de gedrukte betondiagonaal aan het onderoppervlak (-) of het bovenoppervlak (+), dat door het beton moet worden opgenomen

De waarden van de herberekende dimensionerende krachten voor het type staaf = Plaat, berekend met de in de EN beschreven methode, worden weergegeven in de volgende tabel:

In IDEA StatiCa RCS worden de waarden van de momenten aan het boven- en onderoppervlak niet weergegeven, maar wel de waarden van de normaalkrachten aan beide oppervlakken en de waarden van de momenten herberekend naar het zwaartepunt van de doorsnede.

De momenten aan het onder- en bovenoppervlak kunnen worden berekend met de oppervlaktekrachten die in de numerieke uitvoer worden weergegeven, met de formule:

{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z

De waarden van de oppervlaktekrachten en de herberekende momenten worden weergegeven in de volgende tabellen:

De tabellen laten zien dat de momenten aan de plaatoppervlakken, berekend in IDEA Concrete en berekend volgens de in de EN beschreven methode, slechts aan één oppervlak overeenkomen. Dit verschil wordt veroorzaakt door een andere optimalisatie van de betondiagonaal. De methode die in IDEA StatiCa RCS wordt gebruikt, zoekt de hoek van de drukdiagonaal bij de minimale kracht in de diagonaal. De in de EN beschreven methode zoekt naar een minimale som van de negatieve krachten uit alle richtingen.

Vergelijking van de berekening van interne krachten met de programma's RFEM en SCIA Engineer

Om de resultaten van herberekende interne krachten in de programma's IDEA Concrete, RFEM en SCIA Engineer (SEN) te vergelijken, is een eenvoudig model van een plaat met afmetingen 6 m x 4 m en een dikte van 200 mm opgesteld. De plaat wordt met lijnopleggingen aan de randen ondersteund en belast met een gelijkmatig verdeelde belasting van 10 kN/m 2 .

Om de weergave te vereenvoudigen worden alleen de waarden van herberekende interne krachten in één langsdoorsnede weergegeven. De afstand van de doorsnede tot de plaatrand bedraagt 1,5 m. De in het programma RFEM berekende interne krachten zijn gebruikt als invoerwaarden voor IDEA Concrete.

De tabel toont een goede overeenstemming van de in de afzonderlijke programma's berekende krachten.

ConcreteKnowledge baseRCSEN (Eurocode)Beam

Interne krachten voor 2D-doorsneden

Dit artikel is ook beschikbaar in

Invoer van interne krachten

De invoer van interne krachten van 2D-staven is afhankelijk van het type 2D-element:

$Schaal-plaat - membraankrachten (n x, n y en n xy), buigende momenten (m x, m y en m xy) en afschuifkrachten (v x en v y) kunnen worden ingevoerd$
$Schaal-wand - membraankrachten (n x, n y en n xy), buigende momenten (m x, m y en m xy) en afschuifkrachten (v x en v y) kunnen worden ingevoerd$
$Plaat - alleen buigende momenten (m x, m y en m xy) en afschuifkrachten (v x en v y) kunnen worden ingevoerd$
$Wand - alleen membraankrachten (n x, n y en n xy) kunnen worden ingevoerd$
$Gedrongen ligger - alleen membraankrachten (n x, n y en n xy) kunnen worden ingevoerd$

	Beschrijving
m_x(y)	Buigend moment in de richting van de x (y)-as. Een positieve waarde veroorzaakt trek aan het onderoppervlak van een 2D-element.
m_xy(yx)	Torsiemoment om de y (x)-as, werkend op de rand evenwijdig aan de x (y)-as. Een positieve waarde veroorzaakt afschuifspanning (trek) aan het onderoppervlak van een 2D-element. Omdat in elk punt van het 2D-element de stelling van gelijkheid van horizontale afschuifspanningen geldt, zijn de torsiemomenten m_xy = m_yx ook gelijk in elk punt van het 2D-element. Daarom wordt in het programma alleen de waarde van m_xyingevoerd.
n_x(y)	Normaalkracht in de richting van de x (y)-as. Een positieve waarde werkt in de richting van de x(y)-as en veroorzaakt trek in de doorsnede.
n_xy(yx)	Normaalkracht werkend in het middenvlak in de richting van de y(x)-as op de rand evenwijdig aan de x(y)-as. Een positieve waarde werkt in de richting van de x(y)-as. Omdat in elk punt van het 2D-element de stelling van gelijkheid van horizontale afschuifspanningen geldt, zijn de normaalkrachten n_xy = n_yx ook gelijk in elk punt van het 2D-element. Daarom wordt in het programma alleen de waarde van n_xyingevoerd.
v_x(y)	Afschuifkracht loodrecht op het middenvlak, werkend op de rand evenwijdig aan de x(y)-as. Een positieve waarde werkt in de richting van de z-as.

\textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}

De volgende typen combinaties moeten worden gedefinieerd voor de toetsingen:

Uiterste grenstoestand/Buitengewoon – de interne krachtcomponenten die voor dit type combinaties zijn gedefinieerd, worden gebruikt voor de UGT-toetsingen van 2D-elementen:
- $Capaciteit N-M-M$
- $Respons N-M-M$
- $Interactie$

en de toetsing van detailleringsregels

$Karakteristiek - de interne krachtcomponenten die voor dit type combinatie zijn gedefinieerd, worden gebruikt voor de toetsing van de spanningsbegrenzing (BGT)$
$Quasi-blijvend - de interne krachtcomponenten die voor dit type combinatie zijn gedefinieerd, worden gebruikt voor de toetsing van de scheurwijdte (BGT)$

Opmerking:

De interne krachtcomponenten v_x en v_y hoeven niet te worden ingevoerd voor de combinatietypen Karakteristiek en Quasi-blijvend, omdat deze waarden niet in de toetsingen worden gebruikt.

Bepalen van de toetsingsrichting

Voor een juiste toetsing van het 2D-element moet de toetsingsrichting worden bepaald. De toetsingsrichting kan voor elk combinatietype afzonderlijk worden ingevoerd met de volgende twee methoden:

Door de gebruiker gedefinieerde richting – de gebruiker definieert de toetsingsrichting als een hoek ten opzichte van de x-as in het vlak van het 2D-element. Deze optie is standaard ingesteld voor het combinatietype UGT en de vooraf ingestelde waarde van de hoek is 0 graden. De toetsingen worden uitgevoerd in de volgende richtingen:
- $Gedefinieerde richting$
- $Richting loodrecht op de gedefinieerde richting$
- $Richting van de drukdiagonaal aan het bovenoppervlak$
- $Richting van de drukdiagonaal aan het onderoppervlak$
Richting van de hoofdspanningen – de toetsingsrichting wordt automatisch berekend als de richting van de hoofdspanningen aan het boven- en onderoppervlak van het 2D-element. Deze optie is standaard ingesteld voor de combinatietypen Karakteristiek en Quasi-blijvend. De toetsingen worden uitgevoerd in de volgende richtingen:
- $Richting van de hoofdspanningen aan het onderoppervlak$
- $Richting loodrecht op de richting van de hoofdspanningen aan het onderoppervlak$
- $Richting van de drukdiagonaal aan het onderoppervlak$
- $Richting van de hoofdspanningen aan het bovenoppervlak$
- $Richting loodrecht op de richting van de hoofdspanningen aan het bovenoppervlak$
- $Richting van de drukdiagonaal aan het bovenoppervlak$

\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}

Analyse van de toetsingsrichting voor de uiterste grenstoestand

Analyse 1

Voor een 2D-element dat alleen belast wordt door buigende momenten (m x = 20 kNm/m, m y = 10 kNm/m, m xy = 5 kNm/m ), waarbij de hoek van de wapening en de hoek van de toetsingsrichting voor de uiterste grenstoestand zijn gewijzigd, worden de resultaten weergegeven in de volgende grafiek:

Uit de analyse volgt:

$Als de wapeningsstaven loodrecht op elkaar staan, zijn de toetsingsresultaten voor verschillende hoeken van de toetsingsrichting vergelijkbaar. Ze zijn niet afhankelijk van de gedefinieerde wapeningshoek en de maximale waarde van de toetsing wordt gevonden voor hoeken van 0, 45 en 90 graden. Deze toetsing kan dus worden uitgevoerd voor een vooraf ingestelde toetsingshoek van 0 graden.$
$Als de wapeningsstaven niet loodrecht op elkaar staan, verschillen de toetsingsresultaten aanzienlijk en wordt de maximale toetsingswaarde ongeveer bereikt in de richting die overeenkomt met de richting van de gemiddelde wapening. Het wordt daarom aanbevolen om de vooraf ingestelde toetsingsrichting te wijzigen of om toetsingen in meer richtingen uit te voeren wanneer de wapeningsstaven niet loodrecht op elkaar staan.$

Analyse 2

Voor orthogonale wapening zijn de waarden van de buigende momenten en de hoek gewijzigd voor de UGT-normtoetsing. De resultaten worden weergegeven in de grafiek:

Uit de analyse volgt dat ook voor verschillende waarden van de buigende momenten de maximale waarde van de toetsing van de uiterste grenstoestand wordt gevonden voor toetsingsrichtingen van 0, 45 en 90 graden. De toetsing kan dus worden uitgevoerd voor een vooraf ingestelde toetsingshoek van 0 graden. Een vergelijkbare conclusie geldt voor 2D-elementen die alleen door normaalkracht worden belast of door normaalkracht in combinatie met buigende momenten.

Herberekening van interne krachten naar toetsingsrichtingen

De gedefinieerde interne krachten worden herberekend naar de toetsingsrichtingen met de transformatieformule van Baumann, beschreven in Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. De berekeningsprocedure is als volgt:

$Berekening van normaalkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element$
$Berekening van hoofdkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element$
$Berekening van herberekende krachten voor elk oppervlak naar de gedefinieerde toetsingsrichting$
$Berekening van herberekende krachten voor elk oppervlak naar het midden$
$Herberekening van afschuifkrachten naar de gedefinieerde toetsingsrichting$

Berekening van normaalkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element

De gedefinieerde interne krachten worden naar beide oppervlakken herberekend met de volgende formules:

{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}

{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}

~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}

De hefboomsarm van de interne krachten (z) moet worden bepaald voor de herberekening van de interne krachten. De hefboomsarm van de interne krachten wordt bepaald met de methode van de grensrek bij belasting door het hoofdbuigmoment in de richtingen van de hoofdmomenten m 1 aan beide oppervlakken. Als de hoofdmomenten gelijk zijn aan nul of als er geen evenwicht wordt gevonden in de richting van de hoofdmomenten, wordt de hefboomsarm van de interne krachten bepaald met de formule:

z=x\cdot d

	Beschrijving
x	De coëfficiënt voor de berekening van de hefboomsarm van de interne krachten wordt gedefinieerd in de instellingen van de nationale norm.
d	De effectieve hoogte van de doorsnede, afzonderlijk berekend voor het boven- en het onderoppervlak van het 2D-element. Voor het onderoppervlak is dit de afstand van het zwaartepunt van de wapeningsstaven aan het onderoppervlak tot de bovenrand van de doorsnede. Voor het bovenoppervlak is dit de afstand van het zwaartepunt van de wapeningsstaven aan het bovenoppervlak tot de onderrand van de doorsnede.

Opmerking:

In het volgende diagram wordt een verificatie van de hefboomsarm van de interne krachten weergegeven voor de buigende momenten m x = 20 kNm/m, m y = 10 kNm/m, m xy = 5 kNm/m. De richting van de hoofdmomenten is berekend als α m1 = 22,5 graden en de respons van de doorsnede is berekend om de hefboomsarm van de interne krachten te bepalen.

Opmerking:

Berekening van interne krachten aan beide oppervlakken

De hoofdkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element worden berekend met de formule:

{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}

{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}

En de richting van de hoofdkrachten wordt berekend met de formule:

{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)

Opmerking:

Berekening van herberekende interne krachten aan de oppervlakken naar de gedefinieerde toetsingsrichting

De herberekening van de hoofdkrachten naar de toetsingsrichtingen wordt voor elk oppervlak afzonderlijk uitgevoerd met de transformatieformule van Baumann:

{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}

	Beschrijving
i, j, k, i	Index van de toetsingsrichting (richting van de herberekening van interne krachten) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Bijvoorbeeld voor het onderoppervlak en de berekening van de kracht in de j-richting (hoek α₂) is de formule: ${{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}$
${{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}$	De hoek tussen de gedefinieerde toetsingsrichting of de richting van de drukdiagonaal en de richting van de hoofdkrachten aan het onder- of bovenoppervlak van het 2D-element.Gedefinieerde toetsingsrichting α_{1, low(upp)} = α₁ – α_low(upp)Richting loodrecht op de gedefinieerde richting α_{2, low(upp)} = α₂ – α_low(upp)De toetsingsrichting voor de drukdiagonaal α_{3, low(upp)} = α₃ – α_low(upp)
α₁	Gedefinieerde toetsingsrichting voor de betreffende combinatie
α₂	De richting loodrecht op de gedefinieerde richting, α₂= α₁ + 90 graden
α₃	Toetsingsrichting in de richting van de drukdiagonaal in het vlak van het 2D-element. Deze richting wordt geoptimaliseerd om de kracht in deze richting te minimaliseren.

Opmerking:

Transformatie van herberekende interne krachten naar het zwaartepunt van de doorsnede

Voor de toetsing van het 2D-element moeten de oppervlaktekrachten in een bepaalde richting worden herberekend naar het zwaartepunt van de doorsnede. Het resultaat is een normaalkracht n d,i en een buigend moment m d,I die in het zwaartepunt van de doorsnede van het 2D-element werken.

m d,i = n lower,i \cdotz s,low + n upper,i \cdotz s,upp

n d,i = n lower,i + n upper,i

	Beschrijving
n_lower,i	Herberekende oppervlaktekrachten aan het onderoppervlak in de i^e toetsingsrichting, waarbij n_lower,i = n_{surface,low,i}.
n_upper,i	Herberekende interne krachten aan het bovenoppervlak in de i^e toetsingsrichting, waarbij n_upper,i = n_{surface,upp,i}.
z_{s,low (upp)}	Afstand van het zwaartepunt van het gedrukte beton of het zwaartepunt van de wapening aan het onder- (boven)oppervlak, waarbij z = z_s,low+ z_s,upp

Opmerking:

\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}

Herberekening van afschuifkrachten naar de gedefinieerde toetsingsrichting

De afschuifkrachten worden herberekend naar de toetsingsrichting met de formule:

{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})

en de maximale afschuifkracht is:

{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}

en deze werkt in de richting

\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)

	Beschrijving
α_i	Toetsingshoek in de i^e richting

Opmerking:

Vergelijking van de herberekening van interne krachten met verschillende methoden

Herberekening van krachten volgens EN 1992-1-1

De methode die in EN 1992-1-1 wordt beschreven, wordt in diverse programma's en in de praktijk gebruikt om de rekenwaarden van interne krachten te berekenen. EN 1992-1-1 houdt alleen rekening met loodrechte wapeningsrichtingen. De berekening van de dimensionerende krachten onder invloed van het torsiemoment wordt beschreven in het volgende stroomschema, waarbij m y ³ m x . Een soortgelijk schema kan worden opgesteld voor momenten m y < m x

	Beschrijving
m_xd+,m_xd-	Dimensionerend buigend moment in de richting van de x-as voor het ontwerp en de toetsing van de wapening aan het onderoppervlak (-) of het bovenoppervlak (+)
m_yd+m_yd-	Dimensionerend buigend moment in de richting van de y-as voor het ontwerp en de toetsing van de wapening aan het onderoppervlak (-) of het bovenoppervlak (+)
m_cd+,m_cd-	Dimensionerend buigend moment in de gedrukte betondiagonaal aan het onderoppervlak (-) of het bovenoppervlak (+), dat door het beton moet worden opgenomen

De waarden van de herberekende dimensionerende krachten voor het type staaf = Plaat, berekend met de in de EN beschreven methode, worden weergegeven in de volgende tabel:

In IDEA StatiCa RCS worden de waarden van de momenten aan het boven- en onderoppervlak niet weergegeven, maar wel de waarden van de normaalkrachten aan beide oppervlakken en de waarden van de momenten herberekend naar het zwaartepunt van de doorsnede.

De momenten aan het onder- en bovenoppervlak kunnen worden berekend met de oppervlaktekrachten die in de numerieke uitvoer worden weergegeven, met de formule:

{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z

De waarden van de oppervlaktekrachten en de herberekende momenten worden weergegeven in de volgende tabellen:

De tabellen laten zien dat de momenten aan de plaatoppervlakken, berekend in IDEA Concrete en berekend volgens de in de EN beschreven methode, slechts aan één oppervlak overeenkomen. Dit verschil wordt veroorzaakt door een andere optimalisatie van de betondiagonaal. De methode die in IDEA StatiCa RCS wordt gebruikt, zoekt de hoek van de drukdiagonaal bij de minimale kracht in de diagonaal. De in de EN beschreven methode zoekt naar een minimale som van de negatieve krachten uit alle richtingen.

Vergelijking van de berekening van interne krachten met de programma's RFEM en SCIA Engineer

Om de resultaten van herberekende interne krachten in de programma's IDEA Concrete, RFEM en SCIA Engineer (SEN) te vergelijken, is een eenvoudig model van een plaat met afmetingen 6 m x 4 m en een dikte van 200 mm opgesteld. De plaat wordt met lijnopleggingen aan de randen ondersteund en belast met een gelijkmatig verdeelde belasting van 10 kN/m 2 .

Om de weergave te vereenvoudigen worden alleen de waarden van herberekende interne krachten in één langsdoorsnede weergegeven. De afstand van de doorsnede tot de plaatrand bedraagt 1,5 m. De in het programma RFEM berekende interne krachten zijn gebruikt als invoerwaarden voor IDEA Concrete.

De tabel toont een goede overeenstemming van de in de afzonderlijke programma's berekende krachten.