Trhliny

Vznik trhlin

Charakteristickým rysem železobetonových konstrukcí namáhaných ohybem nebo tahem je vznik trhlin v místech, kde tahové napětí v betonu překročí pevnost betonu v tahu. Pro trvanlivost konstrukce i pro její estetický vzhled je důležité zajistit, aby vzniklé trhliny byly co nejmenší. Výpočet šířek trhlin i maximální přípustné šířky pro jednotlivé třídy prostředí jsou uvedeny v EN 1992-1-1, kapitola 7.3.

V prvním kroku výpočtu se určí, zda je průřez s trhlinami, nebo bez trhlin. Šířka trhliny se vždy počítá z kvazistálé nebo častné kombinace zatížení (podle národní přílohy), ale vznik trhlin je nutné posoudit ze všech předepsaných kombinací MSP. Mohou tedy nastat dva případy:

• Maximální tahové napětí v betonových vláknech nepřekročí pevnost betonu v tahu při žádné kombinaci zatížení (kvazistálé M_E,qp, častné M_E,fr nebo charakteristické M_E,k), a proto uvažujeme průřez bez trhlin.

$${{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

• Pokud vzniknou trhliny při některé z kombinací (kvazistálé, častné nebo charakteristické), tj. ohybový moment od uvažované kombinace zatížení je větší než kritický moment M_cr, je průřez od této kombinace zatížení s trhlinami a je nutné vypočítat charakteristiky průřezu s trhlinami a šířku trhliny.

$${{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

M_E,i   .   .   ohybový moment získaný z některé kombinace zatížení pro MSP. Může to tedy být M_E,qp, M_E,fr nebo M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  pevnost betonu v tahu v uvažovaném čase. Pokud je beton starší než 28 dní, uvažujeme pevnost rovnou f_ctm.

Výpočet šířky trhlin

U prvku zatíženého ohybem se vznik trhlin dělí na 2 jevy:

• Fáze vzniku trhlin (stadium č. 2 na obr. 1)
• Stabilizovaný vývoj trhlin (stadium č. 3 na obr. 1)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 1  Stadia chování železobetonového průřezu při zatěžování}}}$$

Fáze vzniku trhlin

Jedná se o počáteční část procesu, kdy se postupně objevují jednotlivé trhliny, dokud není celá tažená část prvku zasažena trhlinami, které jsou přibližně rovnoměrně rozloženy po délce prvku. První trhlina vznikne, když síla v taženém pásu překročí hodnotu kritické síly N_r (kritická tahová síla, viz níže), a další trhliny se vyvíjejí až do úrovně zatížení, při které je síla v taženém pásu přibližně 1,3N_cr (stadium č. 2 na obr. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 2  Přetvoření betonu a vyztužení v okamžiku vzniku první trhliny}}}$$

Vznikající trhliny se dělí na 2 typy – primární a sekundární trhliny. Primární trhliny vznikají v tažených vláknech při dosažení účinné pevnosti betonu v tahu (f_ct,eff). Primární trhliny představují první obraz trhlin (obr. 2). Mezi primárními trhlinami pak vznikají kratší sekundární trhliny (obr. 3). Při napětích odpovídajících přibližně 1,2 až 1,5 σ_sr (obvykle se uvažuje střední hodnota 1,3 σ_sr, kde σ_sr je napětí ve vyztužení při vzniku primárních trhlin v tažené oblasti betonu) se vývoj sekundárních trhlin rovněž dokončí.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 3  Primární a sekundární trhliny}}}$$

Šířku trhliny ve fázi vzniku trhlin lze vypočítat takto:

$${{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 4  Charakteristiky přenášecí délky pro první trhlinu}}}$$

Stabilizované stadium trhlin

Po překročení přibližně 1,3násobku kritické síly v tažené oblasti už nevznikají nové trhliny, počet trhlin v prvku se stabilizuje a s dalším zatěžováním se zvětšuje pouze šířka stávajících trhlin (stadium č. 3 na obr. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 5  Přetvoření betonu a vyztužení ve stabilizovaném stadiu trhlin}}}$$

Šířku trhliny při stabilizovaném vývoji lze vypočítat jako:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 6  Stabilizované trhliny}}}$$

Kritická tahová síla

Výpočet vychází z modelu taženého pásu (Tension Chord Model, TCM). Základním předpokladem je výpočet mezní únosnosti železobetonového pásu tvořeného výztužným prutem o ploše A_s,eff, který je obklopen účinnou plochou taženého betonu A_c,eff, jež je schopna přenášet tahové napětí, dokud není překročena pevnost v tahu f_ct,eff (běžně uvažujeme f_ctm). Za předpokladu dokonalé soudržnosti mezi vyztužením a betonem můžeme uvažovat, že do vzniku první trhliny je přetvoření vyztužení a okolního betonu shodné. Poté lze určit maximální sílu v taženém pásu těsně před vznikem první trhliny N_r:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}$$

Zavedením substituce

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

získáme:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Bezprostředně po vzniku první trhliny je celá síla N_r přenášena vyztužením, a napětí ve vyztužení procházejícím právě vzniklou trhlinou lze tedy vypočítat jako:

$${{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Výpočet šířky trhlin podle EC 1992-1-1

K výpočtu šířky trhlin na železobetonových prvcích se používá následující rovnice:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

s_r,max   .   .   .   maximální vzdálenost trhlin

ε_sm  .   .   .   .   průměrné přetvoření vyztužení od kombinace zatížení, včetně vlivu tahového zpevnění.

ε_cm  .   .   .   .   průměrné přetvoření betonu mezi trhlinami

Výpočet rozdílu přetvoření

Rozdíl přetvoření vyztužení a betonu mezi trhlinami lze získat z rovnice:

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

σ_s      .   .   .   .   napětí ve vyztužení v trhlině od uvažované kombinace zatížení

k_t      .   .   .   .   empirický součinitel zohledňující průměrné přetvoření v závislosti na době trvání zatížení. Pro krátkodobý výpočet může nabývat hodnoty 0,6. Při dlouhodobém výpočtu se uvažuje snížení tuhosti složeného průřezu na přibližně 70 %, proto je jeho hodnota 0,4, která zahrnuje míru časové degradace soudržnosti mezi vyztužením a betonem.

α_e     .   .   .   . účinný poměr modulů pružnosti

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}$$

ς_p,_eff  .   .   .   .   účinný stupeň vyztužení

$${{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

A_c,_eff .   .   .   .   účinná plocha taženého betonu obklopujícího vyztužení (určení A_c,eff viz níže)

A_s,_eff .   .   .   .   plocha soudržného vyztužení nacházejícího se v oblasti A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   plocha kabelů s předpětím nebo s dodatečným předpětím v oblasti A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   upravený poměr pevnosti soudržnosti, který zohledňuje různé průměry předpínací a betonářské oceli:

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}$$

ξ  .   .   . poměr pevnosti soudržnosti předpínací a betonářské oceli (tabulka 6.2)

ϕ_s   .   .  největší průměr prutu betonářské oceli

ϕ_p   .   .  průměr nebo ekvivalentní průměr předpínací oceli

U svazků je A_p plocha vyztužení v kabelu

$${{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}$$

Pro jednotlivá sedmidrátová lana, kde φ_wire je průměr drátu

$${{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Pro jednotlivá třídrátová lana, kde φ_wire je průměr drátu

$${{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Pokud se k omezení vzniku trhlin používá pouze předpínací vyztužení, je nutné uvažovat následující.

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}$$

U předpjatých prvků není minimální plocha soudržného vyztužení vyžadována, pokud při charakteristické kombinaci zatížení a charakteristické hodnotě předpínací síly není tahové napětí v žádném vlákně větší než pevnost betonu v tahu f_ct,eff. (podrobnosti viz EN 1992-1-1, kap. 7.3.2)

Účinná plocha taženého betonu

Důležitým, a zároveň nejsložitějším krokem výpočtu je určení účinné plochy taženého betonu obklopujícího vyztužení. Eurokód i Model Code uvažují jednoduché způsoby zatížení, kdy je železobetonový prvek zatížen jednoosým ohybem nebo tahem. Hodnota účinné výšky se určí jako:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 6  Určení Ac,eff pro ohýbané prvky (vlevo) a tažené prvky (vpravo)}}}$$

Obvykle je rozhodující hodnota h_c,eff = 2,5(h-d). U tažených prvků je horní mez h/2, zatímco u ohýbaných prvků je to (h-x)/3. Plocha A_c,eff je však omezena také šířkou určenou z rovnice 5(c+ϕ/2). Pokud je osová vzdálenost vyztužení větší než 5(c+ϕ/2), uvažuje se pro jednotlivé pruty účinná plocha taženého betonu o šířce 5(c+ϕ/2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 9  Určení Ac,eff na základě osové vzdálenosti vyztužení}}}$$

Maximální vzdálenost trhlin

Při výpočtu maximální vzdálenosti trhlin s_r,max mohou nastat dva případy:

• Osová vzdálenost soudržného vyztužení nepřekročí hodnotu 5(c+ϕ/2) – obr. 9a
• Osová vzdálenost soudržného vyztužení je větší než 5(c+ϕ/2) – obr. 9b

Maximální vzdálenost trhlin s_r,max pro případ, kdy osové vzdálenosti vyztužení nepřekročí hodnotu 5(c+ϕ/2), je definována takto:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

c  .    .   .   .   .   hodnota krytí betonu v mm. Protože krytí okrajového vyztužení může být k vodorovným a svislým okrajům různé, doporučuje se uvažovat největší hodnotu krytí zjištěnou pro posuzované vyztužení.

ϕ     .   .   .   .   průměr soudržného vyztužení. V případě různých průměrů vyztužení se ekvivalentní průměr vypočítá podle rovnice 7.12 v EN 1992-1-1.

$${{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}$$

k₁ .   .   .   . součinitel zohledňující soudržnostní vlastnosti soudržného vyztužení

• k₁ = 0,8 pro pruty s vysokou soudržností
• k₁ = 1,6 pro pruty s prakticky hladkým povrchem (např. předpínací kabely)

k₂ .   .   .   . součinitel zohledňující rozdělení přetvoření

• k₂ = 1,0 pro ohyb
• k₂ = 0,5 pro čistý tah

Pro případy excentrického tahu nebo pro lokální oblasti je třeba použít mezilehlé hodnoty k₂, které lze vypočítat ze vztahu:

$${{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}$$

k₃      .   .   .   .  součinitel vyjadřující délku oblasti v blízkosti trhliny, kde je narušena soudržnost mezi betonem a vyztužením. Doporučená hodnota základního součinitele podle EC k₃ = 3,4 může být upravena národní přílohou. 

k₄      .   .   .   .   součinitel vyjadřující vztah mezi soudržností a pevností betonu v tahu. Doporučená hodnota základního součinitele podle EC k4 = 0,425 může být upravena národní přílohou.

Maximální vzdálenost trhlin s_r,max pro případ, kdy osové vzdálenosti vyztužení překročí hodnotu 5(c+ϕ/2), je definována takto:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

Hodnoty maximální vzdálenosti trhlin podle rovnice

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

by měly být vždy větší než hodnoty určené z rovnice

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;$$

v opačném případě se doporučuje uvažovat větší vzdálenost získanou z výše uvedených rovnic. Rovnice pro přetvoření betonu a vyztužení se pro případ velké osové vzdálenosti vyztužení neupravuje. V oblastech s regulovanou šířkou trhlin by osová vzdálenost jednotlivých vyztužení neměla být větší než 5(c+ϕ/2).

Výpočet šířky trhlin implementovaný v RCS

Určení účinné plochy A_c,eff

Protože není zcela jednoznačné určit, které vyztužení lze považovat za podélné vyztužení omezující trhliny, určuje se A_c,eff pomocí následujícího iteračního postupu.

• Ze všeho taženého vyztužení se určí těžiště tahových sil C_g,s,1. Účinná výška vyztužení d je vzdálenost mezi C_g,s a nejvíce tlačeným vláknem betonu, měřená ve směru výsledného ohybového momentu. Současně se určí poloha neutrální osy a výška tlačené oblasti x pro průřez s trhlinami. Tím lze určit účinnou výšku h_c,eff:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

• Vyloučením veškerého vyztužení, které leží mimo A_c,eff,1, se určí nové těžiště vyztužení C_g,s,2 spolu s novou účinnou výškou vyztužení d. Účinná výška h_c,eff se určí stejným způsobem jako v předchozím kroku, pouze se změněnými vstupními hodnotami.

Opět se ověří, zda veškeré uvažované tažené vyztužení leží v A_c,eff,2. Je-li tato podmínka splněna, lze iteraci ukončit a hodnoty h_c,eff,2, A_c,eff,2 a A_s,eff,2 se zobrazí jako výsledné hodnoty v IDEA StatiCa RCS.

Možné případy výpočtu šířky trhlin

Obecně mohou při výpočtu šířek trhlin nastat tři případy:

• Tažené vyztužení leží v oblasti A_c,eff a osová vzdálenost jednotlivých vyztužení je menší než 5(c+ϕ/2). Pro výpočet se pak použijí následující vztahy:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• Tažené vyztužení leží v A_c,eff a osová vzdálenost jednotlivých vyztužení překračuje hodnotu 5(c+ϕ/2). Pro výpočet se pak použijí následující vztahy:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• Tažené vyztužení neleží v A_c,eff (příčinou může být například velké krytí). 

V tomto případě by nebylo možné šířku trhlin vypočítat. Výpočet účinné výšky h_c,eff se proto upraví takto:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}$$

Současně se zobrazí následující nesplnění požadavků:

Účinná plocha taženého betonu obklopujícího vyztužení nebo předpínací kabely o výšce h_c,eff, kde h_c,eff je menší z hodnot 2,5(h – d) nebo h/2. Při uvažování hodnoty (h – x)/3 leží vyztužení mimo účinnou plochu taženého betonu, a proto by nebylo možné vypočítat šířku trhlin podle článku 7.3.4.