Scheuren

Het ontstaan van scheuren

Een kenmerkend verschijnsel bij constructies van gewapend beton onder buiging of trek is het optreden van scheurvorming op plaatsen waar de trekspanning in het beton de treksterkte van het beton overschrijdt. Voor de duurzaamheid en ook voor het uiterlijk van de constructie is het belangrijk dat de ontstane scheuren zo klein mogelijk blijven. De berekening van de scheurwijdten en de maximaal toelaatbare scheurwijdten voor de verschillende milieuklassen zijn gegeven in EN 1992-1-1, hoofdstuk 7.3.

In de eerste stap van de berekening wordt bepaald of de doorsnede gescheurd is of niet. De scheurwijdte zelf wordt altijd berekend uit de quasi-blijvende of frequente belastingcombinatie (afhankelijk van de nationale bijlage), maar het ontstaan van scheuren moet worden getoetst voor alle voorgeschreven BGT-combinaties. Er kunnen dus twee situaties optreden:

• De maximale trekspanning in de betonvezels overschrijdt voor geen enkele belastingcombinatie (quasi-blijvend M_E,qp, frequent M_E,fr of karakteristiek M_E,k) de treksterkte van het beton. De doorsnede wordt dan als ongescheurd beschouwd.

$${{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

• Als er scheuren ontstaan voor een van de combinaties (quasi-blijvend, frequent of karakteristiek), dat wil zeggen dat het buigend moment uit de beschouwde belastingcombinatie groter is dan het kritieke moment M_cr, is de doorsnede voor die belastingcombinatie gescheurd. Dan moeten de eigenschappen van de gescheurde doorsnede en de scheurwijdte worden berekend.

$${{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

M_E,i   .   .   het buigend moment uit een BGT-belastingcombinatie. Dit kan dus M_E,qp, M_E,fr of M_E,k zijn. 

f_ct,ef   .   .  de treksterkte van het beton op het beschouwde tijdstip. Als het beton ouder is dan 28 dagen, beschouwen we een sterkte gelijk aan f_ctm.

Berekening van de scheurwijdte

Bij een op buiging belast element wordt de scheurvorming onderverdeeld in 2 fasen:

• Scheurvormingsfase (fase 2 in Afb. 1)
• Gestabiliseerde scheurontwikkeling (fase 3 in Afb. 1)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}$$

Scheurvormingsfase

Dit is het beginstadium van het proces waarin afzonderlijke scheuren nog geleidelijk ontstaan, totdat het volledige getrokken deel van de staaf is aangetast door scheuren die ongeveer gelijkmatig over de lengte van de staaf zijn verdeeld. De eerste scheur ontstaat wanneer de kracht in de getrokken strook de waarde van de kritieke kracht N_r overschrijdt (kritieke trek kracht, zie hieronder). Verdere scheuren ontwikkelen zich tot een belastingniveau waarbij de kracht in de getrokken strook ongeveer gelijk is aan 1,3N_cr (fase 2 in Afb. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}$$

De zich ontwikkelende scheuren worden onderverdeeld in 2 typen: primaire en secundaire scheuren. Primaire scheuren ontstaan in de getrokken vezels wanneer de effectieve treksterkte van het beton (f_ct,eff) wordt bereikt. Primaire scheuren vormen het eerste scheurpatroon (Afb. 2). Tussen de primaire scheuren ontstaan vervolgens kortere secundaire scheuren (Afb. 3). Bij spanningen die overeenkomen met circa 1,2 tot 1,5 σ_sr (meestal wordt een gemiddelde waarde van 1,3 σ_sr aangehouden, waarbij σ_sr de spanning in de wapening is bij het ontstaan van primaire scheuren in de getrokken zone van het beton) is ook de ontwikkeling van secundaire scheuren voltooid.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}$$

De scheurwijdte in de scheurvormingsfase kan als volgt worden berekend:

$${{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}$$

Gestabiliseerde scheurvorming

Nadat de kritieke kracht in de getrokken zone met circa 1,3 keer is overschreden, ontstaan er geen nieuwe scheuren meer. Het aantal scheuren in het element is gestabiliseerd en alleen de wijdte van de bestaande scheuren neemt toe bij verdere belasting (fase 3 in Afb. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}$$

De scheurwijdte tijdens de gestabiliseerde ontwikkeling kan worden berekend als:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}$$

Kritieke trek kracht

De berekening is gebaseerd op het Tension Chord Model (TCM). Het uitgangspunt is de berekening van het uiterste draagvermogen van een strook gewapend beton, gevormd door een wapeningsstaaf met oppervlakte A_s,eff omgeven door een effectieve oppervlakte van het getrokken beton A_c,eff. Deze strook kan de trekspanning weerstaan totdat de treksterkte f_ct,eff wordt overschreden (normaal beschouwen we f_ctm). Uitgaande van een perfecte aanhechting tussen de wapening en het beton kunnen we aannemen dat tot het ontstaan van de eerste scheur de vervorming van de wapening en het omringende beton identiek is. Dan kan de maximale kracht in de getrokken strook vlak voor de eerste scheur N_r worden bepaald:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}$$

Door de volgende substitutie te introduceren

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

verkrijgen we:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Direct na het ontstaan van de eerste scheur wordt de volledige kracht N_r door de wapening overgedragen. De spanning in de wapening die door de zojuist gevormde scheur loopt, kan dan als volgt worden berekend:

$${{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Berekening van de scheurwijdte volgens EC 1992-1-1

De volgende vergelijking wordt gebruikt om de scheurwijdte in elementen van gewapend beton te berekenen:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

s_r,max   .   .   .   maximale scheurafstand

ε_sm  .   .   .   .   de gemiddelde rek van de wapening uit de belastingcombinatie, inclusief de effecten van tension stiffening.

ε_cm  .   .   .   .   gemiddelde rek van het beton tussen de scheuren

Berekening van het rekverschil

Het verschil in rek tussen de wapening en het beton tussen de scheuren kan worden verkregen uit de vergelijking:

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

σ_s      .   .   .   .   de spanning in de wapening ter plaatse van de scheur uit de beschouwde belastingcombinatie

k_t      .   .   .   .   een empirische coëfficiënt die rekening houdt met de gemiddelde rek en afhankelijk is van de belastingduur. Deze kan de waarde 0,6 aannemen voor kortetermijnberekeningen. Voor langetermijnberekeningen wordt rekening gehouden met de reductie van de stijfheid van het samengestelde materiaal tot circa 70%, zodat de waarde 0,4 bedraagt. Hierin is de mate van afname van de aanhechting tussen de wapening en het beton in de tijd verwerkt.

α_e     .   .   .   . de effectieve verhouding van de elasticiteitsmodulussen

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}$$

ς_p,_eff  .   .   .   .   effectief wapeningspercentage

$${{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

A_c,_eff .   .   .   .   het effectieve oppervlak van het getrokken beton rondom de wapening (bepaling van A_c,eff hieronder)

A_s,_eff .   .   .   .   het oppervlak van de aanhechtende wapening binnen het oppervlak A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   is het oppervlak van de voor- of nagespannen spanelementen binnen A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   is de aangepaste verhouding van de aanhechtsterkte, rekening houdend met de verschillende diameters van voorspanstaal en wapeningsstaal:

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}$$

ξ  .   .   . de verhouding van de aanhechtsterkte van voorspanstaal en wapeningsstaal (Tabel 6.2)

ϕ_s   .   .  grootste staafdiameter van het wapeningsstaal

ϕ_p   .   .  de diameter of equivalente diameter van het voorspanstaal

Voor bundels is A_p het oppervlak van de wapening in het spanelement

$${{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}$$

Voor enkele zeven-draads strengen, waarbij φ_wire de draaddiameter is

$${{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Voor enkele drie-draads strengen, waarbij φ_wire de draaddiameter is

$${{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Als uitsluitend voorspanwapening wordt toegepast om scheurvorming te beperken, moet het volgende worden aangehouden.

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}$$

In voorgespannen staven is een minimale hoeveelheid aanhechtende wapening niet vereist, zolang onder de karakteristieke belastingcombinatie en de karakteristieke waarde van de voorspankracht de trekspanning in een willekeurige vezel niet groter is dan de treksterkte van het beton, f_ct,eff. (zie EN 1992-1-1, hoofdstuk 7.3.2 voor meer details)

Het effectieve oppervlak van het getrokken beton

Een belangrijke, maar tegelijk de meest gecompliceerde stap van de berekening is het bepalen van het effectieve oppervlak van het getrokken beton rondom de wapening. Zowel Eurocode als Model Code gaan uit van eenvoudige belastingsituaties, waarbij het element van gewapend beton wordt belast door uniaxiale buiging of trek. De waarde van de effectieve hoogte wordt bepaald als:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}$$

Meestal is de waarde h_c,eff = 2,5(h-d) maatgevend. Voor getrokken elementen is de bovengrens h/2, terwijl deze voor gebogen elementen (h-x)/3 bedraagt. Het oppervlak A_c,eff wordt echter ook begrensd door de breedte die volgt uit de vergelijking 5(c+ϕ/2). Als de onderlinge afstand van de wapeningsstaven groter is dan 5(c+ϕ/2), wordt voor de afzonderlijke staven het effectieve oppervlak van het getrokken beton met een breedte van 5(c+ϕ/2) aangehouden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}$$

Maximale scheurafstand

Bij de berekening van de maximale scheurafstand s_r,max kunnen twee situaties optreden:

• De hart-op-hartafstand van de aanhechtende wapening is niet groter dan 5(c+ϕ/2) - Afb. 9a
• De hart-op-hartafstand van de aanhechtende wapening is groter dan 5(c+ϕ/2) - Afb. 9b

De berekening van de maximale scheurafstand s_r,max voor het geval dat de hart-op-hartafstanden van de wapening niet groter zijn dan de waarde 5(c+ϕ/2) is als volgt gedefinieerd:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

c  .    .   .   .   .   waarde van de betondekking in mm. Aangezien de betondekking voor de randwapening zowel aan de horizontale als aan de verticale randen verschillend kan zijn, wordt aanbevolen de maximale betondekking aan te houden die voor de beschouwde wapening wordt aangetroffen.

ϕ     .   .   .   .   diameter van de aanhechtende wapening. Bij verschillende wapeningsdiameters moet de equivalente diameter worden berekend volgens EN 1992-1-1, vergelijking 7.12.

$${{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}$$

k₁ .   .   .   . is een coëfficiënt die rekening houdt met de aanhechtingseigenschappen van de aanhechtende wapening

• k₁ = 0,8 voor staven met hoge aanhechting
• k₁ = 1,6 voor staven met een effectief glad oppervlak (bijv. spanelementen)

k₂ .   .   .   . is een coëfficiënt die rekening houdt met de verdeling van de rek

• k₂ = 1,0 voor buiging
• k₂ = 0,5 voor zuivere trek

Voor excentrische trek of voor lokale gebieden moeten tussenliggende waarden van k₂ worden gebruikt, die kunnen worden berekend met de relatie:

$${{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}$$

k₃      .   .   .   .  coëfficiënt die de lengte uitdrukt van het gebied nabij een scheur waar de aanhechting tussen het beton en de wapening is verbroken. De aanbevolen basiswaarde van EC k₃ = 3,4 kan worden gewijzigd door de Nationale Bijlage. 

k₄      .   .   .   .   coëfficiënt die de relatie uitdrukt tussende aanhechtsterkte en de treksterkte van het beton. De aanbevolen basiswaarde van EC k4 = 0.425 kan worden aangepast door de Nationale Bijlage.

De berekening van de maximale scheurafstand s_r,max voor het geval dat de hart-op-hartafstanden van de wapening groter zijn dan de waarde 5(c+ϕ/2) is als volgt gedefinieerd:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

Maximale scheurafstanden volgens de vergelijking

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

moeten altijd groter zijn dan de waarden die volgen uit de vergelijking

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;$$

anders wordt aanbevolen de grootste afstand aan te houden die uit bovenstaande vergelijkingen volgt. De vergelijking voor de rek in het beton en de wapening wordt niet aangepast voor het geval van een grote hart-op-hartafstand van de wapening. In gebieden met beheerste scheurwijdten mag de hart-op-hartafstand van de afzonderlijke wapeningsstaven niet groter zijn dan 5(c+ϕ/2).

Berekening van de scheurwijdte in RCS

Bepaling van het effectieve oppervlak A_c,eff

Omdat het niet eenvoudig is te bepalen welke wapening als in lengterichting scheurbeperkende wapening kan worden beschouwd, wordt A_c,eff bepaald met het volgende iteratieve proces.

• Van alle op trek werkende wapening wordt het zwaartepunt van de trekkracht C_g,s,1 bepaald. De effectieve hoogte van de wapening d is de afstand tussen C_g,s en de meest gedrukte betonvezel, berekend in de richting van het resulterende buigend moment. Tegelijkertijd worden de ligging van de neutrale lijn en de hoogte van het gedrukte gebied x voor de gescheurde doorsnede bepaald. Hiermee kan de effectieve hoogte h_c,eff worden bepaald:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

• Door alle wapening die buiten A_c,eff,1 ligt uit te sluiten, wordt het nieuwe zwaartepunt van de wapening C_g,s,2 bepaald, samen met de nieuwe effectieve hoogte van de wapening d. De effectieve hoogte h_c,eff wordt op dezelfde wijze bepaald als in de vorige stap, alleen met gewijzigde invoerwaarden.

Opnieuw wordt gecontroleerd of alle beschouwde getrokken wapening binnen A_c,eff,2 ligt. Als aan deze voorwaarde is voldaan, kan de iteratie worden beëindigd en worden de waarden h_c,eff,2, A_c,eff,2 en A_s,eff,2 als resultaat weergegeven in IDEA StatiCa RCS.

Mogelijke situaties bij de berekening van de scheurwijdte

In het algemeen kunnen er drie situaties optreden bij de berekening van scheurwijdten:

• De getrokken wapening ligt in het gebied A_c,eff, waarbij de hart-op-hartafstand van de afzonderlijke wapeningsstaven kleiner is dan 5(c+ϕ/2). Dan worden de volgende definities gebruikt voor de berekening:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• De getrokken wapening ligt in A_c,eff, waarbij de hart-op-hartafstand van de afzonderlijke wapeningsstaven groter is dan 5(c+ϕ/2). Dan worden de volgende definities gebruikt voor de berekening:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• De getrokken wapening ligt niet in A_c,eff (dit kan bijvoorbeeld worden veroorzaakt door een grote betondekking). 

In dit geval zou het niet mogelijk zijn de scheurwijdte te berekenen. Daarom wordt de berekening van de effectieve hoogte h_c,eff als volgt aangepast:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}$$

Tegelijkertijd wordt de volgende afwijking weergegeven:

Het effectieve oppervlak van het getrokken beton rondom de wapening of de spanelementen met hoogte h_c,eff, waarbij h_c,eff de kleinste waarde is van 2,5(h – d) of h/2. Bij het aanhouden van de waarde (h – x)/3 ligt de wapening buiten het effectieve oppervlak van het getrokken beton. Daarom zou het niet mogelijk zijn de scheurwijdte te berekenen volgens artikel 7.3.4.