Smyk

Z hlediska křehkého porušení je posouzení na smyk jedním z důležitých posouzení železobetonového průřezu.

Postup výpočtu

Výpočet smykové únosnosti se skládá z několika základních částí. Nejprve je třeba zanalyzovat, zda v posuzovaném místě vznikají trhliny od ohybu, či nikoliv. Pokud ano, použije se výpočet podle EN 1992-1-1 [2], článek 6.2.2 (1). V opačném případě určíme, zda se jedná o prostý beton, nebo slabě vyztužený beton, a dále postupujeme podle EN 1992-1-1, článek 12.6.3. 

U železobetonových prvků bez trhlin (bez smykového vyztužení) posuzujeme podle EN 1992-1-1, článek 6.2.2 (2). U prvků, kde je smykové vyztužení požadováno, posuzujeme podle článku 6.2.3 [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

Smyková únosnost prvků bez smykového vyztužení

Smyková únosnost prvků v oblastech s ohybovými trhlinami (čl. 6.2.2 (1) [2])

Smyková únosnost železobetonových prvků bez smykového vyztužení namáhaných ohybovým momentem je dána vztahem:

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

Tento vztah byl stanoven na základě zkoušek provedených na reprezentativním počtu prostých nosníků v případě porušení smykovou silou. Protože výše uvedená únosnost může být nulová pro prvky bez podélného vyztužení (r_l), byly pro slabě vyztužené prvky odvozeny rovnice. Protože výše uvedená únosnost může být nulová pro prvky bez podélného vyztužení (r_l), byla pro slabě vyztužené prvky určena rovnicí

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

Smyková únosnost s vlivem normálové síly byla určena rovnicí

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

Smyková únosnost v úplném vyjádření, které odpovídá EN 1992-1-1, čl. 6.2.2 (1)

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

S minimem

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

kde  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          součinitel výšky průřezu 

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      stupeň vyztužení podélným vyztužením

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        charakteristická válcová pevnost betonu v tlaku ve stáří 28 dní

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        nejmenší šířka průřezu v tažené oblasti

d          účinná výška průřezu

υ_min      minimální ekvivalentní smyková pevnost υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Smyková únosnost prvků v oblastech bez ohybových trhlin (čl. 6.2.2 (2) [2])

Smykovou únosnost prvků v oblastech bez ohybových trhlin lze určit z Mohrovy kružnice. Do rovnice

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

dosadíme σ_x = σ_cp a τ_z = V_Rd,c S / (I b_w), vyjádříme V_Rd,c a získáme rovnici odpovídající vztahu uvedenému v EN 1992-1-1, čl. 6.2.2 (2)

kde  

I           je moment setrvačnosti průřezu,

b_w        je šířka průřezu v úrovni těžištní osy,

S          je statický moment plochy nad těžištní osou a k této ose,

f_ctd        návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu v MPa,

 s_cp       je tlakové napětí v betonu v úrovni těžištní osy od zatížení a/nebo předpětí,

a_l         součinitel přenosové délky, obvykle 1,0.

V souvislosti s výše uvedeným je třeba poznamenat, že v oblastech bez ohybových trhlin může být únosnost V_Rd ,c  výrazně vyšší než v oblastech s trhlinami podle článku 6.2.2 (1) [2]. Z obrázku níže je zřejmé, že ačkoli je smyková síla posuzována v místě svého extrému (kde nevznikají trhliny), nemusí to nutně zajistit, že bude přenesena&nbsppo celé délce nosníku. Je to způsobeno změnou způsobu výpočtu smykové únosnosti betonu. Na straně bezpečnosti lze samozřejmě smykovou únosnost uvažovat podle článku 6.2.2 (1) [2] také v místech, kde trhliny nevzniknou.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

K výrazu pro V_Rd, c  podle článku 6.2.2 (2)[2] je třeba také poznamenat, že by se v obecném případě mělo vycházet z posouzení ve vlákně s extrémním hlavním tahovým napětím v betonu v oblasti normálových tlakových napětí, nikoli však v těžišti průřezu. V tomto místě je nutné vypočítat průřezové charakteristiky (S a b_W). Pro stanovení maximálního hlavního napětí s₁ v programu IDEA RCS vedeme těžištěm přímku ve směru výslednice smykových sil. Tuto přímku rozdělíme na 20 úseků. Na této přímce dále uvažujeme charakteristické body (body polygonu průřezu, těžiště, neutrální osu). V těchto bodech vypočítáme S, b_w, σ_x, τ_yz a σ_1.  V bodě maximálního hlavního tahového napětí vypočítáme smykovou únosnost.

Smyková síla před aplikací redukčního součinitele b požadovaného článkem 6.2.2 (6) musí splňovat dodatečnou podmínku

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

kde 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  kde f_ck je v MPa

Smyková únosnost prvků bez vyztužení nebo slabě vyztužených (čl. 12.6.3 [2])

Smykovou únosnost prostého nebo slabě vyztuženého betonu lze určit z výrazu

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

Kde

τ_cp nahradíme výrazem

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

nebo

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

Dílčí hodnoty použité ve výše uvedeném vztahu jsou dány vztahem:

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

kde  

f_cd,pl     návrhová pevnost v tlaku prostého nebo slabě vyztuženého betonu,

f_ctd,pl    návrhová pevnost v osovém tahu prostého nebo slabě vyztuženého betonu,

f_cvd       návrhová smyková únosnost při tlaku v betonu.

Únosnost prvků se smykovým vyztužením (čl. 6.2.3 [2])

Výpočet únosnosti železobetonových prvků se smykovým vyztužením je založen na metodě příhradové analogie s diagonálami o proměnném sklonu. Základem této metody je rovnováha sil v trojúhelníku určeném silou ve vzpěře (diagonále), silou ve smykovém vyztužení (třmínku) a silou v podélném vyztužení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

Průřez namáhaný smykem je porušen trhlinami pod úhlem θ, z tohoto důvodu smykové síle odolává betonová diagonála se stejným sklonem. Tlakovou sílu v diagonále lze vyjádřit jako V_ed/sinθ. Tato síla musí být přenesena betonovou plochou kolmou na tlakovou diagonálu b_wzcosθ. Napětí betonu v tlakové diagonále je pak rovno:

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

Dosazením $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  a $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ a vyjádřením $${{V}_{Rd,max}}$$ získáme rovnici pro smykovou únosnost diagonály:

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

K zachycení svislé složky síly v tlakové diagonále slouží smykové vyztužení. Velikost svislé síly vychází z tlakového napětí v diagonále v ploše betonu, která odpovídá jednomu třmínku - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Mezní síla ve třmínku je dána vztahem \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Po dosazení σ_c a porovnání s mezní silou ve vyztužení získáme po úpravách:

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

Vyjádřením V_ed jako V_RDs pak získáme únosnost průřezu se svislým smykovým vyztužením:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

Podélná smyková síla je přenášena podélným vyztužením a lze ji určit jako V_edcotgθ . Odvození uvedených vztahů lze nalézt v [4].

V programu IDEA RCS lze posuzovat pouze prvky se svislým smykovým vyztužením. Obecně lze použít následující rovnice:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

Kde  

A_sw      je plocha průřezu smykového vyztužení,

s           je osová vzdálenost třmínků,

f_ywd      je návrhová mez kluzu smykového vyztužení,

b_w        je minimální šířka mezi tahovým a tlačeným pásem. Pro výpočet únosnosti V_Rd,max se hodnota šířky průřezu musí snížit na tzv. jmenovitou šířku průřezu v případě, že je průřez oslaben kabelovými kanálky

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ pro injektované kovové kanálky

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ pro neinjektované kovové kanálky           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa nebo  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       je součinitel zohledňující stav napětí v tlačeném pásu.

Tab. 1‑1 Stanovení součinitele α_cw

Úhel θ je úhel mezi betonovou tlakovou vzpěrou a osou nosníku kolmou na smykovou sílu. Mezní hodnoty cotθ pro použití v dané zemi lze nalézt v jejím národním dodatku. Doporučené meze jsou dány výrazem:

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

Volba velikosti úhlu θ může ovlivnit hodnoty únosností. Závislost únosností je patrná na obrázku 1.15. Z obrázku je zřejmé, že se vzrůstajícím úhlem θ únosnost V_Rd,max  roste a únosnost V_Rd,s klesá. Únosnost V_Rd,c je konstantní, protože nevychází z metody příhradové analogie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

Výpočet průřezových charakteristik pro smyk

Pro výpočet smyku je důležité vypočítat průřezové veličiny ovlivňující smykovou únosnost. Mezi tyto veličiny patří zejména šířka průřezu přenášející smyk b_w, účinná výška d a rameno vnitřních sil z. Norma [2] uvádí tyto hodnoty ve vazbě na skutečné ohybové namáhání. Problém však nastává při určování těchto hodnot, pokud se směr výslednice ohybových momentů (přesněji směr výslednice únosnosti průřezu) výrazně liší od směru výslednice smykových sil. V tomto případě norma EC2 neposkytuje žádná doporučení.

Šířka průřezu přenášející smyk b_w

Program IDEA RCS vypočítá šířku průřezu přenášející smyk ve směru kolmém na výslednici smykových sil. V závislosti na článku Eurokódu se tato šířka určí jako:
-  nejmenší šířka průřezu mezi výslednicí tlačeného betonu a tažené výztuže ve směru kolmém na výslednici smykových sil pro články 6.2.2 (a) a 6.2.3 (1)
- šířka průřezu ve směru kolmém na výslednici smykových sil v posuzovaném bodě podle článku 6.2.2 (2)

Účinná výška průřezu

Účinná výška se obvykle definuje jako vzdálenost nejvíce tlačeného betonového vlákna od těžiště výztuže. Protože přímo souvisí s ohybem, je tato vzdálenost dána jako kolmý průmět na těžištní přímku roviny přetvoření. 

Tuto definici lze upřesnit tak, že místo těžiště tažené výztuže se použije poloha výslednice sil ve výztuži. Při vývoji programu IDEA RCS bylo řešeno to, jak definovat účinnou výšku průřezu, pro který rovina ohybového zatížení neodpovídá směru výslednice smykových sil. Účinná výška je proto definována jako vzdálenost nejvíce tlačeného betonového vlákna  od výslednice sil v tažené výztuži  (na základě ohybového namáhání) ve směru výslednice smykových sil, viz obrázek 1.17.

Výjimečné případy nastanou, pokud nelze určit tlačené vlákno nebo výslednici v tažené výztuži. V takovém případě doporučujeme použít hodnotu 0.9 h (90 % výšky průřezu ve směru výslednice smykových sil). Tuto hodnotu může uživatel v programu IDEA RCS definovat v nastavení proměnných normy.

Rameno vnitřních sil

Rameno vnitřních sil je uvedeno v článku 6.2.3 (3) [2] a je definováno jako „vzdálenost mezi tahovým a tlačeným pásem“.  Norma nedefinuje, jak postupovat, pokud se rovina působícího ohybového momentu liší od směru výslednice smykových sil. Proto stejně jako v případě účinné výšky definujeme tuto vzdálenost ve směru výslednice smykových sil. I zde se můžeme setkat s podobnými výjimečnými případy, například když je celý průřez tlačený apod. V tomto případě uvažujeme hodnotu 0.9 d (90 % účinné výšky průřezu). Tuto hodnotu může uživatel nastavit v programu IDEA RCS v nastavení proměnných normy.

Závislost mezi sklonem roviny ohybu a výslednicí smykové síly je zřetelně patrná na obrázcích 1.18 a 1.19. Se zvětšujícím se sklonem se hodnoty účinné výšky, ramen vnitřních sil a s nimi související únosnosti snižují. Mezním stavem je 90°. Pro takový sklon nelze rameno vnitřních sil vypočítat, rameno je proto rovno nule. V tomto případě se uvažuje hodnota zadaná v nastavení proměnných normy. Proto dochází na konci grafu ke skoku. Tato studie dokládá, že doporučené maximum sklonu je přibližně 20°.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

V rámci testování aplikace RCS byla provedena studie závislosti smykové únosnosti na změně normálové síly. Únosnost V_Rd,max je ovlivněna pouze součinitelem α_cw, viz obr. 1.20. Obr. 1.21 ukazuje konstantní hodnotu únosnosti V_Rds. U únosnosti V_Rdc způsobuje nárůst normálové síly její pokles. Modrá křivka na obr. 1.21 znázorňuje únosnost V_Rdc bez uvažování vlivu trhlin a byla vypočtena podle vztahu v článku 6.2.2 (1) [2]. Skok při přechodu mezi tlakem a tahem je způsoben započtením tažené výztuže. Červená křivka je vypočtena podle vztahu v článku 6.2.2 (2) [2]. Po vzniku první trhliny je křivka závislosti stejná jako pro článek 6.2.2 (1) [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$