Afschuiving

Met betrekking op bros bezwijken is de toetsing op afschuiving een van de belangrijke toetsingen van een gewapende betondoorsnede.

Berekeningsprocedure

De berekening van de afschuifweerstand bestaat uit enkele basisonderdelen. Eerst moet worden geanalyseerd of er scheuren door buiging optreden of niet op de getoetste locatie. Als er scheuren zijn, gebruik dan de berekening volgens EN 1992-1-1 [2], artikel 6.2.2 (1). Anders bepalen we of het ongewapend beton of licht gewapend beton betreft en gaan we verder volgens EN 1992-1-1 artikel 12.6.3. 

Voor gewapend ongescheurd beton (zonder afschuifwapening) toetsen we volgens EN 1992-1-1 artikel 6.2.2 (2). Voor elementen waarbij afschuifwapening vereist is toetsen we volgens artikel 6.2.3 [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

Afschuifweerstand van staven zonder afschuifwapening

Afschuifweerstand van staven in gescheurde buigingszones (art. 6.2.2 (1) [2])

De afschuifweerstand van gewapend betonnen staven zonder afschuifwapening die op buigend moment worden belast, wordt gegeven door:

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

Deze formule is opgesteld op basis van proeven op een representatief aantal enkelvoudig opgelegde liggers die door afschuifkracht bezweken. Omdat de bovenstaande weerstand nul kan zijn voor elementen zonder langswapening (r_l), zijn voor licht gewapende staven aparte vergelijkingen afgeleid. Omdat de bovenstaande weerstand nul kan zijn voor staven zonder langswapening (r_l), is voor de licht gewapende staven de volgende vergelijking bepaald

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

Voor de afschuifweerstand met invloed van de normaalkracht is de volgende vergelijking bepaald

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

De afschuifweerstand in volledige vorm, overeenkomstig EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

Met een minimum van

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

waarbij  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          factor voor de doorsnedehoogte 

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      wapeningspercentage van de langswapening

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        karakteristieke cilinderdruksterkte van het beton na 28 dagen

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        kleinste breedte van de doorsnede in de trekzone

d          effectieve hoogte van een doorsnede

υ_min      minimale equivalente afschuifsterkte υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Afschuifweerstand van staven in ongescheurde buigingszones (art. 6.2.2 (2) [2])

De afschuifweerstand van staven in ongescheurde buigingszones kan worden bepaald met de cirkel van Mohr. In de vergelijking

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

substitueren we σ_x = σ_cp en τ_z = V_Rd,c S / (I b_w), lossen we V_Rd,c op en verkrijgen we de vergelijking die overeenkomt met de formule in EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

waarbij  

I           het kwadratisch oppervlaktemoment is,

b_w        de breedte van de doorsnede ter hoogte van de zwaartepuntsas is

S          het statisch oppervlaktemoment is van het deel boven de zwaartepuntsas, bepaald om die as,

f_ctd        rekenwaarde van de axiale treksterkte van beton in MPa,

 s_cp       de drukspanning in het beton ter hoogte van de zwaartepuntsas is, als gevolg van belasting en/of voorspanning,

a_l         factor voor de overdrachtslengte, meestal 1,0.

In verband hiermee moet worden opgemerkt dat in zones zonder buigscheuren de weerstand V_Rd ,c  aanzienlijk hoger kan zijn dan in gescheurde zones volgens artikel 6.2.2 (1) [2]. De onderstaande figuur toont duidelijk dat, ook als de afschuifkracht op de extreme plaats wordt getoetst (waar geen scheuren optreden), daarmee niet noodzakelijk is gewaarborgd dat de kracht over de hele liggerlengte kan worden overgedragen. Dit komt door een wijziging in de methode voor de berekening van de afschuifweerstand van het beton. Aan de veilige kant kan de afschuifweerstand uiteraard worden bepaald volgens artikel 6.2.2 (1) [2] ook op plaatsen waar geen scheuren zullen optreden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

Bij de uitdrukking voor V_Rd, c  volgens artikel 6.2.2 (2)[2] moet ook worden opgemerkt dat de toetsing in het algemeen moet plaatsvinden in de vezel met de maximale hoofdtrekspanning in het beton in de zone met normale drukspanning, maar niet in het zwaartepunt van de doorsnede. Voor dit punt moeten de doorsnede-eigenschappen (S en b_W) worden berekend. Om de maximale hoofdspanning s₁ te bepalen trekken we in het programma IDEA RCS een lijn door het zwaartepunt in de richting van de resulterende afschuifkrachten. Deze lijn verdelen we in 20 segmenten. Op deze lijn voegen we nog meer karakteristieke punten toe (punten van de doorsnedepolygoon, het zwaartepunt, de neutrale lijn). In deze punten berekenen we S, b_w, σ_x, τ_yz en σ_1.  In het punt met de maximale hoofdtrekspanning berekenen we de afschuifweerstand.

De afschuifkracht moet vóór toepassing van de reductiefactor b volgens artikel 6.2.2 (6) voldoen aan de extra voorwaarde

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

waarbij 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  waarbij f_ck in MPa is

Afschuifweerstand van staven zonder wapening of met lichte wapening (art. 12.6.3 [2])

De afschuifweerstand van ongewapend of licht gewapend beton kan worden bepaald met de uitdrukking

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

Waarbij

τ_cp vervangen we door

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

of

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

De deelwaarden die in de bovenstaande formule worden gebruikt, worden gegeven door:

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

waarbij  

f_cd,pl     rekenwaarde van de druksterkte van ongewapend of licht gewapend beton,

f_ctd,pl    rekenwaarde van de axiale treksterkte van ongewapend of licht gewapend beton,

f_cvd       rekenwaarde van de afschuifweerstand onder betondruk.

De weerstand van staven met afschuifwapening (art. 6.2.3 [2])

De berekening van de weerstand van gewapend betonnen staven met afschuifwapening is gebaseerd op de vakwerkanalogie met diagonalen onder variabele hoek. De basis van deze methode is het krachtenevenwicht in de driehoek die wordt bepaald door de drukdiagonaalkracht (diagonaal), de kracht in de afschuifwapening (beugel) en de kracht in de langswapening.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

De doorsnede onder afschuifbelasting wordt onder een hoek θ doorsneden door scheuren. Daarom biedt de betondiagonaal met dezelfde hoek weerstand tegen de afschuifkracht. De drukkracht in de diagonaal kan worden uitgedrukt als V_ed/sinθ. Deze kracht moet worden overgedragen door het betonoppervlak loodrecht op de drukdiagonaal b_wzcosθ. De betondrukspanning in de drukdiagonaal is dan gelijk aan:

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

Door $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  en $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ te substitueren en $${{V}_{Rd,max}}$$ uit te drukken, verkrijgen we de vergelijking voor de afschuifweerstand van de diagonaal:

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

Om de verticale krachtcomponent in de drukdiagonaal in evenwicht te brengen, wordt afschuifwapening toegepast. De grootte van de verticale kracht is gebaseerd op de diagonale drukspanning in het betongebied dat overeenkomt met één beugel - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. De grenskracht in de beugel wordt gegeven door \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Na invulling van σ_c en vergelijking met de grens kracht in de wapening verkrijgen we na omwerking:

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

Door vervolgens V_ed uit te drukken als V_RDs verkrijgen we de weerstand van de doorsnede met verticale afschuifwapening:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

De longitudinale afschuifkracht wordt overgedragen door de langswapening en kan worden bepaald als V_edcotgθ . De afleiding van bovenstaande formules is te vinden in [4].

Met het programma IDEA RCS is het alleen mogelijk staven met verticale afschuifwapening te toetsen. In het algemeen kunnen de volgende vergelijkingen worden gebruikt:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

Waarbij  

A_sw      de doorsnede-oppervlakte van de afschuifwapening is,

s           de h.o.h.-afstand van de beugels is,

f_ywd      de rekenwaarde van de vloeigrens van de afschuifwapening is,

b_w        de minimale breedte tussen de trek- en drukgordel is. Voor de berekening van de weerstand V_Rd,max moet de doorsnedebreedte worden verlaagd tot de zogenoemde nominale breedte van de doorsnede indien de doorsnede wordt verzwakt door kabelkanalen

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ voor geïnjecteerde metalen kanalen

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ voor niet-geïnjecteerde metalen kanalen           

υ          = 0,6 voor f_ck ≤ 60MPa of  voor f_ck > 60MPa,

α_cw       een coëfficiënt is die rekening houdt met de spanningstoestand in de drukgordel.

Tab. 1‑1 Bepaling van coëfficiënt α_cw

Hoek θ is de hoek tussen de betondrukdiagonaal en de ligger-as loodrecht op de afschuifkracht. De grenswaarden van cotθ voor gebruik in een land zijn te vinden in de Nationale Bijlage. De aanbevolen grenzen worden gegeven door de uitdrukking:

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

De keuze van de grootte van de hoek θ kan de waarde van de weerstanden beïnvloeden. De afhankelijkheid van de weerstanden is zichtbaar in figuur 1.15. De figuur laat zien dat bij toenemende hoek θ de weerstand V_Rd,max  toeneemt en de weerstand V_Rd,s afneemt. De weerstand V_Rd,c is constant, omdat deze gebaseerd is op de vakwerkanalogie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

Berekening van doorsnede-eigenschappen voor afschuiving

Voor de berekening van afschuiving is het belangrijk om de doorsnedegrootheden te berekenen die de afschuifweerstand beïnvloeden. Deze grootheden omvatten voornamelijk de afschuifweerstand biedende doorsnedebreedte b_w, de effectieve hoogte d en de inwendige hefboomsarm z. De norm [2] geeft deze waarden die direct samenhangen met de werkelijke buigspanning. Het probleem is echter het bepalen van deze waarden wanneer de richting van de resulterende buigende momenten (of nauwkeuriger de richting van de resultante van de doorsnedeweerstand) aanzienlijk afwijkt van de richting van de resulterende afschuifkrachten. In dit geval geeft de EC2-norm geen aanbevelingen.

Afschuifweerstand biedende doorsnedebreedte b_w

Het programma IDEA RCS berekent de afschuifweerstand biedende doorsnedebreedte in de richting loodrecht op de resultante van de afschuif krachten. Afhankelijk van het artikel in de Eurocode wordt deze breedte als volgt bepaald:
-  De kleinste breedte van de doorsnede tussen de resultante van de betondruk en de trekwapening in de richting loodrecht op de resultante van de afschuif krachten voor artikel 6.2.2 (a) en 6.2.3 (1)
- De doorsnedebreedte in een richting loodrecht op de resultante van de afschuif krachten in het getoetste punt volgens artikel 6.2.2 (2)

Effectieve hoogte van een doorsnede

De effectieve hoogte wordt gewoonlijk gedefinieerd als de afstand van de meest gedrukte betonvezel tot het zwaartepunt van de wapening. Omdat deze afstand direct samenhangt met de buiging, wordt deze gegeven als loodrechte projectie op de zwaartelijn van het vlak van de rekken. 

Deze definitie kan worden verduidelijkt door in plaats van het zwaartepunt van de trekwapening de positie van de resultante van de krachten in de wapening te gebruiken. Tijdens de ontwikkeling van het programma IDEA RCS is het volgende probleem opgelost: hoe de effectieve hoogte van de doorsnede te definiëren wanneer het vlak van de buigende belastingen niet overeenkomt met de richting van de resulterende afschuif krachten. Daarom wordt de effectieve hoogte gedefinieerd als de afstand van de meest gedrukte betonvezel  tot de resultante van de krachten in de trekwapening  (op basis van de buigspanning) en in de richting van de resulterende afschuif krachten, zie figuur 1.17.

Uitzonderlijke gevallen treden op wanneer we de gedrukte vezel of de resultante in de trekwapening niet kunnen bepalen. In dat geval raden we aan de waarde 0.9 h te gebruiken (90% van de doorsnedehoogte in de richting van de resulterende afschuif krachten). Deze waarde kan de gebruiker in het programma IDEA RCS definiëren via de instelling van de normvariabelen.

Hefboomsarm van de inwendige krachten

De hefboomsarm van de inwendige krachten staat in 6.2.3 (3) [2] en wordt gedefinieerd als de "afstand tussen de trek- en drukgordel”.  De norm definieert niet hoe te handelen wanneer  het vlak van het werkende buigend moment afwijkt van de richting van de resulterende afschuif krachten. Daarom definiëren we, net als bij de effectieve hoogte, de afstand in de richting van de resulterende afschuif krachten. Ook hier kunnen we te maken krijgen met vergelijkbare uitzonderlijke gevallen, bijvoorbeeld wanneer de hele doorsnede op druk wordt belast, enz. In dat geval nemen we de waarde 0.9 d (90% van de effectieve doorsnedehoogte). Deze waarde kan de gebruiker in het programma IDEA RCS instellen via de instelling van de normvariabelen.

De afhankelijkheid tussen de helling van het buigvlak en de resultante van de afschuifkracht is duidelijk zichtbaar in figuur 1.18 en figuur 1.19. Naarmate de helling toeneemt, nemen de waarden van de effectieve hoogte, de hefboomsarmen en de bijbehorende weerstanden af. De grenstoestand is 90°. Bij deze helling kan de hefboomsarm van de inwendige krachten niet worden berekend, waardoor de hefboomsarm gelijk is aan nul. In dat geval wordt de waarde aangehouden die is opgegeven in de instelling van de normvariabelen. Hierdoor ontstaat een sprong aan het einde van de grafiek. Deze studie toont aan dat het aanbevolen maximum voor de helling ongeveer 20° is.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

Als onderdeel van het testen van de RCS applicatie is een studie uitgevoerd naar de afhankelijkheid van de afschuifweerstand van veranderingen in de normaalkracht. De weerstand V_Rd,max wordt alleen beïnvloed door de coëfficiënt α_cw, zie fig. 1.20. Fig. 1.21 toont een constante waarde van de weerstand V_Rds. Voor de weerstand V_Rdc neemt deze af bij toenemende normaalkracht. De blauwe curve in fig. 1.21 toont de weerstand V_Rdc zonder rekening te houden met de invloed van scheuren en is berekend met de formule in paragraaf 6.2.2 (1) [2]. De sprong in de overgang tussen druk en trek wordt veroorzaakt door de bijdrage van de trekwapening. De rode curve wordt berekend met de formule in paragraaf 6.2.2 (2) [2]. Nadat de eerste scheur is ontstaan, is de afhankelijkheidscurve gelijk aan die voor 6.2.2 (1) [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$