In der Praxis begegnen Ingenieuren verschiedene Arten finiter Elemente (von einfachen 1D-Stabelementen bis zu komplexeren 3D-Volumenelementen). Sie werden in vielfältigen Anwendungen für die Analyse und Bemessung tragwerksbezogener Elemente eingesetzt. Ein gemeinsames Merkmal der meisten Berechnungen in der Praxis ist das lineare Verhalten der Modelle. Seine Vorteile sind zweifellos Schnelligkeit und Übersichtlichkeit. Hinzu kommt, dass diese Lösung für eine große Bandbreite an Problemen völlig ausreicht.

Gerade bei Betonstrukturen reicht der lineare Ansatz häufig nicht aus. Nach dem Auftreten der ersten Risse im belasteten Element werden die Spannungen umgelagert, und das Problem wird deutlich nichtlinear.

In diesen Fällen muss ein anspruchsvollerer Ansatz gewählt werden. Für 1D-Fälle finden sich oft analytische Verfahren, die direkt in den Normen definiert sind. Für ebene 2D-Elemente und Diskontinuitätsbereiche (D-Bereiche) können beispielsweise die beliebten Strebe-und-Zugband-Modelle aufgebaut werden. Alternativ kann das anspruchsvollere Spannungsfeldverfahren CSFM eingesetzt werden, das in IDEA StatiCa Detail implementiert ist.

Stößt der Ingenieur jedoch auf ein Problem, das sich nicht auf ebenes Verhalten vereinfachen lässt, sind die Möglichkeiten sehr begrenzt. Natürlich kann ein 3D-Strebe-und-Zugband-Modell aufgebaut oder halbwissenschaftliche Software für eine genaue Analyse verwendet werden. Diese Vorgehensweisen sind oft zeitaufwendig und nicht normgerecht. Außerdem erfordern sie einen Ingenieur mit Kenntnissen in fortgeschrittenen Modellierungsmethoden.

Aus diesem Grund hat IDEA StatiCa das 3D-CSFM (Kompatibles Spannungsfeldverfahren) in der Detail-Anwendung entwickelt und implementiert. Das 3D-CSFM erweitert das etablierte CSFM um die dritte Dimension. Es bietet eine schnelle und normgerechte Lösung, die vor allem für den Ingenieur im Alltag geeignet ist. So erhält er die neue Möglichkeit, komplexe Details von Betonstrukturen sicher zu bearbeiten.

3D CSFM definiert das Betonverhalten auf Grundlage der modifizierten Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie für monotone Belastung. Das Verfahren berücksichtigt Betonhauptspannungen im Druckbereich und Bewehrungsspannungen (σ_sr) an den Rissen und vernachlässigt dabei die Betonzugfestigkeit (Zugabschneidung), mit Ausnahme ihres Versteifungseffekts auf die Bewehrung (Zugverfestigung).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Die Bewehrungsstäbe sind über Verbundelemente mit den Volumen-Finite-Elementen des Betons verbunden, sodass ein Schlupf zwischen Beton und Bewehrung möglich ist. Es ist zu beachten, dass 3D CSFM nicht für die Simulation von unbewehrtem Beton geeignet ist, da keine Zugfestigkeit angesetzt wird. Dies kann zu irreführenden Verformungen und zur Divergenz des Modells führen. Im Allgemeinen enthält die Mohr-Coulomb-Theorie zwei grundlegende Eigenschaften, welche die Entwicklung der Plastizitätsfläche im Druckbereich und teilweise im Zugbereich bestimmen: den Winkel der inneren Reibung φ und den Kohäsionsparameter c. 3D CSFM setzt einen Winkel der inneren Reibung von null an (Abb. 1.2.1e). Das führt zu einer konservativen Bemessung, da die Plastizitätsfläche dem Tresca-Modell ähnelt, das unabhängig von der ersten Spannungsinvariante ist.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Das dargestellte Materialmodell ist ein Mehrflächen-Plastizitätsmodell, das sich aus der Kombination der Modelle von Mohr-Coulomb und Rankine für monotone Belastung ergibt. Es ist wichtig zu beachten, dass dieses Modell die Entlastung nicht abbildet. Daher werden keine Zustandsvariablen gespeichert, wie dies bei klassischen Plastizitätsmodellen für zyklische Belastung der Fall wäre.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Wie bereits erwähnt, ist das Materialmodell für Anwendungen vorgesehen, die das Verhalten von Stahlbeton berechnen (nicht geeignet für unbewehrten Beton). Der Grund dafür ist, dass Beton auf Zug nicht berücksichtigt wird. Daher ist das Modell auch nicht für tragwerksbezogene Elemente geeignet, bei denen die Bemessungsregeln für Stahlbeton, wie z. B. der Mindestbewehrungsgrad oder der maximale Stababstand, nicht erfüllt sind. Zusätzlich ist anzumerken, dass im Modell aus Gründen der numerischen Stabilität eine sehr geringe Zugtragfähigkeit definiert wird. Der Zugbereich wird durch Ebenen begrenzt, die dem Rankine-Modell entsprechen.

3D CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. es wird ein unendlich plastischer Ast nach Erreichen der Höchstspannung angesetzt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von Strukturen zu überprüfen, die auf Druck versagen. Ihre Traglast wird jedoch zutreffend vorhergesagt, wenn die mit steigender Festigkeit zunehmende Sprödigkeit des Betons durch den im fib Model Code 2010 definierten Abminderungsfaktor 𝜂_𝑓𝑐 berücksichtigt wird. Dieser ist wie folgt definiert:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

f_c die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons ist (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Der Wert f_c,red wird anschließend mit der äquivalenten Hauptspannung σ_c,eq im Beton verglichen, die weiter unten definiert wird, selbstverständlich unter Berücksichtigung aller in der Norm vorgeschriebenen Sicherheitsbeiwerte.

Eine detaillierte Beschreibung des Betonmodells finden Sie unter folgendem Link:

• Betonmaterialmodell für 3D Detail

Bewehrung

Das bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm für Bewehrungsstäbe, wie es in den Normen definiert ist (Abb. 1.2.1d), stellt ein idealisiertes Modell dar. Dieses Modell erfordert in der Bemessungsphase die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung, insbesondere der Festigkeits- und Duktilitätsklasse. Alternativ können Anwender eine benutzerdefinierte Spannung-Dehnung-Beziehung definieren.

Die Zugverfestigung wird berücksichtigt, indem die Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs so modifiziert wird, dass sie die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) abbildet (Abb. 1.2.1b).

Verankerung

Der Verbundschlupf zwischen Bewehrung und Beton wird im Finite-Elemente-Modell durch die vereinfachte starr-ideal-plastische Werkstoffbeziehung eingeführt, die in (Abb. 1.2.1f) dargestellt ist. Dabei ist f_bd der Bemessungswert (Rechenwert) der Verbundspannung im Grenzzustand der Tragfähigkeit, der in der Norm für die jeweiligen Verbundbedingungen angegeben ist.

Dies ist ein vereinfachtes Modell, dessen einziger Zweck der Nachweis der Verbundvorgaben nach den Normen ist (d. h. der Verankerung der Bewehrung). Die Reduzierung der Verankerungslänge bei Verwendung von Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann durch die Definition einer bestimmten Tragfähigkeit am Ende der Bewehrung berücksichtigt werden, wie weiter unten beschrieben.

Anker

Das Ankerelement ist so definiert, dass es normale Zug- oder Druckkräfte sowie Querkräfte unter Berücksichtigung der Biegesteifigkeit übertragen kann. 

Die folgenden Ankertypen stehen zur Verfügung:

• Ortbeton-Anker

  • Bewehrung
  • Unterlegplatte
  • Kopfbolzen
• Ortbeton-Bewehrung

  • Bewehrung
  • Gewindestangen

Ortbeton – Bewehrung

Wird als gerippte Bewehrung modelliert, die im Beton eingebettet ist. Die Verbundfestigkeit wird nach den Regeln der gewählten Norm in gleicher Weise wie bei Standardbewehrung berechnet. Am Ankerende kann eine Verankerungsart definiert werden, die identisch zur Bewehrung funktioniert – es wird eine Verankerungsfeder mit dem β-Faktor nach der gewählten Norm angesetzt. Es stehen drei geometrische Formen zur Verfügung: Gerade, L-Form, U-Form.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Ortbeton – Unterlegplatte und Kopfbolzen

Die Unterlegplatte und der Kopf des Kopfbolzens werden als Platten-Schalen-Element aus dem entsprechenden Material modelliert, das direkt am Ankerschaft befestigt ist. Es überträgt die Last über einen reinen Druckkontakt in den Beton. Verfügbare Formen: kreisförmig und quadratisch (für den Kopfbolzen nur kreisförmig), mit anpassbaren Abmessungen. Das Modell der Unterlegpllatte und des Kopfes ist elastisch und wird nicht auf Tragfähigkeit nachgewiesen. 

Auf der Ebene des Finite-Elemente-Modells wird das Herausziehen des Ankers direkt nachgewiesen. Für den Druckkontakt sind Abbruchkriterien festgelegt, sodass er keine größere Kontaktspannung in den Beton übertragen kann, als die gewählte Norm vorschreibt. In der Praxis bedeutet das: Wird der Anker mit einer Kraft belastet, die den Nachweis des Auszugversagens nicht erfüllt, bricht die Berechnung vorzeitig ab, weil dieses Abbruchkriterium bei weiterer Laststeigerung überschritten würde.

Der Ankerschaft hat eine Verbundfestigkeit von null – die gesamte Last wird über die Platte oder den Kopf in den Beton übertragen.

Nachträglich eingebaut – Bewehrung und Gewindestange

Ausgeführt als Stäbe, die in Bohrlöcher eingesetzt und mit Mörtel verklebt werden. Der Ingenieur gibt die Bemessungswert der Verbundfestigkeit direkt aus der technischen Spezifikation des Mörtelprodukts an.

Materialmodell von Ankern aus Schraubenwerkstoff

Bei Ankern aus Schraubenwerkstoff (Gewindestangen und Anker mit Unterlegplatten) weichen zwei Eigenschaften des Materialmodells von den Nennwerten des Schraubenwerkstoffs ab: der Elastizitätsmodul und die Duktilität. Beide beschreiben das Verhalten der Schraubenbaugruppe und die Geometrie der Prüfkörper, an denen die Nennwerte gemessen werden. Sie sind unabhängig von der Norm und werden daher für alle Normen identisch angesetzt. Sowohl das nominelle Spannung-Dehnung-Diagramm des Schraubenwerkstoffs als auch das durch die Koeffizienten C_E und C_A modifizierte Diagramm werden in der Registerkarte Materialien angezeigt (Abb. 1.2.4).

Elastische Steifigkeit. Der Elastizitätsmodul des Schraubenwerkstoffs wird mit dem Koeffizienten C_E abgemindert:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - Elastizitätsmodul der Schraube
• E_b - Elastizitätsmodul des in der Berechnung verwendeten Ankers

Dieser Ansatz wurde auf Grundlage aktueller Forschungsarbeiten übernommen (noch nicht veröffentlicht; die Quelle wird nach der Veröffentlichung ergänzt). Darin wurde der effektive Elastizitätsmodul der Schraubenbaugruppe mittels Finite-Elemente-Analyse anhand einer umfangreichen Datenbank von Schraubenversuchen kalibriert. Dies wird durch bereits veröffentlichte Versuchsergebnisse von Janković et al. (2025) bestätigt: In 66 Zugversuchen an 1000 mm langen Gewindestangen (M20 bis M30, Festigkeitsklassen 8.8 und 10.9) entsprach die gemessene Anfangssteifigkeit 0,8·E·A_s/L_b. Das mittlere Verhältnis von vorhergesagter zu gemessener Steifigkeit betrug 0,98, der Variationskoeffizient 7,9 %. Bei Stangen dieser Länge ist der Einfluss der Muttern und des Gewindeeingriffs vernachlässigbar. Die Abminderung entspricht daher einem effektiven Elastizitätsmodul der Gewindestange selbst. Derselbe Faktor ist übrigens in der Steifigkeit einer auf Zug beanspruchten Schraube nach EN 1993-1-8 enthalten (Beiwert 1,6 für eine Schraubenreihe aus zwei Schrauben).

Duktilität. Die Duktilität des Schraubenwerkstoffs wird durch die Bruchdehnung A in Prozent charakterisiert, typischerweise etwa 10 %. Diese Werte werden an kurzen Probestäben gemessen, bei denen die lokale Einschnürung einen großen Teil der gemessenen Dehnung ausmacht. Die Länge der Einschnürzone hängt nicht von der Probenlänge ab, sodass die prozentuale Dehnung mit zunehmender Probenlänge abnimmt. Bei Ankern, die mehrere hundert Millimeter tief im Beton eingebettet sind, liegt sie wesentlich unter dem angegebenen Wert. Die Anwendung verwendet daher die abgeminderte Duktilität:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - Bruchdehnung des Schraubenwerkstoffs in Prozent
• A_red - abgeminderte Duktilität, verwendet als Dehnungs-Abbruchkriterium des Ankers
• C_A - Abminderungsbeiwert der Duktilität
• L_s - Einbettlänge des Ankers [mm]

Erreicht die Dehnung im Anker den Wert A_red, ist das Abbruchkriterium erfüllt und die Berechnung wird beendet, genauso wie bei den übrigen Abbruchkriterien von 3D CSFM.

Die Gleichung wurde auf Grundlage aktueller Forschungsarbeiten übernommen (noch nicht veröffentlicht; die Quelle wird nach der Veröffentlichung ergänzt). Diese liefern eine Näherung der plastischen Verformung einer Schraube bei ihrer Grenztragfähigkeit, kalibriert anhand einer umfangreichen Datenbank von Schraubenversuchen: Δ_u,p = A · (0,177 · L + 2,19), wobei L die verformte Länge der Schraube in mm ist. Der längenproportionale Term stellt die gleichmäßige Dehnung der Stange dar, der konstante Term den lokalen Beitrag der Einschnürung. In der Anwendung wird als diese Länge die Einbettlänge des Ankers L_s angesetzt. Die Division von Δ_u,p durch L_s ergibt die Dehnung A/C_A. Der Beiwert C_A steigt mit der Länge und nähert sich dem Grenzwert 1/0,177 = 5,65. Bei Einbettlängen von 200 mm und mehr überschreitet er 5,3, sodass die Duktilität des Ankers auf etwa ein Fünftel des Nennwerts reduziert wird, z. B. von 12 % auf etwa 2,2 % bei L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Weitere Informationen zum Anschluss der einzelnen Ankertypen an die Fußplatte oder die einbetonierte Platte finden Sie im Kapitel Finite-Elemente-Typen - Lastübertragende Elemente. 

Im folgenden Kapitel betrachten wir, wie die Mohr-Coulomb-Theorie in 3D CSFM umgesetzt wird. Wir erklären, wie der Umschnürungseffekt (dreiachsiger Spannungszustand) berücksichtigt wird und wie die Vergleichshauptspannung σ_c,eq berechnet wird, die zur Bestimmung der Tragfähigkeit aus Sicht des Betons verwendet wird.

Einführung in die Theorie

Die Mohr-Coulomb-Theorie ist ein mathematisches Modell, das das Verhalten spröder Werkstoffe unter Querkraft- und Normalspannung beschreibt. Die meisten klassischen Baustoffe folgen dieser Regel zumindest in einem Teil ihrer Schubbruchhüllkurve. Im Allgemeinen gilt die Theorie für Werkstoffe, bei denen die Druckfestigkeit die Zugfestigkeit deutlich übersteigt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.1\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

Im Tragwerksbau wird sie verwendet, um die Bruchlast sowie den Bruchwinkel für die Verschiebung der Bruchfläche in Beton und ähnlichen Werkstoffen zu bestimmen. Die Coulombsche Reibungshypothese dient dazu, die Kombination aus Querkraft- und Normalspannung zu bestimmen, die zum Bruch des Werkstoffs führt. Der Mohrsche Spannungskreis wird verwendet, um zu bestimmen, welche Hauptspannungen diese Kombination aus Querkraft- und Normalspannung erzeugen und unter welchem Winkel die zugehörige Ebene liegt. Nach dem Normalitätsprinzip steht die beim Versagen auftretende Spannung senkrecht zu der Linie, die den Bruchzustand beschreibt. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.2\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Es lässt sich zeigen, dass bei einem Werkstoff, der nach der Coulombschen Reibungshypothese versagt, die beim Versagen auftretende Verschiebung mit der Bruchlinie einen Winkel bildet, der dem Reibungswinkel entspricht. Dadurch lässt sich die Festigkeit des Werkstoffs bestimmen, indem die äußere mechanische Arbeit, die durch die Verschiebung und die äußere Last eingebracht wird, mit der inneren mechanischen Arbeit verglichen wird, die durch die Dehnung und Spannung an der Bruchlinie entsteht. Nach dem Energieerhaltungssatz muss die Summe dieser Arbeiten null ergeben, wodurch die Bruchlast der Konstruktion berechnet werden kann.

Umsetzung in 3D CSFM

Für einen gegebenen Winkel der inneren Reibung des Betons, der in Referenz [1], [2], [3], [4] bei etwa φ = 30-40° liegt, sowie für die Zug- und Druckfestigkeit des Betons lassen sich die Mohrschen Spannungskreise wie in Abbildung 1.3.3 konstruieren.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.3\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Dabei ist f_c die Druckfestigkeit des Betons, f_ct die Zugfestigkeit des Betons, φ der Winkel der inneren Reibung und σ_c1, σ_c3 sind die Hauptspannungen des Betons unter dreiachsigem Druck.

Es ist zu erkennen, dass mit zunehmender Hauptspannung σ_c3 auch die maximal mögliche Differenz zwischen den Werten σ_c3 und σ_c1 zunimmt, die wir als maximales σ_c,eq definieren (siehe unten). Diese Differenz entspricht dem Doppelten der in der Literatur als Radius der Mohrschen Spannungskreise definierten deviatorischen Spannung.

In 3D CSFM, wie es in IDEA StatiCa Detail umgesetzt ist, wird der Winkel der inneren Reibung mit φ = 0°, angesetzt, wie in Abbildung 7 dargestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.4\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Die praktische Folge dieser Umsetzung ist, dass die maximale Differenz zwischen σ_c3 und σ_c1 bei zunehmendem σ_c3 konstant bleibt. 

Die Vergleichshauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand aus.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Der Wert σ_c,eq kann daher direkt mit den einachsigen Festigkeitsgrenzen nach den Normen verglichen werden.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Dabei ist σ_c,lim der Bemessungswert (mit Teilsicherheitsbeiwerten abgeminderte Wert) der einachsigen Festigkeit des Betons f_c.

Vergleicht man Abbildung 1.3.3, in der der reale Winkel der inneren Reibung verwendet wird, mit Abbildung 1.3.4, die die Umsetzung der Mohr-Coulomb-Theorie mit einem Winkel der inneren Reibung von null zeigt, so wird deutlich, dass der für die Berechnungen in Detail gewählte Ansatz für die Bewertung des dreiachsigen Spannungszustands sehr konservativ ist.

Zum besseren Verständnis der Bereiche, die von dreiachsigem Druck betroffen sind, wurde in der IDEA StatiCa Detail-Anwendung der Ausdruck für die Erhöhung der effektiven Materialfestigkeit infolge dreiachsigen Drucks als Verhältnis σ_c3/σ_c,lim ergänzt. Dieses Verhältnis finden Sie im Normnachweis der Festigkeit.

In den Hilfsergebnissen findet der Anwender außerdem den Faktor κ, der die Dreiachsigkeit auf andere Weise beschreibt. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

Der Nachweis der Betonfestigkeit kann dann wie folgt umgeschrieben werden:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Aus dem Vorangegangenen folgt: Befindet sich das Element unter hydrostatischer Spannung – σ_c3=σ_c2=σ_c1, so hat die Vergleichshauptspannung σ_c,eq den Wert null, und der Kappa-Faktor geht gegen unendlich.

Weitere Informationen finden Sie hier: Dreiachsiger Spannungszustand – der aktive Umschnürungseffekt

Gleichgewichtsgleichungen

Die Theorie kleiner Verformungen ermöglicht es, die Gleichgewichtsgleichung am unverformten Volumen mit einem Ansatz erster Ordnung aufzustellen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.1\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Kompatibilitätsgleichungen

Ein Festkörper besteht aus infinitesimalen Volumenelementen oder Materialpunkten, die jeweils lückenlos und überlappungsfrei miteinander verbunden sind. Es müssen mathematische Bedingungen eingehalten werden, um das Auftreten von Lücken oder Überlappungen zu verhindern, wenn sich ein Kontinuum verformt.

Konstitutive Gleichungen

Die konstitutiven Gleichungen, die das Verhalten von 3D-Elementen beschreiben, spielen bei der Analyse des Materialverhaltens in der Baumechanik eine zentrale Rolle. Diese Gleichungen sind so formuliert, dass sie das nichtlineare isotrope Verhalten abbilden, das für Volumenkörper-Bauteile in IDEA StatiCa Detail gilt. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.2\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

Das 3D-CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (3D-Finite-Elemente), ergänzt durch diskrete „Stab“-Elemente, welche die Bewehrung abbilden (1D-Finite-Elemente). Daher ist die Bewehrung nicht diffus in die 3D-Finite-Elemente des Betons eingebettet, sondern explizit modelliert und mit diesen verbunden. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.1.1\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Das nichtlineare (inelastische) Finite-Elemente-Analysemodell wird aus mehreren Typen finiter Elemente erstellt, mit denen Beton, Bewehrung und der Verbund zwischen beiden modelliert werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und anschließend mithilfe von Mehrpunkt-Randbedingungen (MPC-Elemente) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung jede beliebige Position einnehmen und ist nicht auf die Knoten des Tetraedernetzes beschränkt. Zum Nachweis der Verankerungslänge werden zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen Verbund- und Verankerungsendfederelemente eingefügt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.1\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Beton

Beton wird mit gemischten Tetraederelementen mit Knotenrotationen analysiert. Die Tetraederelemente ermöglichen es, Bereiche beliebiger Topologie zu vernetzen. Die implementierte Formulierung garantiert dabei genaue Verformungsergebnisse (ohne parasitäre Schubspannungen, bekannt als Schubversteifung bzw. Shear-Lock-Effekt), selbst bei einem groben Netz, das für die Formulierung linearer Tetraederelemente nicht geeignet wäre. 

Es wird eine volle Integration verwendet. Das bedeutet, dass jedes Element mit vier Integrationspunkten innerhalb des Volumens ausgestattet ist. Eine solche Integration liefert ein präzises Dehnungs- und Spannungsfeld und ermöglicht eine ausreichende Auswertung und Darstellung der Ergebnisse über das gesamte Volumen. Anschließend werden die Abbruchkriterien anhand des Wertes im Integrationspunkt festgelegt.

Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch zweiknotige 1D-„Stab“-Elemente (CROD) modelliert, die nur eine Axialsteifigkeit besitzen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbund“-Elementen verbunden, die entwickelt wurden, um das Schlupfverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend durch MPC-Elemente (Mehrpunkt-Randbedingung) mit dem Netz verbunden, das den Beton darstellt. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung später sichergestellt wird.

Verbundelemente

Die Verankerungslänge wird nachgewiesen, indem die Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (3D) und Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell berücksichtigt werden. Zu diesem Zweck wurde der finite Elementtyp „Verbund“ entwickelt.

Das Verbundelement ist als finites Schalenelement definiert, das mit der ersten Lage an die Elemente der Bewehrung und mit der zweiten Lage über Mehrpunkt-Randbedingungen (MPC-Elemente) an das Betonnetz angeschlossen ist. Es ist zu beachten, dass das Verbundelement in diesem Artikel stets mit einer von null verschiedenen Höhe dargestellt wird, die im Modell jedoch als infinitesimal definiert ist.

Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b als bilineare Funktion des Schlupfes zwischen dem oberen und dem unteren Knoten, δu, beschrieben, siehe (Fig. 2.2.2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.2\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

Der elastische Steifigkeitsmodul der Verbund-Schlupf-Beziehung, Gb, ist wie folgt definiert:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            Beiwert in Abhängigkeit von der Oberfläche des Bewehrungsstabes (standardmäßig kg = 0,2)

E_c            Elastizitätsmodul des Betons (bei EN als Ecm angesetzt)

Ø             der Durchmesser des Bewehrungsstabes

Zum Nachweis der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte (Werte mit Teilsicherheitsbeiwerten) der Verbundspannung im Grenzzustand der Tragfähigkeit, f_bd, aus den jeweils gewählten Normen EN 1992-1-1 oder ACI 318-19 verwendet. Die Verfestigung des plastischen Astes wird standardmäßig als Gb/105 berechnet.

Verankerungsfeder

Die Ausbildung von Verankerungsenden der Bewehrungsstäbe (d. h. Biegungen, Haken, Schlaufen …), die die Vorgaben der Normen erfüllt, ermöglicht die Reduzierung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als „Verankerungsbeiwert“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (lb) wird dann wie folgt berechnet:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.3\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

Die Reduzierung der Verankerungslänge wird im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende (Fig. 2.2.3a) berücksichtigt, das durch das in (Fig. 2.2.3b) dargestellte Materialgesetz definiert ist. Die maximale von dieser Feder übertragene Kraft (F_au) beträgt:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

wobei:

β             der Verankerungsbeiwert in Abhängigkeit von der Verankerungsart

A_s            die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabes

f_yd           der Bemessungswert (Wert mit Teilsicherheitsbeiwert) der Streckgrenze der Bewehrung

Fußplatte

Die Fußplatte wird als elastisches Schalenelement modelliert. Der für Fußplatten verwendete Stahl wird in der Registerkarte Materialien definiert. Die einzige physikalische Eigenschaft ist der Elastizitätsmodul E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.1\qquad The base plate material definition}}}$$

Die Fußplatte kann durch Punktlasten (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) und durch eine Kraftgruppe (Fx, Fy, Fz) belastet werden. Letztere wird hauptsächlich für Lastmodelle verwendet, die aus IDEA StatiCa Connection exportiert wurden. Beachten Sie, dass Punktlasten und Punktmomente den entsprechenden Knoten der Fußplatte direkt belasten. Das bedeutet, dass keine Umlagerung stattfindet, außer durch die Steifigkeit der Fußplatte. 

Diese Implementierung ermöglicht den Import von Lasteffekten aus IDEA StatiCa Connection, die an der Position der einzelnen Schweißnaht-Finite-Elemente auf die Fußplatte aufgebracht werden. Betrag und Richtung werden aus der allgemeinen Spannung dieses Schweißnaht-Finite-Elements ermittelt. Weitere Informationen finden Sie im entsprechenden Kapitel dieses Dokuments.

Die zweite Belastungsoption ist der Stummel. Er stellt einen kurzen Abschnitt der Stütze oberhalb der Fußplatte dar. Der Stummel wird als Struktur aus elastischen Schalenelementen modelliert und wirkt als physikalisch zutreffende Schnittstelle zwischen den Schnittgrößen und der Platte. Der Anwender wählt für den Stummel einen Querschnitt aus einer Standard-Profildatenbank. Der Schnittgrößensatz mit 6 Komponenten (Kräfte und Momente) wird in einem einzelnen Punkt an der Unterseite des Stummels aufgebracht, d. h. am Fuß der Stütze. Randbedingungen übertragen die Kräfte zur Oberseite des Stummels. Von dort werden sie auf natürliche Weise über den Stummel in die Fußplatte, die Anker und den Beton umgelagert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.2\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Querkraftübertragungsmechanismus (von der Fußplatte zum Betonblock)

Zwischen der Fußplatte und dem Beton wird ein Reibungskontakt definiert, der nur Druck überträgt. Für die Querkraftübertragung kann der Anwender zwischen drei Optionen wählen:

• Über Anker
• Über Reibung
• Über Schubknagge

Die Software erlaubt keine Kombination dieser Querkraftübertragungsmechanismen. 

Der Reibungskoeffizient sollte als Bemessungswert (mit Teilsicherheitsbeiwerten) eingegeben werden. Übersteigt die resultierende Querkraft F_xy das Produkt aus der Druckkraft F_z und dem Reibungskoeffizienten μ, bricht die Berechnung ab, und nicht alle Lasten werden auf das Modell aufgebracht. Die Bedingung lautet wie folgt:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Dies ist im folgenden Beispiel zu sehen, in dem zwei Lastfälle betrachtet werden. 

• LC1 - Ständige Einwirkung - F_z = 100 kN
• LC2 - Veränderliche Einwirkung - F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.3\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

Im ersten Berechnungsschritt wird die gesamte ständige Last aufgebracht. Anschließend wird die veränderliche Last schrittweise gesteigert, bis sie den Wert der Druckkraft multipliziert mit dem Reibungskoeffizienten erreicht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.4\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

Das Diagramm in Abbildung 2.3.5 definiert das Verhalten des Reibungskontakts zwischen der Fußplatte und dem Beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.5\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

Der Wert von F_zμ unterscheidet sich in jedem Berechnungsinkrement, während der Wert der maximalen Schubverformung u_xy konstant ist. 

Werden die Druck-Normalkraft F_z und die Querkraft F_xy in einem einzigen Lastfalltyp eingegeben (z. B. nur ständig) und ist die Bedingung F_xy / (F_zμ) ≤ 1 nicht erfüllt, wird keine Last auf das Modell aufgebracht, da die Bedingung in keinem Berechnungsinkrement erfüllt ist.

Die Schubknagge ist über Randbedingungen mit dem Betonnetz verbunden, die nur eine Übertragung von Druck-Normalspannungen zulassen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.6\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

Die Schubknagge wird aus elastischen Schalenelementen modelliert, wobei der Elastizitätsmodul E das Material definiert.

Für die Fußplatte sowie für die Schubknagge werden keine Ergebnisse ausgewertet und angezeigt.

 Optionen der Fußplatte  (Abstand, Vergussmörtel)

Die folgenden Optionen für den Abstand stehen zur Verfügung. Sie sind vollständig auf die Connection-Anwendung abgestimmt.

• Direkt
• Mörtelfuge – Muttern von oben
• Mörtelfuge – Muttern von oben und unten
• Spalt

Die Mörtelschicht wird als Schalenelement modelliert, wobei ihre Steifigkeit berücksichtigt wird. Beachten Sie, dass Schalenelemente in Dickenrichtung inkompressibel sind. Dies hilft, lokale Kräfte in den Beton umzulagern, und ist für die in der Praxis üblichen Mörtelbettdicken von 25–50 mm zutreffend.

Die Unterscheidung zwischen Muttern nur von oben (gelenkige Verbindung zwischen Anker und Fußplatte) und Muttern von oben und unten (feste Verbindung zwischen Anker und Fußplatte) beeinflusst die Querkrafttragfähigkeit hinsichtlich der Lochleibung im Beton erheblich.

Anker

Die Finiten Elemente, die Anker darstellen, werden so modelliert, dass sie Normal- und Querkräfte in den Beton übertragen können und dabei auch die Biegesteifigkeit der Anker berücksichtigen. Um den Schlupf zwischen dem Anker und dem umgebenden Beton abzubilden, werden dieselben Verbund- und MPC-Elemente verwendet wie für die Bewehrung. Mit den folgenden Unterschieden:

• Für nachträglich eingebaute (Verbund-)Anker muss die Bemessungswert-Verbundfestigkeit angegeben werden.
• Bei Unterlegplatten und Kopfbolzen wird der Verbund entlang des Ankerschafts vernachlässigt. Die gesamte Axiallast wird dann über die Unterlegplatte oder den Kopf des Ankers in den Beton übertragen.

Verbund innerhalb der Betondeckung - Bei Ankern, die über Verbund entlang des Schafts mit dem Beton verbunden sind, d. h. einbetonierten Bewehrungsankern und nachträglich eingebauten (Verbund-)Ankern, sind die Verbundelemente innerhalb der Betondeckung nicht aktiv. Die Anwendung bestimmt die Betondeckung automatisch als Abstand von der Betonoberfläche bis zur Außenfläche der oberflächennahen Bewehrung (Abb. 2.3.7a). Auf dieser Länge ist die Verbundfestigkeit zwischen dem Anker und dem Beton null. Der Anker ist nur unterhalb der Betondeckung, über den verbleibenden Teil seiner Verankerungstiefe, durch Verbundelemente mit dem Beton verbunden (Abb. 2.3.7b). Die gesamte über Verbund übertragene Last wird daher in den Beton eingeleitet, der von der oberflächennahen Bewehrung umschlossen wird. Die Verbundspannungen des Ankers innerhalb der Betondeckung sind in den Ergebnissen null.

Der Grund ist das unterschiedliche Versagensverhalten der Betondeckung. 3D CSFM verwendet für Beton ein plastisches Materialmodell, das eine Umlagerung der Spannungen ermöglicht (siehe Kapitel 1.2). Die Betondeckung nahe einer freien Oberfläche versagt jedoch spröde, gesteuert durch die Bruchmechanik, und ohne plastische Reserve. Wäre der Verbund innerhalb der Betondeckung aktiv, würde das Modell in einem Bereich ein Druckfeld aufbauen, das in der Realität nicht zuverlässig aufgenommen werden kann. Es würde den Beitrag der Betondeckung zur Tragfähigkeit des Ankers überschätzen. Dieser Fehler wächst mit der Dicke der Betondeckung. Zudem ist die Betondeckung der Teil des Modells, der der Umgebung ausgesetzt ist (Karbonatisierung, Chloride, aggressive Stoffe). Ihre Eigenschaften können sich daher während der Nutzungsdauer der Struktur verschlechtern. Die Vernachlässigung des Verbunds innerhalb der Betondeckung ist somit eine konservative Annahme, die mit den Grundannahmen von 3D CSFM übereinstimmt.

Diese Annahme gilt nur für Anker, die die Last über Verbund entlang des Schafts in den Beton übertragen. Kopfbolzen und Anker mit Unterlegplatten übertragen die Axiallast über den Kopf bzw. die Platte, ohne Verbund entlang des Schafts, und sind daher nicht betroffen.Gewöhnliche Bewehrung ist ebenfalls nicht betroffen. Der Einfluss auf die Tragfähigkeit ist am stärksten bei Ankern, deren Tragfähigkeit vom Verbund bestimmt wird und die in Bauteilen mit großer Betondeckung eingebaut sind, da ein größerer Teil der Verankerungstiefe nicht mitwirkt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.7\qquad Anchor with bond along the shank}}}$$

Anker können mit Fußplatten verbunden werden. Für diese Verbindung wird eine vollständig nichtlineare Randbedingung verwendet, die das Ankerende mit einem Knoten der Fußplatte koppelt. Diese Randbedingung ermöglicht es, alle Freiheitsgrade zu steuern. So lässt sich beispielsweise sicherstellen, dass die Anker keine Druckkraft von der Fußplatte übertragen oder dass bei der Modellierung einer Schubknagge keine Querkraft über den Anker übertragen wird. 

Mit den Eigenschaften Verbindung mit der Fußplatte für Anker legt der Anwender fest, ob und wie der Anker über die zuvor genannte Randbedingung mit der Fußplatte verbunden wird. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.8\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

Mit dem Kontrollkästchen Querkraftübertragung wird gesteuert, ob Anker und Fußplatte hinsichtlich der Querkraft verbunden sind. Beachten Sie, dass die Kombination von Querkraftübertragungsmechanismen nicht unterstützt wird. Bei der Übertragung über Reibung und Schubknagge ist dieses Kontrollkästchen daher ohne Bedeutung. Bei der Querkraftübertragung über Anker bietet dieses Feld hingegen die Möglichkeit, einzelne Anker von der Querkraftübertragung auszuschließen.

Mit dem Kontrollkästchen Übertragung von Axialkräften wird gesteuert, ob Anker und Fußplatte in Axialrichtung verbunden sind. Es wird hauptsächlich für den Export aus der Connection-Funktion verwendet (siehe entsprechendes Kapitel). Bei der manuellen Modellierung ist es sinnvoll, dieses Kontrollkästchen stets aktiviert zu lassen.

Ist das Kontrollkästchen deaktiviert, ist der Anker sowohl auf Zug als auch auf Druck getrennt (bei einem aus der Connection-Anwendung exportierten Modell wird die Verbindung durch ein Kräftepaar ersetzt). Ist das Kontrollkästchen aktiviert, ist der Anker auf Zug stets mit der Platte verbunden. Die Verbindung auf Druck wird dagegen durch den Ankertyp und die Art des Abstands bestimmt. Weitere Informationen finden Sie in Abbildung 2.3.8.

Geschnittenes Gewinde

Wird über ein Kontrollkästchen in den Ankereigenschaften gesteuert und hat zwei Zwecke:

1. Es definiert, wie der Anker mit der Fußplatte verbunden wird:

• Bei Kopfbolzen und einbetonierter Bewehrung, die mit der Fußplatte verbunden sind (nicht bei einbetonierten Platten), wird zwischen einer Schraubverbindung (gelenkig) und einer Schweißverbindung (fest) unterschieden. Dies ist in der 3D-Szene sichtbar.
• Beachten Sie, dass die Art der Verbindung zwischen Anker und Platte die Querkrafttragfähigkeit hinsichtlich der Lochleibung im Beton erheblich beeinflusst.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.9\qquad Cut threads options}}}$$

2. Für den Eurocode wird die Tragfähigkeit des Ankers mit geschnittenem Gewinde nach EN 1993-1-8 3.6.1 (3) abgemindert. Dies kann in den Projekteinstellungen festgelegt werden. Für Gewindestangen und Unterlegplatten wird empfohlen, diese Einstellung stets aktiviert zu lassen.

Axiale und rotatorische Verbindung zwischen Anker und Fußplatte

Wie bereits in diesem Kapitel erwähnt, werden Anker abhängig vom Ankertyp, von der Einstellung des Abstands und davon, ob ein geschnittenes Gewinde berücksichtigt wird, auf unterschiedliche Weise mit der Fußplatte verbunden. Hinsichtlich der rotatorischen Verbindung kann diese gelenkig / fest sein. Hinsichtlich der axialen Verbindung kann sie Zug / Zug + Druck sein. Die rotatorischen Verbindungsarten beeinflussen die Querkrafttragfähigkeit hinsichtlich der Lochleibung im Beton erheblich. In einer 3D-Szene lässt sich anhand der vorhandenen Muttern leicht erkennen, ob ein Anker fest oder gelenkig angeschlossen ist, siehe Abbildung 2.3.10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.10\qquad Rotational constraints}}}$$

Die folgende Tabelle zeigt alle möglichen Kombinationen von Fußplattenanschlüssen mit Ankern sowie die zugehörigen rotatorischen und axialen Verbindungen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.11\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Einbetonierte Platten

Eine einbetonierte Platte ist ein Sonderfall einer Fußplatte. Sie wird analog modelliert, mit den folgenden Unterschieden:

Da die Platte in einen Betonblock eingebettet ist, kann keine Art des Abstands festgelegt werden. Die Einbettungstiefe der Platte wird vernachlässigt. Die mit Schalenelementen modellierte Platte wird direkt auf die Betonoberfläche gesetzt. Die Seitenflächen der Platte werden daher nicht als durch den Beton gestützt betrachtet.

Es können nur Bewehrung und Kopfbolzen verwendet werden, die wie klassische Anker in axialer Richtung und in Querkraftrichtung mit der Platte verbunden werden können. Praktische Erfahrungen und einige nationale Dokumente weisen darauf hin, dass Kopfbolzen nur für Querkraft und Bewehrung für Axiallast bemessen werden sollten. Hinsichtlich der axialen und rotatorischen Randbedingungen sind Anker stets als fest und mit Zug + Druck angeschlossen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.12\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Die finiten Elemente sind intern implementiert, und das Berechnungsmodell wird automatisch generiert, ohne dass eine versierte Benutzerinteraktion erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

Beton

Alle Betonbauteile werden gemeinsam vernetzt. Eine empfohlene Elementgröße wird von der Anwendung automatisch auf Grundlage der Größe und Form der Struktur berechnet, wobei der Durchmesser des größten Bewehrungsstabs berücksichtigt wird. Darüber hinaus stellt die empfohlene Elementgröße sicher, dass in dünnen Bereichen der Struktur, wie schlanken Stützen oder dünnen Wänden, mindestens vier Elemente erzeugt werden, um in diesen Bereichen zuverlässige Ergebnisse zu gewährleisten. Tragwerksplaner können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße wählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße ändern.

Bewehrung

Die Bewehrung wird in Elemente mit ungefähr derselben Länge wie die Betonelementgröße unterteilt. Sobald das Bewehrungsnetz und das Betonnetz generiert sind, werden sie durch Verbundelemente miteinander verbunden, wie in Abb. 2.2.1 dargestellt.

Verfeinerung

Das Betonnetz wird automatisch um Anker, um Schubknaggen und unter dem Stummel für die Lasteinleitung verfeinert. Die Größe des verfeinerten Netzes ist ungefähr halb so groß wie die des Basis-Betonnetzes. Der Radius des verfeinerten Bereichs wird ungefähr als das Zweifache der Elementgröße festgelegt.

Zur Lösung eines nichtlinearen FEM-Problems wird ein standardmäßiger vollständiger Newton-Raphson-Algorithmus (NR) verwendet. 

Der NR-Algorithmus konvergiert im Allgemeinen häufig nicht, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt aufgebracht wird. Üblicherweise, und so auch hier, wird die Last schrittweise in mehreren Inkrementen aufgebracht. Das Ergebnis des vorherigen Lastinkrements dient dabei als Startwert für die Newton-Lösung des nächsten Inkrements. Zu diesem Zweck wurde auf Basis des Newton-Raphson-Verfahrens ein Algorithmus zur Laststeuerung implementiert. Konvergieren die NR-Iterationen nicht, wird das aktuelle Lastinkrement auf die Hälfte seines Wertes reduziert und die NR-Iterationen werden erneut durchgeführt.

Ein zweiter Zweck des Laststeuerungsalgorithmus ist es, die kritische Last zu finden, die bestimmten „Abbruchkriterien“ entspricht – konkret der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in den Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in den Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in den Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit dem Bisektionsverfahren ermittelt. Wird das Abbruchkriterium irgendwo im Modell überschritten, werden die Ergebnisse des letzten Lastinkrements verworfen und es wird ein neues Inkrement mit der halben Größe des vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last mit einer bestimmten Fehlertoleranz gefunden ist.

Für Beton wurde das Abbruchkriterium an den Integrationspunkten der Schalenelemente auf eine Dehnung von 5 % im Druckbereich (d. h. etwa eine Größenordnung größer als die tatsächliche Bruchdehnung von Beton) und von 7 % im Zugbereich festgelegt. Im Zugbereich wurde der Wert so gewählt, dass zuerst die Grenzdehnung der Bewehrung erreicht werden kann, die ohne Berücksichtigung der Zugverfestigung üblicherweise bei etwa 5 % liegt. Im Druckbereich wurde der Wert aus mehreren Alternativen so ausgewählt, dass er groß genug ist, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar sind, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme mit der numerischen Stabilität zu verursachen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 2.5.1\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Für die Bewehrung ist das Abbruchkriterium über Spannungen definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Kriterium im Zugbereich der Zugfestigkeit der Bewehrung unter Berücksichtigung des Sicherheitsbeiwerts. Derselbe Wert wird für das Kriterium im Druckbereich verwendet.

Das Abbruchkriterium in Verbundelementen und Ankerfedern ist α·δ_umax, wobei δ_umax der in den Normnachweisen verwendete maximale Schlupf ist und α = 10 gilt.

Weitere Abbruchkriterien für die Verankerung:

• Herausziehen von Kopfankern (maximale Kontaktdruckspannung an der Oberseite des Ankerkopfes). 
• Maximale Querkraft, die der Anker im Hinblick auf die Lochleibung des Betons übertragen kann.

Diese beiden Kriterien hängen von der gewählten Norm ab. Weitere Informationen dazu finden Sie in den Abschnitten, in denen die normabhängigen Teile der Tragwerksberechnung in der Anwendung erläutert werden.

Die Ergebnisse werden getrennt für Beton und für Bewehrungselemente dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Volumenelemente berechnet. Da es jedoch nicht praktikabel ist, die Daten auf diese Weise darzustellen, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, etwa als Maximalwert der Druckspannung aus benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen. Zu beachten ist, dass diese Darstellung die Ergebnisse an gedrückten Rändern von Bauteilen lokal unterschätzen kann, wenn die Größe der finiten Elemente ähnlich der Höhe der Druckzone ist.

Die Ergebnisse für die finiten Bewehrungselemente sind entweder konstant für jedes Element (ein Wert – z. B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte – für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente, wie z. B. Elemente von Auflagerplatten, werden nur Verformungen dargestellt.

Das IDEA StatiCa Detail-Modell muss nicht immer von Grund auf oder aus einer Vorlage erstellt werden. Es besteht auch die Möglichkeit, das Modell einschließlich der Lasteffekte aus IDEA StatiCa Connection zu importieren. In Connection wird der Stahlaufbau oberhalb des Betonblocks mit einem nichtlinearen 3D-Modell untersucht, während der Betonblock selbst vereinfacht durch ein Winkler-Fundament abgebildet wird. In Detail hingegen wird der Stahlbetonblock explizit modelliert und im Detail nachgewiesen.

Bei der Übertragung des Modells werden nur die Fußplatte, die Anker und der Betonblock in Detail importiert – das Stahlbauteil selbst (und seine globale Steifigkeit) wird nicht importiert. Im Connection-Modell ist dieses Stahlbauteil über eine Schweißnaht mit der Fußplatte verbunden. Die Spannungen in den finiten Elementen der Schweißnaht werden integriert und in einen Satz äquivalenter Kräfte umgerechnet, die in Detail auf die Fußplatte wirken. Auf diese Weise wird die Wirkung des fehlenden Stahlbauteils durch Schweißnahtkräfte abgebildet, die direkt auf die Fußplatte aufgebracht werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.7.1\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

Aufgrund der unterschiedlichen Definition der Steifigkeit in Connection und Detail (fehlendes Stahlbauteil, unterschiedliche Materialmodelle und Betonabbildung) würde eine direkte Verbindung zwischen der Fußplatte und den Ankern in Detail im Allgemeinen zu einer anderen Umlagerung der Lasten und damit zu anderen Zugkräften in den Ankern führen. Um dies zu vermeiden, werden die Anker axial von der Fußplatte entkoppelt importiert. Anstatt Axialkräfte über den physischen Kontakt zu übertragen, werden die in Connection ermittelten Ankerzugkräfte direkt auf die Anker in Detail aufgebracht. Gleichzeitig wird an jeder Ankerposition eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft auf die Fußplatte aufgebracht, sodass das globale Gleichgewicht des Modells erhalten bleibt. Dieses Kräftepaar (eine Kraft wirkt auf den Anker, die andere auf die Fußplatte) bildet die Wechselwirkung zwischen Fußplatte und Anker ab, ohne eine zusätzliche Umlagerung der Axialkräfte in Detail zuzulassen. Diese beiden entgegengesetzten Kräfte sind in Abbildung 2.7.1 dargestellt.

Die Querkräfte werden jedoch weiterhin über die Verbindung zwischen der Fußplatte und den Ankern (bzw. über eine Schubknagge oder Reibung) übertragen. Dies ist möglich, da zur Verbindung von Fußplatte und Ankern in Querrichtung eine Randbedingung verwendet wird, mit der sich die maßgebenden Freiheitsgrade dieser Verbindung steuern lassen. In Detail kann der Benutzer daher den Querkraft-Lastpfad anpassen – zum Beispiel, indem er die Querkraft bei zwei von vier Ankern freigibt und nur die randnahen Anker an der Querkraftübertragung beteiligt lässt – während die Axialkräfte wie aus Connection importiert bestehen bleiben.

Für einbetonierte Platten haben wir einen anderen Ansatz gewählt. Mehrere europäische Bemessungsempfehlungen verlangen, dass nur die Bewehrungsstäbe zur Aufnahme von Axialkräften herangezogen werden, während für Kopfbolzen angenommen wird, dass sie ausschließlich Querkraft übertragen. Da IDEA StatiCa Connection beim Export die Axialkräfte in Bewehrungsankern nicht intern von denen in Kopfbolzen trennen kann, werden die Anker einbetonierter Platten vollständig verbunden, auch in axialer Richtung, in Detail importiert. Dadurch kann der Benutzer in Detail eine Bemessungsoption aktivieren, bei der Bewehrungsanker nur axialen Zug und Kopfbolzen nur Querkraft aufnehmen. In diesem Arbeitsablauf muss die Axialkraft, die ursprünglich den Kopfbolzen zugewiesen war, innerhalb des Detail-Modells auf die Bewehrungsanker umgelagert werden. Eine solche Umlagerung wäre nicht möglich, wenn wir den oben beschriebenen Ansatz mit dem Paar entgegengesetzter Kräfte verwenden würden. Aus diesem Grund werden einbetonierte Platten anders behandelt.

Grenzzustand der Tragfähigkeit

Die verschiedenen Nachweise, die von den jeweiligen Bemessungsnormen gefordert werden, werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) geführt.

Um eine effiziente Bemessung eines Tragwerkselements sicherzustellen, wird dringend empfohlen, eine Voranalyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:

• Wählen Sie eine Auswahl der maßgebenden Lastkombinationen.
• Berechnen Sie nur die Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit (GZT).
• Um die Berechnungszeit zu verkürzen und Probleme zu beheben, verwenden Sie ein grobes Netz, indem Sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße im Setup erhöhen (Abb. 3.1.1). Wenn das Modell gut funktioniert, setzen Sie den Multiplikator wieder auf den Faktor 1 zurück.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 3.1.1\qquad Mesh multiplier}}}$$

Ein solches Modell wird sehr schnell berechnet. So können Planer die Detaillierung des Tragwerkselements effizient prüfen und die Analyse wiederholen, bis alle Nachweisanforderungen für die maßgebenden Lastkombinationen erfüllt sind. Sobald alle Nachweisanforderungen dieser Voranalyse erfüllt sind, wird empfohlen, die vollständigen Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit einzubeziehen und die feine Netzgröße zu verwenden (die vom Programm empfohlene Netzgröße). Anwender können die Netzgröße über den Multiplikator ändern, der Werte von 0,5 bis 5 annehmen kann (Abb. 3.1.1).

Die grundlegenden Ergebnisse und Nachweise (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d. h. berechneter Wert/Grenzwert aus der Norm)) sowie die Richtung der Hauptspannungen bei Betonelementen) werden in verschiedenen Darstellungen angezeigt, in denen Druck im Allgemeinen rot und Zug blau dargestellt wird. Globale Minimal- und Maximalwerte für die gesamte Struktur können ebenso hervorgehoben werden wie Minimal- und Maximalwerte für jeden benutzerdefinierten Teil. In einer separaten Registerkarte des Programms können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsgrade (effektive und geometrische), die zur Berechnung der Zugverfestigung der Bewehrungsstäbe verwendet werden, angezeigt werden. Darüber hinaus können Lasten und Reaktionen für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

Beton - GZT

Das in 3D CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den einaxialen Werkstoffgesetzen für Druck nach EN 1992-1-1 für die Bemessung von Querschnitten, die nur von der Druckfestigkeit abhängen. In 3D CSFM wird standardmäßig das Parabel-Rechteck-Diagramm nach EN 1992-1-1 Kap. 3.1.7 (1) (Abb. 4.1.1a) verwendet. Planer können jedoch auch eine vereinfachte, ideal elastisch-plastische Beziehung nach EN 1992-1-1 Kap. 3.1.7 (2) (Abb. 4.1.1b) wählen. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie in der klassischen Stahlbetonbemessung.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 4.1.1\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

Die Implementierung von 3D CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. nach Erreichen der Spitzenspannung wird ein plastischer Ast mit ε_cu2 (ε_cu3) von 5 % angesetzt, während EN 1992-1-1 eine Bruchdehnung von weniger als 0,35 % annimmt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von Strukturen zu überprüfen, die auf Druck versagen. Ihre Grenztragfähigkeit f_cd nach EN 1992-1-1 3.1.3 wird jedoch zutreffend vorhergesagt, wenn die mit steigender Festigkeit zunehmende Sprödigkeit des Betons durch den im fib Model Code 2010 definierten Abminderungsbeiwert $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

Dabei gilt:

α_cc ist der Beiwert zur Berücksichtigung von Langzeitauswirkungen auf die Druckfestigkeit und von ungünstigen Auswirkungen aus der Art der Lastaufbringung. Er ist nach EN 1992-1-1 Kap. 3.1.6 (1) anzusetzen. Der Standardwert beträgt 1,0.

f_ck ist die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Bewehrung

Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm für den blanken Bewehrungsstahl nach EN 1992-1-1, Abschnitt 3.2.7 (Abb. 4.1.2) angesetzt. Für die Definition dieses Diagramms müssen in der Bemessungsphase nur die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung bekannt sein (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Sofern bekannt, kann die tatsächliche Spannung-Dehnung-Beziehung der Bewehrung (warmgewalzt, kaltverformt, vergütet und selbstangelassen, …) berücksichtigt werden. Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann vom Benutzer definiert werden. In diesem Fall ist es jedoch nicht möglich, die Zugverfestigung anzusetzen (die Rissbreite kann nicht berechnet werden). Die Verwendung eines Spannung-Dehnung-Diagramms mit horizontalem oberem Ast erlaubt keinen Nachweis der Dauerhaftigkeit der Struktur. Daher ist ein manueller Nachweis der üblichen Duktilitätsanforderungen erforderlich.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Die Zugverfestigung (Abb. 4.1.3) wird automatisch berücksichtigt, indem die eingegebene Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) zu erfassen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren entspricht modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Standard-Materialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitskonzept ohne Anpassung angewendet werden. Dabei werden die Eingangslasten mit Teilsicherheitsbeiwerten beaufschlagt und die charakteristischen Materialeigenschaften mit den jeweiligen, in den Bemessungsnormen vorgeschriebenen Sicherheitsbeiwerten abgemindert, genau wie bei der konventionellen Betonberechnung. Die Werte der Materialsicherheitsbeiwerte nach EN 1992-1-1 Kap. 2.4.2.4 sowie die Beiwerte für Anker nach EN 1992-4, EN 1993-1-8 und EN 1994-1-1 sind standardmäßig voreingestellt. Der Benutzer kann die Sicherheitsbeiwerte jedoch in den Norm- und Berechnungseinstellungen ändern (Abb. 4.2.1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.1\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Die Teilsicherheitsbeiwerte für die Lasten müssen vom Benutzer in den Kombinationsregeln für jede nichtlineare Kombination von Lastfällen definiert werden (Abb. 4.2.2). Für alle in Idea StatiCa Detail implementierten Vorlagen sind die Teilsicherheitsbeiwerte bereits vordefiniert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.2\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Mithilfe geeigneter benutzerdefinierter Kombinationen von Teilsicherheitsbeiwerten kann mit 3D CSFM auch nach dem Verfahren des globalen Widerstandsbeiwerts gerechnet werden (Navrátil et al. 2017). Dieser Ansatz wird in der Bemessungspraxis jedoch kaum angewendet. Einige Richtlinien empfehlen, das Verfahren des globalen Widerstandsbeiwerts für nichtlineare Berechnungen zu verwenden. Bei vereinfachten nichtlinearen Berechnungen (wie 3D CSFM), die nur diejenigen Materialeigenschaften benötigen, die auch in konventionellen Handberechnungen verwendet werden, ist es jedoch weiterhin vorzuziehen, das Teilsicherheitskonzept zu verwenden.

Die verschiedenen nach EN 1992-1-1 erforderlichen Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbund-Schubspannungen) geführt.

Festigkeit - Beton

Die Betonfestigkeit auf Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen äquivalenten Hauptspannung σ_c,eq aus der FE-Berechnung und dem Grenzwert σ_c,lim = f_cd ermittelt.

Die äquivalente Hauptspannung beschreibt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Der Wert σ_c,eq kann daher direkt mit den einachsigen Festigkeitsgrenzen gemäß 1992-1-1 Abschn. 3.1.7 (1) verglichen werden.

Dieser Ausdruck wird aus der Umsetzung der Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie abgeleitet, wobei auf der sicheren Seite ein Winkel der inneren Reibung von φ = 0° angenommen wird.

Festigkeit - Bewehrung

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_sr und dem festgelegten Grenzwert σ_s,lim ermittelt:

$σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

Dabei ist:

f_yk        die Streckgrenze der Bewehrung gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.2.3,

k          das Verhältnis der Zugfestigkeit f_tk zur Streckgrenze,
            $k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             der Teilsicherheitsbeiwert für die Bewehrung.

Festigkeit - Anker

Anker werden auf Normalspannungen in ähnlicher Weise wie die Bewehrung nachgewiesen, wobei der Grenzwert σ_s,lim bestimmt wird.

Zusätzlich werden für Anker die Werte N_Ed und V_Ed ermittelt, die gemäß der gewählten Norm mit N_Rd,s und V_Rd,s verglichen werden. Die Norm wird in Abhängigkeit vom verwendeten Ankertyp in den Projekteinstellungen gewählt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.1\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}$$

Da für den Nachweis von Ankern in verschiedenen Normen unterschiedliche Ansätze gewählt werden, kann der Benutzer für die einzelnen Ankertypen die folgenden Normen wählen:

• Anker aus Schraubenmaterial auf Zug und/oder Querkraft - EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Kopfbolzen auf Zug und/oder Querkraft - EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Anker auf Zug und/oder Querkraft - EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Anker auf Druck und/oder Biegung - EN 1993-1-1

Zugnachweis nach EN 1992-4 - 7.2.1.3

$$N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Dabei ist:

• c – Abminderung für geschnittene Gewinde  
• f_uk – minimale Zugfestigkeit der Schraube
• A_s – Spannungsquerschnittsfläche des Ankerbolzens auf Zug (bei Schraubenmaterial um das Gewinde reduziert)
• $\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4$ – Teilsicherheitsbeiwert für Stahl 
• f_yk – minimale Streckgrenze der Schraube

Zugnachweis nach EN 1993-1-8 - 3.6.1

$$N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$ 

Dabei ist:

• c – Verringerung der Zugtragfähigkeit von Schrauben mit geschnittenem Gewinde gemäß EN 1993-1-8 – Abschn. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0,9 – Faktor für Anker ohne Senkkopf 
• f_ub – Zugfestigkeit des Ankerbolzens 
• A_s – Spannungsquerschnittsfläche des Ankerbolzens auf Zug (bei Schraubenmaterial um das Gewinde reduziert)
• γ_M2 =1,25 – Teilsicherheitsbeiwert für Schrauben (EN 1993-1-8, Tabelle 2.1) 

Zugnachweis nach EN 1992-1-1 - 3.2.7

$$N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}$$

Dabei ist:

• $k=(f_{t}/f_{y})$ ist in Anhang C angegeben
• f_yk - charakteristische Streckgrenze
• γ_M2 =1,15 – Teilsicherheitsbeiwert für die Bewehrung

Drucknachweis nach EN 1993-1-1 - 6.3

Wird für alle Anker verwendet, die durch eine Normaldruckkraft beansprucht werden, unabhängig von ihrem Material oder ihrer Stand-off-Art. 

$$F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}$$

Dabei ist:

• $\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1$ – Abminderungsfaktor für Knicken
• $\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]$ – Wert zur Bestimmung des Abminderungsfaktors für Knicken χ
• $\alpha=0.49$ – Imperfektionsbeiwert für die Knickspannungslinie c (zum Vollkreis gehörend)
• $\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}$ – bezogener Schlankheitsgrad

  • A_s – die um das Gewinde reduzierte Ankerfläche
• $N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}$  – Euler'sche Knicklast
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – Trägheitsmoment der Schraube

  • d_s – um das Gewinde reduzierter Ankerdurchmesser
• $L_{cr}=2\,l$  – Knicklänge; es wird auf der sicheren Seite angenommen, dass die Schraube im Beton eingespannt ist und sich an der Fußplatte frei drehen kann 
• $l=l_{a}$ – Länge des Schraubenelements, gleich der halben Fußplattendicke + Spalt + halber Schraubendurchmesser; es wird auf der sicheren Seite angenommen, dass die Unterlegscheibe und die Mutter nicht auf die Betonoberfläche geklemmt sind (ETAG 001 – Anhang C – Abschn. 4.2.2.4), siehe Abbildung 4.3.2.

Querkraftnachweis nach EN 1992-4 - 7.2.2.3

Für Stand-off = direkt wird die Querkraft ohne Hebelarm angesetzt (EN 1992-4 – Abschn. 7.2.2.3.1):

$$V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Für Stand-off = Mörtelfuge wird die Querkraft mit Hebelarm angesetzt (EN 1992-4 – Abschn. 7.2.2.3.2):

$$V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}$$

Dabei ist:

• k₆ = 0,6 für Anker mit fuk ≤ 500 MPa; k₆ = 0,5 in allen anderen Fällen
• A_s – um das Gewinde reduzierte Schubfläche des Ankers
• f_uk – Zugfestigkeit des Ankerbolzens
• α_M = 2 – es wird volle Einspannung angenommen (EN 1992-4 – Abschn. 6.2.2.3)
• $M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)$ – charakteristischer Biegewiderstand des Ankers, abgemindert durch die Zugkraft im Anker
•  $M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}$ – charakteristischer Biegewiderstand des Ankers (ETAG 001, Anhang C – Gleichung (5.5b))
• $W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}$ – Widerstandsmoment des Ankers
• d – Durchmesser des Ankerbolzens; wird die Scherfuge im Gewinde gewählt (was bei Gewindestangen immer der Fall ist), wird der um das Gewinde reduzierte Durchmesser verwendet; andernfalls wird der Nenndurchmesser d_nom verwendet
• N_Ed – Zugkraft im Anker
• N_Rd,s – Zugwiderstand des Ankers
• $l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}$ – Hebelarm
• t_mortar – Dicke des Mörtels (Vergussmörtels)
• t_bp – Dicke der Fußplatte
• $\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25$ für $f_{uk} \le 800 \text{ MPa}$ und  $\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8$; γ_Ms = 1,5 in allen anderen Fällen – Teilsicherheitsbeiwert für Stahlversagen (EN 1992-4 – Tabelle 4.1)

Querkraftnachweis nach EN 1993-1-8 - 6.2.2

Der Querkraftwiderstand des Ankerstahls wird nach EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) unabhängig von direktem Stand-off oder Mörtelfuge bestimmt. Festigkeit und Dicke des Vergussmörtels müssen Abschn. 6.2.5 (7) entsprechen.

$$V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}$$

Dabei ist:

$$F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}$$

• α_v = 0,6 für die Festigkeitsklassen 4.6, 5.6, 8.8 und 0,5 für die Festigkeitsklassen 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – Zugfestigkeit des Schraubenwerkstoffs
• A – Spannungsquerschnittsfläche der Schraube, A = A_s, wobei As die Spannungsquerschnittsfläche der Schraube (um das Gewinde reduziert) ist
• γ_M2 – Teilsicherheitsbeiwert - EN 1993-1-8 – Tabelle 2.1

$$F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$

• ​ $\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}$
• α_b ist ein Beiwert in Abhängigkeit von der Streckgrenze des Ankerbolzens
• f_yb – Streckgrenze des Ankers; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – Zugfestigkeit des Ankers 
• A_s – Spannungsquerschnittsfläche (um das Gewinde reduziert)

Querkraftnachweis nach EN 1993-1-1 - 6.2.6

Diese Normnachweise werden für Anker angewendet, die mit einem Spalt an die Fußplatte angeschlossen sind, oder für einen direkt belasteten Anker mit einer überstehenden Länge von mehr als dem 0,5-fachen seines Durchmessers.

$$V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}$$

Dabei ist:

• A_V = 0,844 A_s – Schubfläche
• A_s – um das Gewinde reduzierte Schraubenfläche
• f_y – Streckgrenze der Schraube
• γ_M2 – Teilsicherheitsbeiwert (in den Projekteinstellungen definiert)

Querkraftnachweis nach EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

$$V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}$$

Dabei ist:

• γ_v der Teilsicherheitsbeiwert für Scher-Verbindung nach EN 1994-1-1 Kap. 2.4.1.2. Der empfohlene Wert für γ_v beträgt 1,25
• d der Schaftdurchmesser des Bolzens, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u die festgelegte Zugfestigkeit des Bolzenwerkstoffs, jedoch nicht mehr als 500 MPa.

In EN 1994-1-1 enthält Abschnitt 6.6.3.1 auch Gleichung (6.19), die den Querkraftwiderstand eines Bolzens durch die Durchstanz- (Lochleibungs-)Tragfähigkeit des Betons begrenzt. In IDEA StatiCa Detail wird dieses Versagen in der Nachlaufrechnung nicht über eine separate Normformel nachgewiesen. Stattdessen ist es direkt als Abbruchkriterium in die nichtlineare Finite-Elemente-Berechnung integriert: Die Berechnung wird abgebrochen, bevor die Querkraft in einem Anker den entsprechenden Wert P_Rd
aus Gleichung (6.19) erreicht. Dieser Ansatz wird verwendet, weil Gleichung (6.19) nur für Kopfbolzen gilt, die an die Stahlplatte geschweißt sind, und nur für Bolzendurchmesser im Bereich 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, wie in 6.6.3.1 festgelegt.

Um einen breiteren Bereich praktischer Fälle abzudecken, haben wir eine Reihe von 3D-Referenzmodellen in Abaqus mit Ankerdurchmessern von 8 mm bis 50 mm und Betonfestigkeiten von C16/20 bis C50/60 erstellt. Die Bolzen wurden entweder starr an die Fußplatte geschweißt oder über eine gelenkige Verbindung angeschlossen modelliert. Die Materialmodelle und Kontaktparameter in Detail wurden anschließend anhand dieser Abaqus-Simulationen kalibriert, die ihrerseits innerhalb ihres Gültigkeitsbereichs anhand von Gleichung (6.19) verifiziert wurden. Dieses Abbruchkriterium gilt für alle Ankertypen und alle EN-Normen.

Biegenachweis nach EN 1993-1-1 - 6.2.5

$$M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}$$

Dabei ist:

• $W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – Widerstandsmoment der Schraube

  • d_s – um das Gewinde reduzierter Ankerdurchmesser
• f_y – Streckgrenze des Werkstoffs
• γ_M2 – Teilsicherheitsbeiwert (in den Projekteinstellungen definiert)

Einwirkendes Bemessungsmoment M_Ed - Wirkt die Querkraft mit einem Hebelarm, ist ein auf das Befestigungselement wirkendes Biegemoment zu berücksichtigen. Das auf das Befestigungselement wirkende Bemessungsmoment wird nach EN 1993-1-1 Formel (6.1) berechnet:

$$M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}$$

Dabei ist:

• V_Ed - die auf das betrachtete Befestigungselement wirkende Querkraft
• l_a = a₃ + e₁

  • a₃ = 0,5d_nom, wobei d_nom der Ankerdurchmesser ist
  • e₁ - der Abstand zwischen der Querkraft und der Betonoberfläche, wobei die Dicke eines eventuellen Ausgleichsmörtels vernachlässigt wird
• α_M = 2 – es wird volle Einspannung angenommen (EN 1992-4 – Abschn. 6.2.2.3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.2\qquad Buckling length}}}$$

Interaktion von Zug und Querkraft im Ankerstahl

Die Interaktion von Zug und Querkraft nach EN 1993-1-8 ist implizit im Querkraftnachweis des Ankers enthalten.

Die Interaktion von Zug und Querkraft nach EN 1992-4 wird gemäß Tabelle 7.3 getrennt für die Versagensarten Stahl und Beton ermittelt. Die Interaktion im Stahl wird für jeden Anker einzeln nachgewiesen.

$$\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1$$

EN 1994-1-1 legt in Abschnitt 6.6.3.2 fest, dass der Nachweis von dieser Norm nicht abgedeckt wird, wenn die Zugkraft im Anker größer als 0,1P_Rd ist. In diesem Fall wird die Interaktion in der Anwendung nach EN 1992-4 beurteilt. In diesem Fall darf der Querkraftnachweis nicht nach EN 1994-1-1 berücksichtigt werden.

Interaktion von Zug oder Druck und Biegung im Ankerstahl EN 1993-1-1 - 6.2.1

$$\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1$$

Dabei ist:

• N_Ed – Bemessungswert der Zugkraft (positiv) oder Druckkraft (negatives Vorzeichen)
• N_Rd – Bemessungswert des Zugwiderstands (positiv, F_t,Rd) oder Druckwiderstands (negatives Vorzeichen, F_c,Rd)
• M_Ed – Bemessungswert des Biegemoments
• M_Rd = M_pl,Rd – Bemessungswert des Biegewiderstands

Auszugnachweis für Anker mit Kopf (Unterlegplatten und Kopfbolzen)

Für Anker mit Kopf ist ein zusätzliches Abbruchkriterium implementiert, um die Pressung (das Quetschen) des Betons über dem Ankerkopf – den Auszug – nachzuweisen. Während der Berechnung wird die über den Kontakt zwischen Kopf und Beton übertragene Druckkraft überwacht und mit dem Grenzwert nach EN 1992-4, Abschnitt 7.2.1.5 (Herausziehversagen von Befestigungen mit Kopf) verglichen.

$$N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}$$

Dabei ist:

• A_h die tragende Fläche des Kopfes des Befestigungselements (ohne die Schaftfläche). 
• f_ck die charakteristische Druckfestigkeit des Betons - EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.2
• γ_Mp wird in der Anwendung als γ_Mp = γ_c mit dem Standardwert 1,5 angesetzt
•  k₂​ wird immer mit 7,5 angesetzt, d. h. mit dem Wert für gerissenen Beton. Dies entspricht dem in Detail verwendeten CSFM-Ansatz, bei dem die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt und der Beton auf Zug als gerissen angenommen wird. 

Sobald die Kontaktkraft diesen normbasierten Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Berechnung abgebrochen, bevor der Bemessungswiderstand gegen Auszug überschritten wird.

Verankerung -  Verbundspannung

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der durch die FE-Berechnung ermittelten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit f_bd, nach EN 1992-1-1 Kap. 8.4.2 ermittelt:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

Dabei ist:

• f_ctd      der Bemessungswert der Betonzugfestigkeit nach EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.6 (2). Wegen der zunehmenden Sprödigkeit von Beton höherer Festigkeit wird f_ctk,0.05 nach EN 1992-1-1 Abschn. 8.4.2 (2) auf den Wert für C60/75 begrenzt
• η₁       ein Beiwert für die Qualität der Verbundbedingungen und die Lage des Stabes beim Betonieren (Abb. 4.3.3).
• η₁ = 1,0 bei „guten“ Verbundbedingungen und
• η₁ = 0,7 in allen anderen Fällen sowie für Stäbe in Bauteilen, die im Gleitschalungsverfahren hergestellt werden, sofern nicht nachgewiesen werden kann, dass „gute“ Verbundbedingungen vorliegen
• η₂        hängt vom Stabdurchmesser ab:
  η₂ = 1,0 für Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 für Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.3\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

In IDEA StatiCa Detail werden die Verbundbedingungen gemäß Fig. 4.3.3 c) und d) berücksichtigt. Die Betonierrichtung kann in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt eingestellt werden:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.4\qquad Direction of concreting}}}$$

Diese Nachweise werden anhand der jeweils zutreffenden Grenzwerte für die einzelnen Teile der Struktur geführt (d. h., obwohl für Beton und Bewehrung jeweils nur eine Festigkeitsklasse vorgegeben ist, unterscheiden sich die endgültigen Spannung-Dehnung-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund der Effekte der Zugverfestigung und der Druckerweichung).

Verankerung - Gesamtkraft

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Berechnung und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

Dabei ist A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabes und σ_s die Spannung im Stab.

Oder als Summe aus der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

Dabei ist F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond die Verbundkraft, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge des Bewehrungsstabes l ermittelt werden kann.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabes.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabes unter Berücksichtigung der Zugfestigkeit des Bewehrungsstabes sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

Dabei ist C_s der Umfang des Bewehrungsstabes und l die Länge vom Beginn des Bewehrungsstabes bis zum betrachteten Punkt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.5\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

Dabei ist F_lim,add die zusätzliche Kraft, die aus der Größe des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Verankerungsarten am Ende der Bewehrung (Anker und Bewehrungsstäbe)

Zu den in 3D CSFM verfügbaren Verankerungsarten gehören ein gerader Stab (d. h. keine Reduzierung am Ankerende), Winkelhaken, Haken, Schlaufe, angeschweißter Querstab, vollkommener Verbund und durchlaufender Stab. Alle diese Arten sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungsbeiwerten β in Fig. 4.3.6 für die Längsbewehrung und in Fig. 4.3.7 für Bügel dargestellt. Die verwendeten Verankerungsbeiwerte entsprechen EN 1992-1-1 Abschnitt 8.4.4 Tab. 8.2. Es ist zu beachten, dass 3D CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduzierung der Verankerungslänge, (ii) eine Reduzierung der Verankerungslänge um 30 % bei einer normgemäßen Verankerung und (iii) vollkommener Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.6\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.7\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Um EN 1992-1-1 zu erfüllen, muss in der Berechnung die Verankerungsfeder verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den Beiwert β modifiziert, daher muss der Benutzer bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung eine der verfügbaren Verankerungsarten verwenden. 

Beton - Festigkeit

Das für die Festigkeitsberechnungen in der CSFM implementierte Betonmodell basiert auf der parabolisch-plastischen Spannung-Dehnung-Linie für Beton der Portland Cement Association. Diese ist in PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8 beschrieben. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie in der klassischen Stahlbetonbemessung.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung der CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für Beton unter Druckbeanspruchung (d. h. nach Erreichen der Höchstspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 bis zu einem Maximalwert von 5 % angesetzt, während ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 eine Bruchdehnung von weniger als 0,3 % annimmt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungskapazität von Strukturen, die auf Druck versagen, nachzuweisen. Die Festigkeit wird jedoch zutreffend vorhergesagt, wenn die mit steigender Festigkeit zunehmende Sprödigkeit des Betons durch den Abminderungsbeiwert $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

mit:

α₁ ist der Abminderungsbeiwert der Betondruckfestigkeit nach ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Bei Verwendung einer Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Linie muss die maximale Druckspannung um diesen Beiwert abgemindert werden. Dadurch wird die Spannungsverteilung in der Druckzone so gemittelt, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einer Spannung-Dehnung-Linie mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird. 

Φ_c ist der Festigkeitsabminderungsbeiwert für Beton. Der Standardwert wird nach ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f) festgelegt.

f'_c ist die Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird eine ideal elastisch-plastische Spannung-Dehnung-Linie mit definierter Streckgrenze angesetzt. Siehe ACI 319-19 Cl. 20.2.1. Für die Definition dieser Linie müssen nur die Grundeigenschaften der Bewehrung bekannt sein - Festigkeit und Elastizitätsmodul.

Die Spannung-Dehnung-Linie der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden. In diesem Fall ist es jedoch nicht möglich, die Zugverfestigung anzusetzen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

mit:

Φ_s ist der Festigkeitsabminderungsbeiwert für die Bewehrung. Der Standardwert wird nach ACI 318-19 Table 24.2.1 festgelegt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s Elastizitätsmodul der Bewehrung

Als Grenzdehnung, bei der die Berechnung abgebrochen wird, werden 10 % gewählt. Dies gilt auf Grundlage von ASTM A955/A955M-20c Article 7 als sicher.

Die Zugverfestigung (Fig. 5.1.3)  wird automatisch berücksichtigt, indem die Eingabe-Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren entspricht den modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle ausschließlich Standardmaterialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitsbeiwertformat ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die Eingangslasten mit Lastfaktoren beaufschlagt und die charakteristischen Materialeigenschaften mithilfe der jeweiligen Abminderungsfaktoren der Festigkeit reduziert, genau wie bei der konventionellen Betonbemessung.

Die Werte der Abminderungsfaktoren der Festigkeit sind in ACI 318-19 Kapitel 21 und für Anker in ACI 318-19 Kapitel 17 sowie in AISC 360-16 Kapitel D, E, F, G vorgeschrieben. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Lastfaktoren für Festigkeitskombinationen sind gemäß ACI 318-19 Tabelle 5.3.1 festzulegen.

Mit Ausnahme der Angaben in Kapitel 34 sind Lastkombinationen für den Gebrauchslastbereich in ACI 318-19 nicht definiert. Es wird empfohlen, Kombinationsregeln auf Grundlage von Anhang C der ASCE/SEI 7-16 zu verwenden. Für alle Vorlagen sind die Lastfaktoren bereits vordefiniert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.3\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Die verschiedenen nach ACI 318-19 erforderlichen Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Festigkeit der Bewehrung und die Verankerung (Verbundschubspannungen) geführt.

Festigkeit - Beton

Die Betonfestigkeit unter Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen äquivalenten Hauptspannung f_c,eq (im vorherigen Text auch σ_c,eq genannt) aus der FE-Analyse und dem Grenzwert f'_c,lim ermittelt.

Die äquivalente Hauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand aus.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Der Wert f_c,eq kann daher direkt mit einachsigen Festigkeitsgrenzen verglichen werden. Dieser Ausdruck wird aus der Umsetzung der Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie abgeleitet, wobei konservativ ein Winkel der inneren Reibung von φ = 0° angenommen wird.

Festigkeit - Bewehrung

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem vorgegebenen Grenzwert f_y,lim ermittelt.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Festigkeit - Anker

Anker werden auf Normalspannungen auf ähnliche Weise wie die Bewehrung nachgewiesen, wobei der Grenzwert f_y,lim bestimmt wird. 

Um die Orientierung im folgenden Text zu erleichtern, teilen wir die Verankerung hinsichtlich des Normnachweises nach ACI oder AISC zunächst in drei Gruppen ein.

Gruppe 1

• Verankerungsarten

  • Einbetonierte Platte
  • Fußplatte - Abstand = direkt 
  • Fußplatte - Abstand = Mörtelverbindung - Mörteldicke kleiner als das 0,5-Fache des Ankerdurchmessers
  • Einzelanker mit überstehender Länge kleiner als das 0,5-Fache des Ankerdurchmessers
• Normnachweise der Anker (ACI / AISC)

  • Zug/Druck

    • Alle Ankerarten auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2  
    • Alle Ankerarten auf Druck – AISC 360-16 Kap. E
  • Querkraft ohne Hebelarm

    • Schraubenwerkstoff – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)
    • Kopfbolzen – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a)
    • Bewehrung – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)
  • Interaktion von Zug und Querkraft - ACI 318-19 Kap. 17.8

Gruppe 2

• Verankerungsarten

  • Fußplatte - Abstand = Mörtelverbindung - Mörteldicke größer als das 0,5-Fache des Ankerdurchmessers
• Normnachweise der Anker (ACI / AISC)

  • Zug/Druck

    • Alle Ankerarten auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2  
    • Alle Ankerarten auf Druck – AISC 360-16 Kap. E
  • Querkraft mit Hebelarm

    • Schraubenwerkstoff – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b) + Kap. 17.7.1.2.1.
    • Kopfbolzen – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a) + Kap. 17.7.1.2.1.
    • Bewehrung – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b) + Kap. 17.7.1.2.1.
  • Interaktion von Zug und Querkraft - ACI 318-19 Kap. 17.8

Gruppe 3

• Verankerungsarten

  • Fußplatte - Abstand = Spalt
  • Einzelanker mit überstehender Länge größer als das 0,5-Fache des Ankerdurchmessers
• Normnachweise der Anker (ACI / AISC)

  • Zug/Druck (mit Knicken)

    • Alle Ankerarten auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2
    • Alle Ankerarten auf Druck – AISC 360-16 Kap. E3
  • Biegung

    • Für alle Ankerarten – AISC 360-16 Kap. F11
  • Querkraft

    • Für alle Ankerarten – AISC 360-16 Kap. G
  • Interaktion von Normalkraft und Biegung

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Zugtragfähigkeit des Ankers nach ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

mit:

• ϕ_a,t  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug nach ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – Spannungsquerschnitt auf Zug (um das Gewinde reduziert)
• f_uta – spezifizierte Zugfestigkeit des Ankerstahls; sie darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit des Ankers nach ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a)

Die Stahlfestigkeit auf Querkraft für Kopfbolzen wird wie folgt bestimmt:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

mit:
ϕ_a,v – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug nach ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
A_se,V – Spannungsquerschnitt auf Zug (um das Gewinde reduziert)
f_uta – spezifizierte Zugfestigkeit des Ankerstahls; sie darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit des Ankers nach ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)

Die Stahlfestigkeit auf Querkraft für Anker aus Schraubenwerkstoff und Bewehrung wird wie folgt bestimmt:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

mit:

• ϕ_a,v  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug nach ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – Spannungsquerschnitt auf Zug (um das Gewinde reduziert)
• f_uta – spezifizierte Zugfestigkeit des Ankerstahls; sie darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit eines Ankers mit Anschluss an einen Untergrund mit Mörtel - ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2.1

Werden Anker mit aufgebauten Vergussmörtelbetten (Gruppe 2) verwendet, ist der nach 17.7.1.2 berechnete Bemessungswert der Festigkeit mit 0,80 zu multiplizieren.

Interaktion von Zug und Querkraft nach ACI 318-19 Kap. 17.8

Die Interaktion zwischen Zug und Querkraft darf vernachlässigt werden, wenn (a) oder (b) erfüllt ist.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Wenn N_ua/(ϕN_n) > 0,2 für die maßgebende Festigkeit auf Zug und V_ua/(ϕV_n) > 0,2 für die maßgebende Festigkeit auf Querkraft, so muss Gl. (17.8.3) erfüllt sein.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Drucktragfähigkeit des Ankers nach AISC 360-16 Kap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

mit:

• ϕ_a,t  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Druck nach AISC 360-16 Kap. E1
  
• (a) Wenn: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  oder     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Wenn: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  oder     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – Bruttoquerschnittsfläche des Bauteils
• E – Elastizitätsmodul von Stahl
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - elastische Knickspannung
• F_y – festgelegte Mindeststreckgrenze des verwendeten Stahls
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – Trägheitsradius
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – Trägheitsmoment der Schraube 

Biegetragfähigkeit des Ankers nach AISC 360-16 Kap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

mit:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastisches Widerstandsmoment der Schraube
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – elastisches Widerstandsmoment der Schraube

Querkrafttragfähigkeit des Ankers nach AISC 360-16 Kap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

mit:

• A_V = 0,844As – die Schubfläche
• A_s – die um das Gewinde reduzierte Schraubenfläche

Quetschen des Betons an der Grenzfläche zwischen Anker und Beton

Die Querkrafttragfähigkeit des Ankers ist zudem im Hinblick auf das Quetschen des Betons an der Grenzfläche zwischen Anker und Beton begrenzt. Die Grenzwerte und das Verfahren zu ihrer Ermittlung sind im Artikel - Querkrafttragverhalten von Ankern in Stahlbeton. ausführlich beschrieben. Sobald die Kontaktkraft diesen Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Analyse wird beendet, bevor die Tragfähigkeit überschritten wird.​ 

Auszugnachweis für Kopfanker (Unterlegplatten und Kopfbolzen)

Für Kopfanker ist ein zusätzliches Abbruchkriterium implementiert, mit dem die Betonpressung (das Quetschen) über dem Ankerkopf - Auszug - nachgewiesen wird. Während der Analyse wird die über den Kontakt zwischen Kopf und Beton übertragene Druckkraft überwacht und mit dem Grenzwert nach ACI 318-19, Abschnitt 17.6.3.2.2a (Auszugversagen von Kopfbefestigungen) verglichen.

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

mit:

• $\Phi$ ist der Abminderungsbeiwert - Tabelle 17.5.3(c)
• A_brg Netto-Auflagerfläche des Kopfes des Bolzens, der Ankerschraube oder des Betonrippenstahls mit Kopf (ohne die Schaftfläche). 
• f'_c ist die spezifizierte Druckfestigkeit des Betons
• $\Psi_{c,p}$ ist der Beiwert für die Rissbildung beim Auszug nach 17.6.3.3 und wird stets mit 1,0 angesetzt, d. h. mit dem Wert für gerissenen Beton. Dies entspricht dem in Detail verwendeten CSFM-Ansatz, bei dem die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt und der Beton auf Zug als gerissen angenommen wird.

Sobald die Kontaktkraft diesen normativen Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Analyse wird beendet, bevor die Auszugtragfähigkeit überschritten wird.​ 

Verankerung -  Verbundspannung

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der mittels FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit f_bu ermittelt.

Obwohl die Verbundfestigkeit in ACI 318-19 nicht explizit definiert ist, findet sich die Berechnung der Verankerungslänge in Abschnitt 25.4.2. Da die Verbundfestigkeit jedoch die Grundeingangsgröße zur Bestimmung der Verankerungslänge ist (siehe R25.4.1.1 und ACI Committee 408 1966), kann sie wie folgt berechnet werden:

Angenommen, ein Bewehrungsstab wird auf die Verankerungslänge l_d oder mehr in einen Betonblock eingebettet. Dann führt das Herausziehen der Bewehrung zum Bruch der Bewehrung und nicht zum Herausziehen aus dem Beton. Dies lässt sich mit der folgenden Formel ausdrücken.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

mit:

d_b ist der Durchmesser des Bewehrungsstabs, l_d ist die Verankerungslänge, f_bu ist die Verbundfestigkeit, f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung und A_s ist die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs.

Daraus lässt sich die Formel zur Berechnung der Verbundfestigkeit leicht ableiten:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Die Verankerungslänge l_d wird dann nach ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 wie folgt bestimmt:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

mit:

C = 25 (2,1 für metrisch) für Stäbe der Nr. 6 und kleiner sowie für Rippendrähte, C = 20 (1,7 für metrisch) für Stäbe der Nr. 7 und größer, λ = 1,0 für Normalbeton, ψ_t, ψ_e, ψ_g werden nach ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 bestimmt. 

Es wird nur unbeschichtete oder verzinkte Bewehrung unterstützt, daher gilt ψ_e = 1,0. ψ_g wird automatisch aus der Festigkeitsklasse der Bewehrung bestimmt, und ψ_t wird automatisch aus der Lage der Bewehrung im Modell und aus der Betonierrichtung abgeleitet, die in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt eingestellt werden kann.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.1\qquad Direction of concreting}}}$$

Diese Nachweise werden im Hinblick auf die jeweils geeigneten Grenzwerte für die entsprechenden Teile der Struktur geführt (d. h., obwohl sowohl für den Beton als auch für den Bewehrungswerkstoff nur eine Festigkeitsklasse vorliegt, unterscheiden sich die endgültigen Spannung-Dehnung-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund der Effekte der Zugverfestigung und der Druckerweichung).

Verankerung -  Gesamtkraft

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

wobei A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und f_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe aus der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

wobei F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond die Verbundkraft ist, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge l des Bewehrungsstabs erhalten werden kann.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Festigkeit des Stabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs und l die Länge vom Beginn des Bewehrungsstabs bis zum betrachteten Punkt ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.2\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

wobei F_lim,add die zusätzliche Kraft ist, die aus der Größe des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Die in CSFM verfügbaren Verankerungsarten umfassen einen geraden Stab (d. h. ohne Reduktion durch das Verankerungsende), einen 90-Grad-Haken, einen 180-Grad-Haken, vollkommenen Verbund und einen durchlaufenden Stab. Alle diese Arten sind zusammen mit den zugehörigen Verankerungsbeiwerten β in Abb. 5.3.3 für die Längsbewehrung dargestellt. Die Werte der angesetzten Verankerungsbeiwerte werden aus dem Vergleich der Gleichung aus ACI 318-19 Abschnitt 25.4.3.1 mit den Gleichungen aus ACI 318-19 Abschnitt 25.4.2.3 abgeleitet. Es ist zu beachten, dass CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduktion der Verankerungslänge, (ii) eine Reduktion der Verankerungslänge um 30 % im Fall einer normgemäßen Verankerung und (iii) vollkommener Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.3\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Der Verankerungsbeiwert für Bügel beträgt stets β = 1,0.

Um ACI einzuhalten, muss in der Berechnung die Verankerungsfeder verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den Beiwert β modifiziert, sodass der Benutzer bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung eine der verfügbaren Verankerungsarten verwenden muss. 

Beton – Festigkeit

Das für die Festigkeitsberechnungen in 3D CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den Annahmen der AASHTO-LRFD-Festigkeitsbemessung zu Gleichgewicht und Dehnungsverträglichkeit. Gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.6.2.1, wird die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung des 3D CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für gedrückten Beton (d. h., nach Erreichen der Spitzenspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 bis zu einem Maximalwert von 5 % angesetzt, während AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.6.2.1, eine Bruchdehnung von weniger als 0,3 % annimmt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungskapazität von auf Druck versagenden Strukturen nachzuweisen. Die Festigkeit wird jedoch zutreffend vorhergesagt, wenn die mit steigender Festigkeit zunehmende Sprödigkeit des Betons über den Abminderungsbeiwert $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

mit:

α₁ ist der Abminderungsbeiwert der Betondruckfestigkeit gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.6.2.2. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms ist es erforderlich, die maximale Druckspannung um diesen Beiwert zu reduzieren. Dadurch wird die Spannungsverteilung in der Druckzone so gemittelt, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einem Spannung-Dehnung-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird.

Φ_c ist der Festigkeitsabminderungsbeiwert für Beton. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.5.4.2, festgelegt.

f'_c ist die Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird ein ideal elastisch-plastisches Spannung-Dehnung-Diagramm mit definierter Streckgrenze angesetzt. Siehe AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.4.3. Für die Definition dieses Diagramms müssen nur die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung bekannt sein – Festigkeit und Elastizitätsmodul.

Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden, in diesem Fall ist es jedoch nicht möglich, den Effekt der Zugverfestigung zu berücksichtigen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

mit:

Φ_s ist der Festigkeitsabminderungsbeiwert für Bewehrung. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.5.4.2, festgelegt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s ist der Elastizitätsmodul der Bewehrung

Als Grenzdehnung, bei der die Berechnung abgebrochen wird, ist 10 % gewählt. Dies wird auf Grundlage von ASTM A955/A955M-20c, Artikel 7, als sicher angesehen.

Die Zugverfestigung (Abb. 6.1.3)  wird automatisch berücksichtigt, indem die Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs so modifiziert wird, dass die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) erfasst wird.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren entspricht den modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Standardmaterialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitsbeiwertformat ohne Anpassung angewendet werden. Dabei werden die Eingangslasten mit Faktoren beaufschlagt und die charakteristischen Materialeigenschaften mit den jeweiligen Festigkeitsreduktionsfaktoren abgemindert, genau wie bei der herkömmlichen Betonbemessung.

Die Werte der Festigkeitsreduktionsfaktoren sind in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4 und für Anker in ACI 318-19 Kapitel 17 sowie AASHTO LRFD (2024) Artikel 6.5.4.2 vorgeschrieben.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Lastfaktoren und Lastkombinationen sind gemäß AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artikel 3.4.1 und Tabellen 3.4.1-1 bis 3.4.1-6 festzulegen. AASHTO LRFD legt die Lastkombinationen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit (Strength I bis Strength V) ausdrücklich fest, einschließlich der zugehörigen Lastfaktoren für jeden Fall.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.2\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Die verschiedenen von AASHTO geforderten Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Festigkeit der Bewehrung und die Verankerung (Verbundschubspannungen) geführt.

Festigkeit – Beton

Die Betonfestigkeit auf Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen äquivalenten Hauptspannung f_c,eq (im vorherigen Text auch σ_c,eq ), die aus der FE-Berechnung erhalten wird, und dem Grenzwert f'_c,lim ausgewertet.

Die äquivalente Hauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand aus.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Der Wert f_c,eq kann daher direkt mit einachsigen Festigkeitsgrenzen verglichen werden. Dieser Ausdruck wird aus der Anwendung der Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie abgeleitet, wobei der Winkel der inneren Reibung auf der sicheren Seite mit φ = 0° angenommen wird.

Festigkeit – Bewehrung

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem festgelegten Grenzwert f_y,lim ausgewertet.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Festigkeit – Anker

Anker werden auf Normalspannungen auf ähnliche Weise wie die Bewehrung nachgewiesen, wobei der Grenzwert f_y,lim bestimmt wird. 

Um die Orientierung im folgenden Text zu erleichtern, unterteilen wir die Verankerung zunächst im Hinblick auf die Normnachweise nach AASHTO bzw. ACI in drei Gruppen.

Gruppe 1

• Verankerungsarten

  • Einbetonierte Ankerplatte
  • Fußplatte – Abstand (Stand-off) = direkt 
  • Fußplatte – Abstand (Stand-off) = Mörtelfuge – Mörteldicke kleiner als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
  • Einzelanker mit überstehender Länge kleiner als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
• Normnachweise der Anker (AASHTO / ACI)

  • Zug/Druck

    • Alle Ankerarten auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2  
    • Alle Ankerarten auf Druck – AASHTO Artikel 6.9.2
  • Querkraft ohne Hebelarm

    • Schraubenmaterial – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)
    • Kopfbolzen – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a)
    • Bewehrung – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)
  • Interaktion von Zug und Querkraft - ACI 318-19 Kap. 17.8

Gruppe 2

• Verankerungsarten

  • Fußplatte – Abstand (Stand-off) = Mörtelfuge – Mörteldicke größer als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
• Normnachweise der Anker (AASHTO / ACI)

  • Zug/Druck

    • Alle Ankerarten auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2  
    • Alle Ankerarten auf Druck – AASHTO Artikel 6.9.2
  • Querkraft mit Hebelarm

    • Schraubenmaterial – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b) + Kap. 17.7.1.2.1.
    • Kopfbolzen – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a) + Kap. 17.7.1.2.1.
    • Bewehrung – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b) + Kap. 17.7.1.2.1.
  • Interaktion von Zug und Querkraft - ACI 318-19 Kap. 17.8

Gruppe 3

• Verankerungsarten

  • Fußplatte – Abstand (Stand-off) = Spalt
  • Einzelanker mit überstehender Länge größer als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
• Normnachweise der Anker (AASHTO / ACI)

  • Zug/Druck (mit Knicken)

    • Alle Ankerarten auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2
    • Alle Ankerarten auf Druck – AASHTO LRFD Artikel 6.9.2
  • Biegung

    • Für alle Ankerarten – AAHTO LRFD Artikel 6.12.2.2.7
  • Querkraft

    • Für alle Ankerarten – AASHTO LRFD Artikel 6.10.9
  • Interaktion von Normalkraft und Biegung

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Zugwiderstand des Ankers nach ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

mit:

• ϕ_a,t  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug nach ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – Spannungsquerschnitt auf Zug (um das Gewinde reduziert)
• f_uta – festgelegte Zugfestigkeit des Ankerstahls; sie darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkraftwiderstand des Ankers nach ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a)

Die Stahlfestigkeit auf Querkraft für Kopfbolzen wird wie folgt bestimmt:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

mit:
ϕ_a,v – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug nach ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
A_se,V – Spannungsquerschnitt auf Zug (um das Gewinde reduziert)
f_uta – festgelegte Zugfestigkeit des Ankerstahls; sie darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkraftwiderstand des Ankers nach ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)

Die Stahlfestigkeit auf Querkraft für Anker aus Schraubenmaterial und Bewehrung wird wie folgt bestimmt:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

mit:

• ϕ_a,v  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug nach ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – Spannungsquerschnitt auf Zug (um das Gewinde reduziert)
• f_uta – festgelegte Zugfestigkeit des Ankerstahls; sie darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkraftwiderstand eines Ankers mit Mörtelfuge am Fundament - ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2.1

Werden Anker mit aufgebauten Vergussmörtelschichten verwendet (Gruppe 2), ist der nach 17.7.1.2 berechnete Bemessungswert der Festigkeit mit 0,80 zu multiplizieren.

Interaktion von Zug und Querkraft nach ACI 318-19 Kap. 17.8

Die Interaktion zwischen Zug und Querkraft darf vernachlässigt werden, wenn (a) oder (b) erfüllt ist.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Wenn N_ua/(ϕN_n) > 0,2 für die maßgebende Festigkeit auf Zug und V_ua/(ϕV_n) > 0,2 für die maßgebende Festigkeit auf Querkraft, dann muss Gl. (17.8.3) erfüllt sein.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Druckwiderstand des Ankers nach AASHTO LRFD Artikel 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

mit:

• ϕ_a,c  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Druck nach AASHTO LRFD Artikel 6.5.4.2

• Wenn $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  dann: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   Andernfalls: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – Bruttoquerschnittsfläche des Bauteils (in²)
• F_y – festgelegte Mindestfließspannung des verwendeten Stahls (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - elastischer kritischer Knickwiderstand (kip)
• E – Elastizitätsmodul von Stahl (ksi)
• K = 2 – Knicklängenbeiwert nach Artikel 4.6.2.5 
• l – unausgesteifte Länge in der Knickebene (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – Trägheitsradius
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – Trägheitsmoment der Schraube 

Biegewiderstand des Ankers nach AASHTO LRFD Artikel 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

mit:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastisches Widerstandsmoment der Schraube
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – elastisches Widerstandsmoment der Schraube