Torsiemomenten en welving

Staven met een niet-nul welvingsconstante, $I_w$, die op een andere manier worden belast dan door twee gelijke torsiemomenten aan hun uiteinden, wringen bij het optreden van torsie.

Staven in IDEA StatiCa Connection hebben hun bewerkingen en daarna standaard 1,25*h aan schaalelementen + 4*h aan gecondenseerde elementen; zie artikel over automatische staaflengte. Hun lengte is dus niet verwaarloosbaar en reikt tot ongeveer een derde van een typische overspanning van een staalstaaf.

Wanneer torsie wordt toegepast — hetzij direct door het invoeren van Mx, hetzij door het aanbrengen van een dwarskracht op een asymmetrische staaf, zoals een U-profiel of hoekstaal — ontstaan er wringspanningen.

Torsie veroorzaakt:

• St. Venant-torsie, $T_t$ 
• Wringtorsie, $T_w$
• Bimoment, $B$

En deze veroorzaken op hun beurt spanningen:

• Afschuifspanning door St. Venant-torsie, $\tau_{t}$
• Afschuifspanning door wringtorsie, $\tau_w$
• Normaalkracht door bimoment, $\sigma_w$

De krachten kunnen worden bepaald door de differentiaalvergelijking op te lossen:

$$EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m$$

waarbij:

• $E$ – elasticiteitsmodulus bij trek en druk
• $G$ – elasticiteitsmodulus bij afschuiving
• $I_w$ – welvingsconstante
• $I_t$ – torsieconstante
• $\varphi$ – rotatie
• $m$ – torsiemoment

De oplossingen zijn bekend voor ideale randvoorwaarden, zoals een ingeklemd uiteinde of een vrij uiteinde.

De bovengrens van de normaalkracht door bimoment voor staven in IDEA StatiCa Connection is de situatie van een ingeklemd uiteinde en een vrij uiteinde waar de belasting (torsie) wordt aangebracht.

Voor deze situatie geldt:

$$T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )$$

$$T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}$$

$$B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}$$

waarbij:

• $M$ – torsiemoment aangebracht aan het uiteinde van de staaf (Mx ingesteld in IDEA StatiCa Connection, of dwarskracht V maal de afstand tussen het afschuivingsmiddelpunt en het zwaartepunt)
• $K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}$
• $L$ – staaflengte (uitkraaglengte)

Hier is een voorbeeld van een zeer stijve verbinding:

De kolom wordt belast door een torsiemoment $M_x = 30\,\textrm{kNm}$. Hoewel de voetplaat zeer dik is, vervormt deze toch licht door de welving van de kolom. Dit veroorzaakt trekkrachten in de ankers en drukspanningen in het beton. Dit betekent dat de wringinklemming nog steeds niet perfect is. In de praktijk is zoiets echter niet te verwachten.

Met behulp van vermoeiingsanalyse kunnen we de normaal- en afschuifspanningen nabij de stompe las weergeven (op een afstand van 0,5 maal de keeldikte van de las):

Laten we de spanningen vergelijken met een analytische oplossing. Met behulp van de bovenstaande formules zijn de krachten:

De bijbehorende spanningen in de kolomflens kunnen worden berekend:

$$\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}$$

$$\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f}$$

$$\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}$$

De maximale normaalkracht door welving ter plaatse van de voetplaat (staaf-langsas = 0 in de grafieken) bedraagt 314 MPa, wat iets hoger is dan de resultaten die we in IDEA StatiCa verkrijgen. Dit verschil wordt veroorzaakt door de onvolmaakte wringinklemming. De afschuifspanningen ter plaatse van de staafverbinding (in dit geval de kolomvoet) zijn verwaarloosbaar. 

De spanningsverdeling over de doorsnede als gevolg van torsie en welving is te zien in de editor voor algemene doorsneden:

Een praktijkvoorbeeld kan lastiger te verklaren zijn. Laten we de voetplaatdikte wijzigen naar 30 mm en slechts vier ankers M36 8.8 gebruiken:

Nu vervormt de voetplaat aanzienlijk, is de spanning in het beton niet verwaarloosbaar en is de kracht in het anker feitelijk enorm — bijna 140 kN (ter vergelijking: $N_{Rd,s} = 370,4\, \textrm{kN}$ bepaald volgens EN 1992-4). De normaalkrachten door welving zijn niet langer lineair zoals in de analytische oplossing, vanwege de vervorming van de voetplaat. Enigszins verrassend is dat de maximale spanning van 314 MPa gelijk is aan de analytische oplossing.

Conclusie

Ingenieurs hebben de neiging torsie-effecten te negeren, met name welving, of deze te vermijden, bijvoorbeeld door gesloten profielen te gebruiken. Merk op dat software die gebruik maakt van 1D-elementen doorgaans zes vrijheidsgraden heeft (3 translaties, 3 rotaties); om welving te kunnen beschrijven, is een zevende vrijheidsgraad nodig. 1D-elementen met zeven vrijheidsgraden zijn beschikbaar in bijvoorbeeld LTBeam of Consteel. Zelfs dan is het moeilijk te bepalen hoe welving via verbindingen van de ene staaf naar de andere wordt overgedragen. Desalniettemin is welving een reëel verschijnsel en zijn open profielen zeer gevoelig voor de effecten ervan. 

Wees voorzichtig bij het toepassen van torsie op staven met een open doorsnede. Wanneer een dergelijke staaf bezwijkt in IDEA StatiCa Connection, moet dit een alarmsignaal zijn voor de ingenieur. Torsie inclusief welving dient te worden beoordeeld bij het ontwerp van de staaf, bijvoorbeeld met behulp van IDEA StatiCa Member met de werkelijke staaflengte en krachten aangebracht op de juiste locaties.