비틀림 모멘트 및 뒤틀림

뒤틀림 상수 $I_w$가 0이 아닌 부재가 양 단부에 동일한 비틀림 모멘트가 작용하는 경우와 다른 방식으로 하중을 받을 때, 비틀림을 받으면 뒤틀림이 발생합니다.

IDEA StatiCa 연결 모듈의 부재는 제작 작업 영역을 가지며, 그 뒤로 기본적으로 1.25*h 의 쉘 요소 + 4*h의 축약 요소가 배치됩니다. 자동 부재 길이 문서를 참조하십시오. 따라서 부재의 길이는 실제로 무시할 수 없으며, 일반적인 강구조 부재 스팬의 약 1/3에 달합니다.

비틀림이 적용될 때, 이는 Mx를 직접 입력하거나 채널 또는 앵글과 같은 비대칭 부재에 전단력을 가하는 방식으로 적용될 수 있으며, 뒤틀림 응력이 발생합니다.

비틀림은 다음을 유발합니다:

• St. Venant 비틀림, $T_t$ 
• 뒤틀림 비틀림, $T_w$
• 바이모멘트, $B$

그리고 이들은 차례로 다음과 같은 응력을 유발합니다:

• St. Venant 비틀림에 의한 전단 응력, $\tau_{t}$
• 뒤틀림 비틀림에 의한 전단 응력, $\tau_w$
• 바이모멘트에 의한 수직 응력, $\sigma_w$

이 힘들은 다음 미분 방정식을 풀어 결정할 수 있습니다:

$$EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m$$

여기서:

• $E$ – 인장 및 압축 탄성계수
• $G$ – 전단 탄성계수
• $I_w$ – 뒤틀림 상수
• $I_t$ – 비틀림 상수
• $\varphi$ – 회전각
• $m$ – 비틀림 모멘트

이상적인 경계 조건, 예를 들어 고정단 또는 자유단에 대한 해는 이미 알려져 있습니다.

IDEA StatiCa 연결 모듈 부재에서 바이모멘트에 의한 수직 응력의 상한값은 고정단과 하중(비틀림)이 작용하는 자유단 조건입니다.

이 조건에 대해:

$$T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )$$

$$T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}$$

$$B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}$$

여기서:

• $M$ – 부재 단부에 작용하는 비틀림 모멘트 (IDEA StatiCa 연결 모듈에서 설정된 Mx, 또는 전단력 V에 전단 중심과 도심 사이의 거리를 곱한 값)
• $K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}$
• $L$ – 부재(캔틸레버) 길이

다음은 매우 강성이 높은 연결의 예입니다:

기둥에 비틀림 모멘트 $M_x = 30\,\textrm{kNm}$가 작용합니다. 베이스 플레이트가 매우 두껍더라도, 기둥 뒤틀림으로 인해 약간의 변형이 발생합니다. 이로 인해 앵커에 인장력이 발생하고 콘크리트에 압축 응력이 발생합니다. 즉, 뒤틀림 구속이 완전하지 않음을 의미합니다. 그러나 실제 상황에서는 이러한 현상을 기대할 수 없습니다.

피로 해석을 사용하면 맞대기 용접 근처(용접 목두께의 0.5배 거리)에서 수직 응력과 전단 응력을 도시할 수 있습니다:

해석 해와 응력을 비교해 보겠습니다. 위에 제시된 공식을 사용하면 힘은 다음과 같습니다:

그리고 기둥 플랜지에서의 해당 응력을 계산할 수 있습니다:

$$\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}$$

$$\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f}$$

$$\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}$$

베이스 플레이트 위치(그래프에서 부재 종축 = 0)에서 뒤틀림에 의한 최대 수직 응력은 314 MPa에 달하며, 이는 IDEA StatiCa에서 얻은 결과보다 약간 높습니다. 이 차이는 불완전한 뒤틀림 구속으로 인해 발생합니다. 부재 연결부(이 경우 기둥 베이스)에서의 전단 응력은 무시할 수 있는 수준입니다. 

비틀림 및 뒤틀림에 의한 단면의 응력 분포는 일반 단면 편집기에서 확인할 수 있습니다:

실제 사례는 설명하기가 더 까다로울 수 있습니다. 베이스 플레이트 두께를 30 mm로 변경하고 M36 8.8 앵커 4개만 사용해 보겠습니다:

이제 베이스 플레이트가 상당히 변형되고, 콘크리트의 응력이 무시할 수 없는 수준이 되며, 앵커의 힘은 실제로 매우 커서 약 140 kN에 달합니다(EN 1992-4에 의해 결정된 $N_{Rd,s} = 370.4\, \textrm{kN}$와 비교). 베이스 플레이트 변형으로 인해 뒤틀림에 의한 수직 응력은 더 이상 해석 해에서와 같이 선형이 아닙니다. 다소 놀랍게도, 최대 응력 314 MPa는 실제로 해석 해와 동일합니다.

결론

엔지니어들은 비틀림 효과, 특히 뒤틀림을 무시하거나, 예를 들어 폐단면을 사용하여 이를 회피하는 경향이 있습니다. 1D 요소를 사용하는 소프트웨어는 일반적으로 6자유도(3개의 변위, 3개의 회전)를 가지며, 뒤틀림을 포착하려면 7번째 자유도가 필요합니다. 7자유도를 가진 1D 요소는 예를 들어 LTBeam 또는 Consteel에서 사용할 수 있습니다. 그럼에도 불구하고, 뒤틀림이 연결부를 통해 한 부재에서 다른 부재로 어떻게 전달되는지 결정하기는 어렵습니다. 그럼에도 불구하고, 뒤틀림은 실제 현상이며 개단면은 그 영향에 매우 취약합니다. 

개단면 부재에 비틀림을 적용할 때는 주의가 필요합니다. 이 부재가 IDEA StatiCa 연결 모듈에서 파괴될 경우, 이는 엔지니어에게 경고 신호가 되어야 합니다. 뒤틀림을 포함한 비틀림은 부재 설계에서 평가되어야 하며, 예를 들어 실제 부재 길이와 올바른 위치에 작용하는 힘을 사용하는 IDEA StatiCa 부재 모듈을 활용할 수 있습니다.