W praktyce inżynierowie mogą spotkać się z różnymi typami elementów skończonych (od prostych elementów prętowych 1D po bardziej złożone elementy bryłowe 3D), które są stosowane w wielu zastosowaniach do analizy i projektowania elementów konstrukcyjnych. Wspólną cechą większości obliczeń w praktyce jest zazwyczaj liniowe zachowanie modeli. Jego zaletami są niewątpliwie szybkość, przejrzystość oraz po prostu fakt, że dla dużej grupy problemów takie rozwiązanie jest w zupełności wystarczające.

Zwłaszcza w przypadku konstrukcji betonowych często zdarza się, że podejście liniowe jest niewystarczające. Po pojawieniu się pierwszych rys w obciążonym elemencie naprężenia ulegają redystrybucji, a problem staje się wyraźnie nieliniowy.

W takich przypadkach konieczny jest wybór jednego z bardziej zaawansowanych podejść. Dla przypadków 1D często można znaleźć metody analityczne zdefiniowane bezpośrednio w normach. Na przykład popularne modele Strut and tie można zbudować dla elementów płaskich 2D oraz stref nieciągłości (D-regions), albo zastosować bardziej zaawansowaną metodę pól naprężeń zaimplementowaną w IDEA StatiCa Detail, CSFM.

Jeśli jednak inżynier napotka problem, którego nie można uprościć do zachowania płaskiego, możliwości są bardzo ograniczone. Oczywiście można zbudować model Strut and tie 3D lub użyć oprogramowania półnaukowego do dokładnej analizy. Takie procedury są często czasochłonne, niezgodne z normami i wymagają inżyniera znającego zaawansowane metody modelowania.

Z tego względu IDEA StatiCa opracowała i wdrożyła 3D CSFM (Compatible Stress Field Method) w aplikacji Detail. 3D CSFM rozszerza sprawdzoną metodę CSFM o trzeci wymiar. Oferuje szybkie rozwiązanie zgodne z normami, przeznaczone przede wszystkim dla inżyniera pracującego na co dzień. Daje mu to wyjątkową nową możliwość bezpiecznego projektowania złożonych detali konstrukcji betonowych.

3D CSFM definiuje zachowanie betonu w oparciu o teorię plastyczności zmodyfikowanego kryterium Mohra-Coulomba dla obciążeń monotonicznych. Metoda uwzględnia naprężenia główne w betonie ściskanym oraz naprężenia w zbrojeniu (σ_sr) w rysach, pomijając wytrzymałość betonu na rozciąganie (odcięcie rozciągania), z wyjątkiem jego efektu usztywnienia zbrojenia (Tension stiffening).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Pręty zbrojeniowe są połączone z elementami skończonymi objętościowymi betonu za pomocą elementów przyczepności, co umożliwia poślizg między betonem a zbrojeniem. Należy zauważyć, że 3D CSFM nie nadaje się do symulacji betonu niezbrojonego ze względu na brak rozciągania, co może prowadzić do błędnych odkształceń i rozbieżności modelu. Ogólnie teoria Mohra-Coulomba obejmuje dwie podstawowe właściwości określające rozwój powierzchni plastyczności przy ściskaniu i częściowo przy rozciąganiu: kąt tarcia wewnętrznego φ oraz parametr spójności c. 3D CSFM przyjmuje zerowy kąt tarcia wewnętrznego (rys. 1.2.1e), co prowadzi do projektowania w sposób zachowawczy, ponieważ powierzchnia plastyczności przypomina model Tresca, który jest niezależny od pierwszego niezmiennika naprężeń.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Przedstawiony model materiałowy jest wielopowierzchniowym modelem plastyczności, będącym kombinacją modeli Mohra-Coulomba i Rankine'a dla obciążeń monotonicznych. Należy zaznaczyć, że model ten nie uwzględnia odciążenia, dlatego zmienne stanu nie są zapamiętywane, tak jak ma to miejsce w klasycznych modelach plastyczności stosowanych dla obciążeń cyklicznych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Jak wspomniano wcześniej, model materiałowy jest przeznaczony do stosowania w aplikacjach obliczających odpowiedź konstrukcji żelbetowych (nie nadaje się do betonu niezbrojonego). Wynika to z pominięcia betonu w strefie rozciąganej. Z tego względu model nie nadaje się również do elementów konstrukcyjnych, w których nie są spełnione zasady projektowania konstrukcji żelbetowych, takie jak minimalny stopień zbrojenia, maksymalny rozstaw prętów itp. Należy również dodać, że ze względu na stabilność numeryczną w modelu zdefiniowano bardzo małą nośność na rozciąganie. Część rozciągana jest ograniczona płaszczyznami odpowiadającymi modelowi Rankine'a.

3D CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w odniesieniu do odkształceń betonu ściskanego (tzn. przyjmuje nieskończenie plastyczną gałąź po osiągnięciu naprężenia maksymalnego). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności do odkształceń konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Jednak ich nośność graniczna jest prawidłowo przewidywana, gdy wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości jest uwzględniony za pomocą współczynnika redukcyjnego 𝜂_𝑓𝑐 zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

f_c jest wytrzymałością charakterystyczną betonu na ściskanie, określoną na próbkach walcowych (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

Wartość f_c,red jest następnie porównywana z równoważnym naprężeniem głównym σ_c,eq w betonie, które zostanie zdefiniowane dalej, oczywiście z uwzględnieniem wszystkich współczynników bezpieczeństwa przewidzianych w normie.

Szczegółowy opis modelu betonu można znaleźć pod poniższym łączem:

• Model materiałowy betonu dla 3D Detail

Zbrojenie

Dwuliniowy wykres naprężenie-odkształcenie dla prętów zbrojeniowych, zdefiniowany w normach projektowych (rys. 1.2.1d), stanowi model wyidealizowany. Model ten wymaga znajomości podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania, a w szczególności klasy wytrzymałości i ciągliwości. Użytkownik ma także możliwość zdefiniowania własnej zależności naprężenie-odkształcenie.

Tension stiffening jest uwzględniane przez modyfikację zależności naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu odwzorowania średniej sztywności prętów zatopionych w betonie (ε_m) (rys. 1.2.1b).

Zakotwienie

Poślizg przyczepności między zbrojeniem a betonem jest wprowadzany do modelu elementów skończonych poprzez przyjęcie uproszczonej sztywno-idealnie plastycznej zależności konstytutywnej przedstawionej na (rys. 1.2.1f), gdzie f_bd oznacza wartość obliczeniową (z uwzględnieniem współczynników) granicznego naprężenia przyczepności określonego w normie projektowej dla danych warunków przyczepności.

Jest to uproszczony model, którego jedynym celem jest weryfikacja wymagań dotyczących przyczepności zgodnie z normami projektowymi (tzn. zakotwienia zbrojenia). Skrócenie długości zakotwienia w przypadku stosowania haków, pętli i podobnych kształtów prętów można uwzględnić poprzez zdefiniowanie określonej nośności na końcu zbrojenia, co zostanie opisane dalej.

Kotwy

Element kotwy jest zdefiniowany jako zdolny do przenoszenia normalnych sił rozciągających lub ściskających, a także sił ścinających, z uwzględnieniem sztywności giętnej. 

Dostępne są następujące typy kotew:

• Kotwy wylewane na miejscu budowy

  • Zbrojenie
  • Podkładka
  • Śruba z łbem
• Zbrojenie wylewane na miejscu budowy

  • Zbrojenie
  • Pręty gwintowane

Wylewane na miejscu budowy - zbrojenie

Modelowane jako zbrojenie żebrowane zatopione w betonie. Wytrzymałość przyczepności jest obliczana zgodnie z zasadami wybranej normy, w taki sam sposób jak dla zbrojenia standardowego. Na końcu kotwy można zdefiniować typ zakotwienia, działający identycznie jak w przypadku zbrojenia - stosowana jest sprężyna zakotwienia ze współczynnikiem β ustawionym zgodnie z wybraną normą. Dostępne są trzy kształty geometryczne: prosty, w kształcie litery L, w kształcie litery U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Wylewane na miejscu budowy - podkładka i śruba z łbem

Podkładka oraz łeb śruby z łbem są modelowane jako element płytowo-powłokowy z odpowiedniego materiału, połączony bezpośrednio z trzonem kotwy. Przenosi on obciążenie na beton poprzez kontakt przenoszący wyłącznie ściskanie. Dostępne kształty: okrągły i kwadratowy (dla śruby z łbem tylko okrągły), z możliwością zdefiniowania wymiarów. Model podkładki i łba jest sprężysty i nie jest sprawdzany pod kątem nośności. 

Na poziomie modelu elementów skończonych bezpośrednio sprawdzane jest wyrwanie kotwy. Dla kontaktu ściskanego ustawiono kryteria zatrzymania w taki sposób, aby nie mógł on przenieść na beton większego naprężenia kontaktowego, niż przewiduje wybrana norma. W praktyce oznacza to, że jeśli kotwa zostałaby obciążona siłą niespełniającą warunków sprawdzenia na wyrwanie, skutkiem byłoby przedwczesne zakończenie obliczeń, ponieważ kryterium zatrzymania zostałoby przekroczone podczas dalszego obciążania.

Trzon kotwy ma zerową wytrzymałość przyczepności – całe obciążenie jest przekazywane na beton poprzez płytkę lub łeb.

Montowane po betonowaniu - zbrojenie i pręt gwintowany

Zaprojektowane jako pręty montowane w wywierconych otworach i połączone za pomocą kleju. Inżynier podaje obliczeniową wytrzymałość przyczepności bezpośrednio na podstawie specyfikacji technicznej produktu klejącego.

Model materiałowy kotew wykonanych z materiału śrub

W przypadku kotew wykonanych z materiału śrub (pręty gwintowane i kotwy z podkładkami) dwie właściwości modelu materiałowego różnią się od wartości nominalnych materiału śruby: moduł sprężystości i ciągliwość. Obie opisują zachowanie zespołu śruby oraz geometrię próbek badawczych, na których mierzone są wartości nominalne. Nie zależą one od normy projektowej, dlatego są stosowane jednakowo dla wszystkich norm projektowych. Zarówno nominalny wykres naprężenie-odkształcenie materiału śruby, jak i wykres zmodyfikowany współczynnikami C_E i C_A są wyświetlane w zakładce Materials (rys. 1.2.4).

Sztywność sprężysta. Moduł sprężystości materiału śruby jest redukowany współczynnikiem C_E:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - moduł sprężystości śruby
• E_b - moduł sprężystości kotwy przyjęty w analizie

Podejście to przyjęto na podstawie najnowszych badań (jeszcze nieopublikowanych; odniesienie zostanie dodane po publikacji). W badaniach tych efektywny moduł sprężystości zespołu śruby skalibrowano za pomocą analizy metodą elementów skończonych na podstawie obszernej bazy badań śrub. Potwierdzają to już opublikowane wyniki badań doświadczalnych Jankovića i in. (2025). W 66 próbach rozciągania prętów gwintowanych o długości 1000 mm (M20 do M30, klasy 8.8 i 10.9) zmierzona sztywność początkowa odpowiadała wartości 0,8·E·A_s/L_b. Średni stosunek sztywności przewidywanej do zmierzonej wynosił 0,98, a współczynnik zmienności 7,9 %. W prętach o takiej długości wpływ nakrętek i zazębienia gwintu jest pomijalny, więc redukcja odpowiada efektywnemu modułowi sprężystości samego pręta gwintowanego. Taki sam współczynnik zawiera zresztą sztywność śruby rozciąganej według EN 1993-1-8 (współczynnik 1,6 dla rzędu śrub złożonego z dwóch śrub).

Ciągliwość. Ciągliwość materiału śruby jest opisana procentowym wydłużeniem po zerwaniu A, zwykle rzędu 10 %. Wartości te mierzy się na krótkich próbkach, w których lokalne przewężenie stanowi dużą część zmierzonego wydłużenia. Długość strefy przewężenia nie zależy od długości próbki, dlatego procentowe wydłużenie maleje wraz ze wzrostem jej długości. W przypadku kotew zakotwionych w betonie na kilkaset milimetrów jest ono znacznie niższe niż wartość deklarowana. Aplikacja stosuje zatem zredukowaną ciągliwość:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - procentowe wydłużenie po zerwaniu materiału śruby
• A_red - zredukowana ciągliwość, stosowana jako kryterium zatrzymania kotwy w odniesieniu do odkształcenia
• C_A - współczynnik redukcji ciągliwości
• L_s - długość zakotwienia kotwy w betonie [mm]

Gdy odkształcenie w kotwie osiągnie wartość A_red, kryterium zatrzymania zostaje spełnione i analiza jest przerywana, tak samo jak w przypadku pozostałych kryteriów zatrzymania w 3D CSFM.

Równanie przyjęto na podstawie najnowszych badań (jeszcze nieopublikowanych; odniesienie zostanie dodane po publikacji). Dają one przybliżenie odkształcenia plastycznego śruby przy jej nośności granicznej, skalibrowane na obszernej bazie badań śrub: Δ_u,p = A · (0,177 · L + 2,19), gdzie L jest długością odkształcającą się śruby w mm. Składnik proporcjonalny do długości odpowiada równomiernemu wydłużeniu pręta, a składnik stały odpowiada lokalnemu udziałowi przewężenia. W aplikacji jako tę długość przyjmuje się długość zakotwienia kotwy L_s, a podzielenie Δ_u,p przez L_s daje odkształcenie A/C_A. Współczynnik C_A rośnie wraz z długością i zbliża się do wartości granicznej 1/0,177 = 5,65. Dla długości zakotwienia 200 mm i większych przekracza on 5,3, więc ciągliwość kotwy jest zredukowana do około jednej piątej wartości nominalnej, np. z 12 % do około 2,2 % przy L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Więcej informacji o łączeniu poszczególnych typów kotew z płytą podstawy lub płytą wylewaną na miejscu budowy można znaleźć w rozdziale Typy elementów skończonych - Elementy przenoszące obciążenia. 

W niniejszym rozdziale przedstawiamy sposób implementacji teorii Mohra-Coulomba w 3D CSFM. Wyjaśniamy, jak uwzględniany jest efekt ograniczenia odkształceń poprzecznych (trójosiowy stan naprężenia) oraz jak obliczane jest równoważne naprężenie główne σ_c,eq. Naprężenie to służy do wyznaczania nośności z punktu widzenia betonu.

Wprowadzenie do teorii

Teoria Mohra-Coulomba jest modelem matematycznym opisującym zachowanie materiałów kruchych pod wpływem naprężeń ścinających i normalnych. Większość klasycznych materiałów konstrukcyjnych spełnia tę zasadę przynajmniej na części obwiedni zniszczenia przy ścinaniu. Teoria ma zastosowanie do materiałów, dla których wytrzymałość na ściskanie znacznie przewyższa wytrzymałość na rozciąganie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.1\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

W inżynierii konstrukcyjnej teoria ta służy do wyznaczania obciążenia niszczącego oraz kąta pękania dla przemieszczenia powierzchni zarysowania w betonie i podobnych materiałach. Hipoteza tarcia Coulomba pozwala określić kombinację naprężeń ścinających i normalnych, która spowoduje zniszczenie materiału. Koło Mohra służy do określenia, jakie naprężenia główne wywołają tę kombinację naprężeń ścinających i normalnych, oraz jaki jest kąt płaszczyzny, w której to nastąpi. Zgodnie z zasadą normalności odkształcenie powstające w chwili zniszczenia będzie prostopadłe do linii opisującej warunek zniszczenia. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.2\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Można wykazać, że w materiale ulegającym zniszczeniu zgodnie z hipotezą tarcia Coulomba przemieszczenie powstające w chwili zniszczenia tworzy z linią zniszczenia kąt równy kątowi tarcia wewnętrznego. Pozwala to określić wytrzymałość materiału przez porównanie zewnętrznej pracy mechanicznej wywołanej przemieszczeniem i obciążeniem zewnętrznym z wewnętrzną pracą mechaniczną wynikającą z odkształcenia i naprężenia na linii zniszczenia. Zgodnie z zasadą zachowania energii suma tych prac musi być równa zero, co umożliwia obliczenie obciążenia niszczącego budowy.

Implementacja w 3D CSFM

Ogólnie, dla zadanego kąta tarcia wewnętrznego betonu, który wynosi około φ = 30-40° według literatury [1], [2], [3], [4], oraz dla wytrzymałości betonu na rozciąganie i ściskanie można skonstruować koła Mohra, jak na rysunku 1.3.3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.3\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Gdzie f_c jest wytrzymałością betonu na ściskanie, f_ct jest wytrzymałością betonu na rozciąganie, φ jest kątem tarcia wewnętrznego, a σ_c1, σ_c3 są naprężeniami głównymi betonu przy trójosiowym ściskaniu.

Można zauważyć, że wraz ze wzrostem naprężenia głównego σ_c3 rośnie również maksymalna możliwa różnica między wartościami σ_c3 i σ_c1, którą definiujemy jako maksymalne σ_c,eq (patrz niżej). Różnica ta odpowiada dwukrotności naprężenia dewiatorowego, które w literaturze definiuje się jako promień kół Mohra.

W 3D CSFM zaimplementowanym w IDEA StatiCa Detail kąt tarcia wewnętrznego przyjmuje się jako φ = 0°, jak pokazano na rysunku 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.4\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Praktyczną konsekwencją takiej implementacji jest to, że maksymalna różnica między σ_c3 i σ_c1 pozostaje stała wraz ze wzrostem σ_c3. 

Równoważne naprężenie główne wyraża równoważne naprężenie jednoosiowe dla ogólnego trójosiowego stanu naprężenia.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Wartość σ_c,eq można zatem bezpośrednio porównywać z granicznymi wytrzymałościami jednoosiowymi określonymi w normach.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Gdzie σ_c,lim jest obliczeniową (z uwzględnieniem współczynników częściowych) wytrzymałością jednoosiową betonu f_c.

Porównanie rysunku 1.3.3, na którym zastosowano rzeczywisty kąt tarcia wewnętrznego, z rysunkiem 1.3.4, który przedstawia implementację teorii Mohra-Coulomba z zerowym kątem tarcia wewnętrznego, pokazuje, że podejście przyjęte w obliczeniach w Detail jest bardzo konserwatywne przy ocenie trójosiowego stanu naprężenia.

Aby ułatwić zrozumienie, które obszary podlegają trójosiowemu ściskaniu, do aplikacji IDEA StatiCa Detail dodano wyrażenie opisujące wzrost efektywnej wytrzymałości materiału wskutek trójosiowego ściskania jako stosunek σ_c3/σ_c,lim. Stosunek ten można znaleźć w sprawdzeniu normowym wytrzymałości (Strength).

W wynikach pomocniczych (Auxiliary results) użytkownik znajdzie także współczynnik κ, który w inny sposób opisuje trójosiowość. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

Sprawdzenie wytrzymałości betonu można wtedy zapisać w postaci:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Z powyższego wynika, że jeśli element znajduje się w hydrostatycznym stanie naprężenia - σ_c3=σ_c2=σ_c1, równoważne naprężenie główne σ_c,eq będzie równe zero, a współczynnik kappa osiągnie wartość nieskończoną.

Więcej informacji można znaleźć tutaj: Trójosiowy stan naprężenia – efekt czynnego ograniczenia odkształceń poprzecznych

Równania równowagi

Teoria małych odkształceń umożliwia sformułowanie równania równowagi w oparciu o nieodkształconą objętość, z zastosowaniem podejścia pierwszego rzędu. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.1\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Równania zgodności odkształceń

Ciało stałe składa się z nieskończenie małych objętości, czyli punktów materialnych, z których każdy jest połączony z sąsiednimi bez przerw i nakładania się. Aby zapobiec powstawaniu przerw lub nakładaniu się punktów materialnych podczas odkształcania się ciała ciągłego, muszą być spełnione odpowiednie warunki matematyczne.

Równania konstytutywne

Równania konstytutywne opisujące zachowanie elementów 3D odgrywają kluczową rolę w analizie zachowania materiału w mechanice konstrukcji. Równania te sformułowano tak, aby uwzględniały nieliniowe zachowanie izotropowe, które obowiązuje dla elementów typu solid block w IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.2\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

3D CSFM uwzględnia ciągłe pola naprężeń w betonie (elementy skończone 3D), uzupełnione dyskretnymi elementami „prętowymi”, które odwzorowują zbrojenie (elementy skończone 1D). Zbrojenie nie jest zatem rozmyte w elementach skończonych 3D betonu, lecz modelowane jawnie i połączone z nimi. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.1.1\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Model nieliniowej (niesprężystej) analizy metodą elementów skończonych składa się z kilku typów elementów skończonych, które służą do modelowania betonu, zbrojenia oraz przyczepności między nimi. Elementy betonu i zbrojenia są najpierw dzielone na siatkę niezależnie, a następnie łączone za pomocą więzów wielopunktowych (elementy MPC). Dzięki temu zbrojenie może zajmować dowolne położenie, niezależnie od węzłów siatki czworościennej. Aby sprawdzić długość zakotwienia, między zbrojeniem a elementami MPC wprowadza się elementy przyczepności oraz elementy sprężyny zakończenia zakotwienia.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.1\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Beton

Beton jest analizowany za pomocą mieszanych elementów czworościennych z obrotami węzłów. Elementy czworościenne umożliwiają podział na siatkę obszarów o dowolnej topologii, a zastosowana formulacja gwarantuje dokładne wyniki odkształceń (bez pozornych naprężeń ścinających, znanych jako efekt blokady ścinania) nawet dla rzadkiej siatki, która nie byłaby odpowiednia dla formulacji liniowych elementów czworościennych. 

Stosowane jest całkowanie pełne. Oznacza to, że każdy element ma cztery punkty całkowania położone wewnątrz objętości. Takie całkowanie daje dokładne pole odkształceń i naprężeń, co pozwala na wiarygodną ocenę i prezentację wyników w całej objętości. Kryteria zatrzymania są następnie ustalane na podstawie wartości w punkcie całkowania.

Zbrojenie

Pręty zbrojeniowe są modelowane za pomocą dwuwęzłowych elementów jednowymiarowych typu „rod” (CROD), które mają wyłącznie sztywność osiową. Elementy te są połączone ze specjalnymi elementami „bond”, opracowanymi do modelowania poślizgu między prętem zbrojeniowym a otaczającym betonem. Elementy „bond” są następnie łączone za pomocą elementów MPC (więzy wielopunktowe) z siatką reprezentującą beton. Takie podejście umożliwia niezależny podział zbrojenia i betonu na siatkę, a ich połączenie jest zapewniane w kolejnym kroku.

Elementy przyczepności

Długość zakotwienia jest sprawdzana poprzez uwzględnienie naprężeń ścinających przyczepności między elementami betonu (3D) a elementami prętów zbrojeniowych (1D) w modelu elementów skończonych. W tym celu opracowano typ elementu skończonego „bond”.

Element przyczepności jest zdefiniowany jako powłokowy element skończony, połączony pierwszą warstwą z elementami reprezentującymi zbrojenie, a drugą warstwą z siatką betonu za pomocą więzów wielopunktowych (elementy MPC). Należy zauważyć, że element przyczepności jest w tym artykule zawsze przedstawiany z niezerową wysokością, która jednak w modelu jest zdefiniowana jako nieskończenie mała.

Zachowanie tego elementu opisuje naprężenie przyczepności, τ_b, jako dwuliniowa funkcja poślizgu między górnym a dolnym węzłem, δu, patrz (Fig. 2.2.2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.2\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

Sprężysty moduł sztywności zależności przyczepność-poślizg, Gb, jest definiowany następująco:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            współczynnik zależny od powierzchni pręta zbrojeniowego (domyślnie kg = 0,2)

E_c            moduł sprężystości betonu (przyjmowany jako Ecm w przypadku EN)

Ø             średnica pręta zbrojeniowego

Do sprawdzenia długości zakotwienia stosuje się wartości obliczeniowe (wartości z uwzględnieniem współczynników) granicznego naprężenia ścinającego przyczepności, f_bd, podane w wybranych normach projektowych EN 1992-1-1 lub ACI 318-19. Wzmocnienie gałęzi plastycznej jest domyślnie obliczane jako Gb/105.

Sprężyna zakotwienia

Zastosowanie zakończeń zakotwienia prętów zbrojeniowych (tj. odgięć, haków, pętli…), spełniających wymagania norm projektowych, pozwala zmniejszyć podstawową długość zakotwienia prętów (l_b,net) o określony współczynnik β (zwany dalej „współczynnikiem zakotwienia”). Wartość obliczeniowa długości zakotwienia (lb) jest następnie obliczana w następujący sposób:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.3\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

Zmniejszenie długości zakotwienia jest uwzględniane w modelu elementów skończonych za pomocą elementu sprężyny na końcu pręta (Fig. 2.2.3a), który jest zdefiniowany przez model konstytutywny pokazany na (Fig. 2.2.3b). Maksymalna siła przenoszona przez tę sprężynę (F_au) wynosi:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

gdzie:

β             współczynnik zakotwienia zależny od typu zakotwienia

A_s            pole przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego

f_yd           wartość obliczeniowa (wartość z uwzględnieniem współczynników) granicy plastyczności zbrojenia

Płyta podstawy

Płyta podstawy jest modelowana jako sprężysty element powłokowy. Materiał stalowy płyt podstawy definiuje się w zakładce Materiały. Jedyną właściwością fizyczną jest moduł sprężystości E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.1\qquad The base plate material definition}}}$$

Płytę podstawy można obciążyć obciążeniem punktowym (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) oraz grupą sił (Fx, Fy, Fz). Grupa sił jest stosowana głównie w modelach obciążeń eksportowanych z IDEA StatiCa Connection. Siły i momenty punktowe obciążają bezpośrednio odpowiedni węzeł płyty podstawy. Oznacza to, że nie następuje redystrybucja obciążenia, a jedynie rozkład wynikający ze sztywności płyty podstawy. 

Ta implementacja umożliwia import efektów obciążenia z IDEA StatiCa Connection, przykładanych do płyty podstawy w miejscu poszczególnych elementów skończonych spoin. Wartość i kierunek tych obciążeń wynikają z naprężeń ogólnych w danym elemencie skończonym spoiny. Więcej informacji znajduje się w odpowiednim rozdziale tego dokumentu.

Drugą opcją obciążenia jest króciec, który odwzorowuje krótki odcinek słupa nad płytą podstawy. Króciec jest modelowany jako konstrukcja z sprężystych elementów powłokowych i stanowi fizycznie wiarygodne połączenie między siłami wewnętrznymi a płytą. Użytkownik wybiera przekrój króćca ze standardowej bazy przekrojów. Zestaw sześciu składowych sił wewnętrznych (sił i momentów) jest przykładany w jednym punkcie na dolnej powierzchni króćca, czyli u podstawy słupa. Więzy przekazują siły na górną powierzchnię króćca. Stamtąd siły są naturalnie redystrybuowane przez króciec do płyty podstawy, kotew i betonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.2\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Mechanizm przekazywania ścinania (z płyty podstawy na blok betonowy)

Między płytą podstawy a betonem zdefiniowano kontakt cierny, przenoszący wyłącznie ściskanie. Do przekazywania ścinania użytkownik może wybrać jedną z trzech opcji:

• Przez kotwy
• Przez tarcie
• Przez ostrogę

Program nie dopuszcza łączenia tych mechanizmów przekazywania ścinania. 

Współczynnik tarcia należy wprowadzać jako wartość obliczeniową (z uwzględnionymi współczynnikami). Jeżeli wypadkowa siła ścinająca F_xy przekroczy iloczyn siły docisku F_z i współczynnika tarcia μ, obliczenia zostaną zatrzymane, a nie wszystkie obciążenia zostaną przyłożone do modelu. Warunek zapisuje się następująco:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Ilustruje to poniższy przykład, w którym rozpatrzono dwa przypadki obciążenia. 

• LC1 - typ stały - F_z = 100 kN
• LC2 - typ zmienny - F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.3\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

W pierwszym kroku obliczeń przykładane jest całe obciążenie stałe. Następnie obciążenie zmienne jest zwiększane stopniowo, aż osiągnie wartość obciążenia dociskającego pomnożoną przez współczynnik tarcia.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.4\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

Wykres na rysunku 2.3.5 określa zachowanie kontaktu ciernego między płytą podstawy a betonem.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.5\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

Wartość F_zμ zmienia się w każdym przyroście obliczeń, natomiast maksymalne odkształcenie postaciowe u_xy pozostaje stałe. 

Jeżeli ściskająca siła normalna F_z i siła ścinająca F_xy są wprowadzone w jednym typie przypadku obciążenia (np. tylko stałym), a warunek F_xy / (F_zμ) ≤ 1 nie jest spełniony, żadne obciążenie nie zostanie przyłożone do modelu. Wynika to z faktu, że warunek nie jest spełniony w żadnym przyroście obliczeń.

Ostroga jest połączona z siatką betonu więzami, które umożliwiają przekazywanie wyłącznie naprężeń normalnych ściskających. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.6\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

Ostroga jest modelowana ze sprężystych elementów powłokowych, a materiał definiuje moduł sprężystości E.

Wyniki nie są oceniane ani wyświetlane dla płyty podstawy ani dla ostrogi.

 Opcje płyty podstawy  (odsunięcie, podlewka)

Dostępny jest następujący zestaw opcji odsunięcia, w pełni zgodny z Connection application.

• Bezpośrednio
• Złącze zaprawowe – nakrętki od góry
• Złącze zaprawowe – nakrętki od góry i od dołu
• Szczelina

Warstwa zaprawy jest modelowana jako element powłokowy z uwzględnieniem jej sztywności. Należy pamiętać, że elementy powłokowe są nieściśliwe w kierunku swojej grubości. Ułatwia to redystrybucję sił lokalnych do betonu i jest poprawne dla typowych grubości podlewki stosowanych w praktyce, czyli 25-50 mm.

Rozróżnienie między nakrętkami tylko od góry (przegubowe połączenie kotwy z płytą podstawy) a nakrętkami od góry i od dołu (sztywne połączenie kotwy z płytą podstawy) silnie wpływa na nośność na ścinanie z punktu widzenia docisku do betonu.

Kotwy

Elementy skończone reprezentujące kotwy są modelowane tak, aby mogły przekazywać siły normalne i ścinające do betonu, z uwzględnieniem sztywności giętnej kotew. Do modelowania poślizgu między kotwą a otaczającym betonem stosuje się te same elementy przyczepności i MPC co w przypadku zbrojenia. Różnice są następujące:

• Dla kotew montowanych po betonowaniu (klejonych) należy podać obliczeniową wytrzymałość na przyczepność.
• Dla podkładek i śrub z łbem pomija się przyczepność wzdłuż trzonu kotwy. Całe obciążenie osiowe jest wówczas przekazywane na beton przez podkładkę lub łeb kotwy.

Przyczepność w otulinie betonowej - W kotwach połączonych z betonem przez przyczepność wzdłuż trzonu, czyli w kotwach z prętów zbrojeniowych wbetonowanych oraz w kotwach montowanych po betonowaniu (klejonych), elementy przyczepności nie są aktywne w obrębie otuliny. Aplikacja wyznacza otulinę automatycznie jako odległość od powierzchni betonu do powierzchni zbrojenia przypowierzchniowego (rys. 2.3.7a). Na tej długości wytrzymałość na przyczepność między kotwą a betonem jest równa zeru. Kotwa jest połączona z betonem za pomocą elementów przyczepności dopiero poniżej otuliny, na pozostałej części głębokości zakotwienia (rys. 2.3.7b). Całe obciążenie przekazywane przez przyczepność jest więc wprowadzane do betonu otoczonego zbrojeniem przypowierzchniowym, a naprężenia przyczepności kotwy w obrębie otuliny wynoszą w wynikach zero.

Powodem jest odmienne zachowanie się otuliny betonowej przy zniszczeniu. 3D CSFM stosuje plastyczny model materiałowy betonu, który umożliwia redystrybucję naprężeń (patrz rozdział 1.2). Otulina betonowa w pobliżu swobodnej powierzchni ulega jednak zniszczeniu kruchemu, opisywanemu przez mechanikę pękania, bez żadnej rezerwy plastycznej. Gdyby przyczepność była aktywna w obrębie otuliny, model wytworzyłby pole ściskania w obszarze, który w rzeczywistości nie jest w stanie go niezawodnie przenieść. W efekcie przeceniałby udział otuliny w nośności kotwy. Ten błąd rośnie wraz z grubością otuliny. Ponadto otulina jest częścią modelu narażoną na oddziaływanie środowiska (karbonatyzacja, chlorki, czynniki agresywne), więc jej właściwości mogą ulec pogorszeniu w okresie użytkowania konstrukcji. Pominięcie przyczepności w obrębie otuliny jest zatem założeniem konserwatywnym, spójnym z podstawowymi założeniami 3D CSFM.

To założenie dotyczy wyłącznie kotew, które przekazują obciążenie na beton przez przyczepność wzdłuż trzonu. Śruby z łbem oraz kotwy z podkładkami przekazują obciążenie osiowe przez łeb lub podkładkę, a przyczepność wzdłuż trzonu jest zerowa, więc nie są one objęte tym założeniem. Zwykłe zbrojenie również nie jest nim objęte. Wpływ na nośność jest największy dla kotew, których nośność decyduje o przyczepności i które są zamontowane w elementach o dużej otulinie betonowej, ponieważ większa część głębokości zakotwienia nie uczestniczy w przenoszeniu obciążenia.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.7\qquad Anchor with bond along the shank}}}$$

Kotwy można połączyć z płytami podstawy. Do tego połączenia stosuje się w pełni nieliniowe więzy łączące koniec kotwy z węzłem płyty podstawy. Więzy te umożliwiają sterowanie wszystkimi stopniami swobody. Dzięki temu można na przykład zapewnić, że kotwy nie przenoszą siły ściskającej z płyty podstawy albo że kotwa nie przenosi ścinania podczas modelowania ostrogi. 

Właściwość kotew Połączenie z płytą podstawy pozwala użytkownikowi określić, czy kotwa zostanie połączona z płytą podstawy opisanymi wcześniej więzami oraz w jaki sposób. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.8\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

Pole wyboru Przekazywanie ścinania określa, czy kotwa i płyta podstawy będą połączone w kierunku ścinania. Program nie umożliwia łączenia mechanizmów przekazywania ścinania, dlatego przy przekazywaniu przez tarcie i przez ostrogę to pole wyboru nie ma znaczenia. Natomiast przy przekazywaniu ścinania przez kotwy pole to umożliwia wyłączenie niektórych kotew z przekazywania ścinania.

Pole wyboru Przekazywanie sił osiowych określa, czy kotwa i płyta podstawy będą połączone w kierunku osiowym. Jest ono stosowane głównie przy eksporcie z funkcji Connection (patrz odpowiedni rozdział). W przypadku modelowania ręcznego zaleca się, aby to pole było zawsze zaznaczone.

Gdy pole wyboru jest odznaczone, kotwa jest odłączona zarówno przy rozciąganiu, jak i przy ściskaniu (w modelu eksportowanym z Connection application połączenie jest zastępowane parą sił). Gdy pole jest zaznaczone, kotwa jest zawsze połączona z płytą przy rozciąganiu, natomiast połączenie przy ściskaniu zależy od typu kotwy i rodzaju odsunięcia. Więcej informacji zawiera rysunek 2.3.8.

Nacięty gwint

Opcja jest sterowana polem wyboru we właściwościach kotwy i ma dwa zadania:

1. Określa sposób połączenia kotwy z płytą podstawy:

• Dla śrub z łbem i zbrojenia wbetonowanego, połączonych z płytą podstawy (nie dotyczy płyt wbetonowanych), rozróżnia połączenie śrubowe (przegubowe) i połączenie spawane (utwierdzone). Jest to widoczne w widoku 3D.
• Należy pamiętać, że sposób połączenia kotwy z płytą ma istotny wpływ na nośność na ścinanie z punktu widzenia docisku do betonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.9\qquad Cut threads options}}}$$

2. Zgodnie z Eurokodem nośność kotwy z nacietym gwintem jest redukowana według EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Można to ustawić w ustawieniach projektu. Dla prętów gwintowanych i podkładek zaleca się, aby to ustawienie było zawsze włączone.

Osiowe i obrotowe połączenie kotwy z płytą podstawy

Jak już wspomniano w tym rozdziale, kotwy są połączone z płytą podstawy w różny sposób, w zależności od typu kotwy, ustawienia odsunięcia oraz tego, czy uwzględnia się nacięty gwint. Pod względem połączenia obrotowego może to być przegub / utwierdzenie. Pod względem połączenia osiowego może to być rozciąganie / rozciąganie + ściskanie. Rodzaje połączenia obrotowego silnie wpływają na nośność na ścinanie z punktu widzenia docisku do betonu. W widoku 3D łatwo rozpoznać, czy kotwa jest połączona jako utwierdzona, czy przegubowa, na podstawie obecności nakrętek (patrz rysunek 2.3.10).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.10\qquad Rotational constraints}}}$$

Poniższa tabela przedstawia wszystkie możliwe kombinacje połączeń płyty podstawy z kotwami oraz odpowiadające im połączenia obrotowe i osiowe.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.11\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Płyty wbetonowane

Płyta wbetonowana jest szczególnym przypadkiem płyty podstawy. Modeluje się ją analogicznie, z następującymi różnicami:

Ponieważ płyta jest osadzona w bloku betonowym, nie można określić żadnego rodzaju odsunięcia. Głębokość osadzenia płyty jest pomijana. Płyta, modelowana elementami powłokowymi, jest umieszczona bezpośrednio na powierzchni betonu. W związku z tym powierzchnie boczne płyty nie są traktowane jako podparte przez beton.

Można stosować wyłącznie zbrojenie i śruby z łbem, które podobnie jak klasyczne kotwy można ustawić jako połączone z płytą w kierunku osiowym i ścinania. Doświadczenie praktyczne i niektóre dokumenty krajowe wskazują na potrzebę projektowania śrub z łbem wyłącznie na ścinanie, a zbrojenia na obciążenie osiowe. Pod względem więzów osiowych i obrotowych kotwy są zawsze połączone jako utwierdzone i na rozciąganie + ściskanie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.12\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Elementy skończone są zaimplementowane wewnętrznie, a model obliczeniowy jest generowany automatycznie, bez konieczności angażowania doświadczonego użytkownika. Ważnym elementem tego procesu jest generowanie siatki.

Beton

Wszystkie elementy betonowe są dzielone na siatkę łącznie. Zalecaną wielkość elementu aplikacja oblicza automatycznie na podstawie rozmiaru i kształtu konstrukcji, z uwzględnieniem średnicy największego pręta zbrojeniowego. Ponadto zalecana wielkość elementu gwarantuje wygenerowanie co najmniej czterech elementów w cienkich częściach konstrukcji, takich jak smukłe słupy lub cienkie ściany, co zapewnia wiarygodne wyniki w tych obszarach. Projektant może zawsze wybrać własną wielkość elementu betonowego, zmieniając mnożnik domyślnej wielkości siatki.

Zbrojenie

Zbrojenie jest dzielone na elementy o długości zbliżonej do wielkości elementu betonowego. Po wygenerowaniu siatek zbrojenia i betonu są one połączone elementami przyczepności, jak pokazano na rys. 2.2.1.

Zagęszczanie siatki

Siatka betonu jest automatycznie zagęszczana wokół kotew, wokół ostróg oraz pod króćcem służącym do przyłożenia obciążenia. Wielkość zagęszczonej siatki jest około dwukrotnie mniejsza niż podstawowej siatki betonu. Promień obszaru zagęszczenia jest definiowany w przybliżeniu jako wielkość elementu pomnożona przez dwa.

Do znalezienia rozwiązania nieliniowego zagadnienia MES stosuje się standardowy pełny algorytm Newtona-Raphsona (NR). 

Algorytm NR często nie osiąga zbieżności, gdy pełne obciążenie przykłada się w jednym kroku. Zwykle, tak jak tutaj, obciążenie przykłada się sekwencyjnie w kilku przyrostach, a wynik z poprzedniego przyrostu obciążenia służy jako punkt startowy rozwiązania Newtona dla kolejnego. W tym celu na bazie algorytmu Newtona-Raphsona zaimplementowano algorytm sterowania obciążeniem. Jeżeli iteracje NR nie osiągną zbieżności, bieżący przyrost obciążenia zostaje zmniejszony o połowę, a iteracje NR są powtarzane.

Drugim zadaniem algorytmu sterowania obciążeniem jest znalezienie obciążenia krytycznego, które odpowiada określonym „kryteriom zatrzymania”. Są to: maksymalne odkształcenie w betonie, maksymalny poślizg w elementach przyczepności, maksymalne przemieszczenie w elementach kotwiących oraz maksymalne odkształcenie w prętach zbrojeniowych. Obciążenie krytyczne wyznacza się metodą bisekcji. Jeżeli kryterium zatrzymania zostanie przekroczone w dowolnym miejscu modelu, wyniki ostatniego przyrostu obciążenia są odrzucane i obliczany jest nowy przyrost o wielkości równej połowie poprzedniego. Proces ten powtarza się, aż obciążenie krytyczne zostanie znalezione z zadaną tolerancją błędu.

Dla betonu kryterium zatrzymania przyjęto na poziomie 5% odkształcenia przy ściskaniu (czyli około rząd wielkości więcej niż rzeczywiste odkształcenie graniczne betonu) oraz 7% przy rozciąganiu w punktach całkowania elementów powłokowych. W przypadku rozciągania wartość ustalono tak, aby jako pierwsze mogło zostać osiągnięte odkształcenie graniczne zbrojenia, które bez uwzględnienia tension stiffening wynosi zwykle około 5%. W przypadku ściskania wartość wybrano spośród kilku wariantów jako na tyle dużą, aby skutki miażdżenia były widoczne w wynikach, a jednocześnie na tyle małą, aby nie powodować zbyt wielu problemów ze stabilnością numeryczną.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 2.5.1\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Dla zbrojenia kryterium zatrzymania zdefiniowano w odniesieniu do naprężeń. Ponieważ modelowane są naprężenia w rysie, kryterium przy rozciąganiu odpowiada wytrzymałości zbrojenia na rozciąganie z uwzględnieniem współczynnika bezpieczeństwa. Taką samą wartość przyjmuje się dla kryterium przy ściskaniu.

Kryterium zatrzymania w elementach przyczepności i sprężynach kotwiących wynosi α·δ_umax, gdzie δ_umax jest maksymalnym poślizgiem stosowanym w sprawdzeniach normowych, a α = 10.

Pozostałe kryteria zatrzymania dla kotwienia:

• Wyrwanie kotew z łbem (maksymalne naprężenie kontaktowe ściskające na górnej powierzchni łba kotwy). 
• Maksymalna siła ścinająca, która może zostać przeniesiona przez kotwę ze względu na docisk betonu.

Te dwa kryteria zależą od wybranej normy. Więcej informacji na ich temat znajdziesz w rozdziałach opisujących w aplikacji elementy analizy konstrukcyjnej zależne od normy.

Wyniki są przedstawiane niezależnie dla betonu i dla elementów zbrojenia. Wartości naprężeń i odkształceń w betonie są obliczane w punktach całkowania elementów objętościowych. Ponieważ jednak prezentowanie danych w takiej postaci nie jest praktyczne, wyniki są domyślnie przedstawiane w węzłach, jako maksymalna wartość naprężenia ściskającego z sąsiednich punktów całkowania Gaussa w połączonych elementach. Należy pamiętać, że taka prezentacja może lokalnie zaniżać wyniki na ściskanych krawędziach elementów w przypadku, gdy rozmiar elementu skończonego jest zbliżony do wysokości strefy ściskanej.

Wyniki dla elementów skończonych zbrojenia są albo stałe dla każdego elementu (jedna wartość – np. dla naprężeń w stali), albo liniowe (dwie wartości – dla wyników dotyczących przyczepności). Dla elementów pomocniczych, takich jak elementy płyt podporowych, przedstawiane są tylko odkształcenia.

Model w IDEA StatiCa Detail nie musi być zawsze budowany od podstaw ani na podstawie szablonu. Istnieje również możliwość zaimportowania modelu wraz z efektami obciążenia z IDEA StatiCa Connection. W Connection stalowa nadbudowa nad blokiem betonowym jest analizowana za pomocą nieliniowego modelu 3D, natomiast sam blok betonowy jest odwzorowany w uproszczony sposób przez fundament Winklera. W Detail natomiast blok żelbetowy jest modelowany bezpośrednio i szczegółowo sprawdzany.

Podczas przenoszenia modelu do Detail importowane są tylko płyta podstawy, kotwy i blok betonowy – sam element stalowy (wraz z jego globalną sztywnością) nie jest importowany. W modelu Connection ten element stalowy jest połączony z płytą podstawy spoiną. Naprężenia w elementach skończonych spoiny są całkowane i przeliczane na zestaw sił zastępczych, które obciążają płytę podstawy w Detail. W ten sposób wpływ brakującego elementu stalowego jest odwzorowany przez siły w spoinach przyłożone bezpośrednio do płyty podstawy.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.7.1\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

Ze względu na odmienną definicję sztywności w Connection i Detail (brak elementu stalowego, różne modele materiałowe i sposób odwzorowania betonu) bezpośrednie połączenie płyty podstawy z kotwami w Detail prowadziłoby na ogół do innego rozdziału obciążeń, a tym samym do innych sił rozciągających w kotwach. Aby tego uniknąć, kotwy są importowane jako osiowo odłączone od płyty podstawy. Zamiast przekazywać siły osiowe przez fizyczny kontakt, siły rozciągające w kotwach uzyskane z Connection są przykładane bezpośrednio do kotew w Detail. Jednocześnie w miejscu każdej kotwy do płyty podstawy przykładana jest równa i przeciwnie skierowana siła, dzięki czemu zachowana jest globalna równowaga modelu. Ta para sił (jedna działająca na kotwę, druga na płytę podstawy) odwzorowuje oddziaływanie między płytą podstawy a kotwą bez dopuszczania dodatkowego redystrybuowania sił osiowych w Detail. Te dwie przeciwne siły przedstawiono na Rysunku 2.7.1.

Siły ścinające są jednak nadal przekazywane przez połączenie między płytą podstawy a kotwami (lub przez ostrogę albo tarcie). Jest to możliwe, ponieważ do połączenia płyty podstawy z kotwami w zakresie ścinania zastosowano więzy, które pozwalają kontrolować odpowiednie stopnie swobody tego połączenia. W Detail użytkownik może zatem modyfikować ścieżkę przenoszenia ścinania – na przykład zwolnić ścinanie w dwóch z czterech kotew i pozostawić w pracy na ścinanie tylko kotwy skrajne – podczas gdy siły osiowe pozostają takie, jak zaimportowane z Connection.

W przypadku płyt wbetonowanych przyjęliśmy inne podejście. Kilka europejskich zaleceń projektowych wymaga, aby do przenoszenia sił osiowych uwzględniać wyłącznie pręty zbrojeniowe, natomiast śruby z łbem są traktowane jako przenoszące wyłącznie ścinanie. Ponieważ IDEA StatiCa Connection nie potrafi podczas eksportu wewnętrznie rozdzielić sił osiowych w kotwach zbrojeniowych od sił w śrubach z łbem, kotwy płyt wbetonowanych są importowane do Detail jako w pełni połączone, także w kierunku osiowym. Pozwala to użytkownikowi aktywować w Detail opcję obliczeniową, w której kotwy zbrojeniowe przenoszą wyłącznie osiowe rozciąganie, a śruby z łbem wyłącznie ścinanie. W tym procesie siła osiowa, która pierwotnie została przypisana śrubom z łbem, musi zostać redystrybuowana na kotwy zbrojeniowe w modelu Detail. Taka redystrybucja nie byłaby możliwa, gdybyśmy zastosowali opisane wyżej podejście z parą przeciwnych sił, dlatego płyty wbetonowane są traktowane inaczej.

Stan graniczny nośności

Różne sprawdzenia wymagane przez poszczególne normy projektowe są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Sprawdzenia SGN są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia styczne przyczepności).

Aby zapewnić efektywne zaprojektowanie elementu konstrukcyjnego, zaleca się wykonanie wstępnej analizy obejmującej następujące kroki:

• Wybierz zestaw najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń.
• Oblicz tylko kombinacje obciążeń dla stanu granicznego nośności (SGN).
• Aby skrócić czas obliczeń i wyeliminować ewentualne problemy, rozważ użycie rzadkiej siatki poprzez zwiększenie mnożnika domyślnego rozmiaru siatki w ustawieniach Setup (rys. 3.1.1). Jeśli model działa prawidłowo, przywróć wartość mnożnika do 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 3.1.1\qquad Mesh multiplier}}}$$

Taki model oblicza się bardzo szybko, co pozwala projektantom efektywnie przeglądać zbrojenie elementu konstrukcyjnego i ponawiać analizę, aż wszystkie wymagania sprawdzeń zostaną spełnione dla najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń. Po spełnieniu wszystkich wymagań sprawdzeń w tej wstępnej analizie zaleca się uwzględnienie pełnego zestawu kombinacji obciążeń granicznych oraz zastosowanie gęstej siatki (rozmiaru siatki zalecanego przez program). Użytkownicy mogą zmieniać rozmiar siatki za pomocą mnożnika, który może przyjmować wartości od 0,5 do 5 (rys. 3.1.1).

Podstawowe wyniki i sprawdzenia (naprężenie, odkształcenie oraz stopień wykorzystania (tj. obliczona wartość/wartość graniczna wynikająca z normy)), a także kierunek naprężeń głównych w przypadku elementów betonowych, są wyświetlane za pomocą różnych wykresów, na których ściskanie jest zazwyczaj przedstawiane kolorem czerwonym, a rozciąganie niebieskim. Globalne wartości minimalne i maksymalne dla całej konstrukcji można wyróżnić, podobnie jak wartości minimalne i maksymalne dla każdej części zdefiniowanej przez użytkownika. W osobnej zakładce programu można wyświetlić wyniki zaawansowane, takie jak wartości tensorowe, deformacje konstrukcji oraz stopnie zbrojenia (efektywne i geometryczne) używane do obliczania tension stiffening prętów zbrojeniowych. Ponadto można przedstawić obciążenia i reakcje dla wybranych kombinacji lub przypadków obciążeń.

Beton - SGN

Model betonu zaimplementowany w 3D CSFM opiera się na jednoosiowych zależnościach konstytutywnych dla ściskania, określonych w EN 1992-1-1 dla projektowania przekrojów, które zależą wyłącznie od wytrzymałości na ściskanie. W 3D CSFM domyślnie stosuje się wykres paraboliczno-prostokątny określony w EN 1992-1-1 p. 3.1.7 (1) (rys. 4.1.1a), jednak projektanci mogą również wybrać bardziej uproszczoną zależność sprężysto-idealnie plastyczną zgodnie z EN 1992-1-1 p. 3.1.7 (2) (rys. 4.1.1b). Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, tak jak w klasycznym projektowaniu konstrukcji żelbetowych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 4.1.1\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

Implementacja 3D CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w zakresie odkształceń dla betonu ściskanego (tzn. po osiągnięciu naprężenia maksymalnego przyjmuje gałąź plastyczną z ε_cu2 (ε_cu3) o wartości 5%, podczas gdy EN 1992-1-1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,35%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności do odkształceń konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Jednak ich nośność graniczna f_cd zgodnie z EN 1992-1-1 p. 3.1.3 jest przewidywana poprawnie, gdy wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości uwzględni się za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α_cc jest współczynnikiem uwzględniającym efekty długotrwałe wpływające na wytrzymałość na ściskanie oraz niekorzystne skutki wynikające ze sposobu przyłożenia obciążenia. Przyjmuje się go zgodnie z EN 1992-1-1 p. 3.1.6 (1). Wartość domyślna wynosi 1,0.

f_ck jest charakterystyczną wytrzymałością walcową betonu (w MPa przy definicji $\eta_{fc}$).

Zbrojenie

Domyślnie przyjmuje się wyidealizowany bilinearny wykres naprężenie-odkształcenie dla nagich prętów zbrojeniowych, zdefiniowany w EN 1992-1-1, p. 3.2.7 (rys. 4.1.2). Definicja tego wykresu wymaga znajomości jedynie podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania (wytrzymałość i klasa ciągliwości). Jeśli są znane, można uwzględnić rzeczywistą zależność naprężenie-odkształcenie zbrojenia (walcowanego na gorąco, odkształcanego na zimno, hartowanego i samoodpuszczanego, …). Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może zostać zdefiniowany przez użytkownika, ale w takim przypadku nie można uwzględnić efektu tension stiffening (nie można obliczyć szerokości rys). Zastosowanie wykresu naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią górną nie pozwala na weryfikację trwałości konstrukcyjnej. Dlatego konieczna jest ręczna weryfikacja standardowych wymagań dotyczących ciągliwości.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Tension stiffening (rys. 4.1.3) jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie dla nagiego pręta zbrojeniowego, tak aby oddać średnią sztywność prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałów, format częściowych współczynników bezpieczeństwa przewidziany w normach projektowych można stosować bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałów są redukowane za pomocą odpowiednich współczynników bezpieczeństwa podanych w normach projektowych, dokładnie tak jak w konwencjonalnej analizie konstrukcji betonowych. Wartości współczynników bezpieczeństwa materiałów podane w EN 1992-1-1, rozdz. 2.4.2.4, oraz współczynniki dla kotew podane w EN 1992-4, EN 1993-1-8 i EN 1994-1-1 są ustawione domyślnie, ale użytkownik może zmienić współczynniki bezpieczeństwa w ustawieniach normy i obliczeń (rys. 4.2.1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.1\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki bezpieczeństwa dla obciążeń musi zdefiniować użytkownik w regułach kombinacji dla każdej nieliniowej kombinacji przypadków obciążeń (rys. 4.2.2). Dla wszystkich szablonów zaimplementowanych w Idea StatiCa Detail częściowe współczynniki bezpieczeństwa są już wstępnie zdefiniowane.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.2\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Stosując odpowiednie, zdefiniowane przez użytkownika kombinacje częściowych współczynników bezpieczeństwa, użytkownicy mogą również wykonywać obliczenia w 3D CSFM z wykorzystaniem metody globalnego współczynnika nośności (Navrátil i in. 2017), jednak podejście to jest rzadko stosowane w praktyce projektowej. Niektóre wytyczne zalecają stosowanie metody globalnego współczynnika nośności do analizy nieliniowej. Jednak w uproszczonych analizach nieliniowych (takich jak 3D CSFM), które wymagają wyłącznie tych właściwości materiałów, które są używane w konwencjonalnych obliczeniach ręcznych, nadal korzystniejsze jest stosowanie formatu częściowych współczynników bezpieczeństwa.

Różne weryfikacje wymagane przez EN 1992-1-1 są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Weryfikacje SGN są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia styczne przyczepności).

Wytrzymałość – beton

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest obliczana jako stosunek maksymalnego równoważnego naprężenia głównego σ_c,eq uzyskanego z analizy MES do wartości granicznej σ_c,lim = f_cd.

Równoważne naprężenie główne wyraża równoważne jednoosiowe naprężenie dla ogólnego trójosiowego stanu naprężenia.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Wartość σ_c,eq można zatem bezpośrednio porównywać z jednoosiowymi granicami wytrzymałości zgodnie z 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1).

Wyrażenie to wynika z zastosowania teorii plastyczności Coulomba-Mohra, przy zachowawczym założeniu kąta tarcia wewnętrznego φ = 0°.

Wytrzymałość – zbrojenie

Wytrzymałość zbrojenia jest obliczana zarówno przy rozciąganiu, jak i ściskaniu, jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach σ_sr do określonej wartości granicznej σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

gdzie:

f_yk        jest granicą plastyczności zbrojenia zgodnie z EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          jest stosunkiem wytrzymałości na rozciąganie f_tk do granicy plastyczności,
            $k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             jest częściowym współczynnikiem bezpieczeństwa dla zbrojenia.

Wytrzymałość – kotwy

Kotwy są sprawdzane na naprężenia normalne w podobny sposób jak zbrojenie, przy czym wyznaczana jest wartość graniczna σ_s,lim.

Dodatkowo dla kotew określane są wartości N_Ed i V_Ed, które są porównywane z N_Rd,s i V_Rd,s zgodnie z wybraną normą. Norma jest wybierana w zależności od typu zastosowanej kotwy w Ustawieniach projektu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.1\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}$$

Ponieważ w różnych normach przyjmuje się różne podejścia do sprawdzania kotew, użytkownik może wybrać następujące normy dla poszczególnych typów kotew:

• Kotwy wykonane z materiału śrub, poddane rozciąganiu i/lub ścinaniu – EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Śruby z łbem poddane rozciąganiu i/lub ścinaniu – EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Kotwy w rozciąganiu i/lub ścinaniu – EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Kotwy w ściskaniu i/lub zginaniu – EN 1993-1-1

Sprawdzenie rozciągania zgodnie z EN 1992-4 - 7.2.1.3

$$N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

gdzie:

• c – redukcja dla gwintu nacinanego  
• f_uk – minimalna wytrzymałość śruby na rozciąganie
• A_s – pole przekroju czynnego kotwy przy rozciąganiu (w przypadku materiału śrub pomniejszone o gwint)
• $\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4$ – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla stali 
• f_yk – minimalna granica plastyczności śruby

Sprawdzenie rozciągania zgodnie z EN 1993-1-8 - 3.6.1

$$N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$ 

gdzie:

• c – zmniejszenie nośności śrub z gwintem nacinanym na rozciąganie zgodnie z EN 1993-1-8 – Cl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0.9 – współczynnik dla kotew bez łba stożkowego 
• f_ub – wytrzymałość graniczna śruby kotwiącej na rozciąganie 
• A_s – pole przekroju czynnego kotwy przy rozciąganiu (w przypadku materiału śrub pomniejszone o gwint)
• γ_M2 =1.25 – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla śrub (EN 1993-1-8, Table 2.1) 

Sprawdzenie rozciągania zgodnie z EN 1992-1-1 - 3.2.7

$$N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}$$

gdzie:

• $k=(f_{t}/f_{y})$ jest podane w Annex C
• f_yk – charakterystyczna granica plastyczności
• γ_M2 =1.15 – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla zbrojenia

Sprawdzenie ściskania zgodnie z EN 1993-1-1 - 6.3

Stosowane dla wszystkich kotew poddanych normalnej sile ściskającej, niezależnie od ich materiału lub typu odsunięcia. 

$$F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}$$

Gdzie:

• $\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1$ – współczynnik redukcyjny wyboczenia
• $\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]$ – wartość do wyznaczenia współczynnika redukcyjnego wyboczenia χ
• $\alpha=0.49$ – współczynnik imperfekcji dla krzywej wyboczenia c (dotyczy pełnego przekroju kołowego)
• $\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}$ – smukłość względna

  • A_s – pole przekroju kotwy pomniejszone o gwint
• $N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}$  – siła krytyczna Eulera
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment bezwładności śruby

  • d_s – średnica kotwy pomniejszona o gwint
• $L_{cr}=2\,l$  – długość wyboczeniowa; po stronie bezpiecznej zakłada się, że śruba jest utwierdzona w betonie i może swobodnie się obracać przy płycie podstawy 
• $l=l_{a}$ – długość elementu śruby równa połowie grubości płyty podstawy + szczelina + połowa średnicy śruby; po stronie bezpiecznej zakłada się, że podkładka i nakrętka nie są dociśnięte do powierzchni betonu (ETAG 001 – Annex C – Cl. 4.2.2.4), patrz Figure 4.3.2.

Sprawdzenie ścinania zgodnie z EN 1992-4 - 7.2.2.3

Dla odsunięcia = bezpośrednie, przyjmuje się ścinanie bez ramienia siły (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.1):

$$V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Dla odsunięcia = złącze z zaprawy, przyjmuje się ścinanie z ramieniem siły (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.2):

$$V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}$$

gdzie:

• k₆ = 0.6 dla kotew z fuk ≤ 500 MPa; k₆ = 0.5 w pozostałych przypadkach
• A_s – pole przekrojuczynnego kotwy przy ścinaniu, pomniejszone o gwint
• f_uk – wytrzymałość graniczna śruby kotwiącej
• α_M = 2 – zakłada się pełne utwierdzenie (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)
• $M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)$ – charakterystyczna nośność kotwy na zginanie pomniejszona o siłę rozciągającą w kotwie
•  $M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}$ – charakterystyczna nośność kotwy na zginanie (ETAG 001, Annex C – Equation (5.5b))
• $W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}$ – wskaźnik wytrzymałości przekroju kotwy
• d – średnica śruby kotwiącej; jeżeli wybrano płaszczyznę ścinania w gwincie (co zawsze dotyczy pręta gwintowanego), stosuje się średnicę pomniejszoną o gwint; w przeciwnym razie stosuje się średnicę nominalną, d_nom
• N_Ed – siła rozciągająca w kotwie
• N_Rd,s – nośność kotwy na rozciąganie
• $l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}$ – ramię siły
• t_mortar – grubość zaprawy (podlewki)
• t_bp – grubość płyty podstawy
• $\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25$ dla $f_{uk} \le 800 \text{ MPa}$ i  $\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8$; γ_Ms = 1.5 w pozostałych przypadkach – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla zniszczenia stali (EN 1992-4 – Table 4.1)

Sprawdzenie ścinania zgodnie z EN 1993-1-8 - 6.2.2

Nośność stali kotwy na ścinanie jest wyznaczana zgodnie z EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) niezależnie od odsunięcia bezpośredniego lub ze złączem z zaprawy. Wytrzymałość i grubość podlewki powinny być zgodne z Cl. 6.2.5 (7).

$$V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}$$

gdzie:

$$F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}$$

• α_v = 0.6 dla klas 4.6, 5.6, 8.8 oraz 0.5 dla klas 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – wytrzymałość graniczna materiału śruby na rozciąganie
• A – pole przekroju czynnego śruby przy rozciąganiu, A = A_s, gdzie As jest polem przekroju czynnego śruby przy rozciąganiu (pomniejszonym o gwint)
• γ_M2 – współczynnik bezpieczeństwa - EN 1993-1-8 – Table 2.1

$$F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$

• ​ $\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}$
• α_b jest współczynnikiem zależnym od granicy plastyczności śruby kotwiącej
• f_yb – granica plastyczności kotwy; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – wytrzymałość kotwy na rozciąganie 
• A_s – pole przekroju czynnego przy rozciąganiu (pomniejszone o gwint)

Sprawdzenie ścinania zgodnie z EN 1993-1-1 - 6.2.6

Te sprawdzenia normowe stosuje się do kotew połączonych z płytą podstawy ze szczeliną lub do kotew obciążonych bezpośrednio, których wystająca długość jest większa niż 0,5 ich średnicy.

$$V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}$$

gdzie:

• A_V = 0.844 A_s – pole przekroju czynnego przy ścinaniu
• A_s – pole przekroju śruby pomniejszone o gwint
• f_y – granica plastyczności śruby
• γ_M2 – częściowy współczynnik bezpieczeństwa (definiowany w Ustawieniach projektu)

Sprawdzenie ścinania zgodnie z EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

$$V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}$$

gdzie:

• γ_v jest częściowym współczynnikiem dla łączników ścinanych zgodnie z EN 1994-1-1, rozdz. 2.4.1.2. Zalecana wartość γ_v wynosi 1,25
• d jest średnicą trzonu sworznia, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u jest określoną wytrzymałością materiału sworznia na rozciąganie, nie większą niż 500 MPa.

W EN 1994-1-1 punkt 6.6.3.1 podaje również równanie (6.19), które ogranicza nośność sworznia na ścinanie nośnością betonu na docisk (przebicie). W IDEA StatiCa Detail ten rodzaj zniszczenia nie jest sprawdzany osobnym wzorem normowym w postprocessingu. Zamiast tego jest wbudowany bezpośrednio w nieliniową analizę metodą elementów skończonych jako kryterium zatrzymania: analiza jest przerywana, zanim siła ścinająca w kotwie osiągnie odpowiadającą jej wartość P_Rd
z równania (6.19). Takie podejście zastosowano, ponieważ równanie (6.19) obowiązuje wyłącznie dla śrub z łbem przspawanych do płyty stalowej oraz dla średnic sworzni w zakresie 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, zgodnie z 6.6.3.1.

Aby objąć szerszy zakres przypadków praktycznych, opracowaliśmy serię referencyjnych modeli 3D w Abaqus ze średnicami kotew od 8 mm do 50 mm i wytrzymałościami betonu od C16/20 do C50/60. Sworznie zamodelowano jako przspawane sztywno do płyty podstawy albo połączone przegubowo. Modele materiałowe i parametry kontaktu w Detail skalibrowano następnie na podstawie tych symulacji w Abaqus, które same zostały zweryfikowane względem równania (6.19) w zakresie jego ważności. To kryterium zatrzymania obowiązuje dla wszystkich typów kotew i wszystkich norm EN.

Sprawdzenie zginania zgodnie z EN 1993-1-1 - 6.2.5

$$M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}$$

Gdzie:

• $W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – wskaźnik wytrzymałości przekroju śruby

  • d_s – średnica kotwy pomniejszona o gwint
• f_y – granica plastyczności materiału
• γ_M2 – częściowy współczynnik bezpieczeństwa (definiowany w Ustawieniach projektu)

Obliczeniowy moment zginający działający M_Ed - Jeżeli obciążenie ścinające działa z ramieniem siły, należy uwzględnić moment zginający działający na łącznik. Obliczeniowy moment zginający działający na łącznik oblicza się zgodnie ze wzorem (6.1) w EN 1993-1-1:

$$M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}$$

gdzie:

• V_Ed - jest obciążeniem ścinającym działającym na rozpatrywany łącznik
• l_a = a₃ + e₁

  • a₃ = 0.5d_nom, gdzie d_nom jest średnicą kotwy
  • e₁ - jest odległością między obciążeniem ścinającym a powierzchnią betonu, z pominięciem grubości ewentualnej warstwy podlewki wyrównawczej
• α_M = 2 – zakłada się pełne utwierdzenie (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.2\qquad Buckling length}}}$$

Interakcja rozciągania i ścinania w stali kotwy

Interakcja rozciągania i ścinania według EN 1993-1-8 jest uwzględniona w sposób niejawny w sprawdzeniu kotwy na ścinanie.

Interakcja rozciągania i ścinania według EN 1992-4 jest wyznaczana osobno dla form zniszczenia stali i betonu zgodnie z Table 7.3. Interakcja w stali jest sprawdzana dla każdej kotwy osobno.

$$\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1$$

EN 1994-1-1 stwierdza w Article 6.6.3.2, że jeżeli siła rozciągająca w kotwie jest większa niż 0.1P_Rd, sprawdzenie nie jest objęte tą normą. W takim przypadku interakcja jest oceniana w aplikacji zgodnie z EN 1992-4. W takim przypadku sprawdzenia ścinania nie należy rozpatrywać według EN 1994-1-1.

Interakcja rozciągania lub ściskania i zginania w stali kotwy EN 1993-1-1 - 6.2.1

$$\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1$$

gdzie:

• N_Ed – obliczeniowa siła rozciągająca (znak dodatni) lub ściskająca (znak ujemny)
• N_Rd – obliczeniowa nośność na rozciąganie (znak dodatni, F_t,Rd) lub ściskanie (znak ujemny, F_c,Rd)
• M_Ed – obliczeniowy moment zginający
• M_Rd = M_pl,Rd – obliczeniowa nośność na zginanie

Sprawdzenie wyrywania kotew z łbem (podkładki i śruby z łbem)

Dla kotew z łbem wdrożono dodatkowe kryterium zatrzymania, służące do sprawdzenia docisku betonu (miażdżenia) nad łbem kotwy - wyrywania. W trakcie analizy monitorowana jest siła ściskająca przekazywana przez kontakt łba z betonem i porównywana z wartością graniczną podaną w EN 1992-4, Clause 7.2.1.5 (zniszczenie przez wyrwanie łączników z łbem).

$$N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}$$

gdzie:

• A_h jest polem docisku łba łącznika (bez pola przekroju trzonu). 
• f_ck jest charakterystyczną wytrzymałością betonu na ściskanie - EN 1992-1-1 Cl. 3.1.2
• γ_Mp jest przyjmowane w aplikacji jako γ_Mp = γ_c z wartością domyślną 1,5
•  k₂​ jest zawsze przyjmowane jako 7,5, tj. wartość dla betonu zarysowanego. Jest to zgodne z podejściem CSFM stosowanym w Detail, w którym pomija się wytrzymałość betonu na rozciąganie i zakłada się, że beton jest zarysowany przy rozciąganiu. 

Gdy siła kontaktowa osiągnie tę wartość graniczną wynikającą z normy, uruchamiane jest kryterium zatrzymania i analiza jest przerywana, zanim zostanie przekroczona obliczeniowa nośność na wyrywanie.

Zakotwienie -  naprężenie przyczepności

Naprężenie styczne przyczepności jest obliczane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego w analizie MES do granicznej wytrzymałości przyczepności f_bd, zgodnie z EN 1992-1-1 rozdz. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

gdzie:

• f_ctd      jest wartością obliczeniową wytrzymałości betonu na rozciąganie zgodnie z EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Ze względu na rosnącą kruchość betonu o wyższej wytrzymałości f_ctk,0.05 jest ograniczone do wartości dla C60/75 zgodnie z EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)
• η₁       jest współczynnikiem związanym z jakością warunków przyczepności i położeniem pręta podczas betonowania (Fig. 4.3.3).
• η₁ = 1.0, gdy uzyskuje się „dobre” warunki, oraz
• η₁ = 0.7 we wszystkich innych przypadkach oraz dla prętów w elementach konstrukcyjnych wykonywanych w deskowaniu ślizgowym, o ile nie wykaże się, że występują „dobre” warunki przyczepności
• η₂        zależy od średnicy pręta:
  η₂ = 1.0 dla Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 dla Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.3\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

W IDEA StatiCa Detail warunki przyczepności są uwzględniane zgodnie z Fig. 4.3.3 c) i d). Kierunek betonowania można ustawić w aplikacji dla każdego elementu projektu w następujący sposób:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.4\qquad Direction of concreting}}}$$

Weryfikacje te są przeprowadzane względem odpowiednich wartości granicznych dla poszczególnych części konstrukcji (tzn. mimo że przyjęto jedną klasę zarówno dla betonu, jak i dla materiału zbrojenia, końcowe wykresy naprężenie-odkształcenie będą różne w poszczególnych częściach konstrukcji ze względu na efekty tension stiffening i compression softening).

Zakotwienie - siła całkowita

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i można ją zdefiniować na dwa sposoby.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

gdzie A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego, a σ_s jest naprężeniem w pręcie.

Albo jako suma siły zakotwienia F_a i siły przyczepności F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

gdzie F_a jest rzeczywistą siłą w sprężynie zakotwienia, a F_bond jest siłą przyczepności, którą można otrzymać przez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b wzdłuż długości pręta zbrojeniowego l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim jest maksymalną siłą w elemencie pręta zbrojeniowego z uwzględnieniem wytrzymałości granicznej pręta, a także warunków zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki, pętle zakotwienia itp.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

gdzie C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego, a l jest długością od początku pręta do rozpatrywanego punktu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.5\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

gdzie F_lim,add jest dodatkową siłą obliczaną na podstawie wartości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Typy zakotwienia na końcu zbrojenia (kotwy i pręty zbrojeniowe)

Dostępne typy zakotwienia w 3D CSFM obejmują pręt prosty (tzn. bez redukcji na końcu zakotwienia), odgięcie, hak, pętlę, pręt poprzeczny przyspawany, idealną przyczepność oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β przedstawiono na Fig. 4.3.6 dla zbrojenia podłużnego oraz na Fig. 4.3.7 dla strzemion. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia są zgodne z EN 1992-1-1 sekcja 8.4.4 Tab. 8.2. Należy zauważyć, że mimo różnych dostępnych opcji 3D CSFM rozróżnia trzy typy zakończeń zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja długości zakotwienia o 30% w przypadku zakotwienia znormalizowanego oraz (iii) idealna przyczepność.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.6\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.7\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Aby spełnić wymagania EN 1992-1-1, w obliczeniach należy zastosować sprężynę zakotwienia; sprężyna zakotwienia jest modyfikowana współczynnikiem β, dlatego użytkownik musi wybrać jeden z dostępnych typów zakotwienia podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia. 

Beton - wytrzymałość

Model betonu zaimplementowany do obliczeń wytrzymałościowych w CSFM opiera się na paraboliczno-plastycznej krzywej naprężenie-odkształcenie dla betonu, opracowanej przez Portland Cement Association i opisanej w PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, tak jak w klasycznym projektowaniu konstrukcji żelbetowych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w odniesieniu do odkształceń betonu ściskanego (tzn. po osiągnięciu naprężenia szczytowego uwzględniana jest gałąź plastyczna z ε_c0 o wartości maksymalnej 5%, podczas gdy ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności do odkształceń konstrukcji, w których zniszczenie następuje przez ściskanie. Wytrzymałość jest jednak przewidywana prawidłowo, jeżeli wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości uwzględni się za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₁ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie, zdefiniowanym w ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Przy stosowaniu wykresu naprężenie-odkształcenie typu parabola-prostokąt należy zredukować maksymalne naprężenie ściskające tym współczynnikiem. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej na podstawie wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną. 

Φ_c jest współczynnikiem redukcji wytrzymałości dla betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

f'_c jest wytrzymałością betonu na ściskanie, określaną na próbkach walcowych (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

Zbrojenie

Dla zbrojenia niesprężanego przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie ze zdefiniowaną granicą plastyczności. Patrz ACI 319-19 Cl. 20.2.1. Definicja tego wykresu wymaga znajomości jedynie podstawowych właściwości zbrojenia - wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, ale w takim przypadku nie można uwzględnić efektu tension stiffening. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

gdzie:

Φ_s jest współczynnikiem redukcji wytrzymałości dla zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y jest granicą plastyczności zbrojenia

E_s jest modułem sprężystości zbrojenia

Jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są zatrzymywane, przyjęto 10%. Wartość ta jest uznawana za bezpieczną na podstawie ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Tension stiffening (Rys. 5.1.3)  jest uwzględniane automatycznie poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie dla pręta zbrojeniowego bez uwzględnienia betonu, tak aby odwzorować średnią sztywność prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałów, format częściowych współczynników bezpieczeństwa zalecany w normach projektowych można zastosować bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez współczynniki obciążenia, a charakterystyczne właściwości materiałów są redukowane za pomocą odpowiednich współczynników redukcji nośności, dokładnie tak jak w konwencjonalnej analizie konstrukcji żelbetowych.

Wartości współczynników redukcji nośności podano w ACI 318-19, rozdział 21, a dla kotew w ACI 318-19, rozdział 17, oraz w AISC 360-16, rozdziały D, E, F, G. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki obciążenia dla kombinacji w stanie granicznym nośności należy przyjmować zgodnie z ACI 318-19, tabela 5.3.1.

Poza przypadkami podanymi w rozdziale 34, kombinacje obciążeń dla stanu granicznego użytkowalności nie są zdefiniowane w ACI 318-19. Zaleca się stosowanie reguł kombinacji opartych na Appendix C normy ASCE/SEI 7-16. We wszystkich szablonach współczynniki obciążenia są już wstępnie zdefiniowane.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.3\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Poszczególne weryfikacje wymagane przez ACI 318-19 są oceniane na podstawie wyników bezpośrednio uzyskanych z modelu. Weryfikacje są przeprowadzane dla nośności betonu, nośności zbrojenia i zakotwienia (naprężenia ścinające przyczepności).

Nośność - beton

Nośność betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego równoważnego naprężenia głównego f_c,eq (w poprzednim tekście także σ_c,eq ), uzyskanego z analizy MES, do wartości granicznej f'_c,lim.

Równoważne naprężenie główne wyraża równoważne naprężenie jednoosiowe dla ogólnego trójosiowego stanu naprężenia.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Wartość f_c,eq można zatem bezpośrednio porównywać z granicznymi wartościami wytrzymałości jednoosiowej. To wyrażenie wynika z zastosowania teorii plastyczności Mohra-Coulomba, przy zachowawczym założeniu kąta tarcia wewnętrznego φ = 0°.

Nośność - zbrojenie

Nośność zbrojenia jest oceniana zarówno przy rozciąganiu, jak i przy ściskaniu, jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach f_s do przyjętej wartości granicznej f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Nośność - kotwy

Kotwy są sprawdzane na naprężenia normalne w podobny sposób jak zbrojenie, przy czym wyznacza się wartość graniczną f_y,lim . 

Aby ułatwić orientację w dalszej części tekstu, najpierw podzielimy zakotwienia na trzy grupy pod względem sprawdzenia normowego według ACI lub AISC.

Grupa 1

• Typy zakotwienia

  • Blacha wbetonowana
  • Płyta podstawy - odsunięcie = bezpośrednie 
  • Płyta podstawy - odsunięcie = złącze z zaprawą - grubość zaprawy mniejsza niż 0,5 średnicy kotwy
  • Pojedyncza kotwa o długości wystającej mniejszej niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (ACI / AISC)

  • Rozciąganie/ściskanie

    • Wszystkie typy kotew przy rozciąganiu – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2  
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AISC 360-16 rozdz. E
  • Ścinanie bez ramienia siły

    • Materiał śruby – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)
    • Śruby z łbem – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a)
    • Zbrojenie – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)
  • Interakcja rozciągania i ścinania - ACI 318-19 rozdz. 17.8

Grupa 2

• Typy zakotwienia

  • Płyta podstawy - odsunięcie = złącze z zaprawą - grubość zaprawy większa niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (ACI / AISC)

  • Rozciąganie/ściskanie

    • Wszystkie typy kotew przy rozciąganiu – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2  
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AISC 360-16 rozdz. E
  • Ścinanie z ramieniem siły

    • Materiał śruby – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b) + rozdz. 17.7.1.2.1.
    • Śruby z łbem – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a) + rozdz. 17.7.1.2.1.
    • Zbrojenie – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b) + rozdz. 17.7.1.2.1.
  • Interakcja rozciągania i ścinania - ACI 318-19 rozdz. 17.8

Grupa 3

• Typy zakotwienia

  • Płyta podstawy - odsunięcie = szczelina
  • Pojedyncza kotwa o długości wystającej większej niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (ACI / AISC)

  • Rozciąganie/ściskanie (z wyboczeniem)

    • Wszystkie typy kotew przy rozciąganiu – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AISC 360-16 rozdz. E3
  • Zginanie

    • Dla wszystkich typów kotew – AISC 360-16 rozdz. F11
  • Ścinanie

    • Dla wszystkich typów kotew – AISC 360-16 rozdz. G
  • Interakcja siły osiowej i zginania

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Nośność kotwy na rozciąganie według ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

gdzie:

• ϕ_a,t  – współczynnik redukcji nośności dla kotew przy rozciąganiu według ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
• A_se,N – pole przekroju czynnego przy rozciąganiu (pomniejszone o gwint)
• f_uta – określona wytrzymałość stali kotwy na rozciąganie, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność kotwy na ścinanie według ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a)

Nośność stali na ścinanie dla śrub z łbem wyznacza się jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

gdzie:
ϕ_a,v – współczynnik redukcji nośności dla kotew przy rozciąganiu według ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
A_se,V – pole przekroju czynnego przy rozciąganiu (pomniejszone o gwint)
f_uta – określona wytrzymałość stali kotwy na rozciąganie, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność kotwy na ścinanie według ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)

Nośność stali na ścinanie dla kotew wykonanych z materiału śrub i ze zbrojenia wyznacza się jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

gdzie:

• ϕ_a,v  – współczynnik redukcji nośności dla kotew przy rozciąganiu według ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
• A_se,V – pole przekroju czynnego przy rozciąganiu (pomniejszone o gwint)
• f_uta – określona wytrzymałość stali kotwy na rozciąganie, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność na ścinanie kotwy połączonej z podstawą przez zaprawę - ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2.1

Jeżeli kotwy są stosowane z podlewką wykonaną na miejscu (Grupa 2), nośność obliczeniową wyznaczoną zgodnie z 17.7.1.2 należy pomnożyć przez 0,80.

Interakcja rozciągania i ścinania według ACI 318-19 rozdz. 17.8

Dopuszcza się pominięcie interakcji rozciągania i ścinania, jeżeli spełniony jest warunek (a) lub (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Jeżeli N_ua/(ϕN_n) > 0,2 dla decydującej nośności na rozciąganie oraz V_ua/(ϕV_n) > 0,2 dla decydującej nośności na ścinanie, wówczas musi być spełnione równanie (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Nośność kotwy na ściskanie według AISC 360-16 rozdz. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

gdzie:

• ϕ_a,t  – współczynnik redukcji nośności dla kotew przy ściskaniu według AISC 360-16 rozdz. E1
  
• (a) Gdy: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  lub     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Gdy: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  lub     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – pole przekroju brutto elementu
• E – moduł sprężystości stali
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - sprężyste naprężenie krytyczne przy wyboczeniu
• F_y – określona minimalna granica plastyczności stosowanego gatunku stali
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – promień bezwładności
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment bezwładności śruby 

Nośność kotwy na zginanie według AISC 360-16 rozdz. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

gdzie:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastyczny wskaźnik przekroju śruby
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – sprężysty wskaźnik przekroju śruby

Nośność kotwy na ścinanie według AISC 360-16 rozdz. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

gdzie:

• A_V = 0,844As – pole przekroju czynnego przy ścinaniu
• A_s – pole przekroju śruby pomniejszone o gwint

Miażdżenie betonu na styku kotwa–beton

Nośność kotwy na ścinanie jest również ograniczona ze względu na miażdżenie betonu na styku kotwa–beton. Wartości graniczne i metoda ich wyznaczania są szczegółowo opisane w artykule - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Gdy siła kontaktowa osiągnie tę granicę, uruchamiane jest kryterium zatrzymania i analiza zostaje przerwana przed przekroczeniem nośności.​ 

Sprawdzenie wyrwania kotew z łbem (podkładki i śruby z łbem)

Dla kotew z łbem wprowadzono dodatkowe kryterium zatrzymania, które sprawdza docisk (miażdżenie) betonu nad łbem kotwy - wyrwanie. Podczas analizy monitorowana jest siła ściskająca przenoszona przez styk łba z betonem i porównywana z wartością graniczną podaną w ACI 318-19, pkt 17.6.3.2.2a (zniszczenie przez wyrwanie mocowań z łbem).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

gdzie:

• $\Phi$ jest współczynnikiem redukcji nośności - Tabela 17.5.3(c)
• A_brg – pole docisku netto łba śruby z łbem, śruby kotwiącej lub pręta żebrowanego z łbem (bez pola przekroju trzonu). 
• f'_c jest określoną wytrzymałością betonu na ściskanie
• $\Psi_{c,p}$ jest współczynnikiem zarysowania przy wyrwaniu według 17.6.3.3 i zawsze przyjmuje się go równego 1,0, tzn. wartość dla betonu zarysowanego. Jest to zgodne z podejściem CSFM stosowanym w Detail, w którym pomija się wytrzymałość betonu na rozciąganie i zakłada się, że beton jest zarysowany przy rozciąganiu.

Gdy siła kontaktowa osiągnie tę normową wartość graniczną, uruchamiane jest kryterium zatrzymania i analiza zostaje przerwana przed przekroczeniem nośności na wyrwanie.​ 

Zakotwienie -  Naprężenie przyczepności

Naprężenie ścinające przyczepności jest oceniane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego w analizie MES do wytrzymałości przyczepności f_bu.

Chociaż wytrzymałość przyczepności nie jest jawnie zdefiniowana w ACI 318-19, obliczanie długości zakotwienia można znaleźć w rozdziale 25.4.2. Ponieważ jednak wytrzymałość przyczepności jest podstawową daną wejściową do wyznaczania długości zakotwienia, zob. R25.4.1.1 oraz ACI Committee 408 1966, wytrzymałość przyczepności można obliczyć następująco:

Załóżmy, że jeżeli zakotwimy pręt zbrojeniowy w bloku betonowym na długość zakotwienia l_d lub większą, to wyciąganie zbrojenia doprowadzi do zerwania zbrojenia, a nie do wyrwania go z betonu. Można to zapisać następującym wzorem.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

gdzie:

d_b jest średnicą pręta zbrojeniowego, l_d jest długością zakotwienia, f_bu jest wytrzymałością przyczepności, f_y jest granicą plastyczności zbrojenia, a A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego.

Z powyższego łatwo wyprowadzić wzór na obliczenie wytrzymałości przyczepności:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Długość zakotwienia l_d wyznacza się następnie według ACI 318-19, Tabela 25.4.2.3, w następujący sposób:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

gdzie:

C = 25 (2,1 dla jednostek metrycznych) dla prętów nr 6 i mniejszych oraz drutów żebrowanych, C = 20 (1,7 dla jednostek metrycznych) dla prętów nr 7 i większych, λ = 1,0 dla betonu zwykłego, ψ_t, ψ_e, ψ_g wyznacza się według ACI 318-19, Tabela 25.4.2.3. 

Obsługiwane jest wyłącznie zbrojenie niepowlekane lub powlekane cynkiem (ocynkowane), dlatego ψ_e = 1,0. ψ_g jest wyznaczane automatycznie na podstawie klasy zbrojenia, a ψ_t jest wyznaczane automatycznie na podstawie położenia zbrojenia w modelu oraz kierunku betonowania, który można ustawić w aplikacji dla każdego elementu projektu w następujący sposób.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.1\qquad Direction of concreting}}}$$

Weryfikacje te są przeprowadzane względem odpowiednich wartości granicznych dla poszczególnych części konstrukcji (tzn. mimo jednej klasy zarówno dla betonu, jak i materiału zbrojenia, końcowe wykresy naprężenie-odkształcenie będą się różnić w każdej części konstrukcji ze względu na efekty tension stiffening i compression softening).

Zakotwienie -  Siła całkowita

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i można ją zdefiniować na dwa sposoby.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

gdzie A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego, a f_s jest naprężeniem w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_a i siły przyczepności F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

gdzie F_a jest rzeczywistą siłą w sprężynie zakotwienia, a F_bond jest siłą przyczepności, którą można uzyskać przez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b wzdłuż długości pręta zbrojeniowego l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim jest maksymalną siłą w elemencie pręta zbrojeniowego, uwzględniającą nośność pręta, a także warunki zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki, pętle zakotwienia itp.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

gdzie C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego, a l jest długością od początku pręta zbrojeniowego do analizowanego punktu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.2\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

gdzie F_lim,add jest dodatkową siłą obliczaną na podstawie wartości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza od F_u.

Dostępne w CSFM typy zakotwienia obejmują pręt prosty (tzn. bez redukcji zakotwienia na końcu), hak 90-stopniowy, hak 180-stopniowy, idealną przyczepność oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β przedstawiono na rys. 5.3.3 dla zbrojenia podłużnego. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia wynikają z porównania równania z rozdziału ACI 318-19 25.4.3.1 oraz równań z rozdziału ACI 318-19 25.4.2.3. Należy zauważyć, że mimo różnych dostępnych opcji CSFM rozróżnia trzy typy zakończeń zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja długości zakotwienia o 30% w przypadku zakotwienia normowego oraz (iii) idealna przyczepność.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.3\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Współczynnik zakotwienia dla strzemion wynosi zawsze - β = 1,0.

Aby zachować zgodność z ACI, w obliczeniach należy stosować sprężynę zakotwienia; sprężyna zakotwienia jest modyfikowana współczynnikiem β, dlatego użytkownik musi wybrać jeden z dostępnych typów zakotwienia przy definiowaniu warunków początku i końca zbrojenia. 

Beton - wytrzymałość

Model betonu zaimplementowany do obliczeń wytrzymałościowych w 3D CSFM opiera się na założeniach AASHTO LRFD dotyczących projektowania na nośność, tj. na równowadze i zgodności odkształceń. Zgodnie z AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.6.2.1, wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementacja 3D CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia betonu ściskanego wyrażonego w odkształceniach (tzn. po osiągnięciu maksymalnego naprężenia przyjmowana jest gałąź plastyczna z ε_c0 o wartości maksymalnej 5%, podczas gdy AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.6.2.1, zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności do odkształceń konstrukcji ulegających zniszczeniu w strefie ściskanej. Nośność jest jednak prawidłowo przewidywana, gdy wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości uwzględnia się za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₁ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie, zdefiniowanym w AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.6.2.2. Przy zastosowaniu wykresu naprężenie-odkształcenie typu parabola-prostokąt konieczne jest zredukowanie maksymalnego naprężenia ściskającego tym współczynnikiem. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że uzyskana wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej z wykorzystaniem wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną.

Φ_c jest współczynnikiem redukcyjnym nośności betonu. Wartość domyślna jest przyjmowana zgodnie z AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.5.4.2.

f'_c jest wytrzymałością walcową betonu (w MPa przy definicji $\eta_{fc}$).

Zbrojenie

Dla zbrojenia niesprężonego przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie z określoną granicą plastyczności. Zobacz AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.4.3. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia - wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, jednak w takim przypadku nie można uwzględnić efektu tension stiffening. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

gdzie:

Φ_s jest współczynnikiem redukcyjnym nośności zbrojenia. Wartość domyślna jest przyjmowana zgodnie z AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.5.4.2.

f_y jest granicą plastyczności zbrojenia

E_s jest modułem sprężystości zbrojenia

Jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są zatrzymywane, przyjęto 10%. Jest to uznawane za bezpieczne na podstawie ASTM A955/A955M-20c, artykuł 7.

Efekt tension stiffening (Fig. 6.1.3)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie dla samego pręta zbrojeniowego, tak aby oddać średnią sztywność prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałów, format współczynników częściowych przewidziany w normach projektowych może być stosowany bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałów są redukowane za pomocą odpowiednich współczynników redukcji wytrzymałości, dokładnie tak jak w konwencjonalnych obliczeniach konstrukcji żelbetowych.

Wartości współczynników redukcji wytrzymałości są podane w AASHTO LRFD (2024), Article 5.5.4, a dla kotew w ACI 318-19, Chapter 17, oraz w AASHTO LRFD (2024), Article 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.1\qquad Ustawienie współczynników redukcji wytrzymałości w IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki obciążenia i kombinacje obciążeń należy określać zgodnie z AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Article 3.4.1 oraz Tables 3.4.1-1 do 3.4.1-6. AASHTO LRFD jednoznacznie określa kombinacje obciążeń dla stanu granicznego wytrzymałości (Strength I do Strength V), wraz z odpowiednimi współczynnikami obciążenia dla każdego przypadku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.2\qquad Ustawienie współczynników obciążenia w Idea StatiCa Detail.}}}$$

Poszczególne sprawdzenia wymagane przez AASHTO są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Sprawdzenia przeprowadza się dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia styczne przyczepności).

Wytrzymałość – beton

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego równoważnego naprężenia głównego f_c,eq (oznaczanego również jako σ_c,eq we wcześniejszym tekście), uzyskanego z analizy MES, do wartości granicznej f'_c,lim.

Równoważne naprężenie główne wyraża równoważne naprężenie jednoosiowe dla ogólnego trójosiowego stanu naprężenia.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Wartość f_c,eq można zatem bezpośrednio porównywać z jednoosiowymi granicami wytrzymałości. Wyrażenie to wynika z zastosowania teorii plastyczności Coulomba-Mohra, przy zachowawczym założeniu kąta tarcia wewnętrznego φ = 0°.

Wytrzymałość – zbrojenie

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno przy rozciąganiu, jak i przy ściskaniu, jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach f_s do przyjętej wartości granicznej f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Wytrzymałość – kotwy

Kotwy są sprawdzane na naprężenia normalne w sposób zbliżony do zbrojenia, przy czym wyznacza się wartość graniczną f_y,lim. 

Aby ułatwić orientację w dalszej części tekstu, zakotwienia podzielimy najpierw na trzy grupy pod względem sprawdzenia normowego według AASHTO lub ACI.

Grupa 1

• Typy zakotwień

  • Płyta zabetonowana
  • Płyta podstawy – odległość od podłoża = bezpośrednio 
  • Płyta podstawy – odległość od podłoża = spoina z zaprawy – grubość zaprawy mniejsza niż 0,5 średnicy kotwy
  • Pojedyncza kotwa o długości wystającej mniejszej niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (AASHTO / ACI)

  • Rozciąganie/ściskanie

    • Wszystkie typy kotew przy rozciąganiu – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2  
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AASHTO art. 6.9.2
  • Ścinanie bez ramienia dźwigni

    • Materiał śruby – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)
    • Śruby z łbem – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a)
    • Zbrojenie – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)
  • Interakcja rozciągania i ścinania – ACI 318-19 rozdz. 17.8

Grupa 2

• Typy zakotwień

  • Płyta podstawy – odległość od podłoża = spoina z zaprawy – grubość zaprawy większa niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (AASHTO / ACI)

  • Rozciąganie/ściskanie

    • Wszystkie typy kotew przy rozciąganiu – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2  
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AASHTO art. 6.9.2
  • Ścinanie z ramieniem dźwigni

    • Materiał śruby – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b) + rozdz. 17.7.1.2.1.
    • Śruby z łbem – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a) + rozdz. 17.7.1.2.1.
    • Zbrojenie – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b) + rozdz. 17.7.1.2.1.
  • Interakcja rozciągania i ścinania – ACI 318-19 rozdz. 17.8

Grupa 3

• Typy zakotwień

  • Płyta podstawy – odległość od podłoża = szczelina
  • Pojedyncza kotwa o długości wystającej większej niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (AASHTO / ACI)

  • Rozciąganie/ściskanie (z wyboczeniem)

    • Wszystkie typy kotew przy rozciąganiu – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AASHTO LRFD art. 6.9.2
  • Zginanie

    • Dla wszystkich typów kotew – AAHTO LRFD art. 6.12.2.2.7
  • Ścinanie

    • Dla wszystkich typów kotew – AASHTO LRFD art. 6.10.9
  • Interakcja siły osiowej i zginania

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Nośność kotwy na rozciąganie według ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

gdzie:

• ϕ_a,t  – współczynnik redukcji nośności dla kotew rozciąganych według ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
• A_se,N – pole przekroju czynnego przy rozciąganiu (pomniejszone o gwint)
• f_uta – określona wytrzymałość stali kotwy na rozciąganie, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność kotwy na ścinanie według ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a)

Wytrzymałość stali na ścinanie dla śrub z łbem wyznacza się następująco:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

gdzie:
ϕ_a,v – współczynnik redukcji nośności dla kotew rozciąganych według ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
A_se,V – pole przekroju czynnego przy rozciąganiu (pomniejszone o gwint)
f_uta – określona wytrzymałość stali kotwy na rozciąganie, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność kotwy na ścinanie według ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)

Wytrzymałość stali na ścinanie dla kotew wykonanych z materiału śrub i ze zbrojenia wyznacza się następująco:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

gdzie:

• ϕ_a,v  – współczynnik redukcji nośności dla kotew rozciąganych według ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
• A_se,V – pole przekroju czynnego przy rozciąganiu (pomniejszone o gwint)
• f_uta – określona wytrzymałość stali kotwy na rozciąganie, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność na ścinanie kotwy połączonej z podstawą przez zaprawę - ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2.1

Jeżeli kotwy są stosowane z podlewką o zwiększonej grubości (Grupa 2), wytrzymałość obliczeniową wyznaczoną zgodnie z 17.7.1.2 należy pomnożyć przez 0,80.

Interakcja rozciągania i ścinania według ACI 318-19 rozdz. 17.8

Interakcję rozciągania i ścinania można pominąć , jeżeli spełniony jest warunek (a) lub (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Jeżeli N_ua/(ϕN_n) > 0,2 dla decydującej nośności na rozciąganie oraz V_ua/(ϕV_n) > 0,2 dla decydującej nośności na ścinanie, to musi być spełnione równanie (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Nośność kotwy na ściskanie według AASHTO LRFD art. 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

gdzie:

• ϕ_a,c  – współczynnik redukcji nośności dla kotew ściskanych według AASHTO LRFD art. 6.5.4.2

• Jeżeli $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  to: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   w przeciwnym razie: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – pole przekroju brutto elementu (in²)
• F_y – określona minimalna granica plastyczności stosowanej stali (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - sprężysta krytyczna nośność na wyboczenie (kip)
• E – moduł sprężystości stali (ksi)
• K = 2 – współczynnik długości efektywnej według art. 4.6.2.5 
• l – długość niestężona w płaszczyźnie wyboczenia (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – promień bezwładności
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment bezwładności śruby 

Nośność kotwy na zginanie według AASHTO LRFD art. 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$