Ścinanie

Ze względu na kruchość zniszczenia, sprawdzenie ścinania jest jednym z ważnych sprawdzeń normowych przekroju żelbetowego.

Procedura obliczeniowa

Obliczenie nośności na ścinanie składa się z kilku podstawowych etapów. W pierwszej kolejności należy przeanalizować, czy w sprawdzanym miejscu występują rysy od zginania, czy nie. Jeśli tak, stosuje się obliczenia zgodnie z EN 1992-1-1 [2], art. 6.2.2 (1). W przeciwnym razie należy ustalić, czy mamy do czynienia z betonem niezbrojonym czy słabo zbrojonym, a następnie postępować zgodnie z EN 1992-1-1 art. 12.6.3.

Dla zbrojonego betonu niezarysowanego (bez zbrojenia na ścinanie) sprawdzenie wykonuje się zgodnie z EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2). Dla elementów, w których wymagane jest zbrojenie na ścinanie, sprawdzenie wykonuje się zgodnie z art. 6.2.3 [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

Nośność na ścinanie elementów bez zbrojenia na ścinanie

Nośność na ścinanie elementów w zarysowanych strefach zginanych (art. 6.2.2 (1) [2])

Nośność na ścinanie żelbetowych elementów bez zbrojenia na ścinanie poddanych momentowi zginającemu wyraża się wzorem:

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

Wzór ten został wyznaczony na podstawie badań przeprowadzonych na reprezentatywnej liczbie prostych belek przy zniszczeniu przez siłę poprzeczną. Ponieważ powyższa nośność może być równa zero dla elementów bez zbrojenia podłużnego (r_l), dla słabo zbrojonych elementów wyprowadzono odpowiednie równania. Ponieważ powyższa nośność może być równa zero dla elementów bez zbrojenia podłużnego (r_l), dla słabo zbrojonych elementów nośność wyznaczana jest ze wzoru

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

Nośność na ścinanie z uwzględnieniem wpływu siły normalnej wyznaczana jest ze wzoru

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

Pełne wyrażenie nośności na ścinanie odpowiadające EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

Z minimum

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

gdzie  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          współczynnik wysokości przekroju

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      stopień zbrojenia zbrojeniem podłużnym

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        charakterystyczna wytrzymałość walcowa betonu na ściskanie w wieku 28 dni

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  w MPa

b_w        najmniejsza szerokość przekroju w strefie rozciąganej

d          wysokość użyteczna przekroju

υ_min      minimalna zastępcza wytrzymałość na ścinanie υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Nośność na ścinanie elementów w niezarysowanych strefach zginanych (art. 6.2.2 (2) [2])

Nośność na ścinanie elementów w niezarysowanych strefach zginanych można wyznaczyć z koła Mohra. Do równania

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

Podstawiamy σ_x = σ_cp a τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) i wyznaczamy V_Rd,c, otrzymując równanie odpowiadające wzorowi podanemu w EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

gdzie  

I           jest momentem bezwładności przekroju,

b_w        jest szerokością przekroju na poziomie osi środkowej

S          jest momentem statycznym powierzchni powyżej osi środkowej względem tej osi,

f_ctd        obliczeniowa osiowa wytrzymałość betonu na rozciąganie w MPa,

 s_cp       jest naprężeniem ściskającym betonu na poziomie osi środkowej od obciążeń i/lub sprężania,

a_l         współczynnik długości wprowadzenia, zazwyczaj 1,0.

W związku z powyższym należy zaznaczyć, że w strefach bez rys od zginania nośność V_Rd ,c może być znacznie wyższa niż w strefach zarysowanych zgodnie z art. 6.2.2 (1) [2]. Poniższy rysunek wyraźnie pokazuje, że mimo iż siła poprzeczna jest sprawdzana w jej ekstremum (które nie powoduje rys), nie musi to koniecznie oznaczać, że zostanie przeniesiona na całej długości belki. Wynika to ze zmiany metody obliczania nośności betonu na ścinanie. Po stronie bezpiecznej nośność na ścinanie można oczywiście przyjmować zgodnie z art. 6.2.2 (1) [2] również w miejscach, gdzie rysy nie wystąpią.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

Do wyrażenia V_Rd, c zgodnie z art. 6.2.2 (2)[2] należy również zaznaczyć, że w ogólnym przypadku sprawdzenie powinno być oparte na włóknie o ekstremalnym głównym naprężeniu rozciągającym betonu w strefie normalnych naprężeń ściskających, a nie w środku ciężkości przekroju. W tym miejscu konieczne jest obliczenie charakterystyk przekrojowych (S i b_W). W celu wyznaczenia maksymalnego naprężenia głównego s₁ w programie IDEA RCS przeprowadzamy linię przez środek ciężkości w kierunku wypadkowej sił poprzecznych. Linię tę dzielimy na 20 odcinków. Na tej linii wyznaczamy bardziej charakterystyczne punkty (punkty wielokąta przekroju, środek ciężkości, oś obojętna). W tych punktach obliczamy S, b_w, σ_x, τ_yz a σ_1.  W punkcie maksymalnego głównego naprężenia rozciągającego obliczamy nośność na ścinanie.

Siła poprzeczna przed zastosowaniem współczynnika redukcyjnego b wymaganego przez art. 6.2.2 (6) musi spełniać dodatkowy warunek

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

gdzie 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  kde f_ck je v MPa

Nośność na ścinanie elementów bez zbrojenia lub słabo zbrojonych (art. 12.6.3 [2])

Nośność na ścinanie betonu niezbrojonegoego lub słabo zbrojonego można wyznaczyć z wyrażenia

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

Gdzie

τ_cp podstawiamy przez

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

lub

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

Wartości cząstkowe użyte w powyższym wzorze są dane przez:

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

gdzie  

f_cd,pl     Obliczeniowa wytrzymałość na ściskanie dla betonu niezbrojonegoego lub słabo zbrojonego,

f_ctd,pl    Obliczeniowa osiowa wytrzymałość na rozciąganie betonu niezbrojonegoego lub słabo zbrojonego,

f_cvd       Obliczeniowa nośność na ścinanie przy ściskaniu betonu.

Nośność elementów ze zbrojeniem na ścinanie (art. 6.2.3 [2])

Obliczenie nośności żelbetowych elementów ze zbrojeniem na ścinanie opiera się na metodzie analogii kratownicowej ze zmiennym kątem pochylenia krzyżulców. Podstawą tej metody jest równowaga sił w trójkącie wyznaczonym przez siłę w krzyżulcu ściskanym (ukośnym), siłę w zbrojeniu na ścinanie (strzemię) oraz siłę w zbrojeniu podłużnym.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

Przekrój poddany ścinaniu jest przecięty rysami pod kątem θ, dlatego krzyżulec betonowy o tym samym kącie co siły poprzeczne przenosi siłę ścinającą. Siła ściskająca w krzyżulcu może być wyrażona jako V_ed/sinθ. Siła ta musi być przeniesiona przez powierzchnię betonu prostopadłą do krzyżulca ściskanego b_wzcosθ. Naprężenie ściskające betonu w krzyżulcu ściskanym wynosi wówczas:

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

Podstawiając $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  i $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ oraz wyrażając $${{V}_{Rd,max}}$$ otrzymujemy równanie na nośność krzyżulca na ścinanie:

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

Do zrównoważenia pionowej składowej siły w krzyżulcu ściskanym stosuje się zbrojenie na ścinanie. Wielkość siły pionowej wynika z naprężenia ściskającego w obszarze betonu odpowiadającym jednemu strzemięniu - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Graniczna siła w strzemięniu wynosi \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Podstawiając σ_c, porównując z graniczną siłą w zbrojeniu i po przekształceniach otrzymujemy:

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

Następnie wyrażając V_ed jako V_RDs otrzymujemy nośność przekroju z pionowym zbrojeniem na ścinanie:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

Podłużna siła ścinająca jest przenoszona przez zbrojenie podłużne i może być wyznaczona jako V_edcotgθ. Wyprowadzenie powyższych wzorów można znaleźć w [4].

W programie IDEA RCS możliwe jest sprawdzenie wyłącznie elementów z pionowym zbrojeniem na ścinanie. W ogólnym przypadku można stosować następujące równania:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

Gdzie  

A_sw      jest polem przekroju zbrojenia na ścinanie,

s           jest rozstawem strzemion,

f_ywd      jest obliczeniową granicą plastyczności zbrojenia na ścinanie,

b_w        jest minimalną szerokością między pasem rozciąganym a ściskanym. Do obliczenia nośności V_Rd,max wartość szerokości przekroju musi być zredukowana do tzw. nominalnej szerokości przekroju w przypadku, gdy przekrój jest osłabiony przez kanały kablowe

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ dla iniekcjonowanych kanałów metalowych

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ dla nieiniekcjonowanych kanałów metalowych           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa lub  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       jest współczynnikiem uwzględniającym stan naprężeń w pasie ściskanym.

Tab. 1‑1 Wyznaczanie współczynnika α_cw

Kąt θ jest kątem między krzyżulcem ściskanym betonu a osią elementu prostopadłą do siły poprzecznej. Wartości graniczne cotθ stosowane w danym kraju mogą być podane w jego Załączniku Krajowym. Zalecane wartości graniczne są określone wyrażeniem:

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

Wybór wartości kąta θ może wpływać na wartości nośności. Zależność nośności jest widoczna na Rysunku 1.15. Rysunek pokazuje, że wraz ze wzrostem kąta θ nośność V_Rd,max  rośnie, a nośność V_Rd,s maleje. Nośność V_Rd,c jest stała, ponieważ opiera się na metodzie analogii kratownicowej.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

Obliczanie charakterystyk przekrojowych dla ścinania

Do obliczenia ścinania istotne jest wyznaczenie zmiennych przekrojowych wpływających na nośność na ścinanie. Do zmiennych tych należą przede wszystkim szerokość przekroju przenosząca ścinanie b_w, wysokość użyteczna d oraz ramię sił wewnętrznych z. Norma [2] podaje te wartości bezpośrednio powiązane z rzeczywistym naprężeniem od zginania. Problem pojawia się jednak przy wyznaczaniu tych wartości, gdy kierunek wypadkowej momentów zginających (a dokładniej kierunek wypadkowej nośności przekroju) jest znacząco różny od kierunku wypadkowej sił poprzecznych. W takim przypadku norma EC2 nie podaje żadnych zaleceń.

Szerokość przekroju przenosząca ścinanie b_w

Program IDEA RCS oblicza szerokość przekroju odporną na ścinanie w kierunku prostopadłym do wypadkowej sił poprzecznych. W zależności od artykułu Eurokodu szerokość ta jest obliczana jako:
-  Najmniejsza szerokość przekroju między wypadkową ściskanego betonu a rozciąganym zbrojeniem w kierunku prostopadłym do wypadkowej sił poprzecznych dla art. 6.2.2 (a) i 6.2.3 (1)
- Szerokość przekroju w kierunku prostopadłym do wypadkowej sił poprzecznych w sprawdzanym punkcie zgodnie z art. 6.2.2 (2)

Wysokość użyteczna przekroju

Wysokość użyteczna jest zazwyczaj definiowana jako odległość najbardziej ściskanego włókna betonu do środka ciężkości zbrojenia. Ponieważ jest ona bezpośrednio związana ze zginaniem, odległość ta jest podawana jako rzut prostopadły na linię ciężkości płaszczyzny odkształceń.

Definicję tę można doprecyzować tak, że zamiast środka ciężkości zbrojenia rozciąganego stosuje się położenie wypadkowej sił w zbrojeniu. W trakcie opracowywania programu IDEA RCS rozwiązano problem: jak zdefiniować wysokość użyteczną przekroju, dla którego płaszczyzna obciążeń zginających nie pokrywa się z kierunkiem wypadkowej sił poprzecznych. Dlatego wysokość użyteczna jest definiowana jako odległość najbardziej ściskanego włókna betonu do wypadkowej sił w zbrojeniu rozciąganym (na podstawie naprężeń od zginania) w kierunku wypadkowej sił poprzecznych, patrz Rysunek 1.17.

Przypadki wyjątkowe wystąpią, gdy nie jesteśmy w stanie wyznaczyć ściskanego włókna lub wypadkowej w zbrojeniu rozciąganym. W takim przypadku zaleca się stosowanie wartości 0,9 h (90% wysokości przekroju w kierunku wypadkowej sił poprzecznych). Wartość tę użytkownik może zdefiniować w programie IDEA RCS poprzez ustawienie zmiennych normowych.

Ramię sił wewnętrznych

Ramię sił wewnętrznych jest określone w art. 6.2.3 (3) [2] jako „odległość między pasem rozciąganym a ściskanym". Norma nie określa, jak postępować, gdy płaszczyzna działającego momentu zginającego różni się od kierunku wypadkowej sił poprzecznych. Dlatego, podobnie jak w przypadku wysokości użytecznej, definiujemy odległość w kierunku wypadkowej sił poprzecznych. Również tutaj mogą wystąpić podobne przypadki wyjątkowe, na przykład gdy cały przekrój jest ściskany itp. W takim przypadku przyjmuje się wartość 0,9 d (90% użytecznej wysokości przekroju). Wartość tę użytkownik może ustawić w programie IDEA RCS poprzez ustawienie zmiennych normowych.

Zależność między nachyleniem płaszczyzny zginania a wypadkową siły poprzecznej jest wyraźnie widoczna na Rysunku 1.18 i Rysunku 1.19. Wraz ze wzrostem nachylenia wartości wysokości użytecznej, ramion sił i związanych z nimi nośności maleją. Stanem granicznym jest 90°. Dla tego nachylenia ramię sił wewnętrznych nie może być obliczone, w konsekwencji ramię sił jest równe zero. W takim przypadku uwzględniana jest wartość określona w ustawieniach zmiennych normowych. Powoduje to skok na końcu wykresu. Niniejsze badanie potwierdza, że zalecane maksymalne nachylenie wynosi około 20°.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

W ramach testowania aplikacji RCS przeprowadzono badanie dotyczące zależności nośności na ścinanie od zmiany siły normalnej. Nośność V_Rd,max jest kształtowana wyłącznie przez współczynnik α_cw, patrz Rys. 1.20. Rys. 1.21 pokazuje stałą wartość nośności V_Rds. Dla nośności V_Rdc spadki są spowodowane wzrostem siły normalnej. Niebieska krzywa na Rys. 1.21 przedstawia nośność V_Rdc z pominięciem wpływu rys i została obliczona przy użyciu wzoru z art. 6.2.2 (1) [2]. Skok w przejściu między ściskaniem a rozciąganiem jest spowodowany udziałem zbrojenia rozciąganego. Czerwona krzywa jest obliczona przy użyciu wzoru z art. 6.2.2 (2) [2]. Po wystąpieniu pierwszej rysy krzywa zależności jest taka sama jak dla art. 6.2.2 (1) [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$