În practică, inginerii pot întâlni diferite tipuri de elemente finite (de la simple elemente de bară 1D până la elemente volumetrice 3D mai complexe), utilizate într-o varietate de aplicații pentru analiza și calculul elementelor structurale. O caracteristică comună a majorității calculelor din practică este comportamentul liniar al modelelor. Avantajele acestuia sunt, fără îndoială, viteza, claritatea și faptul că, pentru o mare varietate de probleme, această soluție este pe deplin suficientă.

În special în domeniul structurilor din beton, se întâmplă adesea ca abordarea liniară să nu fie suficientă. După apariția primelor fisuri în elementul încărcat, tensiunile se redistribuie, iar problema devine semnificativ neliniară.

Pentru aceste cazuri, este necesar să se aleagă una dintre abordările mai avansate. Pentru cazurile 1D se pot găsi adesea metode analitice definite direct în coduri. De exemplu, pentru elemente plane 2D și zone de discontinuitate (zone D) se pot construi modele populare Bielă-tiranți. Se poate utiliza și metoda mai avansată a câmpului de tensiuni, implementată în IDEA StatiCa Detail, CSFM.

Totuși, dacă inginerul întâlnește o problemă care nu poate fi simplificată la un comportament plan, opțiunile sunt foarte limitate. Desigur, se poate construi un model Bielă-tiranți 3D sau se poate utiliza un software semi-științific pentru o analiză precisă. Aceste proceduri necesită adesea mult timp, nu sunt conforme cu codurile și presupun un inginer cu cunoștințe în metode avansate de modelare.

Din acest motiv, IDEA StatiCa a dezvoltat și a implementat CSFM 3D (Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil) în aplicația Detail. CSFM 3D extinde metoda CSFM consacrată în a treia dimensiune. Oferă o soluție rapidă și conformă cu codurile, aplicabilă în primul rând inginerului din practica de zi cu zi, și îi oferă o capacitate nouă și unică de a aborda în siguranță detaliile complexe ale structurilor din beton.

3D CSFM definește comportamentul betonului pe baza teoriei plasticității Mohr-Coulomb modificată pentru încărcări monotone. Metoda consideră tensiunile principale din beton la compresiune și tensiunile din armătură (σ_sr) în dreptul fisurilor, neglijând rezistența la întindere a betonului (limitarea întinderii), cu excepția efectului său de rigidizare asupra armăturii (participarea betonului întins).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Barele de armătură sunt legate de elementele finite volumetrice de beton prin elemente de aderență, ceea ce permite alunecarea între beton și armătură. Trebuie menționat că 3D CSFM nu este adecvată pentru simularea betonului simplu din cauza absenței întinderii, care poate conduce la deformații eronate și la divergența modelului. În general, teoria Mohr-Coulomb include două proprietăți fundamentale care guvernează evoluția suprafeței de plasticitate la compresiune și parțial la întindere: unghiul de frecare internă φ și parametrul de coeziune c. 3D CSFM presupune un unghi de frecare internă nul (Fig. 1.2.1e), ceea ce conduce la un calcul conservativ, deoarece suprafața de plasticitate seamănă cu modelul Tresca, care este independent de primul invariant al tensiunilor.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Modelul de material prezentat este un model de plasticitate multisuprafață, obținut prin combinarea modelelor Mohr-Coulomb și Rankine pentru încărcări monotone. Este important de reținut că acest model nu tratează descărcarea; prin urmare, variabilele de stare nu sunt stocate, așa cum ar fi în modelele clasice de plasticitate utilizate pentru încărcări ciclice.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Așa cum s-a menționat deja, modelul de material este destinat utilizării în aplicații care calculează răspunsul betonului armat (nu este adecvat pentru beton simplu). Aceasta se datorează excluderii betonului întins. Prin urmare, modelul nu este adecvat nici pentru elementele structurale la care regulile de proiectare pentru betonul armat, precum procentul minim de armare, distanța maximă dintre bare etc., nu sunt îndeplinite. Trebuie adăugat, de asemenea, că, din motive de stabilitate numerică, în model este definită o capacitate de întindere foarte mică. Partea de întindere este limitată de planuri corespunzătoare modelului Rankine.

3D CSFM din IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică ia în considerare o ramură plastică infinită după atingerea tensiunii de vârf). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează la compresiune. Totuși, capacitatea lor ultimă este prezisă corect atunci când se ia în considerare creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale, prin intermediul factorului de reducere 𝜂_𝑓𝑐 definit în fib Model Code 2010 astfel:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

f_c este rezistența caracteristică a betonului pe cilindru (în MPa pentru definirea $\eta_{fc}$).

Valoarea f_c,red este apoi comparată cu tensiunea principală echivalentă σ_c,eq din beton, care va fi definită mai departe, desigur, cu luarea în considerare a tuturor factorilor de siguranță prescriși de cod.

O descriere detaliată a modelului de beton poate fi găsită la următorul link:

• Modelul de material pentru beton pentru 3D Detail

Armătură

Diagrama bilineară efort-deformație pentru barele de armătură, definită de codurile de proiectare (Fig. 1.2.1d), reprezintă un model idealizat. Acest model necesită cunoașterea proprietăților de bază ale armăturii în faza de proiectare, în special a clasei de rezistență și de ductilitate. Alternativ, utilizatorii au opțiunea de a defini o relație efort-deformație personalizată.

Participarea betonului întins este luată în considerare prin modificarea relației efort-deformație a barei de armătură libere, pentru a reflecta rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m) (Fig 1.2.1b).

Ancoraj

Alunecarea aderenței dintre armătură și beton este introdusă în modelul cu elemente finite prin considerarea relației constitutive simplificate rigid-perfect plastice prezentate în (Fig. 1.2.1f), unde f_bd este valoarea de calcul (valoarea factorizată) a tensiunii ultime de aderență specificate de codul de proiectare pentru condițiile de aderență respective.

Acesta este un model simplificat, având ca unic scop verificarea prevederilor privind aderența conform codurilor de proiectare (adică ancorajul armăturii). Reducerea lungimii de ancoraj la utilizarea cârligelor, a buclelor și a formelor similare de bare poate fi luată în considerare prin definirea unei anumite capacități la capătul armăturii, așa cum va fi descris în continuare.

Ancore

Elementul de ancoră este definit ca fiind capabil să transmită forțe normale de întindere sau de compresiune, precum și forțe de forfecare, ținând cont de rigiditatea la încovoiere. 

Sunt disponibile următoarele tipuri de ancore:

• Ancore turnate in situ

  • Armătură
  • Placă tip șaibă
  • Dorn cu cap
• Armătură turnată in situ

  • Armătură
  • Tije filetate

Turnată in situ - Armătură

Modelată ca armătură nervurată înglobată în beton. Rezistența de aderență se calculează conform regulilor codului selectat, în același mod ca pentru armătura standard. La capătul ancorei se poate defini un tip de ancoraj, care funcționează identic cu armătura - se aplică un arc de ancoraj cu factorul β stabilit conform codului ales. Sunt disponibile trei forme geometrice: dreaptă, în formă de L, în formă de U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Turnată in situ - Placă tip șaibă și dorn cu cap

Placa tip șaibă și capul dornului cu cap sunt modelate ca element de tip placă-înveliș din materialul corespunzător, atașat direct de tija ancorei. Aceasta transmite încărcarea către beton prin contact care preia doar compresiune. Forme disponibile: circulară și pătrată (doar circulară pentru dornul cu cap), cu dimensiuni personalizabile. Modelul plăcii tip șaibă și al capului este elastic și nu este verificat la rezistență. 

La nivelul modelului cu elemente finite, smulgerea ancorei este verificată direct. Contactul la compresiune are criterii de oprire stabilite astfel încât să nu poată transmite betonului o tensiune de contact mai mare decât cea prescrisă de standardul selectat. În termeni practici, aceasta înseamnă că, dacă ancora ar fi încărcată cu o forță care nu respectă verificarea la smulgere, rezultatul ar fi oprirea prematură a calculului, deoarece acest criteriu de oprire ar fi depășit la încărcarea ulterioară.

Tija ancorei are rezistență de aderență nulă – întreaga încărcare este transmisă betonului prin placă sau prin cap.

Post-instalate - Armătură și tijă filetată

Concepute ca bare instalate în găuri forate și lipite cu adeziv. Inginerul specifică rezistența de calcul la aderență direct din specificația tehnică a produsului adeziv.

Modelul de material al ancorelor realizate din material pentru șuruburi

Pentru ancorele realizate din material pentru șuruburi (tije filetate și ancore cu plăci tip șaibă), două proprietăți ale modelului de material diferă de valorile nominale ale materialului șurubului: modulul de elasticitate și ductilitatea. Ambele descriu comportamentul ansamblului șurubului și geometria epruvetelor pe care sunt măsurate valorile nominale. Ele nu depind de codul de proiectare, deci se aplică identic pentru toate codurile de proiectare. Atât diagrama nominală efort-deformație a materialului șurubului, cât și diagrama modificată prin coeficienții C_E și C_A sunt afișate în fila Materials (Fig. 1.2.4).

Rigiditate elastică. Modulul de elasticitate al materialului șurubului este redus prin coeficientul C_E:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - modulul de elasticitate al șurubului
• E_b - modulul de elasticitate al ancorei utilizat în analiză

Această abordare a fost adoptată pe baza celor mai recente cercetări (încă nepublicate; referința va fi adăugată după publicare), în care modulul de elasticitate efectiv al ansamblului șurubului a fost calibrat prin analiză cu elemente finite în raport cu o bază de date extinsă de încercări pe șuruburi. Aceasta este confirmată de rezultatele experimentale deja publicate ale lui Janković et al. (2025): în 66 de încercări la întindere pe tije filetate cu lungimea de 1000 mm (M20 până la M30, clasele 8.8 și 10.9), rigiditatea inițială măsurată a corespuns valorii 0,8·E·A_s/L_b, cu un raport mediu dintre rigiditatea prezisă și cea măsurată de 0,98 și un coeficient de variație de 7,9 %. La tije de această lungime, influența piulițelor și a angrenării filetului este neglijabilă, astfel că reducerea reprezintă un modul de elasticitate efectiv al tijei filetate însăși. În mod incidental, același factor este conținut în rigiditatea unui șurub solicitat la întindere din EN 1993-1-8 (coeficientul 1,6 pentru un rând de șuruburi format din două șuruburi).

Ductilitate. Ductilitatea materialului șurubului este caracterizată de alungirea procentuală după rupere A, de obicei în jur de 10 %. Aceste valori sunt măsurate pe epruvete scurte, la care gâtuirea locală reprezintă o mare parte din alungirea măsurată. Lungimea zonei de gâtuire nu depinde de lungimea epruvetei, astfel că alungirea procentuală scade pe măsură ce epruveta devine mai lungă. În cazul ancorelor înglobate în beton pe câteva sute de milimetri, aceasta este substanțial mai mică decât valoarea specificată. Din acest motiv, aplicația utilizează ductilitatea redusă:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - alungirea procentuală după rupere a materialului șurubului
• A_red - ductilitatea redusă, utilizată drept criteriu de oprire în deformații al ancorei
• C_A - coeficientul de reducere a ductilității
• L_s - lungimea înglobată a ancorei [mm]

Atunci când deformația din ancoră atinge valoarea A_red, criteriul de oprire este îndeplinit și analiza este oprită, în același mod ca în cazul celorlalte criterii de oprire ale 3D CSFM.

Ecuația a fost adoptată pe baza celor mai recente cercetări (încă nepublicate; referința va fi adăugată după publicare), care oferă o aproximare a deformației plastice a unui șurub la rezistența sa ultimă, calibrată pe o bază de date extinsă de încercări pe șuruburi: Δ_u,p = A · (0,177 · L + 2,19), unde L este lungimea de deformare a șurubului în mm. Termenul proporțional cu lungimea reprezintă alungirea uniformă a tijei, iar termenul constant reprezintă contribuția locală a gâtuirii. În aplicație, lungimea înglobată a ancorei L_s este considerată drept această lungime, iar împărțirea Δ_u,p la L_s conduce la deformația A/C_A. Coeficientul C_A crește odată cu lungimea și se apropie de limita 1/0,177 = 5,65. Pentru lungimi înglobate de 200 mm și mai mari, acesta depășește 5,3, astfel că ductilitatea ancorei este redusă la aproximativ o cincime din valoarea nominală, de exemplu de la 12 % la aproximativ 2,2 % pentru L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Mai multe informații despre conectarea tipurilor individuale de ancore la placa de bază sau la placa înglobată se găsesc în capitolul Tipuri de elemente finite - Dispozitive de transfer al încărcării. 

În capitolul următor vom analiza modul în care teoria Mohr-Coulomb este implementată în 3D CSFM. Vom explica modul în care este considerat efectul de confinare (tensiune triaxială) și modul în care se calculează Tensiunea principală echivalentă σ_c,eq, utilizată pentru determinarea capacității portante din punctul de vedere al betonului.

Introducere în teorie

Teoria Mohr–Coulomb este un model matematic care descrie răspunsul materialelor fragile la tensiuni de forfecare și normale. Majoritatea materialelor clasice de inginerie respectă această regulă cel puțin pe o parte a înfășurătoarei de cedare la forfecare. În general, teoria se aplică materialelor pentru care rezistența la compresiune depășește cu mult rezistența la întindere.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.1\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

În ingineria structurală, teoria este utilizată pentru determinarea încărcării de cedare, precum și a unghiului de rupere corespunzător deplasării suprafeței de rupere în beton și în materiale similare. Ipoteza de frecare a lui Coulomb este utilizată pentru determinarea combinației de tensiuni de forfecare și tensiuni normale care va produce ruperea materialului. Cercul lui Mohr este utilizat pentru determinarea tensiunilor principale care vor produce această combinație de tensiuni de forfecare și normale, precum și a unghiului planului în care aceasta va apărea. Conform principiului normalității, tensiunea apărută la cedare va fi perpendiculară pe dreapta care descrie condiția de rupere. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.2\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Se poate demonstra că, pentru un material care cedează conform ipotezei de frecare a lui Coulomb, deplasarea apărută la cedare formează cu linia de rupere un unghi egal cu unghiul de frecare. Astfel, rezistența materialului poate fi determinată prin compararea lucrului mecanic extern produs de deplasare și de încărcarea exterioară cu lucrul mecanic intern produs de deformația și tensiunea de pe linia de cedare. Conform legii conservării energiei, suma acestora trebuie să fie zero, ceea ce face posibilă calcularea încărcării de cedare a construcției.

Implementarea în 3D CSFM

În general, pentru un unghi de frecare internă dat al betonului, care este de aproximativ φ = 30-40° conform Referințelor [1], [2], [3], [4], cercurile lui Mohr pentru rezistențele betonului la întindere și la compresiune pot fi construite ca în Figura 1.3.3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.3\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Unde f_c este rezistența betonului la compresiune, f_ct este rezistența betonului la întindere, φ este unghiul de frecare internă, iar σ_c1, σ_c3 sunt tensiunile principale ale betonului în stare de compresiune triaxială.

Se poate observa că, pe măsură ce tensiunea principală σ_c3 crește, crește și diferența maximă posibilă dintre valorile σ_c3 și σ_c1, pe care o definim ca σ_c,eq maxim (vezi mai jos). Această diferență corespunde dublului tensiunii deviatorice, definită în literatura de specialitate drept raza cercurilor lui Mohr.

În 3D CSFM, implementată în IDEA StatiCa Detail, unghiul de frecare internă este considerat φ = 0°, așa cum se arată în Figura 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.4\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Consecința practică a acestei implementări este că diferența maximă dintre σ_c3 și σ_c1 rămâne constantă pe măsură ce σ_c3 crește. 

Tensiunea principală echivalentă exprimă tensiunea uniaxială echivalentă pentru o stare generală de tensiune triaxială.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Valoarea σ_c,eq poate fi, prin urmare, comparată direct cu limitele de rezistență uniaxială conform codurilor.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Unde σ_c,lim este rezistența uniaxială de calcul (factorizată) a betonului f_c.

Comparând Figura 1.3.3, în care se utilizează unghiul real de frecare internă, cu Figura 1.3.4, care prezintă implementarea teoriei Mohr-Coulomb cu unghi de frecare internă nul, se poate observa că abordarea aleasă pentru calculele din Detail este foarte conservatoare în evaluarea stării de tensiune triaxială.

Pentru o mai bună înțelegere a zonelor afectate de tensiunea de compresiune triaxială, expresia creșterii rezistenței efective a materialului datorită compresiunii triaxiale a fost adăugată în aplicația IDEA StatiCa Detail sub forma raportului σ_c3/σ_c,lim. Acest raport poate fi găsit în verificarea conform codului pentru rezistență.

În Rezultatele auxiliare, utilizatorul poate găsi și factorul κ, care explică triaxialitatea într-un mod diferit. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

Verificarea rezistenței betonului poate fi apoi rescrisă astfel:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Din cele de mai sus rezultă că, dacă elementul se află într-o stare de tensiune hidrostatică - σ_c3=σ_c2=σ_c1, Tensiunea principală echivalentă σ_c,eq va avea valoarea zero, iar factorul kappa va tinde spre infinit.

Mai multe informații găsiți aici: Tensiunea triaxială – efectul de confinare activă

Ecuații de echilibru

Teoria deformațiilor mici permite formularea ecuației de echilibru pe baza volumului nedeformat, utilizând o abordare de ordinul întâi. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.1\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Ecuații de compatibilitate

Un corp solid este alcătuit din volume infinitezimale sau puncte materiale, fiecare fiind conectat cu celelalte fără goluri sau suprapuneri. Pentru a preveni apariția golurilor sau a suprapunerilor atunci când un corp continuu se deformează, trebuie respectate anumite condiții matematice.

Ecuații constitutive

Ecuațiile constitutive care descriu comportamentul elementelor 3D au un rol esențial în analiza comportamentului materialelor în mecanica structurilor. Aceste ecuații sunt formulate pentru a include comportamentul izotrop neliniar, valabil pentru elementele de tip bloc masiv din IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.2\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

CSFM 3D ia în considerare câmpuri continue de tensiuni în beton (elemente finite 3D), completate de elemente discrete de tip „bară” care reprezintă armătura (elemente finite 1D). Prin urmare, armătura nu este încorporată difuz în elementele finite 3D ale betonului, ci este modelată explicit și conectată la acestea. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.1.1\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Modelul de analiză neliniară (inelastică) cu elemente finite este creat din mai multe tipuri de elemente finite, utilizate pentru modelarea betonului, a armăturii și a aderenței dintre ele. Elementele de beton și de armătură sunt mai întâi discretizate independent, apoi interconectate prin constrângeri multi-punct (elemente MPC). Astfel, armătura poate ocupa orice poziție, fără a fi limitată la nodurile plasei tetraedrice. Pentru verificarea lungimii de ancoraj, între armătură și elementele MPC sunt inserate elemente de aderență și elemente arc de capăt de ancoraj.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.1\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Beton

Betonul este analizat folosind elemente tetraedrice mixte cu rotații nodale. Elementele tetraedrice permit discretizarea zonelor cu orice topologie, iar formularea implementată garantează rezultate precise ale deformațiilor (fără tensiuni de forfecare parazite, cunoscute ca efectul de blocare la forfecare), chiar și pentru o plasă grosieră, care nu ar fi adecvată pentru formularea elementelor tetraedrice liniare. 

Se utilizează integrarea completă. Aceasta înseamnă că fiecare element este dotat cu patru puncte de integrare situate în interiorul volumului. O astfel de integrare conduce la câmpuri precise de deformații și tensiuni, permițând evaluarea și prezentarea corespunzătoare a rezultatelor pe întregul volum. Ulterior, criteriile de oprire sunt stabilite pe baza valorii din punctul de integrare.

Armătură

Barele de armătură sunt modelate prin elemente 1D de tip „bară” (CROD) cu două noduri, care au doar rigiditate axială. Aceste elemente sunt conectate la elemente speciale de „aderență”, dezvoltate pentru a modela comportamentul de alunecare dintre bara de armătură și betonul înconjurător. Aceste elemente de aderență sunt apoi conectate prin elemente MPC (constrângeri multi-punct) la plasa care reprezintă betonul. Această abordare permite discretizarea independentă a armăturii și a betonului, interconectarea lor fiind asigurată ulterior.

Elemente de aderență

Lungimea de ancoraj este verificată prin introducerea tensiunilor de forfecare la aderență între elementele de beton (3D) și elementele barelor de armătură (1D) în modelul cu elemente finite. În acest scop, a fost dezvoltat tipul de element finit de „aderență”.

Elementul de aderență este definit ca un element finit de tip shell, conectat prin primul strat la elementele care reprezintă armătura, iar prin al doilea strat la plasa de beton prin constrângeri multi-punct (elemente MPC). Trebuie menționat că, în acest articol, elementul de aderență este afișat întotdeauna cu o înălțime nenulă, care este însă definită ca infinitezimală în model.

Comportamentul acestui element este descris de tensiunea de aderență, τ_b, ca funcție biliniară de alunecarea dintre nodurile superioare și cele inferioare, δu, a se vedea (Fig. 2.2.2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.2\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

Modulul de rigiditate elastică al relației aderență-alunecare, Gb, este definit astfel:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            coeficient care depinde de suprafața barei de armătură (implicit kg = 0,2)

E_c            modulul de elasticitate al betonului (considerat Ecm în cazul EN)

Ø             diametrul barei de armătură

Valorile de calcul (valorile factorizate) ale tensiunii de forfecare ultime la aderență, f_bd, furnizate în codurile de proiectare selectate, EN 1992-1-1 sau ACI 318-19, sunt utilizate pentru verificarea lungimii de ancoraj. Consolidarea ramurii plastice este calculată implicit ca Gb/105.

Arc de ancoraj

Prevederea de capete de ancoraj la barele de armătură (adică îndoiri, cârlige, bucle…), care respectă prescripțiile codurilor de proiectare, permite reducerea lungimii de ancoraj de bază a barelor (l_b,net) cu un anumit factor β (denumit în continuare „coeficient de ancoraj”). Valoarea de calcul a lungimii de ancoraj (lb) se calculează apoi astfel:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.3\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

Reducerea lungimii de ancoraj este inclusă în modelul cu elemente finite prin intermediul unui element arc la capătul barei (Fig. 2.2.3a), definit de modelul constitutiv prezentat în (Fig. 2.2.3b). Forța maximă transmisă de acest arc (F_au) este:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

unde :

β             coeficientul de ancoraj în funcție de tipul de ancoraj

A_s            aria secțiunii transversale a barei de armătură

f_yd           valoarea de calcul (valoarea factorizată) a rezistenței la curgere a armăturii

Placă de bază

Placa de bază este modelată ca element finit de tip placă (shell) elastic. Materialul oțelului utilizat pentru plăcile de bază se definește în fila Materiale. Singura proprietate fizică este modulul de elasticitate E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.1\qquad The base plate material definition}}}$$

Placa de bază poate fi încărcată cu o forță concentrată (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) și cu un grup de forțe (Fx, Fy, Fz), utilizat în principal pentru modelele de încărcare exportate din IDEA StatiCa Connection. Rețineți că forțele concentrate și momentele concentrate încarcă direct nodul corespunzător al plăcii de bază. Aceasta înseamnă că nu există redistribuire, cu excepția celei determinate de rigiditatea plăcii de bază. 

Această implementare permite importul încărcărilor din IDEA StatiCa Connection, aplicate pe placa de bază în poziția fiecărui element finit de sudură, cu valoarea și direcția determinate din tensiunea generală a acelui element finit de sudură. Mai multe detalii se găsesc în capitolul corespunzător al acestui document.

A doua opțiune de încărcare este Stub (tronson scurt) — care reprezintă o porțiune scurtă a stâlpului de deasupra plăcii de bază. Tronsonul scurt este modelat ca o structură din elemente finite de tip placă (shell) elastice și se comportă ca o interfață fizic corectă între eforturile interioare și placă. Utilizatorul selectează pentru tronsonul scurt o secțiune transversală dintr-o bază de date de secțiuni standard. Setul de eforturi interioare cu 6 componente (forțe și momente) se aplică într-un singur punct situat pe fața inferioară a tronsonului scurt — adică la baza stâlpului. Constrângerile transferă forțele către fața superioară a tronsonului scurt, de unde acestea se redistribuie natural prin tronson în placa de bază, în ancore și în beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.2\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Mecanismul de transfer al forței de forfecare (de la placa de bază la blocul de beton)

Între placa de bază și beton se definește un contact cu frecare, activ numai la compresiune. Pentru transferul forței de forfecare, utilizatorul poate alege dintre trei opțiuni:

• Prin ancore
• Prin frecare
• Prin pivot de forfecare

Software-ul nu permite combinarea acestor mecanisme de transfer al forței de forfecare. 

Coeficientul de frecare trebuie introdus ca valoare de calcul (factorizată). Dacă forța de forfecare rezultantă F_xy depășește forța de apăsare F_z înmulțită cu coeficientul de frecare μ, calculul se oprește și nu toate încărcările se vor aplica modelului. Condiția se scrie astfel:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Acest lucru poate fi observat în exemplul următor, în care sunt considerate două cazuri de încărcare. 

• LC1 - tip permanent - F_z = 100 kN
• LC2 - tip variabil - F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.3\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

În primul pas de calcul se aplică întreaga încărcare permanentă. Apoi încărcarea variabilă se aplică treptat, până când atinge valoarea forței de apăsare înmulțită cu coeficientul de frecare.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.4\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

Graficul din Figura 2.3.5 definește comportamentul contactului cu frecare dintre placa de bază și beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.5\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

Valoarea F_zμ diferă la fiecare increment al calculului, în timp ce valoarea deformației maxime de forfecare u_xy este constantă. 

Dacă forța normală de compresiune F_z și forța de forfecare F_xy sunt introduse într-un singur tip de caz de încărcare (de exemplu, numai permanent) și condiția F_xy / (F_zμ) ≤ 1 nu este îndeplinită, nicio încărcare nu va fi aplicată modelului, deoarece condiția nu este îndeplinită în niciun increment al calculului.

Pivotul de forfecare este conectat la plasa de beton prin constrângeri care permit transferul tensiunilor normale numai la compresiune. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.6\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

Pivotul de forfecare este modelat din elemente finite de tip placă (shell) elastice, materialul fiind definit prin modulul de elasticitate E.

Rezultatele nu sunt evaluate și afișate nici pentru placa de bază, nici pentru pivotul de forfecare.

 Opțiuni pentru placa de bază  (distanță față de fundație, mortar de poză)

Este disponibil următorul set de opțiuni pentru distanța dintre placă și fundație, complet aliniat cu aplicația Connection.

• Direct
• Rost de mortar – piulițe în partea de sus
• Rost de mortar – piulițe în partea de sus și de jos
• Spațiu liber

Stratul de mortar este modelat ca element de tip placă (shell), ținându-se seama de rigiditatea acestuia. Rețineți că elementele de tip placă sunt incompresibile pe direcția grosimii lor. Acest lucru ajută la redistribuirea forțelor locale în beton și este valabil pentru grosimile tipice ale stratului de poză utilizate în practică - 25-50 mm.

Diferența dintre piulițele montate doar în partea de sus (conexiune articulată între ancoră și placa de bază) și cele montate sus și jos (conexiune încastrată între ancoră și placa de bază) influențează puternic capacitatea de preluare a forței de forfecare din punctul de vedere al presiunii pe beton.

Ancore

Elementele finite care reprezintă ancorele sunt modelate astfel încât să poată transfera betonului forțe normale și forțe de forfecare, ținând seama și de rigiditatea la încovoiere a ancorelor. Pentru a modela alunecarea dintre ancoră și betonul înconjurător, se utilizează aceleași elemente de aderență și MPC ca pentru armătură, cu următoarele diferențe:

• Pentru ancorele post-instalate (adezive), este necesar să se specifice rezistența de calcul la aderență.
• Pentru plăcile tip șaibă și dornurile cu cap, aderența este neglijată de-a lungul tijei ancorei. Întreaga încărcare axială este apoi transferată betonului prin placa tip șaibă sau prin capul ancorei.

Aderența în stratul de acoperire cu beton - Pentru ancorele conectate la beton prin aderență de-a lungul tijei, adică ancorele de tip armătură turnate in situ și ancorele post-instalate (adezive), elementele de aderență nu sunt active în stratul de acoperire cu beton. Aplicația determină automat acoperirea ca distanța de la suprafața betonului până la fața armăturii de la suprafață (Fig. 2.3.7a). Pe această lungime, rezistența la aderență dintre ancoră și beton este zero, iar ancora este conectată la beton prin elemente de aderență numai sub stratul de acoperire, pe restul adâncimii de înglobare (Fig. 2.3.7b). Întreaga încărcare transferată prin aderență este astfel introdusă în betonul delimitat de armătura de la suprafață, iar tensiunile de aderență ale ancorei din stratul de acoperire sunt zero în rezultate.

Motivul este comportamentul diferit la cedare al stratului de acoperire cu beton. 3D CSFM utilizează pentru beton un model de material plastic, care permite redistribuirea tensiunilor (a se vedea Capitolul 1.2). Stratul de acoperire de lângă o suprafață liberă cedează însă fragil, conform mecanicii ruperii, fără nicio rezervă plastică. Dacă aderența ar fi activă în stratul de acoperire, modelul ar dezvolta un câmp de compresiune într-o zonă care, în realitate, nu îl poate prelua în mod fiabil, și ar supraestima contribuția stratului de acoperire la rezistența ancorei. Această eroare crește odată cu grosimea acoperirii. În plus, stratul de acoperire este partea modelului expusă mediului (carbonatare, cloruri, agenți agresivi), astfel încât proprietățile sale se pot degrada pe durata de exploatare a structurii. Neglijarea aderenței în stratul de acoperire este, prin urmare, o ipoteză conservatoare, în concordanță cu ipotezele de bază ale 3D CSFM.

Această ipoteză se aplică numai ancorelor care transferă încărcarea betonului prin aderență de-a lungul tijei. Dornurile cu cap și ancorele cu plăci tip șaibă transferă încărcarea axială prin cap sau prin placă, aderența de-a lungul tijei fiind zero, deci nu sunt afectate. Nici armătura obișnuită nu este afectată. Influența asupra rezistenței este cea mai pronunțată pentru ancorele a căror rezistență este determinată de aderență și care sunt montate în elemente cu strat de acoperire gros, deoarece o parte mai mare din adâncimea de înglobare nu contribuie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.7\qquad Anchor with bond along the shank}}}$$

Ancorele pot fi interconectate cu plăcile de bază. Pentru această interconectare se utilizează o constrângere complet neliniară, care leagă capătul ancorei de un nod al plăcii de bază. Această constrângere permite controlul tuturor gradelor de libertate. Astfel se poate asigura, de exemplu, că ancorele nu preiau nicio forță de compresiune de la placa de bază sau că ancora nu transferă forfecare atunci când se modelează un pivot de forfecare etc. 

Proprietatea Interconectarea cu placa de bază a ancorelor permite utilizatorului să controleze dacă ancora va fi conectată sau nu la placa de bază prin constrângerea menționată anterior și în ce mod. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.8\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

Caseta de selectare Transferul forței de forfecare controlează dacă ancora și placa de bază sunt conectate sau nu din punctul de vedere al forfecării. Rețineți că nu este permisă combinarea mecanismelor de transfer al forței de forfecare, deci pentru transferul prin frecare și prin pivot de forfecare această casetă nu are relevanță. În schimb, pentru transferul forței de forfecare prin ancore, acest câmp oferă posibilitatea de a exclude anumite ancore din transferul forței de forfecare.

Caseta de selectare Transferul forțelor axiale controlează dacă ancora și placa de bază sunt conectate sau nu pe direcția axială. Aceasta se utilizează în principal la exportul din funcția Connection (a se vedea capitolul corespunzător). Pentru modelarea manuală, este recomandat ca această casetă să fie întotdeauna bifată.

Când caseta este debifată, ancora este deconectată atât la întindere, cât și la compresiune (în cazul unui model exportat din aplicația Connection, legătura este înlocuită cu o pereche de forțe). Dacă caseta este bifată, ancora este întotdeauna conectată la placă la întindere, însă legătura la compresiune este controlată de tipul ancorei și de tipul distanței față de fundație. Pentru mai multe informații, a se vedea Figura 2.3.8.

Filet tăiat

Este controlat printr-o casetă de selectare din proprietățile ancorei și are 2 scopuri:

1. Definește modul în care ancora se conectează la placa de bază:

• Pentru dornurile cu cap și armătura turnată in situ conectate la placa de bază (nu și pentru plăcile înglobate), face distincția între o îmbinare cu șuruburi (articulată) și o îmbinare sudată (încastrată) — vizibilă în scena 3D.
• Rețineți că modul de conectare a ancorei la placă influențează semnificativ rezistența la forfecare din punctul de vedere al presiunii pe beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.9\qquad Cut threads options}}}$$

2. Pentru Eurocod, rezistența ancorei cu filet tăiat este redusă conform EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Aceasta poate fi setată în Setările proiectului. Pentru tijele filetate și plăcile tip șaibă, se recomandă menținerea acestei setări activate în permanență.

Interconectarea axială și rotațională între ancoră și placa de bază

Așa cum s-a menționat deja în acest capitol, în funcție de tipul ancorei, de setarea distanței față de fundație și de luarea în considerare sau nu a filetului tăiat, ancorele sunt conectate la placa de bază în moduri diferite. Din punct de vedere rotațional, conexiunea poate fi articulată / încastrată. Din punct de vedere axial, conexiunea poate fi numai la întindere / la întindere + compresiune. Tipurile de conexiune rotațională influențează puternic capacitatea de preluare a forței de forfecare din punctul de vedere al presiunii pe beton. În scena 3D se poate determina ușor dacă o ancoră este conectată încastrat sau articulat, pe baza prezenței piulițelor, a se vedea Figura 2.3.10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.10\qquad Rotational constraints}}}$$

Tabelul următor prezintă toate combinațiile posibile de conectare a plăcii de bază cu ancorele, precum și conexiunile rotaționale și axiale corespunzătoare.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.11\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Plăci înglobate

Placa înglobată este un caz special de placă de bază. Se modelează în mod analog, cu următoarele diferențe:

Deoarece placa este înglobată într-un bloc de beton, nu se poate specifica niciun tip de distanță față de fundație. Adâncimea de înglobare a plăcii este neglijată. Placa, modelată cu elemente finite de tip placă (shell), este amplasată direct pe suprafața betonului. Prin urmare, suprafețele laterale ale plăcii nu sunt considerate reazemate pe beton.

Se pot utiliza doar armătură și dornuri cu cap care, ca și ancorele clasice, pot fi setate să fie conectate la placă pe direcțiile axială și de forfecare. Experiența practică și unele documente naționale indică necesitatea de a dimensiona dornurile cu cap numai la forfecare, iar armătura la încărcarea axială. Din punctul de vedere al constrângerilor axiale și rotaționale, ancorele sunt întotdeauna conectate ca încastrate și la întindere + compresiune.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.12\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Elementele finite sunt implementate intern, iar modelul de analiză este generat automat, fără a fi necesară intervenția unui utilizator experimentat. O parte importantă a acestui proces este generarea plasei de elemente finite.

Beton

Toate elementele din beton sunt discretizate împreună. Aplicația calculează automat o dimensiune recomandată a elementului finit, pe baza dimensiunii și a formei structurii, ținând cont de diametrul celei mai mari bare de armătură. În plus, dimensiunea recomandată garantează generarea a cel puțin patru elemente în zonele subțiri ale structurii, cum ar fi stâlpii zvelți sau pereții subțiri, pentru a asigura rezultate fiabile în aceste zone. Proiectanții pot selecta oricând o dimensiune definită de utilizator pentru elementele din beton, modificând multiplicatorul dimensiunii implicite a plasei.

Armătură

Armătura este împărțită în elemente cu lungimea aproximativ egală cu dimensiunea elementului din beton. După generarea plaselor pentru armătură și beton, acestea sunt interconectate prin elemente de aderență, așa cum se arată în Fig. 2.2.1.

Rafinare

Plasa de beton este rafinată automat în jurul ancorelor, în jurul pivoților de forfecare și sub tronsonul scurt pentru încărcare. Dimensiunea plasei rafinate este de aproximativ două ori mai mică decât cea a plasei de bază din beton. Raza zonei rafinate este definită aproximativ ca dimensiunea elementului înmulțită cu doi.

Pentru a găsi soluția unei probleme MEF neliniare se utilizează un algoritm Newton-Raphson (NR) complet standard. 

În general, algoritmul NR nu converge adesea atunci când încărcarea totală este aplicată într-un singur pas. O abordare uzuală, utilizată și aici, este aplicarea încărcării secvențial, în mai multe incremente, folosind rezultatul incrementului anterior ca punct de pornire pentru soluția Newton a incrementului următor. În acest scop, peste algoritmul Newton-Raphson a fost implementat un algoritm de control al încărcării. Dacă iterațiile NR nu converg, incrementul curent de încărcare este redus la jumătate, iar iterațiile NR sunt reluate.

Un al doilea scop al algoritmului de control al încărcării este determinarea încărcării critice, care corespunde anumitor „criterii de oprire”: deformația maximă în beton, alunecarea maximă în elementele de aderență, deplasarea maximă în elementele de ancoraj și deformația maximă în barele de armătură. Încărcarea critică se determină prin metoda bisecției. Dacă criteriul de oprire este depășit în orice punct al modelului, rezultatele ultimului increment de încărcare sunt eliminate și se calculează un nou increment, de jumătate din mărimea celui anterior. Acest proces se repetă până când încărcarea critică este determinată cu o anumită toleranță a erorii.

Pentru beton, criteriul de oprire a fost stabilit la o deformație de 5% în compresiune (adică aproximativ un ordin de mărime mai mare decât deformația reală la cedare a betonului) și de 7% în întindere, în punctele de integrare ale elementelor de tip coajă. În întindere, valoarea a fost stabilită astfel încât să permită atingerea mai întâi a deformației limită din armătură, care este de obicei de aproximativ 5%, fără a lua în considerare participarea betonului întins. În compresiune, valoarea a fost aleasă dintre mai multe alternative ca fiind suficient de mare pentru ca efectele strivirii să fie vizibile în rezultate, dar suficient de mică pentru a nu cauza prea multe probleme de stabilitate numerică.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 2.5.1\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Pentru armătură, criteriul de oprire este definit în termeni de tensiuni. Deoarece se modelează tensiunile din fisură, criteriul în întindere corespunde rezistenței la întindere a armăturii, ținând cont de coeficientul de siguranță. Aceeași valoare se utilizează pentru criteriul în compresiune.

Criteriul de oprire în elementele de aderență și în arcurile de ancoraj este α·δ_umax, unde δ_umax este alunecarea maximă utilizată în verificările conform codului, iar α = 10.

Alte criterii de oprire pentru ancoraje:

• Smulgerea ancorelor cu cap (tensiunea maximă de compresiune de contact la fața superioară a capului ancorei). 
• Forța de forfecare maximă care poate fi transferată de ancoră din punctul de vedere al strivirii betonului prin presiune de contact.

Aceste două criterii depind de codul selectat. Puteți găsi mai multe informații despre ele în secțiunile care explică părțile dependente de cod ale analizei structurale din aplicație.

Rezultatele sunt prezentate independent pentru beton și pentru elementele de armătură. Valorile tensiunilor și ale deformațiilor din beton sunt calculate în punctele de integrare ale elementelor volumetrice. Cu toate acestea, deoarece prezentarea datelor în acest mod nu este practică, rezultatele sunt prezentate implicit în noduri, ca valoare maximă a tensiunii de compresiune din punctele de integrare Gauss adiacente ale elementelor conectate. Trebuie remarcat faptul că această reprezentare poate subestima local rezultatele la marginile comprimate ale elementelor, în cazul în care dimensiunea elementului finit este similară cu înălțimea zonei comprimate.

Rezultatele pentru elementele finite de armătură sunt fie constante pentru fiecare element (o singură valoare – de exemplu, pentru tensiunile din oțel), fie liniare (două valori – pentru rezultatele privind aderența). Pentru elementele auxiliare, cum sunt elementele plăcilor de reazem, sunt prezentate numai deformațiile.

Modelul IDEA StatiCa Detail nu trebuie întotdeauna creat de la zero sau pornind de la un șablon. Există și opțiunea de a importa modelul, inclusiv încărcările, din IDEA StatiCa Connection. În Connection, suprastructura metalică de deasupra blocului de beton este analizată cu un model 3D neliniar, iar blocul de beton este reprezentat simplificat printr-o fundație Winkler. În Detail, în schimb, blocul de beton armat este modelat explicit și verificat în detaliu.

La transferul modelului, în Detail sunt importate doar placa de bază, ancorele și blocul de beton. Elementul din oțel propriu-zis (și rigiditatea sa globală) nu este importat. În modelul din Connection, acest element din oțel este conectat de placa de bază printr-o sudură. Tensiunile din elementele finite ale sudurii sunt integrate și convertite într-un set de forțe echivalente care încarcă placa de bază în Detail. Astfel, efectul elementului din oțel lipsă este reprezentat prin forțe din sudură aplicate direct pe placa de bază.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.7.1\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

Datorită definirii diferite a rigidității în Connection și în Detail (element din oțel lipsă, modele de material diferite și reprezentarea diferită a betonului), o îmbinare directă între placa de bază și ancore în Detail ar conduce, în general, la o redistribuire diferită a încărcărilor și, implicit, la forțe de întindere diferite în ancore. Pentru a evita acest lucru, ancorele sunt importate deconectate axial de placa de bază. În loc să transmită forțele axiale prin contact fizic, eforturile de întindere din ancore obținute din Connection sunt aplicate direct pe ancorele din Detail. În același timp, în dreptul fiecărei ancore se aplică pe placa de bază o forță egală și de sens opus, astfel încât echilibrul global al modelului este păstrat. Această pereche de forțe (una acționând asupra ancorei, cealaltă asupra plăcii de bază) reprezintă interacțiunea dintre placa de bază și ancoră, fără a permite o redistribuire suplimentară a forțelor axiale în Detail. Aceste două forțe de sens opus sunt ilustrate în Figura 2.7.1.

Forțele de forfecare sunt însă în continuare transmise prin îmbinarea dintre placa de bază și ancore (sau prin pivotul de forfecare, ori prin frecare). Acest lucru este posibil deoarece placa de bază și ancorele sunt legate la forfecare printr-o constrângere, care permite controlul gradelor de libertate relevante ale acestei interconectări. În Detail, utilizatorul poate astfel modifica traseul încărcării de forfecare – de exemplu, eliberând forfecarea în două din cele patru ancore și păstrând la forfecare doar ancorele de margine – în timp ce forțele axiale rămân așa cum au fost importate din Connection.

Pentru plăcile turnate in situ, am adoptat o abordare diferită. Mai multe recomandări europene de proiectare cer ca forțele axiale să fie preluate doar de barele de armătură, în timp ce dornurile cu cap sunt considerate că transferă numai forfecarea. Deoarece IDEA StatiCa Connection nu poate separa intern, la export, forțele axiale din ancorele de armătură de cele din dornurile cu cap, ancorele plăcilor turnate in situ sunt importate în Detail complet conectate, inclusiv în direcție axială. Astfel, utilizatorul poate activa în Detail o opțiune de calcul în care ancorele de armătură preiau doar întinderea axială, iar dornurile cu cap preiau doar forfecarea. În acest flux de lucru, forța axială atribuită inițial dornurilor cu cap trebuie redistribuită către ancorele de armătură în cadrul modelului din Detail. O astfel de redistribuire nu ar fi posibilă dacă am fi folosit abordarea cu perechea de forțe de sens opus descrisă mai sus, motiv pentru care plăcile turnate in situ sunt tratate diferit.

Stare limită ultimă

Diferitele verificări impuse de codurile de proiectare specifice se evaluează pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările SLU se efectuează pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni de forfecare din aderență).

Pentru a asigura un calcul eficient al unui element structural, se recomandă insistent efectuarea unei analize preliminare, care ia în considerare următorii pași:

• Alegeți o selecție a celor mai critice combinații de încărcări.
• Calculați doar combinațiile de încărcări pentru starea limită ultimă (SLU).
• Pentru a reduce timpul de calcul și a identifica eventualele probleme, luați în considerare utilizarea unei plase grosiere, prin creșterea multiplicatorului dimensiunii implicite a plasei din Setup (Fig. 3.1.1). Dacă modelul se comportă bine, readuceți multiplicatorul la valoarea 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 3.1.1\qquad Mesh multiplier}}}$$

Un astfel de model se calculează foarte rapid, permițând proiectanților să verifice eficient detalierea elementului structural și să repete analiza până când toate cerințele de verificare sunt îndeplinite pentru cele mai critice combinații de încărcări. După ce toate cerințele de verificare ale acestei analize preliminare sunt îndeplinite, se recomandă includerea combinațiilor complete de încărcări ultime și utilizarea unei dimensiuni fine a plasei (dimensiunea recomandată de program). Utilizatorii pot modifica dimensiunea plasei prin multiplicator, care poate avea valori între 0,5 și 5 (Fig. 3.1.1).

Rezultatele și verificările de bază (tensiune, deformație și grad de utilizare (adică valoarea calculată/valoarea limită din cod)), precum și direcția tensiunilor principale în cazul elementelor din beton, sunt afișate prin diferite diagrame, în care compresiunea este în general prezentată în roșu, iar întinderea în albastru. Valorile minime și maxime globale pentru întreaga structură pot fi evidențiate, la fel ca valorile minime și maxime pentru fiecare parte definită de utilizator. Într-o filă separată a programului pot fi afișate rezultate avansate, cum ar fi valorile tensoriale, deformațiile structurii și procentele de armare (efectiv și geometric) utilizate pentru calculul participării betonului întins la barele de armătură. De asemenea, pot fi prezentate încărcările și reacțiunile pentru combinațiile sau cazurile de încărcare selectate.

Beton - SLU

Modelul de beton implementat în 3D CSFM se bazează pe legile constitutive de compresiune uniaxială prevăzute în EN 1992-1-1 pentru calculul secțiunilor transversale, care depind numai de rezistența la compresiune. Diagrama parabolă-dreptunghi specificată în EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 4.1.1a) este utilizată implicit în 3D CSFM. Proiectanții pot alege și o relație elastic-plastică ideală, mai simplificată, conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 4.1.1b). Rezistența la întindere este neglijată, ca în calculul clasic al betonului armat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 4.1.1\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

Implementarea 3D CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii maxime, se consideră o ramură plastică cu ε_cu2 (ε_cu3) având valoarea de 5%, în timp ce EN 1992-1-1 consideră o deformație ultimă mai mică de 0,35%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Totuși, capacitatea lor ultimă f_cd conform EN 1992-1-1 3.1.3 este prezisă corect atunci când creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale este luată în considerare prin factorul de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010, după cum urmează:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

α_cc este coeficientul care ține seama de efectele pe termen lung asupra rezistenței la compresiune și de efectele nefavorabile rezultate din modul de aplicare a încărcării. Se determină conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). Valoarea implicită este 1,0.

f_ck este rezistența caracteristică a betonului la compresiune, determinată pe cilindru (în MPa pentru definirea lui $\eta_{fc}$).

Armătură

Implicit, se consideră diagrama idealizată bilineară efort-deformație pentru barele de armătură libere, definită în EN 1992-1-1, secțiunea 3.2.7 (Fig. 4.1.2). Definirea acestei diagrame necesită doar cunoașterea proprietăților de bază ale armăturii în faza de proiectare (rezistența și clasa de ductilitate). Atunci când se cunoaște, poate fi considerată relația efort-deformație reală a armăturii (laminată la cald, trasă la rece, călită și autorevenită, …). Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi definită de utilizator, dar în acest caz nu se poate considera participarea betonului întins (nu se poate calcula lățimea fisurilor). Utilizarea diagramei efort-deformație cu ramură superioară orizontală nu permite verificarea durabilității structurale. Prin urmare, este necesară verificarea manuală a cerințelor standard de ductilitate.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Participarea betonului întins (Fig. 4.1.3) este luată în considerare automat prin modificarea relației efort-deformație de intrare a barei de armătură libere, pentru a surprinde rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil respectă codurile de proiectare moderne. Deoarece modelele de calcul utilizează doar proprietăți standard ale materialelor, formatul coeficienților parțiali de siguranță prescris în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest mod, încărcările de intrare sunt amplificate, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse cu ajutorul coeficienților de siguranță respectivi, prescriși în codurile de proiectare, exact ca în analiza convențională a betonului. Valorile coeficienților de siguranță pentru materiale, prescrise în EN 1992-1-1, cap. 2.4.2.4, și coeficienții pentru ancore, prescriși în EN 1992-4, EN 1993-1-8 și EN 1994-1-1, sunt setate în mod implicit, dar utilizatorul poate modifica coeficienții de siguranță în Setările codului și ale calculului (Fig. 4.2.1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.1\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Coeficienții de siguranță pentru încărcări trebuie definiți de utilizator în Regulile de combinare, pentru fiecare combinație neliniară de cazuri de încărcare (Fig. 4.2.2). Pentru toate șabloanele implementate în Idea StatiCa Detail, coeficienții parțiali de siguranță sunt deja predefiniți.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.2\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Utilizând combinații adecvate de coeficienți parțiali de siguranță definite de utilizator, se poate efectua calculul cu 3D CSFM și prin metoda coeficientului global de rezistență (Navrátil, et al. 2017), însă această abordare este foarte rar utilizată în practica de proiectare. Unele ghiduri recomandă utilizarea metodei coeficientului global de rezistență pentru analiza neliniară. Totuși, în analizele neliniare simplificate (precum 3D CSFM), care necesită doar proprietățile materialelor utilizate în calculele manuale convenționale, este în continuare preferabilă utilizarea formatului coeficienților parțiali de siguranță.

Diferitele verificări impuse de EN 1992-1-1 sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările la SLU se efectuează pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni tangențiale de aderență).

Rezistență - Beton

Rezistența betonului la compresiune este evaluată ca raportul dintre tensiunea principală echivalentă maximă σ_c,eq obținută din analiza cu elemente finite și valoarea limită σ_c,lim = f_cd.

Tensiunea principală echivalentă exprimă tensiunea uniaxială echivalentă pentru o stare de tensiune triaxială generală.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Valoarea σ_c,eq poate fi, prin urmare, comparată direct cu limitele de rezistență uniaxiale conform 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1).

Această expresie este derivată din implementarea teoriei plasticității Mohr-Coulomb, presupunând, în mod conservativ, unghiul de frecare internă φ = 0°.

Rezistență - Armătură

Rezistența armăturii este evaluată atât la întindere, cât și la compresiune, ca raportul dintre tensiunea din armătură la nivelul fisurilor σ_sr și valoarea limită specificată σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

unde:

f_yk        este limita de curgere a armăturii conform EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          este raportul dintre rezistența la întindere f_tk și limita de curgere,
            $k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             este coeficientul parțial de siguranță pentru armătură.

Rezistență - Ancore

Ancorele sunt verificate la tensiuni normale în mod similar cu armătura, determinându-se valoarea limită σ_s,lim.

În plus, pentru ancore sunt specificate valorile N_Ed și V_Ed, care sunt verificate în raport cu N_Rd,s și V_Rd,s conform codului selectat. Codul este ales în funcție de tipul de ancoră utilizat în Project settings.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.1\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}$$

Deoarece pentru verificarea ancorelor în diferite standarde se aplică abordări diferite, utilizatorul poate alege următoarele standarde pentru tipurile individuale de ancore:

• Ancore din material pentru buloane solicitate la întindere și/sau forfecare - EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Dornuri cu cap solicitate la întindere și/sau forfecare - EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Ancore realizate solicitate la întindere și/sau forfecare - EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Ancore solicitate la compresiune și/sau încovoiere - EN 1993-1-1

Verificarea la întindere conform EN 1992-4 - 7.2.1.3

$$N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

unde:

• c – reducere pentru filetul tăiat  
• f_uk – rezistența minimă la întindere a bulonului
• A_s – aria efectivă la întindere a bulonului de ancorare (redusă de filet în cazul materialului pentru buloane)
• $\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4$ – coeficientul parțial de siguranță pentru oțel 
• f_yk – limita de curgere minimă a bulonului

Verificarea la întindere conform EN 1993-1-8 - 3.6.1

$$N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$ 

unde:

• c – reducerea rezistenței la întindere a buloanelor cu filet tăiat conform EN 1993-1-8 – Cl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0.9 – coeficient pentru ancore fără cap înecat 
• f_ub – rezistența ultimă la întindere a bulonului de ancorare 
• A_s – aria efectivă la întindere a bulonului de ancorare (redusă de filet în cazul materialului pentru buloane)
• γ_M2 =1.25 – coeficientul parțial de siguranță pentru buloane (EN 1993-1-8, Table 2.1) 

Verificarea la întindere conform EN 1992-1-1 - 3.2.7

$$N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}$$

unde:

• $k=(f_{t}/f_{y})$ este dat în Anexa C
• f_yk - limita de curgere caracteristică
• γ_M2 =1.15 – coeficientul parțial de siguranță pentru armătură

Verificarea la compresiune conform EN 1993-1-1 - 6.3

Se utilizează pentru toate ancorele solicitate la o forță de compresiune normală, indiferent de material sau de tipul de distanțare. 

$$F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}$$

Unde:

• $\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1$ – coeficient de reducere pentru flambaj
• $\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]$ – valoare pentru determinarea coeficientului de reducere pentru flambaj χ
• $\alpha=0.49$ – factor de imperfecțiune pentru curba de flambaj c (aferentă secțiunii circulare pline)
• $\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}$ – zveltețe relativă

  • A_s – aria ancorei redusă de filet
• $N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}$  – forța critică Euler
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momentul de inerție al bulonului

  • d_s – diametrul ancorei redus de filet
• $L_{cr}=2\,l$  – lungimea de flambaj; se presupune, în favoarea siguranței, că bulonul este încastrat în beton și se poate roti liber la placa de bază 
• $l=l_{a}$ – lungimea elementului bulon, egală cu jumătate din grosimea plăcii de bază + rost + jumătate din diametrul bulonului; se presupune, în favoarea siguranței, că șaiba și piulița nu sunt strânse pe suprafața betonului (ETAG 001 – Annex C – Cl. 4.2.2.4), vezi Figure 4.3.2.

Verificarea la forfecare conform EN 1992-4 - 7.2.2.3

Pentru stand-off = direct, se consideră forfecarea fără braț de pârghie (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.1):

$$V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Pentru stand-off = mortar joint, se consideră forfecarea cu braț de pârghie (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.2):

$$V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}$$

unde:

• k₆ = 0.6 pentru ancore cu fuk ≤ 500 MPa; k₆ = 0.5 în caz contrar
• A_s – aria de forfecare a ancorei redusă de filet
• f_uk – rezistența ultimă a bulonului de ancorare
• α_M = 2 – se presupune încastrare completă (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)
• $M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)$ – rezistența caracteristică la încovoiere a ancorei, redusă de forța de întindere din ancoră
•  $M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}$ – rezistența caracteristică la încovoiere a ancorei (ETAG 001, Annex C – Equation (5.5b))
• $W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}$ – modulul de rezistență al ancorei
• d – diametrul bulonului de ancorare; dacă este selectat planul de forfecare în filet (ceea ce este întotdeauna cazul pentru tija filetată), se utilizează diametrul redus de filet; în caz contrar, se utilizează diametrul nominal, d_nom
• N_Ed – forța de întindere din ancoră
• N_Rd,s – rezistența la întindere a ancorei
• $l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}$ – brațul de pârghie
• t_mortar – grosimea mortarului (de poziționare)
• t_bp – grosimea plăcii de bază
• $\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25$ for $f_{uk} \le 800 \text{ MPa}$ and  $\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8$; γ_Ms = 1.5 în caz contrar – coeficientul parțial de siguranță pentru cedarea oțelului (EN 1992-4 – Table 4.1)

Verificarea la forfecare conform EN 1993-1-8 - 6.2.2

Rezistența oțelului ancorei la forfecare este determinată conform EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) indiferent de tipul de distanțare, direct sau cu mortar. Rezistența și grosimea mortarului de poziționare trebuie să respecte Cl. 6.2.5 (7).

$$V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}$$

unde:

$$F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}$$

• α_v = 0.6 pentru clasele 4.6, 5.6, 8.8 și 0.5 pentru clasele 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – rezistența ultimă la întindere a materialului bulonului
• A – aria efectivă la întindere a bulonului, A = A_s, unde As este aria efectivă la întindere a bulonului (redusă de filet)
• γ_M2 – coeficient de siguranță - EN 1993-1-8 – Table 2.1

$$F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$

• ​ $\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}$
• α_b este un coeficient care depinde de limita de curgere a bulonului de ancorare
• f_yb – limita de curgere a ancorei; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – rezistența la întindere a ancorei 
• A_s – aria efectivă la întindere (redusă de filet)

Verificarea la forfecare conform EN 1993-1-1 - 6.2.6

Aceste verificări conform codului se aplică ancorelor care sunt conectate la placa de bază cu un rost sau ancorelor încărcate direct, cu o lungime proeminentă mai mare de 0,5 ori diametrul lor.

$$V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}$$

unde:

• A_V = 0.844 A_s – aria de forfecare
• A_s – aria bulonului redusă de filet
• f_y – limita de curgere a bulonului
• γ_M2 – coeficientul parțial de siguranță (definit în Project settings)

Verificarea la forfecare conform EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

$$V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}$$

unde:

• γ_v este coeficientul parțial pentru conectorii de forfecare conform EN 1994-1-1 cap. 2.4.1.2. Valoarea recomandată pentru γ_v este 1.25
• d este diametrul tijei dornului, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u este rezistența ultimă la întindere specificată a materialului dornului, dar nu mai mare de 500 MPa.

În EN 1994-1-1, clauza 6.6.3.1 furnizează și Ecuația (6.19), care limitează rezistența la forfecare a unui dorn prin capacitatea de străpungere (la presiune de contact) a betonului. În IDEA StatiCa Detail, acest mod de cedare nu este verificat printr-o formulă separată din cod în etapa de post-procesare. În schimb, este integrat direct în analiza neliniară cu elemente finite ca un criteriu de oprire: analiza este întreruptă înainte ca forța de forfecare dintr-o ancoră să atingă valoarea corespunzătoare P_Rd
din Ecuația (6.19). Această abordare este utilizată deoarece Ecuația (6.19) este valabilă numai pentru dornurile cu cap sudate de placa de oțel și pentru diametre ale dornurilor în intervalul 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, conform 6.6.3.1.

Pentru a acoperi o gamă mai largă de cazuri practice, am creat o serie de modele de referință 3D în Abaqus, cu diametre ale ancorelor de la 8 mm la 50 mm și clase de rezistență ale betonului de la C16/20 la C50/60. Dornurile au fost modelate fie sudate rigid de placa de bază, fie conectate printr-o articulație. Modelele de material și parametrii de contact din Detail au fost apoi calibrate pe baza acestor simulări în Abaqus, care au fost la rândul lor verificate în raport cu Ecuația (6.19) în limitele domeniului său de valabilitate. Acest criteriu de oprire este valabil pentru toate tipurile de ancore și pentru toate codurile EN.

Verificarea la încovoiere conform EN 1993-1-1 - 6.2.5

$$M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}$$

Unde:

• $W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – modulul de rezistență al bulonului

  • d_s – diametrul ancorei redus de filet
• f_y – limita de curgere a materialului
• γ_M2 – coeficientul parțial de siguranță (definit în Project settings)

Momentul încovoietor de calcul acționant M_Ed - Dacă forța de forfecare acționează cu braț de pârghie, trebuie luat în considerare un moment încovoietor care acționează asupra dispozitivului de fixare. Momentul încovoietor de calcul care acționează asupra dispozitivului de fixare se calculează conform EN 1993-1-1 Formula (6.1):

$$M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}$$

unde:

• V_Ed - este forța de forfecare care acționează asupra dispozitivului de fixare considerat
• l_a = a₃ + e₁

  • a₃ = 0.5d_nom, unde d_nom este diametrul ancorei
  • e₁ - este distanța dintre forța de forfecare și suprafața betonului, neglijând grosimea oricărui mortar de poziționare
• α_M = 2 – se presupune încastrare completă (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.2\qquad Buckling length}}}$$

Interacțiunea dintre întindere și forfecare în oțelul ancorei

Interacțiunea dintre întindere și forfecare conform EN 1993-1-8 este inclusă implicit în verificarea la forfecare a ancorei.

Interacțiunea dintre întindere și forfecare conform EN 1992-4 se determină separat pentru modurile de cedare ale oțelului și ale betonului, conform Table 7.3. Interacțiunea în oțel se verifică separat pentru fiecare ancoră.

$$\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1$$

EN 1994-1-1 precizează în Articolul 6.6.3.2 că, dacă forța de întindere din ancoră este mai mare decât 0.1P_Rd, verificarea nu este acoperită de acest standard. În acest caz, interacțiunea se evaluează în aplicație conform EN 1992-4. În acest caz, verificarea la forfecare nu trebuie considerată conform EN 1994-1-1.

Interacțiunea dintre întindere sau compresiune și încovoiere în oțelul ancorei EN 1993-1-1 - 6.2.1

$$\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1$$

unde:

• N_Ed – forța de calcul de întindere (pozitivă) sau de compresiune (semn negativ)
• N_Rd – rezistența de calcul la întindere (pozitivă, F_t,Rd) sau la compresiune (semn negativ, F_c,Rd)
• M_Ed – momentul încovoietor de calcul
• M_Rd = M_pl,Rd – rezistența de calcul la încovoiere

Verificarea la smulgere pentru ancorele cu cap (plăci tip șaibă și dornuri cu cap)

Pentru ancorele cu cap este implementat un criteriu de oprire suplimentar pentru verificarea presiunii de contact (strivirii) betonului deasupra capului ancorei - smulgerea. În timpul analizei, forța de compresiune transmisă prin contactul dintre cap și beton este monitorizată și comparată cu valoarea limită dată de EN 1992-4, Clauza 7.2.1.5 (cedarea prin smulgere a fixărilor cu cap).

$$N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}$$

unde:

• A_h este aria portantă a capului dispozitivului de fixare (fără aria tijei). 
• f_ck este rezistența caracteristică la compresiune a betonului - EN 1992-1-1 Cl. 3.1.2
• γ_Mp este considerat în aplicație ca γ_Mp = γ_c, cu valoarea implicită de 1.5
•  k₂​ este întotdeauna considerat 7.5, adică valoarea pentru beton fisurat. Aceasta este în concordanță cu abordarea CSFM utilizată în Detail, în care rezistența la întindere a betonului este neglijată, iar betonul este considerat fisurat la întindere. 

Odată ce forța de contact atinge această limită stabilită prin cod, criteriul de oprire este activat, iar analiza este întreruptă înainte ca rezistența de calcul la smulgere să fie depășită.

Ancoraj -  Tensiunea de aderență

Tensiunea tangențială de aderență este evaluată independent ca raportul dintre tensiunea de aderență τ_b calculată prin analiza cu elemente finite și rezistența ultimă de aderență f_bd, conform EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

unde:

• f_ctd      este valoarea de calcul a rezistenței la întindere a betonului conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Datorită fragilității crescânde a betonului de rezistență mai mare, f_ctk,0.05 este limitată la valoarea pentru C60/75 conform EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)
• η₁       este un coeficient legat de calitatea condițiilor de aderență și de poziția barei în timpul betonării (Fig. 4.3.3).
• η₁ = 1.0 când se obțin condiții „bune” și
• η₁ = 0.7 pentru toate celelalte cazuri și pentru barele din elemente structurale executate în cofraje glisante, cu excepția cazului în care se poate demonstra că există condiții „bune” de aderență
• η₂        este legat de diametrul barei:
  η₂ = 1.0 pentru Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 pentru Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.3\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

În IDEA StatiCa Detail, condițiile de aderență sunt luate în considerare conform Fig. 4.3.3 c) și d). Direcția de betonare poate fi setată în aplicație pentru fiecare element al proiectului, după cum urmează:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.4\qquad Direction of concreting}}}$$

Aceste verificări se efectuează în raport cu valorile limită corespunzătoare pentru părțile respective ale structurii (adică, deși există o singură clasă atât pentru beton, cât și pentru materialul armăturii, diagramele efort-deformație finale vor diferi în fiecare parte a structurii, datorită efectelor de participare a betonului întins și de rezistență redusă a betonului comprimat).

Ancoraj - Forța totală

Forța totală F_tot și forța limită F_lim

Forța totală F_tot este un rezultat al analizei cu elemente finite și poate fi definită în două moduri.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

unde A_s este aria barei de armătură, iar σ_s este tensiunea din bară.

Sau ca sumă dintre forța de ancoraj F_a și forța de aderență F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

unde F_a este forța reală din arcul de ancoraj, iar F_bond este forța de aderență, care se poate obține prin integrarea tensiunii de aderență τ_b pe lungimea barei de armătură l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s este perimetrul barei de armătură.

Forța limită F_lim este forța maximă din elementul barei de armătură, ținând cont de rezistența ultimă a barei și de condițiile de ancorare (aderența dintre beton și armătură, cârlige de ancorare, bucle etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

unde C_s este perimetrul barei de armătură, iar l este lungimea de la începutul barei până la punctul de interes.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.5\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

unde F_lim,add este forța suplimentară calculată din valoarea unghiului dintre elementele învecinate. F_lim,2 trebuie să fie întotdeauna mai mică decât F_u.

Tipuri de ancoraj la capătul armăturii (ancore și bare de armătură)

Tipurile de ancoraj disponibile în 3D CSFM includ bară dreaptă (adică fără reducerea capătului de ancoraj), cot, cârlig, buclă, bară transversală sudată, aderență perfectă și bară continuă. Toate aceste tipuri, împreună cu coeficienții de ancoraj β corespunzători, sunt prezentate în Fig. 4.3.6 pentru armătura longitudinală și în Fig. 4.3.7 pentru etrieri. Valorile coeficienților de ancoraj adoptați sunt în conformitate cu EN 1992-1-1 secțiunea 8.4.4 Tab. 8.2. Trebuie menționat că, în ciuda diferitelor opțiuni disponibile, 3D CSFM distinge trei tipuri de capete de ancoraj: (i) fără reducerea lungimii de ancoraj, (ii) o reducere de 30% a lungimii de ancoraj în cazul unui ancoraj normalizat și (iii) aderență perfectă.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.6\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.7\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Pentru a respecta EN 1992-1-1, în calcul trebuie utilizat arcul de ancoraj; acesta este modificat de coeficientul β, astfel încât utilizatorul trebuie să aleagă unul dintre tipurile de ancoraj disponibile la definirea condițiilor de început și de sfârșit ale armăturii. 

Beton - Rezistență

Modelul de beton implementat pentru calculul rezistenței în CSFM se bazează pe curba parabolă-plastică efort-deformație pentru beton, conform curbei parabolice efort-deformație a Portland Cement Association, descrisă în PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. Rezistența la întindere este neglijată, ca în proiectarea clasică a betonului armat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii maxime, se consideră o ramură plastică cu ε_c0 având valoarea maximă de 5%, în timp ce ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 admite o deformație ultimă mai mică de 0,3%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, rezistența este prezisă corect atunci când se ia în considerare creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale, prin intermediul factorului de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010 astfel:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

α₁ este factorul de reducere a rezistenței la compresiune a betonului, definit în ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. La utilizarea unei diagrame efort-deformație parabolă-dreptunghi, este necesar să se reducă tensiunea maximă de compresiune cu acest factor. Astfel se mediază distribuția tensiunilor în zona comprimată, în așa fel încât rezistența la compresiune rezultată să fie mai mică sau egală cu rezistența la compresiune calculată folosind o diagramă efort-deformație cu ramură plastică descendentă. 

Φ_c este factorul de reducere a rezistenței pentru beton. Valoarea implicită este stabilită conform ACI 318-19 Tabelul 24.2.1 (b)(f).

f'_c este rezistența betonului pe cilindru (în MPa pentru definiția lui $\eta_{fc}$).

Armătură

Se consideră o diagramă efort-deformație perfect elasto-plastică, cu palier de curgere definit, pentru armătura nepretensionată. A se vedea ACI 319-19 Cl. 20.2.1. Definirea acestei diagrame necesită doar cunoașterea proprietăților de bază ale armăturii - rezistența și modulul de elasticitate.

Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi definită și de utilizator, dar în acest caz nu este posibil să se considere efectul de participare a betonului întins. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

unde:

Φ_s este factorul de reducere a rezistenței pentru armătură. Valoarea implicită este stabilită conform ACI 318-19 Tabelul 24.2.1.

f_y este limita de curgere a armăturii

E_s modulul de elasticitate al armăturii

Se alege 10% ca deformație limită la care calculul este oprit. Aceasta este considerată sigură în conformitate cu ASTM A955/A955M-20c Articolul 7.

Participarea betonului întins (Fig. 5.1.3)  este luată în considerare automat prin modificarea relației efort-deformație introduse pentru bara de armătură liberă, astfel încât să se surprindă rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil este conformă cu codurile de proiectare moderne. Deoarece modelele de calcul utilizează doar proprietăți standard ale materialelor, formatul coeficienților parțiali de siguranță prescris în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest mod, încărcările de intrare sunt amplificate, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse cu ajutorul coeficienților de reducere a rezistenței corespunzători, exact ca în analiza convențională a betonului.

Valorile coeficienților de reducere a rezistenței sunt prescrise în ACI 318-19, capitolul 21, iar pentru ancore în ACI 318-19, capitolul 17, și în AISC 360-16, capitolele D, E, F, G. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Coeficienții de încărcare pentru combinațiile de rezistență se definesc conform ACI 318-19, Tabelul 5.3.1.

Cu excepția cazurilor menționate în capitolul 34, combinațiile de încărcări la nivel de exploatare nu sunt definite în ACI 318-19. Se recomandă utilizarea regulilor de combinare din Anexa C a ASCE/SEI 7-16. Pentru toate șabloanele, coeficienții de încărcare sunt deja predefiniți.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.3\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Verificările necesare conform ACI 318-19 sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările se efectuează pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni tangențiale de aderență).

Rezistența - Beton

Rezistența betonului la compresiune este evaluată ca raport între tensiunea principală echivalentă maximă f_c,eq (notată și σ_c,eq în textul anterior), obținută din analiza cu elemente finite, și valoarea limită f'_c,lim.

Tensiunea principală echivalentă exprimă tensiunea uniaxială echivalentă pentru o stare generală de tensiune triaxială.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Prin urmare, valoarea f_c,eq poate fi comparată direct cu limitele de rezistență uniaxiale. Această expresie este derivată din implementarea teoriei plasticității Mohr-Coulomb, considerând, în mod conservator, unghiul de frecare internă φ = 0°.

Rezistența - Armătură

Rezistența armăturii este evaluată atât la întindere, cât și la compresiune, ca raport între tensiunea din armătură în dreptul fisurilor f_s și valoarea limită specificată f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Rezistența - Ancore

Ancorele sunt verificate la tensiuni normale într-un mod similar cu armătura, determinându-se valoarea limită f_y,lim. 

Pentru a facilita parcurgerea textului următor, vom împărți mai întâi ancorajul în trei grupe din punctul de vedere al verificării conform codului ACI sau AISC.

Grupa 1

• Tipuri de ancoraj

  • Placă înglobată
  • Placă de bază - Distanța de decalare = direct 
  • Placă de bază - Distanța de decalare = rost de mortar - grosimea mortarului mai mică de 0,5 ori diametrul ancorei
  • Ancoră individuală cu lungime liberă mai mică de 0,5 ori diametrul ancorei
• Verificările conform codului pentru ancore (ACI / AISC)

  • Întindere/compresiune

    • Toate tipurile de ancore la întindere – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Toate tipurile de ancore la compresiune – AISC 360-16 cap. E
  • Forfecare fără braț de pârghie

    • Material șurub – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Dornuri cu cap – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armătură – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interacțiunea dintre întindere și forfecare - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupa 2

• Tipuri de ancoraj

  • Placă de bază - Distanța de decalare = rost de mortar - grosimea mortarului mai mare de 0,5 ori diametrul ancorei
• Verificările conform codului pentru ancore (ACI / AISC)

  • Întindere/compresiune

    • Toate tipurile de ancore la întindere – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Toate tipurile de ancore la compresiune – AISC 360-16 cap. E
  • Forfecare cu braț de pârghie

    • Material șurub – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Dornuri cu cap – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armătură – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interacțiunea dintre întindere și forfecare - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupa 3

• Tipuri de ancoraj

  • Placă de bază - Distanța de decalare = spațiu liber
  • Ancoră individuală cu lungime liberă mai mare de 0,5 ori diametrul ancorei
• Verificările conform codului pentru ancore (ACI / AISC)

  • Întindere/compresiune (cu flambaj)

    • Toate tipurile de ancore la întindere – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Toate tipurile de ancore la compresiune – AISC 360-16 cap. E3
  • Încovoiere

    • Pentru toate tipurile de ancore – AISC 360-16 cap. F11
  • Forfecare

    • Pentru toate tipurile de ancore – AISC 360-16 cap. G
  • Interacțiunea dintre forța axială și încovoiere

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Rezistența la întindere a ancorei conform ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

unde:

• ϕ_a,t  – coeficientul de reducere a rezistenței pentru ancorele solicitate la întindere, conform ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – aria rezistentă la întindere (redusă de filet)
• f_uta – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorei, care nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 860 MPa

Rezistența la forfecare a ancorei conform ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

Rezistența oțelului la forfecare pentru dornurile cu cap se determină astfel:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

unde:
ϕ_a,v – coeficientul de reducere a rezistenței pentru ancorele solicitate la întindere, conform ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – aria rezistentă la întindere (redusă de filet)
f_uta – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorei, care nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 860 MPa

Rezistența la forfecare a ancorei conform ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

Rezistența oțelului la forfecare pentru ancorele din material de șurub și armătură se determină astfel:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

unde:

• ϕ_a,v  – coeficientul de reducere a rezistenței pentru ancorele solicitate la întindere, conform ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – aria rezistentă la întindere (redusă de filet)
• f_uta – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorei, care nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 860 MPa

Rezistența la forfecare a ancorei conectate la o bază cu mortar - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Dacă ancorele sunt utilizate cu perne de mortar (grout) executate pe loc (Grupa 2), rezistența de calcul determinată conform 17.7.1.2 se înmulțește cu 0,80.

Interacțiunea dintre întindere și forfecare conform ACI 318-19 cap. 17.8

Este permisă neglijarea interacțiunii dintre întindere și forfecare dacă este satisfăcută condiția (a) sau (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Dacă N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pentru rezistența determinantă la întindere și V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pentru rezistența determinantă la forfecare, atunci trebuie satisfăcută ecuația (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Rezistența la compresiune a ancorei conform AISC 360-16 cap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

unde:

• ϕ_a,t  – coeficientul de reducere a rezistenței pentru ancorele solicitate la compresiune, conform AISC 360-16 cap. E1
  
• (a) Când: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  sau     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Când: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  sau     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – aria brută a secțiunii transversale a elementului
• E – modulul de elasticitate al oțelului
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - tensiunea critică elastică de flambaj
• F_y – limita de curgere minimă specificată a tipului de oțel utilizat
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – raza de girație
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momentul de inerție al șurubului 

Rezistența la încovoiere a ancorei conform AISC 360-16 cap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

unde:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – modulul de rezistență plastic al șurubului
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – modulul de rezistență elastic al șurubului

Rezistența la forfecare a ancorei conform AISC 360-16 cap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

unde:

• A_V = 0,844As – aria de forfecare
• A_s – aria șurubului redusă de filet

Strivirea betonului la interfața ancoră–beton

Rezistența la forfecare a ancorei este limitată și din punctul de vedere al strivirii betonului la interfața ancoră–beton. Valorile limită și metoda de determinare a acestora sunt descrise în detaliu în articolul - Comportarea la forfecare a ancorelor în beton armat. Odată ce forța de contact atinge această limită, se declanșează criteriul de oprire, iar analiza este întreruptă înainte ca rezistența să fie depășită.​ 

Verificarea la smulgere pentru ancorele cu cap (plăci tip șaibă și dornuri cu cap)

Pentru ancorele cu cap este implementat un criteriu de oprire suplimentar, care verifică presiunea de contact (strivirea) betonului deasupra capului ancorei - smulgerea. În timpul analizei, forța de compresiune transmisă prin contactul dintre cap și beton este monitorizată și comparată cu valoarea limită dată de ACI 318-19, clauza 17.6.3.2.2a (cedarea prin smulgere a fixărilor cu cap).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

unde:

• $\Phi$ este coeficientul de reducere a rezistenței - Tabelul 17.5.3(c)
• A_brg este aria netă de contact a capului dornului, a șurubului de ancorare sau a barei profilate cu cap (fără aria tijei). 
• f'_c este rezistența specificată la compresiune a betonului
• $\Psi_{c,p}$ este factorul de fisurare la smulgere conform 17.6.3.3 și se consideră întotdeauna egal cu 1,0, adică valoarea pentru beton fisurat. Aceasta este în concordanță cu abordarea CSFM utilizată în Detail, în care rezistența la întindere a betonului este neglijată, iar betonul este considerat fisurat la întindere.

Odată ce forța de contact atinge această limită stabilită de cod, se declanșează criteriul de oprire, iar analiza este întreruptă înainte ca rezistența la smulgere să fie depășită.​ 

Ancoraj -  Tensiunea de aderență

Tensiunea tangențială de aderență este evaluată independent ca raport între tensiunea de aderență τ_b calculată prin analiza cu elemente finite și rezistența de aderență f_bu.

Deși rezistența de aderență nu este definită explicit în ACI 318-19, calculul lungimii de ancoraj se regăsește în secțiunea 25.4.2. Totuși, deoarece rezistența de aderență este datul de bază pentru determinarea lungimii de ancoraj (a se vedea R25.4.1.1 și ACI Committee 408 1966), rezistența de aderență poate fi calculată după cum urmează:

Să presupunem că, dacă ancorăm bara de armătură într-un bloc de beton pe o lungime de ancoraj l_d sau mai mare, extragerea armăturii va conduce la ruperea armăturii și nu la smulgerea ei din beton. Aceasta se poate scrie cu următoarea formulă.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

unde:

d_b este diametrul barei de armătură, l_d este lungimea de ancoraj, f_bu este rezistența de aderență, f_y este limita de curgere a armăturii, iar A_s este aria barei de armătură.

Din cele de mai sus se poate deduce cu ușurință formula de calcul a rezistenței de aderență:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Lungimea de ancoraj l_d se determină apoi conform ACI 318-19 Tabelul 25.4.2.3, după cum urmează:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

unde:

C = 25 (2,1 pentru sistemul metric) pentru barele nr. 6 și mai mici și pentru sârmele profilate, C = 20 (1,7 pentru sistemul metric) pentru barele nr. 7 și mai mari, λ = 1,0 pentru beton de greutate normală, ψ_t, ψ_e, ψ_g se determină conform ACI 318-19 Tabelul 25.4.2.3. 

Sunt acceptate doar armăturile neprotejate sau zincate (galvanizate), deci ψ_e = 1,0. ψ_g este determinat automat din clasa armăturii, iar ψ_t este dedus automat din poziția armăturii în model și din direcția de betonare, care poate fi setată în aplicație pentru fiecare element al proiectului, după cum urmează.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.1\qquad Direction of concreting}}}$$

Aceste verificări se efectuează în raport cu valorile limită corespunzătoare părților respective ale structurii (adică, deși se utilizează o singură clasă atât pentru beton, cât și pentru armătură, diagramele efort-deformație finale vor diferi în fiecare parte a structurii din cauza efectelor de participare a betonului întins și de rezistență redusă a betonului comprimat).

Ancoraj -  Forța totală

Forța totală F_tot și forța limită F_lim

Forța totală F_tot este un rezultat al analizei cu elemente finite și poate fi definită în două moduri.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

unde A_s este aria barei de armătură, iar f_s este tensiunea din bară.

Sau ca sumă între forța de ancoraj F_a și forța de aderență F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

unde F_a este forța efectivă din arcul de ancoraj, iar F_bond este forța de aderență, care se poate obține prin integrarea tensiunii de aderență τ_b pe lungimea barei de armătură l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s este circumferința barei de armătură.

Forța limită F_lim este forța maximă din elementul barei de armătură, ținând cont de rezistența barei și de condițiile de ancoraj (aderența dintre beton și armătură, cârlige de ancoraj, bucle etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

unde C_s este circumferința barei de armătură, iar l este lungimea de la începutul barei până la punctul de interes.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.2\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

unde F_lim,add este forța suplimentară calculată din mărimea unghiului dintre elementele vecine. F_lim,2 trebuie să fie întotdeauna mai mică decât F_u.

Tipurile de ancoraj disponibile în CSFM includ bară dreaptă (adică fără reducerea capătului de ancoraj), cârlig la 90 de grade, cârlig la 180 de grade, aderență perfectă și bară continuă. Toate aceste tipuri, împreună cu coeficienții de ancoraj β corespunzători, sunt prezentate în Fig. 5.3.3 pentru armătura longitudinală. Valorile coeficienților de ancoraj adoptați sunt derivate din compararea ecuației din secțiunea ACI 318-19 25.4.3.1 cu ecuațiile preluate din secțiunea ACI 318-19 25.4.2.3. Trebuie remarcat că, în ciuda diferitelor opțiuni disponibile, CSFM distinge trei tipuri de capete de ancoraj: (i) fără reducerea lungimii de ancoraj, (ii) o reducere de 30% a lungimii de ancoraj în cazul unui ancoraj normalizat și (iii) aderență perfectă.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.3\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Coeficientul de ancoraj pentru etrieri este întotdeauna β = 1,0.

Pentru a respecta ACI, în calcul trebuie utilizat arcul de ancoraj, care este modificat prin coeficientul β; prin urmare, utilizatorul trebuie să aleagă unul dintre tipurile de ancoraj disponibile la definirea condițiilor de început și de sfârșit ale armăturii. 

Beton - Rezistență

Modelul de beton implementat pentru calculul rezistenței în 3D CSFM se bazează pe ipotezele de proiectare la rezistență din AASHTO LRFD privind echilibrul și compatibilitatea deformațiilor. În conformitate cu AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.2.1, rezistența la întindere a betonului este neglijată.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementarea 3D CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii maxime, se consideră o ramură plastică cu ε_c0 la valoarea maximă de 5%, în timp ce AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.2.1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,3%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Totuși, rezistența este prevăzută corect atunci când se ia în considerare creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale, prin intermediul factorului de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010 astfel:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

α₁ este factorul de reducere a rezistenței la compresiune a betonului, definit în AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.2.2. Atunci când se utilizează o diagramă efort-deformație parabolă-dreptunghi, este necesar să se reducă tensiunea maximă de compresiune cu acest factor. Astfel se mediază distribuția tensiunilor în zona comprimată, în așa fel încât rezistența la compresiune rezultată să fie mai mică sau egală cu rezistența la compresiune calculată folosind o diagramă efort-deformație cu ramură plastică descendentă.

Φ_c este factorul de reducere a rezistenței pentru beton. Valoarea implicită este setată conform AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.5.4.2.

f'_c este rezistența betonului pe cilindru (în MPa pentru definirea lui $\eta_{fc}$).

Armătură

Se consideră o diagramă efort-deformație perfect elasto-plastică, cu palier de curgere definit, pentru armătura nepretensionată. A se vedea AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.4.3. Definirea acestei diagrame necesită doar cunoașterea proprietăților de bază ale armăturii - rezistența și modulul de elasticitate.

Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi definită și de utilizator, dar în acest caz nu este posibil să se considere participarea betonului întins. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

unde:

Φ_s este factorul de reducere a rezistenței pentru armătură. Valoarea implicită este setată conform AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.5.4.2.

f_y este rezistența de curgere a armăturii

E_s este modulul de elasticitate al armăturii

Se alege 10% ca deformație limită la care calculul este oprit. Aceasta este considerată sigură pe baza ASTM A955/A955M-20c Articolul 7.

Participarea betonului întins (Fig. 6.1.3)  este luată în considerare automat prin modificarea relației efort-deformație de intrare a barei de armătură simple, astfel încât să fie surprinsă rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil respectă codurile moderne de proiectare. Deoarece modelele de calcul utilizează doar proprietăți standard ale materialelor, formatul coeficienților parțiali de siguranță prescris în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest mod, încărcările de intrare sunt amplificate cu coeficienți, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse cu ajutorul coeficienților de reducere a rezistenței respectivi, exact ca în analiza convențională a betonului.

Valorile coeficienților de reducere a rezistenței sunt prescrise în AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4, iar pentru ancore în ACI 318-19 Chapter 17 și AASHTO LRFD (2024) Article 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Coeficienții de încărcare și combinațiile de încărcări se definesc conform AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Article 3.4.1 și Tables 3.4.1-1 to 3.4.1-6. AASHTO LRFD specifică explicit combinațiile de încărcări pentru starea limită de rezistență (Strength I – Strength V), inclusiv coeficienții de încărcare corespunzători pentru fiecare caz.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.2\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Diferitele verificări impuse de AASHTO sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările se efectuează pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni tangențiale de aderență).

Rezistență - Beton

Rezistența betonului la compresiune este evaluată ca raport între tensiunea principală echivalentă maximă f_c,eq (notată și σ_c,eq în textul anterior), obținută din analiza cu elemente finite, și valoarea limită f'_c,lim.

Tensiunea principală echivalentă exprimă tensiunea uniaxială echivalentă pentru o stare generală de tensiuni triaxiale.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Valoarea f_c,eq poate fi, prin urmare, comparată direct cu limitele de rezistență uniaxiale. Această expresie este derivată din implementarea teoriei plasticității Mohr-Coulomb, considerând, în mod conservator, unghiul de frecare internă φ = 0°.

Rezistență - Armătură

Rezistența armăturii este evaluată atât la întindere, cât și la compresiune, ca raport între tensiunea din armătură în dreptul fisurilor f_s și valoarea limită specificată f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Rezistență - Ancore

Ancorele sunt verificate la tensiuni normale într-un mod similar cu armătura, determinându-se valoarea limită f_y,lim. 

Pentru a facilita parcurgerea textului următor, vom împărți mai întâi ancorajele în trei grupe din punctul de vedere al verificării conform codului AASHTO sau ACI.

Grupa 1

• Tipuri de ancoraj

  • Placă înglobată
  • Placă de bază - Distanță de decalare = directă 
  • Placă de bază - Distanță de decalare = rost cu mortar - grosimea mortarului mai mică de 0,5 ori diametrul ancorei
  • Ancoră singulară cu lungime proiectată mai mică de 0,5 ori diametrul ancorei
• Verificările ancorelor conform codului (AASHTO / ACI)

  • Întindere/compresiune

    • Toate tipurile de ancore la întindere – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Toate tipurile de ancore la compresiune – AASHTO articolul 6.9.2
  • Forfecare fără braț de pârghie

    • Material șurub – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Dornuri cu cap – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armătură – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interacțiunea dintre întindere și forfecare - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupa 2

• Tipuri de ancoraj

  • Placă de bază - Distanță de decalare = rost cu mortar - grosimea mortarului mai mare de 0,5 ori diametrul ancorei
• Verificările ancorelor conform codului (AASHTO / ACI)

  • Întindere/compresiune

    • Toate tipurile de ancore la întindere – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Toate tipurile de ancore la compresiune – AASHTO articolul 6.9.2
  • Forfecare cu braț de pârghie

    • Material șurub – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Dornuri cu cap – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armătură – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interacțiunea dintre întindere și forfecare - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupa 3

• Tipuri de ancoraj

  • Placă de bază - Distanță de decalare = gol
  • Ancoră singulară cu lungime proiectată mai mare de 0,5 ori diametrul ancorei
• Verificările ancorelor conform codului (AASHTO / ACI)

  • Întindere/compresiune (cu flambaj)

    • Toate tipurile de ancore la întindere – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Toate tipurile de ancore la compresiune – AASHTO LRFD articolul 6.9.2
  • Încovoiere

    • Pentru toate tipurile de ancore – AAHTO LRFD articolul 6.12.2.2.7
  • Forfecare

    • Pentru toate tipurile de ancore – AASHTO LRFD articolul 6.10.9
  • Interacțiunea dintre forța axială și încovoiere

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Rezistența la întindere a ancorei conform ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

unde:

• ϕ_a,t  – factorul de reducere a rezistenței pentru ancore la întindere conform ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – aria efectivă la întindere (redusă de filet)
• f_uta – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorei, care nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 860 MPa

Rezistența la forfecare a ancorei conform ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

Rezistența oțelului la forfecare pentru dornuri cu cap se determină astfel:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

unde:
ϕ_a,v – factorul de reducere a rezistenței pentru ancore la întindere conform ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – aria efectivă la întindere (redusă de filet)
f_uta – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorei, care nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 860 MPa

Rezistența la forfecare a ancorei conform ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

Rezistența oțelului la forfecare pentru ancore din material de șurub și armătură se determină astfel:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

unde:

• ϕ_a,v  – factorul de reducere a rezistenței pentru ancore la întindere conform ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – aria efectivă la întindere (redusă de filet)
• f_uta – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorei, care nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 860 MPa

Rezistența la forfecare a ancorei conectate la o placă cu mortar - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Dacă ancorele sunt utilizate cu pernă de mortar de egalizare (Grupa 2), rezistența de calcul determinată conform 17.7.1.2 se înmulțește cu 0,80.

Interacțiunea dintre întindere și forfecare conform ACI 318-19 cap. 17.8

Interacțiunea dintre întindere și forfecare poate fi neglijată dacă este îndeplinită condiția (a) sau (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Dacă N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pentru rezistența determinantă la întindere și V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pentru rezistența determinantă la forfecare, atunci trebuie satisfăcută ecuația (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Rezistența la compresiune a ancorei conform AASHTO LRFD Articolul 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

unde:

• ϕ_a,c  – factorul de reducere a rezistenței pentru ancore la compresiune conform AASHTO LRFD articolul 6.5.4.2

• Dacă $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  atunci: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   În caz contrar: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – aria brută a secțiunii transversale a elementului (in²)
• F_y – limita de curgere minimă specificată a tipului de oțel utilizat (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - rezistența critică elastică la flambaj (kip)
• E – modulul de elasticitate al oțelului (ksi)
• K = 2 – factorul de lungime efectivă conform articolului 4.6.2.5 
• l – lungimea nesprijinită în planul de flambaj (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – raza de girație
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momentul de inerție al șurubului 

Rezistența la încovoiere a ancorei conform AASHTO LRFD Articolul 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$