Forfecare

În ceea ce privește cedarea fragilă, verificarea la forfecare este una dintre verificările importante ale unei secțiuni de beton armat.

Procedura de calcul

Calculul rezistenței la forfecare este compus din mai multe părți de bază. În primul rând, trebuie să analizăm dacă în secțiunea verificată apar sau nu fisuri datorate încovoierii. Dacă există, se utilizează calculul conform EN 1992-1-1 [2], Articolul 6.2.2 (1). În caz contrar, determinăm dacă este vorba de beton simplu sau beton slab armat, apoi procedăm în conformitate cu EN 1992-1-1 Articolul 12.6.3.

Pentru betonul armat nefisurat (fără armătură transversală la forfecare) verificăm conform EN 1992-1-1 Articolul 6.2.2 (2). Pentru elementele la care este necesară armătura transversală la forfecare, verificăm conform Articolului 6.2.3 [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

Rezistența la forfecare a elementelor fără armătură transversală la forfecare

Rezistența la forfecare a elementelor în zone de încovoiere fisurate (art. 6.2.2 (1) [2])

Rezistența la forfecare a elementelor de beton armat fără armătură transversală la forfecare supuse momentului încovoietor este dată de:

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

Care a fost definită pe baza testelor efectuate pe un număr reprezentativ de grinzi simple în cazul cedării prin forță tăietoare. Deoarece rezistența de mai sus poate fi zero pentru elementele fără armătură longitudinală (r_l), pentru elementele slab armate au fost derivate ecuații. Deoarece rezistența de mai sus poate fi zero pentru elementele fără armătură longitudinală (r_l), pentru elementele slab armate a fost determinată prin ecuația

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

Pentru rezistența la forfecare cu influența forței normale a fost determinată ecuația

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

Rezistența la forfecare în expresia sa completă, corespunzătoare cu EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

Cu minimul

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

unde  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          factorul înălțimii secțiunii transversale 

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      gradul de armare pentru armătura longitudinală

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        rezistența caracteristică la compresiune pe cilindru a betonului la 28 de zile

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  în MPa

b_w        lățimea minimă a secțiunii transversale în zona întinsă

d          înălțimea utilă a secțiunii transversale

υ_min      rezistența minimă echivalentă la forfecare υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Rezistența la forfecare a elementelor în zone de încovoiere nefisurate (art. 6.2.2 (2) [2])

Rezistența la forfecare a elementelor în zone de încovoiere nefisurate poate fi determinată din cercul lui Mohr. În ecuația

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

Substituim σ_x = σ_cp și τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) și determinăm V_Rd,c, obținând ecuația corespunzătoare formulei din EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

unde  

I           este momentul de inerție,

b_w        este lățimea secțiunii transversale la axa centroidală

S          este momentul static al ariei de deasupra și față de axa centroidală,

f_ctd        rezistența de calcul la întindere axială a betonului în MPa,

 s_cp       este tensiunea de compresiune în beton la axa centroidală datorată încărcărilor și/sau pretensionării,

a_l         factorul lungimii de transmitere, de obicei 1,0.

În legătură cu cele de mai sus, trebuie remarcat că în zonele fără fisuri de încovoiere, rezistența V_Rd ,c poate fi semnificativ mai mare decât în zonele fisurate conform Articolului 6.2.2 (1) [2]. Figura de mai jos arată clar că, deși forța tăietoare este verificată la valoarea sa extremă (care nu produce fisuri), nu este neapărat garantat că va fi preluată pe toată lungimea grinzii. Aceasta se datorează schimbării metodei de calcul a rezistenței la forfecare a betonului. Pe partea sigură, desigur, rezistența la forfecare poate fi considerată conform Articolului 6.2.2 (1) [2] și în locurile unde fisurile nu vor apărea.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

În ceea ce privește expresia V_Rd, c conform Articolului 6.2.2 (2)[2], trebuie remarcat că în cazul general verificarea trebuie să se bazeze pe fibra cu tensiunea principală de întindere extremă în zona de compresiune normală, și nu la centrul de greutate al secțiunii. În acest punct este necesar să se calculeze caracteristicile secțiunii transversale (S și b_W). Pentru determinarea tensiunii principale maxime s₁ în programul IDEA RCS, trasăm o linie prin centrul de greutate în direcția rezultantei forțelor tăietoare. Această linie o împărțim în 20 de sectoare. Pe această linie vom prezenta mai multe puncte caracteristice (punctele poligonului secțiunii transversale, centrul de greutate, axa neutră). În cadrul acestor puncte, calculăm S, b_w, σ_x, τ_yz și σ_1.  La punctul de tensiune principală de întindere maximă vom calcula rezistența la forfecare.

Forța tăietoare înainte de aplicarea factorului de reducere b cerut de Articolul 6.2.2 (6) trebuie să satisfacă condiția suplimentară

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

unde 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  unde f_ck este în MPa

Rezistența la forfecare a elementelor fără armătură sau slab armate (art. 12.6.3 [2])

Rezistența la forfecare pentru betonul simplu sau slab armat poate fi determinată din expresia

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

Unde

τ_cp se substituie cu

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

sau

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

Valorile parțiale utilizate în formula de mai sus sunt date de:

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

unde  

f_cd,pl     Rezistența de calcul la compresiune pentru beton simplu sau slab armat,

f_ctd,pl    Rezistența de calcul la întindere axială a betonului simplu sau slab armat,

f_cvd       Rezistența de calcul la forfecare sub compresiunea betonului.

Rezistența elementelor cu armătură transversală la forfecare (art. 6.2.3 [2])

Calculul rezistenței elementelor de beton armat cu armătură transversală la forfecare se bazează pe metoda analogiei cu grinda cu zăbrele cu diagonale cu unghi variabil. Baza acestei metode este echilibrul forțelor în triunghiul determinat de forța bielei (diagonala), forța armăturii transversale la forfecare (etrier) și forța armăturii longitudinale.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

Secțiunea transversală supusă forței tăietoare este fisurată la un unghi θ, din acest motiv diagonala de beton cu același unghi ca forțele tăietoare rezistă la forța tăietoare. Forța de compresiune a diagonalei poate fi exprimată ca V_ed/sinθ. Această forță trebuie preluată de suprafața de beton, perpendiculară pe diagonala comprimată b_wzcosθ. Tensiunea de compresiune în beton în diagonala comprimată este atunci egală cu:

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

Substituind $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  și $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ și exprimând $${{V}_{Rd,max}}$$ obținem ecuația pentru rezistența la forfecare a diagonalei:

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

Pentru a echilibra componenta verticală a forței în diagonala comprimată, se utilizează armătura transversală la forfecare. Mărimea forței verticale se bazează pe tensiunea de compresiune a diagonalei în zona de beton corespunzătoare unui singur etrier - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Forța limită a etrierului este dată ca \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Introducând σ_c, comparând cu forța limită în armătură, după modificări obținem:

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

Exprimând apoi V_ed ca V_RDs obținem rezistența secțiunii transversale cu armătură transversală verticală la forfecare:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

Forța tăietoare longitudinală este preluată de armătura longitudinală și poate fi determinată ca V_edcotgθ. Derivarea formulelor de mai sus poate fi găsită în [4].

Utilizând programul IDEA RCS este posibil să se verifice doar elementele cu armătură transversală verticală la forfecare. În general, pot fi utilizate următoarele ecuații:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

Unde  

A_sw      este aria secțiunii transversale a armăturii la forfecare,

s           este distanța dintre etrieri,

f_ywd      este rezistența de calcul la curgere a armăturii la forfecare,

b_w        este lățimea minimă între tălpile întinsă și comprimată. Pentru calculul rezistenței V_Rd,max , valoarea lățimii secțiunii trebuie redusă la așa-numita lățime nominală a secțiunii transversale în cazul în care secțiunea transversală este slăbită de canale pentru cabluri

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ pentru canale metalice injectate

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ pentru canale metalice neinjectable           

υ          = 0,6 pentru f_ck ≤ 60MPa sau pentru f_ck > 60MPa,

α_cw       este un coeficient care ține cont de starea de tensiune în talpa comprimată.

Tab. 1‑1 Determinarea coeficientului α_cw

Unghiul θ este unghiul dintre bielă comprimată din beton și axa grinzii perpendiculară pe forța tăietoare. Valorile limită ale cotgθ pentru utilizare într-o țară pot fi găsite în Anexa Națională a acesteia. Limitele recomandate sunt date de expresia:

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

Alegerea mărimii unghiului θ poate influența valoarea rezistențelor. Dependența rezistențelor este vizibilă în Figura 1.15. Figura arată că odată cu creșterea unghiului θ, rezistența V_Rd,max  crește, iar rezistența V_Rd,s scade. Rezistența V_Rd,c este constantă, deoarece se bazează pe metoda analogiei cu grinda cu zăbrele.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

Calculul caracteristicilor secțiunii transversale pentru forfecare

Pentru calculul forfecării este important să se calculeze variabilele secțiunii transversale care influențează rezistența la forfecare. Aceste variabile includ în principal lățimea secțiunii rezistente la forfecare b_w, înălțimea utilă d și brațul de pârghie z. Codul [2] furnizează aceste valori care corelează direct cu tensiunea de încovoiere reală. Problema constă însă în determinarea acestor valori atunci când direcția momentelor încovoietoare rezultante (sau mai precis direcția rezultantei rezistenței secțiunii) diferă semnificativ de direcția forțelor tăietoare rezultante. În acest caz, codul EC2 nu oferă nicio recomandare.

Lățimea secțiunii transversale rezistente la forfecare b_w

Programul IDEA RCS calculează lățimea secțiunii transversale rezistente la forfecare în direcția perpendiculară pe rezultanta forțelor tăietoare. În funcție de articolul din Eurocode, această lățime se calculează astfel:
-  Lățimea minimă a secțiunii între rezultanta betonului comprimat și armătura întinsă în direcția perpendiculară pe rezultanta forțelor tăietoare pentru articolul 6.2.2 (a) și 6.2.3 (1)
- Lățimea secțiunii în direcția perpendiculară pe rezultanta forțelor tăietoare în punctul verificat conform articolului 6.2.2 (2)

Înălțimea utilă a secțiunii transversale

Înălțimea utilă este de obicei definită ca distanța de la fibra de beton cea mai comprimată până la centrul de greutate al armăturii. Deoarece este direct legată de încovoiere, distanța este dată ca proiecție perpendiculară pe linia de gravitație a planului de deformație.

Această definiție poate fi clarificată astfel încât în locul centrului de greutate al armăturii întinse să fie utilizată poziția rezultantei forțelor în armătură. În timpul dezvoltării programului IDEA RCS a fost rezolvată problema: cum să se definească înălțimea utilă a secțiunii transversale, pentru care planul încărcărilor de încovoiere nu corespunde cu direcția forțelor tăietoare rezultante. Prin urmare, înălțimea utilă este definită ca distanța de la fibra de beton cea mai comprimată până la rezultanta forțelor în armătura întinsă (bazată pe tensiunea de încovoiere) și în direcția forțelor tăietoare rezultante, a se vedea Figura 1.17.

Cazuri excepționale vor apărea dacă nu suntem în măsură să determinăm fibra comprimată sau rezultanta în armătura întinsă. În acest caz, recomandăm utilizarea valorii 0,9 h (90% din înălțimea secțiunii în direcția forțelor tăietoare rezultante). Această valoare poate fi definită de utilizator în programul IDEA RCS prin setarea variabilelor de cod.

Brațul de pârghie al forțelor interioare

Brațul de pârghie al forțelor interioare este definit în 6.2.3 (3) [2] ca „distanța dintre tălpile întinsă și comprimată". Codul nu definește cum să se procedeze atunci când planul momentului încovoietor activ diferă de direcția forțelor tăietoare rezultante. Prin urmare, ca și în cazul înălțimii utile, definim distanța în direcția forțelor tăietoare rezultante. De asemenea, și aici putem întâlni cazuri excepționale similare, de exemplu, întreaga secțiune este sub compresiune etc. În acest caz, se ia valoarea 0,9 d (90% din înălțimea utilă a secțiunii). Această valoare poate fi setată de utilizator în programul IDEA RCS prin setarea variabilelor de cod.

Dependența dintre înclinarea planului de încovoiere și rezultanta forței tăietoare este clar vizibilă în Figura 1.18 și Figura 1.19. Odată cu creșterea înclinării, valorile înălțimii utile, brațelor de pârghie și rezistențelor aferente scad. Starea limită este de 90°. Pentru această înclinare, brațul de pârghie al forțelor interioare nu poate fi calculat, prin urmare brațul de pârghie este egal cu zero. În acest caz, se ia în considerare valoarea specificată în setarea variabilelor de cod. Prin aceasta, apare un salt la sfârșitul graficului. Acest studiu demonstrează că înclinarea maximă recomandată este de aproximativ 20°.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

Ca parte a testării aplicației RCS, a fost realizat un studiu privind dependența rezistenței la forfecare față de variația forței normale. Rezistența V_Rd,max este influențată doar de coeficientul α_cw, a se vedea Fig. 1.20. Fig. 1.21 arată o valoare constantă a rezistenței V_Rds. Pentru rezistența V_Rdc, scăderile sunt cauzate de creșterea forței normale. Curba albastră din Fig. 1.21 arată rezistența V_Rdc cu neglijarea influenței fisurilor și a fost calculată folosind formula din secțiunea 6.2.2 (1) [2]. Saltul în tranziția dintre compresiune și întindere este cauzat de armătura întinsă contribuantă. Curba roșie este calculată folosind formula din secțiunea 6.2.2 (2) [2]. După apariția primei fisuri, curba de dependență este aceeași ca pentru 6.2.2 (1) [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$