3.1 Mezní stavy a výpočet šířky trhlin

Výpočet šířky trhlin

Šířku trhlin lze vypočítat dvěma způsoby: pro stabilizované a pro nestabilizované trhliny. Podle geometrického stupně vyztužení v každé části konstrukce se rozhoduje, který model výpočtu trhlin bude použit (TCM pro stabilizované trhliny a POM pro model nestabilizovaných trhlin).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Zatímco CSFM poskytuje přímý výsledek pro většinu posouzení (např. únosnost prvku, průhyby…), šířky trhlin se vypočítají z přetvoření vyztužení, která přímo poskytuje analýza metodou konečných prvků, podle postupu popsaného na Obr. 20. Uvažuje se kinematika trhliny bez prokluzu (čisté otevření trhliny) (Obr. 20a), což je v souladu s hlavními předpoklady modelu. Hlavní směry napětí a přetvoření určují sklon trhlin (θ_r = θ_s= θ_e). Podle (Obr. 20b) lze šířku trhliny (w) promítnout do směru výztužného prutu (w_b), což vede k výrazu:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

kde θ_b je sklon výztužného prutu.

Upozorňujeme, že program zobrazuje hodnoty θ_r a θ_b < π/2. To znamená, že předchozí rovnice platí pro případy, kdy vyztužení a trhlina procházejí různými kvadranty kartézské soustavy souřadnic, jak je znázorněno na Obr. 20, kde vyztužení prochází I. a III. kvadrantem a trhlina II. a IV. kvadrantem. Pro případy, kdy vyztužení a trhlina procházejí stejnými kvadranty, je nutné rovnici upravit takto:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Složka w_b se konzistentně vypočítá na základě modelů tahového zpevnění integrací přetvoření vyztužení. Pro oblasti s plně vyvinutým obrazem trhlin se vypočtená průměrná přetvoření (e_m) podél výztužných prutů přímo integrují po délce rozteče trhlin (s_r), jak je uvedeno na (Obr. 20c). Ačkoli tento přístup k výpočtu směrů trhlin neodpovídá skutečné poloze trhlin, poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin srovnatelným s hodnotami šířky trhlin požadovanými normou v místě výztužného prutu.

Zvláštní situace nastávají v konkávních rozích počítané konstrukce. V tomto případě roh předurčuje polohu jediné trhliny, která se chová nestabilizovaně, než se vytvoří další sousední trhliny. Tyto další trhliny se obecně vytvářejí až po překročení rozsahu použitelnosti (Mata-Falcón 2015), což ospravedlňuje výpočet šířek trhlin v takové oblasti, jako by byly nestabilizované (Obr. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tahové zpevnění

Implementace tahového zpevnění rozlišuje mezi případy stabilizovaného a nestabilizovaného obrazu trhlin. V obou případech se beton ve výchozím nastavení považuje před zatížením za plně porušený trhlinami.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Stabilizované trhliny

U plně vyvinutého obrazu trhlin se tahové zpevnění zavádí pomocí modelu tahového pasu (Tension Chord Model, TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Obr. 22a – který poskytuje vynikající predikce odezvy navzdory své jednoduchosti (Burns 2012). Model TCM předpokládá stupňovitý, tuhoplastický vztah mezi smykovým napětím v soudržnosti a prokluzem s τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pro σ_s ≤ f_y a τ_b =τ_b1 = f_ctm pro σ_s > f_y. Pokud se každý výztužný prut posuzuje jako tahový pas ­– Obr. 22b a Obr. 22a – lze určit rozložení smyku v soudržnosti, napětí v oceli a betonu, a tedy i rozložení přetvoření mezi dvěma trhlinami, pro libovolnou hodnotu maximálního napětí (nebo přetvoření) v oceli v místě trhlin.

Pro s_r = s_r0 může nebo nemusí vzniknout nová trhlina, protože uprostřed mezi dvěma trhlinami je σ_c1 = f_ct. Rozteč trhlin se proto může lišit až dvojnásobně, tj. s_r = λs_r0, kde l = 0.5…1.0. Při zvolené hodnotě λ lze průměrné přetvoření pasu (ε_m) vyjádřit jako funkci maximálního napětí ve vyztužení (tj. napětí v místě trhlin, σ_sr). Pro idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření holých výztužných prutů, který se v CSFM uvažuje ve výchozím nastavení, se získají následující analytické vztahy v uzavřeném tvaru (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

kde:
E_sh           modul zpevnění oceli E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modul pružnosti vyztužení,

Ø            průměr výztužného prutu,

s_r                 rozteč trhlin,

σ_sr           napětí ve vyztužení v místě trhlin,

σ_s            skutečné napětí ve vyztužení,

f_y                mez kluzu vyztužení.

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail ve výchozím nastavení uvažuje při počítačově podporované analýze napjatosti metodou napěťových polí průměrnou rozteč trhlin. Průměrná rozteč trhlin se uvažuje jako 2/3 maximální rozteče trhlin (λ = 0.67), což odpovídá doporučením vycházejícím ze zkoušek v ohybu a tahu (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Je třeba poznamenat, že při výpočtu šířky trhlin se uvažuje maximální rozteč trhlin (λ = 1.0), aby se získaly konzervativní hodnoty.

Použití modelu TCM závisí na stupni vyztužení, a proto je zásadní přiřadit každému výztužnému prutu vhodnou plochu betonu působící v tahu mezi trhlinami. Byl vyvinut automatický numerický postup pro stanovení odpovídajícího efektivního stupně vyztužení (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pro libovolnou konfiguraci, včetně šikmé výztuže (Obr. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Nestabilizované trhliny

Trhliny existující v oblastech s geometrickým stupněm vyztužení nižším než ρ_cr, tj. minimálním množstvím výztuže, při kterém je výztuž schopna přenést zatížení způsobující vznik trhlin bez dosažení meze kluzu, vznikají buď nemechanickými účinky (např. smršťováním), nebo postupem trhlin řízených jinou výztuží. Hodnota tohoto minimálního vyztužení se stanoví takto:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

kde:

f_y              mez kluzu vyztužení,

f_ct             pevnost betonu v tahu,

n              poměr modulů pružnosti, n = E_s / E_c .

Pro běžný beton a betonářskou výztuž činí ρ_cr přibližně 0,6 %.

U třmínků se stupněm vyztužení nižším než ρ_cr se trhliny považují za nestabilizované a tahové zpevnění se zavádí pomocí modelu vytažení (Pull-Out Model, POM) popsaného na Obr. 22b. Tento model analyzuje chování jediné trhliny bez uvažování mechanické interakce mezi jednotlivými trhlinami, zanedbává přetvárnost betonu v tahu a předpokládá stejný stupňovitý, tuhoplastický vztah mezi smykovým napětím v soudržnosti a prokluzem, jaký používá model TCM. Díky tomu lze rozložení přetvoření ve vyztužení (ε_s) v okolí trhliny pro libovolné maximální napětí v oceli v místě trhliny (σ_sr) získat přímo z podmínek rovnováhy. Vzhledem k tomu, že rozteč trhlin je u neúplně vyvinutého obrazu trhlin neznámá, vypočte se průměrné přetvoření (ε_m) pro libovolnou úroveň zatížení na vzdálenosti mezi body s nulovým prokluzem v okamžiku, kdy výztužný prut v místě trhliny dosáhne své pevnosti v tahu (f_t) (l_ε,avg na Obr. 22b), což vede k následujícím vztahům:

Navržené modely umožňují výpočet chování soudržné výztuže, které se nakonec uvažuje v analýze. Toto chování (včetně tahového zpevnění) pro nejběžnější evropskou betonářskou výztuž (B500B, s f_t / f_y = 1,08 a ε_u = 5 %) je znázorněno na Obr. 22c-d.