3.1 Stări limită și calculul lățimii fisurilor

Calculul deschiderii fisurilor

Există două moduri de calcul al deschiderii fisurilor - fisurare stabilizată și nestabilizată. În funcție de raportul geometric de armare din fiecare parte a structurii, se decide ce tip de model de calcul al fisurilor va fi utilizat (TCM pentru fisurarea stabilizată și POM pentru modelul de fisurare nestabilizată).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Calculul deschiderii fisurilor: (a) cinematica fisurii considerată; (b) proiecția cinematicii fisurii pe direcțiile}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{principale ale barei de armătură; (c) deschiderea fisurii pe direcția barei de armătură pentru fisurarea stabilizată; (d) cazuri cu}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{fisurare locală nestabilizată indiferent de cantitatea de armătură; (e) deschiderea fisurii pe direcția barei de armătură}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{pentru fisurarea nestabilizată.}}}$

În timp ce CSFM oferă un rezultat direct pentru majoritatea verificărilor (de exemplu, capacitatea elementului, săgețile...), rezultatele privind deschiderea fisurilor sunt calculate pe baza rezultatelor deformației armăturii furnizate direct de analiza cu elemente finite, conform metodologiei descrise în Fig. 20. Se consideră o cinematică a fisurii fără alunecare (deschidere pură a fisurii) (Fig. 20a), ceea ce este consistent cu ipotezele principale ale modelului. Direcțiile principale ale tensiunilor și deformațiilor definesc înclinarea fisurilor (θ_r = θ_s= θ_e). Conform (Fig. 20b), deschiderea fisurii (w) poate fi proiectată pe direcția barei de armătură (w_b), rezultând:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

unde θ_b este înclinarea barei.

Vă rugăm să rețineți că programul afișează valorile θ_r și θ_b < π/2. Aceasta înseamnă că ecuația precedentă funcționează pentru cazurile în care armătura și fisura trec prin cadrane diferite ale sistemului de coordonate cartezian, așa cum se arată în Fig. 20, unde armătura trece prin cadranele I și III, iar fisura prin cadranele II și IV. Pentru cazurile în care armătura și fisura trec prin aceleași cadrane, ecuația trebuie modificată după cum urmează:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Componenta w_b este calculată consecvent pe baza modelelor de participare a betonului întins prin integrarea deformațiilor armăturii. Pentru zonele cu tipare de fisurare complet dezvoltate, deformațiile medii calculate (e_m) de-a lungul barelor de armătură sunt integrate direct de-a lungul distanței dintre fisuri (s_r), conform indicației din (Fig. 20c). Deși această abordare de calcul al direcțiilor fisurilor nu corespunde poziției reale a fisurilor, ea oferă totuși valori reprezentative care conduc la rezultate ale deschiderii fisurilor ce pot fi comparate cu valorile de deschidere a fisurilor impuse de cod la poziția barei de armătură.

Situații speciale sunt observate la colțurile concave ale structurii calculate. În acest caz, colțul predefinește poziția unei singure fisuri care se comportă în mod nestabilizat înainte ca fisuri adiacente suplimentare să se dezvolte. Aceste fisuri suplimentare se dezvoltă în general după depășirea domeniului de exploatare (Mata-Falcón 2015), ceea ce justifică calcularea deschiderii fisurilor în această zonă ca și cum ar fi nestabilizate (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definirea zonei la colțurile concave în care deschiderea fisurii este calculată ca și cum ar fi nestabilizată.}}}$$

Participarea betonului întins

Implementarea participării betonului întins face distincția între cazurile de tipare de fisurare stabilizate și nestabilizate. În ambele cazuri, betonul este considerat complet fisurat înainte de încărcare, în mod implicit.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Modelul de participare a betonului întins: (a) element de tip tirant de întindere pentru fisurarea stabilizată cu distribuția forfecării de aderență,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tensiunilor din oțel și beton, și deformațiilor din oțel între fisuri, luând în considerare distanța medie dintre fisuri); (b) ipoteza de smulgere}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{pentru fisurarea nestabilizată cu distribuția forfecării de aderență și tensiunilor și deformațiilor din oțel în jurul fisurii; (c) comportamentul}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{rezultat al tirantului de întindere în termeni de tensiuni ale armăturii la fisuri și deformații medii pentru oțelul european B500B;}}}$ undefined

Fisurare stabilizată

În tiparele de fisurare complet dezvoltate, participarea betonului întins este introdusă utilizând Modelul Tirantului de Întindere (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – care s-a dovedit că oferă predicții excelente ale răspunsului în ciuda simplității sale (Burns 2012). TCM presupune o relație în trepte, rigid-perfect plastică între tensiunea de forfecare de aderență și alunecare, cu τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pentru σ_s ≤ f_y și τ_b =τ_b1 = f_ctm pentru σ_s > f_y. Tratând fiecare bară de armătură ca un tirant de întindere ­– Fig. 22b și Fig. 22a – distribuția forfecării de aderență, a tensiunilor din oțel și beton și, prin urmare, distribuția deformațiilor între două fisuri poate fi determinată pentru orice valoare dată a tensiunilor (sau deformațiilor) maxime din oțel la fisuri.

Pentru s_r = s_r0, o nouă fisură se poate forma sau nu, deoarece la centrul dintre două fisuri σ_c1 = f_ct. În consecință, distanța dintre fisuri poate varia cu un factor de doi, adică s_r = λs_r0, cu l = 0.5…1.0. Presupunând o anumită valoare pentru λ, deformația medie a tirantului (ε_m) poate fi exprimată ca funcție de tensiunile maxime din armătură (adică tensiunile la fisuri, σ_sr). Pentru diagrama biliniară idealizată efort-deformație pentru barele de armătură neaderente considerată implicit în CSFM, se obțin următoarele expresii analitice sub formă închisă (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{pentru}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{pentru}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{pentru}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

unde:
E_sh           modulul de ecruisare al oțelului E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modulul de elasticitate al armăturii,

Ø            diametrul barei de armătură,

s_r                distanța dintre fisuri,

σ_sr           tensiunile din armătură la fisuri,

σ_s            tensiunile efective din armătură,

f_y                limita de curgere a armăturii.

Implementarea IDEA StatiCa Detail a CSFM ia în considerare implicit distanța medie dintre fisuri atunci când efectuează analiza câmpului de tensiuni asistată de calculator. Distanța medie dintre fisuri este considerată a fi 2/3 din distanța maximă dintre fisuri (λ = 0.67), ceea ce urmează recomandările făcute pe baza testelor de încovoiere și întindere (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Trebuie remarcat faptul că, pentru calculul deschiderii fisurilor, se consideră o distanță maximă între fisuri (λ = 1.0) pentru a obține valori conservative.

Aplicarea TCM depinde de raportul de armare, deci alocarea unei arii de beton adecvate care acționează în întindere între fisuri pentru fiecare bară de armătură este crucială. A fost dezvoltată o procedură numerică automată pentru a defini raportul de armare efectiv corespunzător (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pentru orice configurație, inclusiv armătură înclinată (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Aria efectivă de beton întins pentru fisurarea stabilizată: (a) aria maximă de beton care poate fi activată;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) acoperirea cu beton și condiția de simetrie globală; (c) aria efectivă rezultantă.}}}$

Fisurare nestabilizată

Fisurile existente în zonele cu rapoarte geometrice de armare mai mici decât ρ_cr, adică cantitatea minimă de armătură pentru care armătura este capabilă să preia încărcarea de fisurare fără a curge, sunt generate fie de acțiuni non-mecanice (de exemplu, contracția), fie de propagarea fisurilor controlată de altă armătură. Valoarea acestei armături minime se obține astfel:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

unde:

f_y              limita de curgere a armăturii,

f_ct             rezistența la întindere a betonului,

n              raportul modular, n = E_s / E_c .

Pentru betonul convențional și oțelul de armătură, ρ_cr este de aproximativ 0,6%.

Pentru etrieri cu rapoarte de armare sub ρ_cr, fisurarea este considerată nestabilizată, iar participarea betonului întins este implementată prin intermediul Modelului de Smulgere (POM) descris în Fig. 22b. Acest model analizează comportamentul unei fisuri unice, considerând absența interacțiunii mecanice între fisuri separate, neglijând deformabilitatea betonului întins și presupunând aceeași relație în trepte, rigid-perfect plastică, între tensiunea de forfecare de aderență și alunecare, utilizată de TCM. Aceasta permite obținerea distribuției deformației armăturii (ε_s) în vecinătatea fisurii pentru orice tensiune maximă din oțel la fisură (σ_sr) direct din echilibru. Având în vedere faptul că distanța dintre fisuri este necunoscută pentru un tipar de fisurare nedezvoltat complet, deformația medie (ε_m) este calculată pentru orice nivel de încărcare pe distanța dintre punctele cu alunecare zero, atunci când bara de armătură atinge rezistența sa la întindere (f_t) la fisură (l_ε,avg în Fig. 22b), rezultând următoarele relații:

Modelele propuse permit calcularea comportamentului armăturii aderente, care este în final luat în considerare în analiză. Acest comportament (inclusiv participarea betonului întins) pentru cel mai comun oțel european de armătură (B500B, cu f_t / f_y = 1,08 și ε_u = 5%) este ilustrat în Fig. 22c-d.