Ohyb

Metody posouzení únosnosti průřezu

Pro posouzení mezního stavu únosnosti 1D betonových prvků lze použít dvě známé metody. První z nich určuje únosnost průřezu ve formě interakční plochy nebo interakčního diagramu (v případě ohybového momentu v jednom směru). Únosnost průřezu lze určit jako poměr působících vnitřních sil k silám na mezním stavu. Druhá metoda spočívá v nalezení rovnováhy v průřezu, při které sledujeme skutečné chování zatíženého průřezu, využití materiálů z hlediska napětí a slabá místa průřezu.

Obecné předpoklady návrhu a výpočtu pro mezní stav únosnosti 

1. Přetvoření ε ve vyztužení a v betonu se předpokládá přímo úměrné vzdálenosti od neutrální osy (průřezy zůstávají rovinné).
2. Spolupůsobení vyztužení a betonu je zajištěno bez prokluzu (přetvoření ε ve vyztužení a v přilehlých vláknech betonu je stejné).
3. Tahová pevnost betonu se zanedbává (veškerá tahová napětí přenáší vyztužení).
4. Tlaková napětí v betonu v tlačené zóně se určují z přetvoření pomocí diagramů napětí-přetvoření.
5. Napětí ve vyztužení se určují z přetvoření pomocí diagramů napětí-přetvoření.
6. Tlakové přetvoření betonu je omezeno mezním přetvořením ε_cu2 (parabolicko-rektangulární diagram pro beton v tlaku) a ε_cu3 (bilineární vztah napětí-přetvoření), [2].
7. Tlakové přetvoření vyztužení není omezeno v případě vodorovné plastické horní větve; v případě šikmé plastické horní větve je přetvoření omezeno hodnotou ε_ud,[2].
8. Mezní stav nastává, když stav alespoň jednoho z materiálů překročí mezní přetvoření (pokud εu není omezeno, rozhoduje tlačený beton).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}$$

Interakční diagram

První možností je posouzení průřezu pomocí interakční plochy (nebo interakčního diagramu). Vysvětlení je uvedeno na příkladu interakčních ploch pro vyztužený čtvercový průřez z obrázku níže. Na interakční ploše se nacházejí body definující mezní stav únosnosti posuzovaného průřezu. Interakční plocha je vykreslena z bodů (N, My, Mz), které se určují integrací napětí v průřezu, v němž bylo dosaženo mezního přetvoření v jednom z materiálů. U 3D  interakce lze plochu odvodit z 2D interakčního diagramu, což je uzavřená křivka, která odpovídá napjatosti při plynule natáčené neutrální ose.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}$$

Pro průřez symetrický podle osy y je interakční diagram symetrický podle roviny N-M_y. Stejně tak pro průřez symetrický podle osy z je interakční diagram symetrický podle roviny N-M_z. Jednostranně vyztužený průřez vede k zploštělému tvaru interakčního diagramu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}$$

Body definující mezní stav únosnosti se získají integrací napětí.  Obrázek níže znázorňuje přetvoření na mezním stavu únosnosti.

Rozdělení přetvoření na mezním stavu únosnosti (převzato z [2]).

Interakční diagram znázorňuje porušení průřezu při působení normálové síly a ohybových momentů. [1]

Při řešení 2D diagramu (uzavřené křivky ležící na interakční ploše) lze zjistit, že rovina přetvoření prochází neutrální osou a kritickým bodem [y, z, ε], který označujeme jako kritický bod R.  Bod [y, z] definuje bod v průřezu s hodnotou přetvoření ε na mezním stavu únosnosti. Sklon neutrální osy je pro všechny body 2D diagramu konstantní.

Pokud je pro návrh rozhodující tlakové napětí v betonu, bod R odpovídá nejvíce tlačenému vláknu betonu nebo limitnímu bodu C. Toto však lze použít pouze tehdy, je-li průřez vyroben z jednoho typu betonu - tedy nejde-li o smíšený průřez.   

Pokud je pro návrh rozhodující tahové napětí ve vyztužení (na mezním stavu únosnosti je u jedné nebo více výztužných vložek překročeno přetvoření ε_ud), musí být pro danou rovinu přetvoření splněna podmínka, že hodnota ε_ud není překročena u žádné jiné výztužné vložky.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}$$

Obrázek výše ukazuje, že diagram lze rozdělit na dvě části: část, kde je porušení způsobeno tahovou silou, a část, která se porušuje tlakovou silou. Limitní body odpovídají případu uvedenému výše, kde je patrný také extrémní sklon roviny přetvoření. Při vykreslování interakčního diagramu se sklon roviny přetvoření průřezu mění v tomto intervalu, přičemž hledáme bod R (viz výše). Na základě takto definované roviny provedeme integraci a získáme napětí na mezním stavu únosnosti.

Posouzení průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem

Posouzení průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem spočívá v prokázání, že posuzovaná namáhání (kombinace N_d, M_yd, M_zd) leží uvnitř interakční plochy nebo na ní. Lze to provést různými metodami. Následující příklad ukazuje posouzení obdélníkového průřezu namáhaného silami N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Metoda NuMuMu

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme proporcionální změny všech složek vnitřních sil (výstřednost normálové síly zůstává konstantní), dokud není dosaženo interakční plochy. Změnu uvažovaných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb po přímce spojující počátek souřadného systému (0,0,0) a bod definovaný vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program určí tři síly na mezním stavu: návrhovou únosnost v normálové síle N_Rd a odpovídající návrhové momenty únosnosti M_Rdy, M_Rdz.

Metoda  NuMM

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme konstantní normálovou sílu (která se rovná působící návrhové normálové síle) a proporcionální změny ohybových momentů, dokud není dosaženo interakční plochy. Změnu uvažovaných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb ve vodorovné rovině po přímce spojující bod (N_Ed,0,0) a  bod definovaný působícími vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program určí tři síly na mezním stavu: návrhové momenty únosnosti M_Rdy, M_Rdz a (odpovídající) působící návrhovou normálovou sílu N_Ed.

Metoda  NMuMu

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme konstantní normálovou sílu (která se rovná působící návrhové normálové síle) a proporcionální změny ohybových momentů, dokud není dosaženo interakční plochy. Změnu uvažovaných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb ve vodorovné rovině po přímce spojující bod (N_Ed,0,0) a bod definovaný působícími vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program určí tři síly na mezním stavu: návrhové momenty únosnosti M_Rdy, M_Rdz, a (odpovídající) působící návrhovou normálovou sílu N_Ed.

Nalezení odezvy průřezu

Další možností posouzení průřezu je nalezení odezvy průřezu (tj. rozdělení přetvoření a napětí od působících vnitřních sil). Tato metoda je také známá jako metoda mezního přetvoření. Velikost působících napětí v každém vlákně (v případě rovinného ohybu v každé vrstvě) a v každém výztužném prutu se vypočítá v závislosti na přetvoření z diagramu napětí-přetvoření daného materiálu.
Odezva průřezu se vypočítá pomocí numerické metody uvedené v [6]. Princip spočívá v postupném přírůstku zatížení průřezu o nevyrovnané složky nepřenesených sil. Ty se získají integrací napětí po průřezu pomocí diagramů napětí-přetvoření. Pokud lze pro dané přetvoření v diagramu napětí-přetvoření nalézt hodnotu napětí, viz obrázek níže (a), je vypočtené napětí správné za předpokladu lineárně pružného materiálu. V případech (b) a(c) dosahuje napětí při lineárním výpočtu nereálných hodnot a část (b) nebo celou hodnotu (c) materiál nemůže přenést. Integrací nepřenesených napětí získáme nepřenesené vnitřní síly a jejich výslednice se musí přičíst k vnitřním silám od proměnných zatížení. 

Nepřenesená napětí v diagramech napětí-přetvoření. [4]

Nepřenesené vnitřní síly. [4]

Tato výpočetní metoda vyžaduje použití numerických metod pro integraci napětí po ploše průřezu a pro nelineární řešení rovnic rovnováhy v průřezu. Iterace se ukončí ve chvíli, kdy jsou splněna konvergenční kritéria.

$$\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}$$

kde 

F_e je zatížení průřezu,

F_i je odezva průřezu (vnitřní síly vypočtené na základě roviny přetvoření).

Je-li a přibližná (aproximovaná) hodnota a b přesná (skutečná) hodnota, pak je absolutní odchylka dána následující rovnicí.

$$e = \left| {b - a} \right|$$

Relativní odchylka je dána následujícím vztahem:

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|$$

Ve většině programů lze tato konvergenční kritéria nastavit (výchozí hodnoty jsou 1 % jako relativní chyba, 100 N, 100 Nm jako absolutní chyba normálové síly a momentů). 

Pokud tedy máme na vstupu N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm a integrované síly po iteraci N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, vyhodnocení bude následující. Vzhledem k tomu, že N a Mz jsou rovny 0, lze provést porovnání s absolutní odchylkou:

Hodnota normálové síly 100N> | 70 | N
Hodnota ohybového momentu Mz 100Nm> | 20 | Nm
Hodnota ohybového momentu My

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01$$

Posouzení průřezu podle odezvy

V případě nalezení rovnováhy v průřezu je známa rovina přetvoření. Z roviny přetvoření lze vypočítat přetvoření v libovolném místě průřezu, poté napětí nebo vnitřní síly ve výztužných prutech, v průřezu nebo jeho částech pomocí diagramů napětí-přetvoření materiálů. Vypočtené hodnoty napětí a přetvoření porovnáme s mezní hodnotou přetvoření z diagramů napětí-přetvoření použitých materiálů.
Výhodou této metody je, že získáme úplný obraz hodnot napětí a přetvoření v průřezu od vnitřních sil působících na průřez.