Buiging

Methoden voor de toetsing van de doorsnedecapaciteit

Voor de toetsing van de uiterste grenstoestand van 1D-betonstaven zijn twee bekende methoden beschikbaar. De eerste methode levert de uiterste doorsnedeweerstand in de vorm van een interactieoppervlak of een interactiediagram (bij een buigend moment in één richting). De doorsnedecapaciteit kan worden bepaald als de verhouding tussen de werkende snedekrachten en de krachten in de grenstoestand. De tweede methode zoekt het evenwicht in een doorsnede, waarbij we kijken naar het werkelijke gedrag van de belaste doorsnede, het materiaalgebruik in termen van spanningen en inzicht in de zwakke punten van de doorsnede.

Algemene ontwerp- en rekenaannamen voor de uiterste grenstoestand 

1. De rek ε in de wapening en het beton wordt verondersteld recht evenredig te zijn met de afstand tot de neutrale lijn (vlakke doorsneden blijven vlak).
2. De samenwerking tussen wapening en beton is gewaarborgd door samenwerking van beton en wapening zonder slip (de rek ε in de wapening en in de aangrenzende vezels van het beton is gelijk).
3. De treksterkte van beton wordt verwaarloosd (alle trekspanningen worden door de wapening opgenomen).
4. De drukspanningen in het beton in de drukzone worden berekend uit de rek met behulp van spanning-rekdiagrammen.
5. De spanningen in de wapening worden berekend uit de rek met behulp van spanning-rekdiagrammen.
6. De betonrek bij druk is begrensd door de uiterste rek ε_cu2 (parabool-rechthoekdiagram voor beton onder druk) en ε_cu3 (bilineaire spanning-rekrelatie), [2].
7. De rek van de wapening bij druk is niet begrensd bij een horizontale plastische tak; bij een hellende plastische tak is de rek begrensd tot ε_ud,[2].
8. Er is sprake van een grenstoestand wanneer ten minste één van de materialen de uiterste grensrek overschrijdt (als εu niet is begrensd, is het beton onder druk maatgevend).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}$$

Interactiediagram

De eerste mogelijkheid is om de doorsnede te toetsen met een interactieoppervlak (of interactiediagram). De toelichting is gebaseerd op een voorbeeld van de interactieoppervlakken voor de gewapende vierkante doorsnede uit het voorbeeld in onderstaande figuur. Op het interactieoppervlak liggen punten die de uiterste grenstoestand van de beschouwde doorsnede definiëren. Het interactieoppervlak wordt getekend op basis van de punten (N, My, Mz), die worden bepaald door spanningsintegratie over de doorsnede, waarin in een van de materialen de uiterste grensrek is bereikt. Voor een 3D- interactie kan het oppervlak worden afgeleid uit een 2D- interactiediagram, dat een gesloten curve is die overeenkomt met de spanningstoestand bij een stapsgewijs gedraaide neutrale lijn.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}$$

Bij een doorsnede die symmetrisch is om de y-as, is het interactiediagram symmetrisch rond het vlak N-M_y. Op dezelfde wijze is bij een doorsnede die symmetrisch is om de z-as het interactiediagram symmetrisch rond het vlak N-M_z. Een eenzijdig gewapende doorsnede geeft een afgeplatte vorm van het interactiediagram

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}$$

De punten die de uiterste grenstoestand definiëren, worden verkregen door spanningsintegratie.  De onderstaande figuur toont de rek in de uiterste grenstoestand.

Rekverdelingen in de uiterste grenstoestand (overgenomen uit [2]).

Het interactiediagram toont het bezwijken van de doorsnede onder normaalkracht en buigende momenten. [1]

Bij beschouwing van het 2D-diagram (gesloten curve op het interactieoppervlak) kunnen we vaststellen dat het rekvlak door de neutrale lijn en het kritieke punt [y, z, ε] gaat, dat wordt beschouwd als kritiek punt R.  Punt [y, z] definieert een punt in de doorsnede met de rekwaarde ε in de uiterste grenstoestand. De helling van de neutrale lijn is constant voor alle punten van het 2D-diagram.

Wanneer de drukspanning in het beton maatgevend is voor het ontwerp, valt punt R samen met de meest gedrukte betonvezel of met het begrenzende punt C. Dit is echter alleen van toepassing als de doorsnede uit één type beton bestaat - dus niet bij een gemengde doorsnede.   

Wanneer de trekspanning in de wapening maatgevend is voor het ontwerp (de rek ε_ud wordt in de uiterste grenstoestand overschreden voor een of meer staven), moet worden voldaan aan de voorwaarde dat voor het gegeven rekvlak de waarde ε_ud in geen enkele andere staaf wordt overschreden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}$$

De bovenstaande afbeelding laat zien dat het diagram in twee delen kan worden verdeeld: het deel waarin het bezwijken wordt veroorzaakt door een trek kracht en het deel dat bezwijkt door een druk kracht. De grenspunten komen overeen met de situatie hierboven, waarin ook de uiterste helling van het rekvlak te zien is. Bij het tekenen van een interactie diagram varieert de helling van het rekvlak van een doorsnede binnen dit interval, terwijl we zoeken naar het punt R (zie hierboven). Op basis van het zo gedefinieerde vlak voeren we de integratie uit om de spanning in de uiterste grenstoestand te bepalen.

Toetsing van een doorsnede onder normaalkracht en buigend moment

De toetsing van een doorsnede onder normaalkracht en buigend moment bestaat uit het aantonen dat de te toetsen snedekrachten (combinatie N_d, M_yd, M_zd) binnen of op het interactieoppervlak liggen. Dit kan met verschillende methoden. Het volgende voorbeeld toont de toetsing van een rechthoekige doorsnede onder de krachten N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Methode NuMuMu

Om de weerstand van een doorsnede te bepalen nemen we evenredige wijzigingen aan in alle componenten van de snedekrachten (de excentriciteit van de normaalkracht blijft constant) totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken snedekrachten kan worden opgevat als een beweging langs een lijn die het oorsprongspunt van het coördinatenstelsel (0,0,0) verbindt met het punt dat wordt gedefinieerd door de snedekrachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee stelsels van krachten in de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten in de grenstoestand: de rekenwaarde van de normaalkrachtweerstand N_Rd en de bijbehorende rekenwaarden van de momentweerstand M_Rdy, M_Rdz.

Methode  NuMM

Om de weerstand van de doorsnede te bepalen nemen we een constante normaalkracht aan (gelijk aan de werkende rekenwaarde van de normaalkracht) en evenredige wijzigingen in de buigende momenten totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken snedekrachten kan worden opgevat als een beweging in een horizontaal vlak langs de lijn die het punt (N_Ed,0,0) verbindt met het  punt dat wordt gedefinieerd door de werkende snedekrachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee stelsels van krachten in de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten in de grenstoestand: de rekenwaarden van de momentweerstand M_Rdy, M_Rdz en de (bijbehorende) werkende rekenwaarde van de normaalkracht N_Ed.

Methode  NMuMu

Om de weerstand van de doorsnede te bepalen nemen we een constante normaalkracht aan (gelijk aan de werkende rekenwaarde van de normaalkracht) en evenredige wijzigingen in de buigende momenten totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken snedekrachten kan worden opgevat als een beweging in een horizontaal vlak langs de lijn die het punt (N_Ed,0,0) verbindt met het punt dat wordt gedefinieerd door de werkende snedekrachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee stelsels van krachten in de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten in de grenstoestand: de rekenwaarden van de momentweerstand M_Rdy, M_Rdz, en de (bijbehorende) werkende rekenwaarde van de normaalkracht N_Ed.

Het bepalen van de doorsnederespons

Een andere mogelijkheid om de doorsnede te toetsen is het bepalen van de doorsnederespons (d.w.z. de verdeling van rek en spanning als gevolg van de werkende snedekrachten). Deze methode staat ook bekend als de methode van de grensvervorming. Het niveau van de werkende spanningen in elke vezel (bij vlakke buiging in elke laag) en in elke wapeningsstaaf wordt berekend op basis van de rek volgens het spanning-rekdiagram van het materiaal.
Het bepalen van de doorsnederespons gebeurt met de numerieke methode uit [6]. Het principe bestaat uit het stapsgewijs ophogen van de belasting op de doorsnede met de onevenwichtige componenten van niet-overgedragen krachten. Deze worden verkregen door de spanning over de doorsnede te integreren met behulp van spanning-rekdiagrammen. Als de spanningswaarde kan worden gevonden voor de rek in het spanning-rekdiagram, zie onderstaande figuur (a), is de berekende spanning correct uitgaande van lineair elastisch materiaal. In de gevallen (b) en (c) bereikt de spanning bij een lineaire berekening onrealistische waarden, en kan een deel (b) of de volledige waarde (c) niet door het materiaal worden overgedragen. Door de niet-overgedragen spanningen te integreren krijgen we niet-overgedragen snedekrachten, en de resultanten daarvan moeten worden toegevoegd aan de snedekrachten van de veranderlijke belastingen. 

Niet-overgedragen spanningen in spanning-rekdiagrammen. [4]

Niet-overgedragen inwendige krachten. [4]

Deze rekenmethode vereist het gebruik van numerieke methoden voor het integreren van de spanning over het doorsnedeoppervlak en voor de niet-lineaire analyse van evenwichtsvergelijkingen in de doorsnede. De iteratie wordt beëindigd op het moment dat aan de convergentiecriteria is voldaan.

$$\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}$$

waarin 

F_e de belasting op de doorsnede is,

F_i de doorsnederespons is (snedekrachten berekend op basis van het rekvlak).

Als a de benaderde waarde is en b de exacte (werkelijke) waarde, dan wordt de absolute afwijking gegeven door de volgende vergelijking.

$$e = \left| {b - a} \right|$$

De relatieve afwijking wordt gegeven door de volgende formule:

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|$$

In de meeste programma's kunt u deze convergentiecriteria instellen (de standaardwaarden zijn 1% als relatieve fout, 100 N, 100 Nm als absolute fout van de normaalkracht en de momenten). 

Als we dus als invoer N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm hebben en de geïntegreerde krachten na iteratie N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, is de beoordeling als volgt. Omdat N en Mz gelijk zijn aan 0, kan een vergelijking met de absolute afwijking worden gemaakt:

De waarde van de normaalkracht 100N> | 70 | N
De waarde van het buigend moment Mz 100Nm> | 20 | Nm
De waarde van het buigend moment My

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01$$

Toetsing van de doorsnede op basis van de respons

Bij het bepalen van het evenwicht in de doorsnede is het rekvlak bekend. Uit het rekvlak kunnen we de rek op elke plaats in de doorsnede berekenen, en vervolgens de spanning of de inwendige krachten in wapeningsstaven, in de doorsnede of in delen daarvan met behulp van spanning-rekdiagrammen van de materialen. De berekende spanningen en rekwaarden vergelijken we met de grensrek uit de spanning-rekdiagrammen van de toegepaste materialen.
Het voordeel van deze methode is dat we een volledig beeld krijgen van de spannings- en rekwaarden in de doorsnede onder de snedekrachten die op de doorsnede werken.