Biegung

Methoden zum Nachweis der Querschnittstragfähigkeit

Zur Überprüfung des Grenzzustands der Tragfähigkeit von 1D-Betonbauteilen können zwei bekannte Methoden verwendet werden. Die erste liefert die Querschnittstragfähigkeit in Form einer Interaktionsfläche oder eines Interaktionsdiagramms (bei Biegemoment in einer Richtung). Die Querschnittsauslastung kann als Verhältnis der einwirkenden Schnittgrößen zu den Schnittgrößen im Grenzzustand bestimmt werden. Die zweite Methode ermittelt das Gleichgewicht im Querschnitt. Dabei untersuchen wir das tatsächliche Verhalten des belasteten Querschnitts, die Materialausnutzung hinsichtlich der Spannungen und die Schwachstellen des Querschnitts.

Allgemeine Bemessungsannahmen und Berechnungsannahmen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit 

1. Die Dehnung ε in der Bewehrung und im Beton ist als direkt proportional zum Abstand von der Nulllinie anzunehmen (ebene Querschnitte bleiben eben).
2. Das Zusammenwirken von Bewehrung und Beton wird durch starren Verbund ohne Schlupf sichergestellt (die Dehnung ε der Bewehrung und die Dehnung in den benachbarten Betonfasern sind gleich).
3. Die Zugfestigkeit des Betons wird vernachlässigt (alle Zugspannungen werden von der Bewehrung aufgenommen).
4. Die Betondruckspannungen in der Druckzone werden in Abhängigkeit von der Dehnung anhand der Spannung-Dehnung-Diagramme berechnet.
5. Die Spannungen in der Bewehrung werden in Abhängigkeit von der Dehnung anhand der Spannung-Dehnung-Diagramme berechnet.
6. Die Betondruckdehnung ist durch die Grenzdehnung ε_cu2 (Parabel-Rechteck-Diagramm für Beton unter Druck) und ε_cu3 (bilineare Spannung-Dehnung-Beziehung) begrenzt, [2].
7. Die Druckdehnung der Bewehrung ist bei horizontalem plastischem oberem Ast nicht begrenzt; bei geneigtem plastischem oberem Ast ist die Dehnung auf ε_ud begrenzt,[2].
8. Ein Grenzzustand liegt vor, wenn der Zustand mindestens eines der Materialien die Grenzdehnung überschreitet (wenn εu nicht begrenzt ist, ist der gedrückte Beton maßgebend).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}$$

Interaktionsdiagramm

Die erste Möglichkeit besteht darin, den Querschnitt mithilfe einer Interaktionsfläche (oder eines Interaktionsdiagramms) nachzuweisen. Die Erläuterung erfolgt am Beispiel der Interaktionsflächen für den bewehrten quadratischen Querschnitt aus der folgenden Abbildung. Auf der Interaktionsfläche liegen Punkte, die den Grenzzustand der Tragfähigkeit des untersuchten Querschnitts definieren. Die Interaktionsfläche wird aus den Punkten (N, My, Mz) gezeichnet, die durch Spannungsintegration im Querschnitt bestimmt werden, in dem in einem der Materialien die Grenzdehnung erreicht wurde. Bei einer 3D-Interaktion lässt sich die Fläche aus einem 2D-Interaktionsdiagramm ableiten. Dieses ist eine geschlossene Kurve und entspricht dem Spannungszustand bei stetig gedrehter Nulllinie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}$$

Bei einem zur y-Achse symmetrischen Querschnitt ist das Interaktionsdiagramm symmetrisch zur Ebene N-M_y. Entsprechend ist bei einem zur z-Achse symmetrischen Querschnitt das Interaktionsdiagramm symmetrisch zur Ebene N-M_z. Ein einseitig bewehrter Querschnitt führt zu einer abgeflachten Form des Interaktionsdiagramms

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}$$

Die Punkte, die den Grenzzustand der Tragfähigkeit definieren, ergeben sich aus der Spannungsintegration.  Die folgende Abbildung zeigt die Dehnung im Grenzzustand der Tragfähigkeit.

Dehnungsverteilungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (entnommen aus [2]).

Das Interaktionsdiagramm zeigt das Versagen des Querschnitts unter Normalkraft und Biegemomenten. [1]

Betrachtet man das 2D-Diagramm (geschlossene Kurve auf der Interaktionsfläche), zeigt sich, dass die Dehnungsebene durch die Nulllinie und den maßgebenden Punkt [y, z, ε] verläuft, der als maßgebender Punkt R bezeichnet wird.  Der Punkt [y, z] definiert einen Punkt im Querschnitt mit dem Dehnungswert ε im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Die Neigung der Nulllinie ist für alle Punkte des 2D-Diagramms konstant.

Ist die Druckspannung im Beton für die Bemessung maßgebend, fällt der Punkt R mit der am stärksten gedrückten Betonfaser oder mit dem Grenzpunkt C zusammen. Dies gilt jedoch nur, wenn der Querschnitt aus einer Betonsorte besteht, also nicht bei einem gemischten Querschnitt.   

Ist die Zugspannung in der Bewehrung für die Bemessung maßgebend (die Dehnung ε_ud wird im Grenzzustand der Tragfähigkeit bei einem oder mehreren Stäben überschritten), muss die Bedingung erfüllt sein, dass für die gegebene Dehnungsebene der Wert ε_ud bei keinem anderen Stab überschritten wird.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}$$

Die Abbildung oben zeigt, dass sich das Diagramm in zwei Bereiche unterteilen lässt: den Bereich, in dem das Versagen durch eine Zugkraft verursacht wird, und den Bereich, in dem es durch eine Druckkraft eintritt. Die Grenzpunkte entsprechen dem oben beschriebenen Fall, in dem auch die extreme Neigung der Dehnungsebene zu erkennen ist. Beim Zeichnen eines Interaktionsdiagramms ändert sich die Neigung der Dehnungsebene des Querschnitts innerhalb dieses Intervalls, während wir den Punkt R suchen (siehe oben). Anhand der so definierten Ebene führen wir die Integration durch, um die Spannung im Grenzzustand der Tragfähigkeit zu erhalten.

Nachweis eines Querschnitts unter Normalkraft und Biegemoment

Der Nachweis eines Querschnitts unter Normalkraft und Biegemoment besteht darin, zu zeigen, dass die nachzuweisenden Beanspruchungen (Kombination N_d, M_yd, M_zd) innerhalb der Interaktionsfläche oder auf ihr liegen. Dies kann mit verschiedenen Methoden erfolgen. Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis eines Rechteckquerschnitts unter den Schnittgrößen N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Methode NuMuMu

Zur Bestimmung des Querschnittswiderstands nehmen wir proportionale Änderungen aller Schnittgrößenkomponenten an (die Ausmitte der Normalkraft bleibt konstant), bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen lässt sich als Bewegung entlang einer Linie interpretieren, die den Ursprung des Koordinatensystems (0,0,0) mit dem durch die Schnittgrößen (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) definierten Punkt verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die ermittelt werden können, stellen zwei Schnittgrößensätze im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: den Bemessungswert des Normalkraftwiderstands N_Rd und die zugehörigen Bemessungswerte der Momententragfähigkeit M_Rdy, M_Rdz.

Methode  NuMM

Zur Bestimmung des Querschnittswiderstands nehmen wir eine konstante Normalkraft (gleich der einwirkenden Bemessungsnormalkraft) und proportionale Änderungen der Biegemomente an, bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen lässt sich als Bewegung in einer horizontalen Ebene entlang der Linie interpretieren, die den Punkt (N_Ed,0,0) mit dem durch die einwirkenden Schnittgrößen (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) definierten Punkt verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die ermittelt werden können, stellen zwei Schnittgrößensätze im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: die Bemessungswerte der Momententragfähigkeit M_Rdy, M_Rdz und die (zugehörige) einwirkende Bemessungsnormalkraft N_Ed.

Methode  NMuMu

Zur Bestimmung des Querschnittswiderstands nehmen wir eine konstante Normalkraft (gleich der einwirkenden Bemessungsnormalkraft) und proportionale Änderungen der Biegemomente an, bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen lässt sich als Bewegung in einer horizontalen Ebene entlang der Linie interpretieren, die den Punkt (N_Ed,0,0) mit dem durch die einwirkenden Schnittgrößen (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) definierten Punkt verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die ermittelt werden können, stellen zwei Schnittgrößensätze im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: die Bemessungswerte der Momententragfähigkeit M_Rdy, M_Rdz, und die (zugehörige) einwirkende Bemessungsnormalkraft N_Ed.

Ermittlung der Querschnittsantwort

Eine weitere Möglichkeit, den Querschnitt nachzuweisen, besteht darin, die Querschnittsantwort zu ermitteln (d. h. die Dehnungs- und Spannungsverteilung infolge der einwirkenden Schnittgrößen). Diese Methode ist auch als Methode der Grenzverformung bekannt. Die Höhe der einwirkenden Spannungen in jeder Faser (bei ebener Biegung in jeder Schicht) und in jedem Bewehrungsstab wird in Abhängigkeit von der Dehnung anhand des Spannung-Dehnung-Diagramms des Materials berechnet.
Die Ermittlung der Querschnittsantwort erfolgt mit dem in [6] angegebenen numerischen Verfahren. Das Prinzip besteht in der schrittweisen Laststeigerung des Querschnitts um die unausgeglichenen Anteile der nicht übertragenen Kräfte. Diese werden durch Integration der Spannung über den Querschnitt anhand der Spannung-Dehnung-Diagramme ermittelt. Kann der Spannungswert für die Dehnung im Spannung-Dehnung-Diagramm gefunden werden, siehe Abbildung unten (a), ist die berechnete Spannung bei linear-elastischem Material korrekt. In den Fällen (b) und (c) erreicht die Spannung bei einer linearen Berechnung unrealistische Werte, und ein Teil (b) oder der gesamte Wert (c) kann vom Material nicht übertragen werden. Durch Integration der nicht übertragenen Spannungen erhalten wir die nicht übertragenen Schnittgrößen, deren Resultierende zu den Schnittgrößen aus veränderlichen Lasten addiert werden müssen. 

Nicht übertragene Spannungen in Spannung-Dehnung-Diagrammen. [4]

Nicht übertragene innere Kräfte. [4]

Diese Berechnungsmethode erfordert den Einsatz numerischer Verfahren zur Integration der Spannung über die Querschnittsfläche und zur nichtlinearen Lösung der Gleichgewichtsgleichungen im Querschnitt. Die Iteration wird beendet, sobald die Konvergenzkriterien erfüllt sind.

$$\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}$$

Dabei ist 

F_e die Querschnittsbelastung,

F_i die Querschnittsantwort (auf Grundlage der Dehnungsebene berechnete Schnittgrößen).

Ist a der Näherungswert (angenäherte Wert) und b der exakte (wahre) Wert, ergibt sich die absolute Abweichung aus der folgenden Gleichung.

$$e = \left| {b - a} \right|$$

Die relative Abweichung ergibt sich aus der folgenden Formel:

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|$$

In den meisten Programmen lassen sich diese Konvergenzkriterien einstellen (Standardwerte sind 1 % als relativer Fehler sowie 100 N und 100 Nm als absoluter Fehler der Normalkraft und der Momente). 

Wenn also die Eingabe N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm lautet und die integrierten Schnittgrößen nach der Iteration N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm betragen, erfolgt die Bewertung wie folgt. Da N und Mz gleich 0 sind, kann ein Vergleich mit der absoluten Abweichung erfolgen:

Der Wert der Normalkraft 100N> | 70 | N
Der Wert des Biegemoments Mz 100Nm> | 20 | Nm
Der Wert des Biegemoments My

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01$$

Nachweis des Querschnitts anhand der Querschnittsantwort

Bei der Ermittlung des Gleichgewichts im Querschnitt ist die Dehnungsebene bekannt. Aus der Dehnungsebene können wir die Dehnung an jeder beliebigen Stelle im Querschnitt berechnen und daraus anhand der Spannung-Dehnung-Diagramme der Materialien die Spannung oder die Schnittgrößen in Bewehrungsstäben, im Querschnitt oder in dessen Teilen bestimmen. Die berechneten Spannungs- und Dehnungswerte vergleichen wir mit dem Grenzdehnungswert aus den Spannung-Dehnung-Diagrammen der verwendeten Materialien.
Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass wir ein vollständiges Bild der Spannungs- und Dehnungswerte im Querschnitt unter den einwirkenden Schnittgrößen erhalten.