Interakce

Interakce smykové síly a kroucení pro smykové vyztužení

Stanovení síly ve smykovém vyztužení od smykové síly. 

Výpočet vychází ze vztahu pro únosnost smykového vyztužení definovaného v EN 1992-1-1. Z rovnice 6.13 (kap. 6.2.3 (4)) lze odvodit únosnost jedné větve třmínku takto:

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . plocha průřezu jedné větve třmínku přenášející smyk v uvažovaném řezu

s .  .  .  .  . osová vzdálenost smykového vyztužení ve směru podélné osy prvku 

a_sw,V .  .  . plocha průřezu smykového vyztužení na jednotku délky

z .  .  .  .  . rameno vnitřních sil. Pro prvek s konstantní výškou odpovídá ohybovému momentu v posuzovaném prvku. Při smykovém posouzení železobetonu bez osové síly lze obvykle použít přibližnou hodnotu z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  návrhová mez kluzu smykového vyztužení

θ .  .  .  .  . úhel mezi tlakovou betonovou vzpěrou a osou prvku kolmou na smykovou sílu

α .  .  .  .  . úhel mezi smykovým vyztužením a osou prvku kolmou na smykovou sílu

β .  .  .  .  . sklon větve třmínku vzhledem k výslednici působící smykové síly

Smyková síla se rovnoměrně rozdělí mezi jednotlivé pruty vyztužení přenášející smyk. Rozdělení vychází ze sklonu vyztužení a osové tuhosti jednotlivých větví třmínků.

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

Dále lze odvodit průměrné přetvoření vyztužení ve směru výslednice smykové síly:

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

Skutečné přetvoření i-tého vyztužení lze vypočítat jako:

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

Napětí v dané větvi vyztužení:

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

Stanovení síly v jednotlivém třmínku od kroucení

Únosnost průřezu v kroucení lze vypočítat na základě uzavřeného tenkostěnného průřezu, v němž je rovnováha zajištěna uzavřeným smykovým tokem. Plné průřezy lze modelovat ekvivalentními tenkostěnnými průřezy. U neplných průřezů nesmí ekvivalentní tloušťka stěny překročit skutečnou tloušťku stěny.

Smykový tok ve stěnách uzavřeného tenkostěnného průřezu od kroucení lze vypočítat jako:

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

Smyková síla v konkrétní stěně je pak:

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . délka střednice uvažované stěny

Smyková síla ve stojině – délku střednice stojiny lze nahradit hodnotou ramene vnitřních sil „z“.

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

Síla ve třmíncích přenášejících kroucení na jeden metr délky prvku (na jednotku délky):

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

Rozklad sil pro jednotlivé třmínky

Pokud je pro všechny třmínky definován stejný materiál, je výsledné napětí od kroucení v každé větvi třmínku konstantní. Pak platí:

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

kde a_sw,T je celková plocha třmínků přenášejících kroucení na jednotku délky.

Pokud mají jednotlivé třmínky různé materiály, je nutné zohlednit osovou tuhost jednotlivých prutů.

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . počet větví vyztužení (skupin vyztužení) přenášejících kroucení

F_si,T .  .  . síla v i-té skupině vyztužení od kroucení na jednotku délky

a_si,T .  .  . plocha průřezu smykového vyztužení přenášejícího kroucení na jednotku délky 

E_si,T .  .  . Youngův modul pružnosti i-té skupiny vyztužení přenášejícího kroucení

ε_sw,T .  .  přetvoření ve vyztužení od kroucení

Výsledné napětí v každém třmínku od působícího kroucení se vypočítá jako:

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

Interakce V+T

Napětí ve třmíncích od smyku a kroucení se pak vypočítá jako součet napětí od jednotlivých složek zatížení.  

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

Výsledná síla v i-tém vyztužení:

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

Interakce smyku, kroucení a ohybu pro podélné vyztužení

Stanovení síly v jednotlivém podélném vyztužení od normálové síly a ohybového momentu

Aplikace RCS se používá k výpočtu odezvy průřezu na kombinaci normálové síly a ohybového momentu. Určuje se tak napětí a přetvoření v jednotlivých podélných prutech a předpínací výztuži.

Stanovení síly v jednotlivém podélném vyztužení od smykové síly

Přírůstek tahové síly v podélném vyztužení ΔF_td od smykové síly závisí na geometrii modelu vzpěra-táhlo. 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  přírůstek tahové síly v podélném vyztužení od smykové síly

V_ed .  .  .  . návrhová hodnota smykové síly působící v uvažovaném řezu

θ .  .  .  .  . úhel mezi tlakovou betonovou vzpěrou a osou prvku 

α .  .  .  .  . úhel mezi smykovým vyztužením a osou prvku

Pro podélné vyztužení umístěné v taženém pásu se výsledná síla F_t v podélném vyztužení od kombinace N+M+V uvažuje nejvýše M_Ed,max/z (kde M_Ed,max je maximální moment po délce nosníku).

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

Sílu ΔF_td přenášejí všechny kabely předpětí se soudržností a vyztužení umístěné v části průřezu, která přenáší smyk (u profilu I jde o stojinu). Na straně bezpečné lze příspěvek předpínací výztuže uvažovat jako nulový. Výpočet předpokládá, že přírůstek osového přetvoření jednotlivého podélného vyztužení přenášejícího smyk je konstantní (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Odvození platí pro bilineární pracovní diagram výztuže s vodorovnou plastickou větví. V případě diagramu s nakloněnou větví je nutné výpočet upravit.

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . přírůstek přetvoření vpodélném vyztužení od smykové síly

n_s,V .  .  .  . počet podélných prutů vyztužení přenášejících smykovou sílu

A_sl,i,V .  .  . plocha i-tého podélného vyztužení přenášejícího smykovou sílu

E_sl,i,V .  .  . Youngův modul pružnosti i-tého podélného vyztužení přenášejícího smykovou sílu

n_p,V .  .  .  . počet kabelů přenášejících smykovou sílu

A_pl,i,V .  .  . plocha i-tého kabelu přenášejícího smykovou sílu

E_pl,i,V .  .  . Youngův modul pružnosti i-tého kabelu přenášejícího smykovou sílu

Po stanovení hodnoty síly ΔF_td lze vypočítat průměrné přetvoření vyztužení Δε_V.

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

Přírůstek napětí v jednotlivých podélných prutech od působící smykové síly:

pro betonářskou výztuž $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

pro kabel předpětí $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

Stanovení síly v jednotlivém podélném vyztužení od kroucení

Je velmi důležité určit podélné vyztužení, které přenáší kroucení. Jedná se o vyztužení umístěné v náhradním účinném tenkostěnném průřezu přenášejícím kroucení.

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Podle EN 1992-1-1 musí být pro podélné vyztužení přenášející kroucení splněno několik podmínek:

- vyztužení má být rovnoměrně rozloženo po délce z_i, u malých průřezů však může být soustředěno v rozích třmínku

- maximální osová vzdálenost podélného vyztužení je 350 mm

Příspěvek předpínací výztuže se podle EN 1992-1-1 neuvažuje.

Norma EN 1992-2 uvádí, že příspěvek předpínací výztuže lze uvažovat, přičemž maximální přírůstek napětí v předpínací výztuži nesmí překročit Δσ_p ≤ 500MPa. Vztah pak lze upravit takto:

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Přírůstek napětí v předpínací výztuži však lze uvažovat, ale záleží to na volbě uživatele. V současnosti se předpínací výztuž ve výpočtu neuvažuje. 

Výpočet předpokládá, že přírůstek osového přetvoření každého podélného vyztužení přenášejícího smyk je konstantní (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Odvození platí pro bilineární pracovní diagram výztuže s vodorovnou plastickou větví. V případě diagramu s rostoucí větví je nutné výpočet upravit.

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . návrhová hodnota kroutícího momentu působícího v uvažovaném řezu

θ .  .  .  .  . sklon tlakových diagonál vzhledem k podélné ose nosníku (shodný jako pro smykovou sílu)

u_k .  .  .  .  obvod plochy A_k

A_f .  .  .  .  plocha vymezená střednicí náhradního dutého tenkostěnného průřezu

n_s,T .  .  .  .počet podélných prutů betonářské výztuže přenášejících kroutící moment

A_sl,i,T .  .  . plocha i-tého podélného prutu betonářské výztuže přenášejícího kroutící moment

Δε_T .  .  .  .změna přetvoření podélného vyztužení od kroutícího momentu

Δσ_s,i,T .  .  změna napětí v i-tém podélném vyztužení od kroutícího momentu

E_sl,i,T .  .  . modul pružnosti i-tého podélného prutu betonářské výztuže přenášejícího kroutící moment

Přírůstek napětí v každém podélném vyztužení od působícího kroutícího momentu:

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$