Interactie

Interactie van afschuifkracht en torsie voor afschuifwapening

Bepaling van de kracht in de afschuifwapening ten gevolge van afschuifkracht. 

De berekening is gebaseerd op de formule voor de weerstand van de afschuifwapening volgens EN 1992-1-1. Op basis van vergelijking 6.13 (hoofdstuk 6.2.3 (4)) kan de draagweerstand van één beugelbeen worden afgeleid als:

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . doorsnede-oppervlak van één beugelbeen dat afschuiving opneemt in de beschouwde doorsnede

s .  .  .  .  . hart-op-hartafstand van de afschuifwapening in de richting van de lengteas van de staaf 

a_sw,V .  .  . doorsnede-oppervlak van de afschuifwapening per lengte-eenheid

z .  .  .  .  . de inwendige hefboomsarm. Voor een staaf met constante hoogte, overeenkomend met het buigend moment in het beschouwde element. Bij de afschuifberekening van gewapend beton zonder normaalkracht mag doorgaans de benaderde waarde z = 0,9d worden gebruikt.

f_ywd .  .  .  de rekenwaarde van de vloeigrens van de afschuifwapening

θ .  .  .  .  . de hoek tussen de drukdiagonaal in het beton en de staafas loodrecht op de afschuifkracht

α .  .  .  .  . de hoek tussen de afschuifwapening en de staafas loodrecht op de afschuifkracht

β .  .  .  .  . helling van het beugelbeen ten opzichte van de resultante van de aangrijpende afschuifkracht

De afschuifkracht wordt gelijkmatig verdeeld over de afzonderlijke wapening die de afschuifkracht opneemt, op basis van de hoek van de wapening en de axiale stijfheid van de afzonderlijke beugelbenen.

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

Verder kan de gemiddelde wapeningsrek in de richting van de resulterende afschuifkracht worden afgeleid:

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

De werkelijke rek van de i-de wapening kan worden berekend als:

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

De trek in een bepaald been van de wapening:

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

Bepaling van de kracht in een afzonderlijke beugel ten gevolge van torsie

De torsieweerstand van een doorsnede mag worden berekend op basis van een dunwandige gesloten doorsnede, waarin evenwicht wordt verkregen door een gesloten schuifstroom. Massieve doorsneden mogen worden gemodelleerd door equivalente dunwandige doorsneden. Voor niet-massieve doorsneden mag de equivalente wanddikte de werkelijke wanddikte niet overschrijden.

De schuifstroom in de wanden van een dunwandige gesloten doorsnede ten gevolge van torsie kan worden berekend als:

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

De afschuifkracht in een bepaalde wand is dan:

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . lengte van de hartlijn van de beschouwde wand

Afschuifkracht in het lijf - de lengte van de hartlijn van het lijf kan worden vervangen door de waarde van de hefboomsarm "z".

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

Kracht in de beugels die torsie opnemen per meter staaflengte (per lengte-eenheid):

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

Ontbinding van krachten voor een afzonderlijke beugel

Als voor alle beugels hetzelfde materiaal is gedefinieerd, is de resulterende spanning ten gevolge van torsie in elk beugelbeen constant. Dan geldt:

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

waarbij a_sw,T het totale oppervlak is van de beugels die torsie opnemen per lengte-eenheid.

Als afzonderlijke beugels verschillende materialen hebben, moet rekening worden gehouden met de axiale stijfheid van de afzonderlijke staven.

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . aantal benen van de wapening (wapeningsgroepen) dat torsie opneemt

F_si,T .  .  . kracht in de i-de wapeningsgroep ten gevolge van torsie per lengte-eenheid

a_si,T .  .  . doorsnede-oppervlak van de afschuifwapening die torsie opneemt per lengte-eenheid 

E_si,T .  .  . elasticiteitsmodulus van Young van de i-de wapeningsgroep die torsie opneemt

ε_sw,T .  .  rek in de wapening ten gevolge van torsie

De resulterende spanning in elke beugel ten gevolge van de aangrijpende torsie wordt berekend als:

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

V+T interactie

De berekening van de spanningen in beugels ten gevolge van afschuiving en torsie is dan een sommatie van de spanningen ten gevolge van de afzonderlijke belastingcomponenten.  

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

Resulterende kracht in de i-de wapening:

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

Interactie van afschuiving, torsie en buiging voor langswapening

Bepaling van de kracht in elke langswapeningsstaaf ten gevolge van normaalkracht en buigend moment

De RCS applicatie wordt gebruikt om de doorsnederespons ten gevolge van de combinatie van normaalkracht en buigend moment te berekenen, om de spanning en rek in de afzonderlijke langswapeningsstaven en de voorspanwapening te bepalen.

Bepaling van de kracht in de afzonderlijke langswapening ten gevolge van afschuifkracht

De toename van de trek kracht in de langswapening ΔF_td ten gevolge van de afschuifkracht is afhankelijk van de geometrie van het Staafwerkmodel. 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  toename van de trek kracht in de langswapening ten gevolge van de afschuifkracht

V_ed .  .  .  . rekenwaarde van de afschuifkracht die werkt in de beschouwde doorsnede

θ .  .  .  .  . de hoek tussen de drukdiagonaal in het beton en de staafas 

α .  .  .  .  . de hoek tussen de afschuifwapening en de staafas

Voor de langswapening in de trekzone mag de resulterende kracht F_t in de langswapening ten gevolge van de combinatie N+M+V niet groter worden genomen dan M_Ed,max/z (waarbij M_Ed,max het maximale moment langs de ligger is)

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

De kracht ΔF_td wordt overgedragen door alle aanhechtende spanelementen en alle wapening die zich bevindt in het deel van de doorsnede dat afschuiving opneemt (het lijf in het geval van een I-profiel). Aan de veilige kant mag de bijdrage van de voorspanwapening gelijk aan 0 worden genomen. Uitgangspunt van de berekening is dat de toename van de axiale rek van de afzonderlijke langswapening die afschuiving opneemt constant is (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). De afleiding is geldig voor een bilineair werkdiagram van de wapening met een horizontale plastische tak. In het geval van een diagram met een hellende tak moet de berekening worden aangepast.

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . rektoename in de langswapening ten gevolge van de afschuifkracht

n_s,V .  .  .  . aantal langswapeningsstaven dat de afschuifkracht opneemt

A_sl,i,V .  .  . oppervlak van de i-de langswapeningsstaaf die de afschuifkracht opneemt

E_sl,i,V .  .  . elasticiteitsmodulus van Young van de i-de langswapeningsstaaf die de afschuifkracht opneemt

n_p,V .  .  .  . aantal spanelementen dat de afschuifkracht opneemt

A_pl,i,V .  .  . oppervlak van het i-de spanelement dat de afschuifkracht opneemt

E_pl,i,V .  .  . elasticiteitsmodulus van Young van het i-de spanelement dat de afschuifkracht opneemt

Na het bepalen van de waarde van de kracht ΔF_td kan de gemiddelde wapeningsrek Δε_V worden berekend.

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

Spanningstoename in de afzonderlijke langswapeningsstaven ten gevolge van de aangrijpende afschuifkracht:

voor betonstaal $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

voor spanelement $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

Bepaling van de kracht in elke langswapeningsstaaf ten gevolge van torsie

Het is van groot belang om de langswapening te bepalen die de torsie opneemt. Dit is de wapening die zich bevindt in een alternatieve effectieve dunwandige doorsnede die torsie opneemt.

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Volgens EN 1992-1-1 moet aan meerdere voorwaarden worden voldaan voor de langswapening die torsie opneemt:

- de wapening moet gelijkmatig over de lengte z_i worden verdeeld, maar in kleine doorsneden mag de wapening in de hoeken van de beugel worden geconcentreerd

- de maximale hart-op-hartafstand van de langswapening bedraagt 350 mm

Volgens EN 1992-1-1 wordt de bijdrage van voorspanwapening niet in rekening gebracht.

EN 1992-2 stelt dat de bijdrage van voorspanwapening in rekening mag worden gebracht, maar dat de maximale spanningstoename in de voorspanwapening niet groter mag zijn dan Δσ_p ≤ 500MPa. De formule kan dan als volgt worden aangepast:

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Hoewel de toename van de voorspanwapening in rekening mag worden gebracht, is dit echter een keuze van de gebruiker. Momenteel wordt voorspanwapening niet in rekening gebracht in de berekening. 

Uitgangspunt van de berekening is dat de toename van de axiale rek van elke langswapening die afschuiving opneemt constant is (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). De afleiding is geldig voor een bilineair werkdiagram van de wapening met een horizontale plastische tak. In het geval van een diagram met een oplopende tak moet de berekening worden aangepast.

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . de rekenwaarde van het wringend moment dat werkt in de beschouwde doorsnede

θ .  .  .  .  . helling van de drukdiagonalen ten opzichte van de lengteas van de ligger (identiek aan die voor de afschuifkracht)

u_k .  .  .  .  omtrek van het oppervlak A_k

A_f .  .  .  .  het oppervlak begrensd door de hartlijn van de vervangende holle dunwandige doorsnede

n_s,T .  .  .  .aantal langswapeningsstaven in het beton dat het wringend moment opneemt

A_sl,i,T .  .  . oppervlak van de i-de langswapeningsstaaf in het beton die het wringend moment opneemt

Δε_T .  .  .  .de verandering van de rek in de langswapening ten gevolge van het wringend moment

Δσ_s,i,T .  .  verandering van de spanning in de i-de langswapeningsstaaf ten gevolge van het wringend moment

E_sl,i,T .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de langswapeningsstaaf in het beton die het wringend moment opneemt

Spanningstoename in elke langswapeningsstaaf ten gevolge van het aangrijpende wringend moment:

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$