Interaktion

Interaktion von Querkraft und Torsion für die Querkraftbewehrung

Ermittlung der Kraft in der Querkraftbewehrung infolge Querkraft. 

Die Berechnung basiert auf der in EN 1992-1-1 definierten Formel zur Ermittlung des Widerstands der Querkraftbewehrung. Auf Grundlage von Gleichung 6.13 (Kap. 6.2.3 (4)) lässt sich der Tragwiderstand eines Bügelschenkels wie folgt ableiten:

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . Querschnittsfläche eines Bügelschenkels, der im betrachteten Schnitt die Querkraft aufnimmt

s .  .  .  .  . Abstand der Querkraftbewehrung in Richtung der Bauteillängsachse 

a_sw,V .  .  . Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung pro Längeneinheit

z .  .  .  .  . der innere Hebelarm. Bei einem Bauteil mit konstanter Höhe entspricht er dem Biegemoment im betrachteten Element. Bei der Querkraftbemessung von Stahlbeton ohne Normalkraft darf üblicherweise der Näherungswert z = 0,9d verwendet werden.

f_ywd .  .  .  der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung

θ .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Bauteilachse senkrecht zur Querkraft

α .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Querkraftbewehrung und der Bauteilachse senkrecht zur Querkraft

β .  .  .  .  . Neigung des Bügelschenkels relativ zur Resultierenden der einwirkenden Querkraft

Die Querkraft wird anhand des Winkels der Bewehrung und der Dehnsteifigkeit der einzelnen Bügelschenkel gleichmäßig auf die einzelnen Bewehrungen umgelagert, die die Querkraft aufnehmen.

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

Weiterhin lässt sich die mittlere Bewehrungsdehnung in Richtung der resultierenden Querkraft ableiten:

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

Die tatsächliche Dehnung der i-ten Bewehrung kann wie folgt berechnet werden:

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

Die Zugspannung in einem bestimmten Bewehrungsschenkel:

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

Ermittlung der Kraft im einzelnen Bügel infolge Torsion

Der Torsionswiderstand eines Querschnitts darf auf Grundlage eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts berechnet werden, bei dem das Gleichgewicht durch einen geschlossenen Schubfluss erfüllt wird. Vollquerschnitte dürfen durch äquivalente dünnwandige Querschnitte modelliert werden. Bei nicht vollen Querschnitten darf die äquivalente Wanddicke die tatsächliche Wanddicke nicht überschreiten.

Der Schubfluss in den Wänden eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts infolge Torsion darf wie folgt berechnet werden:

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

Die Querkraft in einer bestimmten Wand beträgt dann:

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . Länge der Mittellinie der betrachteten Wand

Querkraft im Steg – die Länge der Stegmittellinie kann durch den Wert des Hebelarms "z" ersetzt werden.

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

Kraft in den Bügeln, die die Torsion aufnehmen, pro Meter Bauteillänge (pro Längeneinheit):

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

Zerlegung der Kräfte für den einzelnen Bügel

Ist für alle Bügel dasselbe Material definiert, ist die resultierende Spannung infolge Torsion in jedem Bügelschenkel konstant. Dann gilt:

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

wobei a_sw,T die Gesamtfläche der Bügel ist, die die Torsion pro Längeneinheit aufnehmen.

Haben die einzelnen Bügel unterschiedliche Materialien, muss die Dehnsteifigkeit der einzelnen Stäbe berücksichtigt werden.

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . Anzahl der Bewehrungsschenkel (Bewehrungsgruppen), die die Torsion aufnehmen

F_si,T .  .  . Kraft in der i-ten Bewehrungsgruppe infolge Torsion pro Längeneinheit

a_si,T .  .  . Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung, die die Torsion aufnimmt, pro Längeneinheit 

E_si,T .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten Bewehrungsgruppe, die die Torsion aufnimmt

ε_sw,T .  .  Dehnung in der Bewehrung infolge Torsion

Die resultierende Spannung in jedem Bügel infolge der einwirkenden Torsion wird wie folgt berechnet:

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

V+T-Interaktion

Die Berechnung der Spannungen in den Bügeln infolge Querkraft und Torsion ist dann eine Summation der Spannungen aus den einzelnen Lastkomponenten.  

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

Resultierende Kraft in der i-ten Bewehrung:

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

Interaktion von Querkraft, Torsion und Biegung für die Längsbewehrung

Ermittlung der Kraft in jeder Längsbewehrung infolge Normalkraft und Biegemoment

Die RCS-Anwendung wird verwendet, um die Querschnittsantwort infolge der Kombination aus Normalkraft und Biegemoment zu berechnen und so die Spannung und Dehnung in den einzelnen Längsstäben und der Spannbewehrung zu bestimmen.

Ermittlung der Kraft in der einzelnen Längsbewehrung infolge Querkraft

Der Zuwachs der Zugkraft in der Längsbewehrung ΔF_td infolge der Querkraft hängt von der Geometrie des Strebe-und-Zugband-Modells ab. 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  Zuwachs der Zugkraft in der Längsbewehrung infolge der Querkraft

V_ed .  .  .  . Bemessungswert der Querkraft, die im betrachteten Schnitt wirkt

θ .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Bauteilachse 

α .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Querkraftbewehrung und der Bauteilachse

Für die im Zuggurt angeordnete Längsbewehrung sollte die resultierende Kraft F_t in der Längsbewehrung infolge der Kombination N+M+V nicht größer als M_Ed,max/z angesetzt werden (wobei M_Ed,max das maximale Moment entlang des Trägers ist).

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

Die Kraft ΔF_td wird von allen Spanngliedern mit Verbund und der Bewehrung übertragen, die sich in dem Teil des Querschnitts befinden, der die Querkraft aufnimmt (im Fall eines I-Profils der Steg). Auf der sicheren Seite kann der Beitrag der Spannbewehrung mit 0 angesetzt werden. Die Berechnung geht davon aus, dass der Zuwachs der Axialdehnung der einzelnen Längsbewehrung, die die Querkraft aufnimmt, konstant ist (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Die Herleitung gilt für ein bilineares Arbeitsdiagramm der Bewehrung mit horizontalem plastischem Ast. Bei einem Diagramm mit geneigtem Ast muss die Berechnung angepasst werden.

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . Dehnungszuwachs in der Längsbewehrung infolge der Querkraft

n_s,V .  .  .  . Anzahl der Längsbewehrungen, die die Querkraft aufnehmen

A_sl,i,V .  .  . Fläche der i-ten Längsbewehrung, die die Querkraft aufnimmt

E_sl,i,V .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten Längsbewehrung, die die Querkraft aufnimmt

n_p,V .  .  .  . Anzahl der Spannglieder, die die Querkraft aufnehmen

A_pl,i,V .  .  . Fläche des i-ten Spannglieds, das die Querkraft aufnimmt

E_pl,i,V .  .  . Elastizitätsmodul des i-ten Spannglieds, das die Querkraft aufnimmt

Nach der Ermittlung des Kraftwerts ΔF_td kann anschließend die mittlere Bewehrungsdehnung Δε_V berechnet werden.

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

Spannungszuwachs in den einzelnen Längsstäben infolge der einwirkenden Querkraft:

für Betonstahl $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

für Spannglied $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

Ermittlung der Kraft in jeder Längsbewehrung infolge Torsion

Es ist sehr wichtig, die Längsbewehrung zu bestimmen, die die Torsion aufnimmt. Dies ist die Bewehrung, die in einem alternativen, torsionsaufnehmenden effektiven dünnwandigen Querschnitt liegt.

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Gemäß EN 1992-1-1 müssen für die torsionsaufnehmende Längsbewehrung mehrere Bedingungen erfüllt sein:

- die Bewehrung sollte gleichmäßig über die Länge z_i verteilt werden, bei kleinen Querschnitten darf die Bewehrung jedoch an den Ecken des Bügels konzentriert werden

- der maximale Achsabstand der Längsbewehrung beträgt 350 mm

Der Beitrag der Spannbewehrung wird gemäß EN 1992-1-1 nicht berücksichtigt.

EN 1992-2 legt fest, dass der Beitrag der Spannbewehrung berücksichtigt werden darf, der maximale Spannungszuwachs in der Spannbewehrung jedoch Δσ_p ≤ 500MPa nicht überschreiten darf. Dann kann die Formel wie folgt angepasst werden:

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Obwohl der Zuwachs der Spannbewehrung berücksichtigt werden darf, liegt dies jedoch im Ermessen des Benutzers. Derzeit wird die Spannbewehrung in der Berechnung nicht berücksichtigt. 

Die Berechnung geht davon aus, dass der Zuwachs der Axialdehnung jeder querkraftaufnehmenden Längsbewehrung konstant ist (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Die Herleitung gilt für ein bilineares Arbeitsdiagramm der Bewehrung mit horizontalem plastischem Ast. Bei einem Diagramm mit ansteigendem Ast muss die Berechnung angepasst werden.

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . Bemessungswert des Torsionsmoments, das im betrachteten Schnitt einwirkt

θ .  .  .  .  . Neigung der Druckdiagonalen bezogen auf die Längsachse des Trägers (identisch mit der für die Querkraft)

u_k .  .  .  .  Umfang der Fläche A_k

A_f .  .  .  .  die Fläche, die durch die Mittellinie des Ersatz-Hohlquerschnitts mit dünnen Wänden definiert wird

n_s,T .  .  .  .Anzahl der Längsbewehrungen im Beton, die das Torsionsmoment aufnehmen

A_sl,i,T .  .  . Fläche der i-ten Längsbewehrung im Beton, die das Torsionsmoment aufnimmt

Δε_T .  .  .  .die Dehnungsänderung in der Längsbewehrung infolge des Torsionsmoments

Δσ_s,i,T .  .  Spannungsänderung in der i-ten Längsbewehrung infolge des Torsionsmoments

E_sl,i,T .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten Längsbewehrung im Beton, die das Torsionsmoment aufnimmt

Spannungszuwachs in jeder Längsbewehrung infolge des einwirkenden Torsionsmoments:

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$