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N-M-κ-Diagramm

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Das N-M-κ-Diagramm zeigt die Krümmung (Biegesteifigkeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von einem einwirkenden Biegemoment und einer Normalkraft. Es gibt drei Arten von N-M-κ-Diagrammen: - Kurzzeit, - Langzeit - GZT. Diese Diagramme unterscheiden sich in den Arten der Spannung-Dehnung-Diagramme, die für die Berechnung verwendet werden (siehe unten).

Zur Ermittlung des N-M-κ-Diagramms dient die Steifigkeitsberechnung für ausgewählte charakteristische Zustände des Querschnitts. Allgemein kann dies jeder Querschnittszustand sein, für den die Beanspruchung berechnet wird und aus dem sich Biegesteifigkeit und Krümmung ableiten lassen. In IDEA RCS werden vier charakteristische Punkte betrachtet (M r, M c, M s und M u).

M_r - das Rissmoment

Der Querschnitt wird mit einer benutzerdefinierten Normalkraft beansprucht, und die Dehnungsebene beginnt sich (in Richtung des vorgegebenen Biegemoments) zu drehen, bis in einer Betonfaser die Zugfestigkeit des Betons erreicht ist (für die Betonfestigkeitsklasse C30/37 beträgt sie f ctm = 2,896 MPa). Für die Berechnung wird sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit horizontalem plastischem Ast verwendet.

M_c - das Biegemoment bei Erreichen der Druckfestigkeit des Betons

Aus dem vorherigen Schritt wird die am höchsten ausgenutzte Betonfaser im Druckbereich ermittelt. Für diese Faser wird die Dehnung bei der Festigkeit des Betons (f ck /E cm für Kurzzeit, f ck /E ceff für Langzeit und f cd /E cm für das GZT-Diagramm) angesetzt. Auf Grundlage der definierten Normalkraft und der Richtung des Biegemoments wird ein Iterationsprozess zur Bestimmung der Dehnungsebene durchgeführt, um das Gleichgewicht zwischen der Beanspruchung des Querschnitts und der definierten Normalkraft zu finden. Für die Berechnung wird sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit horizontalem plastischem Ast verwendet.

M_s - das Biegemoment bei Erreichen der Streckgrenze im am höchsten ausgenutzten Bewehrungsstab

Ein weiterer charakteristischer Punkt des N-M-κ-Diagramms ist der Spannungszustand des Querschnitts, in dem die Streckgrenze im am höchsten ausgenutzten Bewehrungsstab erreicht wird (die Dehnung des Bewehrungsstabs entspricht f yk /E s für die Kurzzeit- und Langzeitdiagramme, f yd /E s für das GZT-Diagramm). Der Iterationsprozess ermittelt das Gleichgewicht der Normalkräfte im Querschnitt, indem die Dehnungsebene um den Punkt gedreht wird, der durch die Lage des am höchsten ausgenutzten Bewehrungsstabs festgelegt ist. Für die Berechnung wird sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit horizontalem plastischem Ast verwendet.

M_u - das Biegemoment im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Dies ist die Biegetragfähigkeit eines Querschnitts, wenn der Querschnitt mit dem definierten Bemessungswert der Normalkraft N ed beansprucht wird. Für die Berechnung der Querschnittstragfähigkeit wird angenommen, dass die Druckfestigkeit in der am höchsten ausgenutzten Betonfaser und die Zugfestigkeit im am höchsten ausgenutzten Bewehrungsstab erreicht werden (maximale Dehnung für Beton ε cu = 0,1 und für Bewehrung ε s,max = 0,5. Für die Berechnung werden ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit horizontalem plastischem Ast für die Bewehrung und ein Parabel-Rechteck-Diagramm für den Beton verwendet.

Die resultierende Steifigkeit und Krümmung für die benutzerdefinierte Kombination aus Normalkraft und Biegemoment ( Md) werden dann durch lineare Interpolation zwischen den einzelnen charakteristischen Punkten des N-M-κ-Diagramms berechnet.

Berechnung der Steifigkeiten und Krümmungen

N . . . . die vorgegebene Normalkraft

E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}

E Ax . . Dehnsteifigkeit des Bauteils

N . . . . die vorgegebene Normalkraft

ε x . . . Dehnung in Längsrichtung im Schwerpunkt des Betonquerschnitts

E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }

E Iy . . . Biegesteifigkeit des Bauteils

M . . . das berechnete Biegemoment M r, M c, M s oder M u

κ . . . . die Krümmung des Bauteils, berechnet als Tangens des Winkels zwischen der Dehnungsebene und der Bauteillängsachse

Praxisbeispiel

Ein Betonquerschnitt (Betonfestigkeitsklasse C30/37) ist mit ϕ32-Bewehrung (Güte B500B) bewehrt. Die definierte quasi-ständige Kombination ist N = -730 kN und M y = 557 kNm.

Die Dehnungsebene für den charakteristischen Punkt M s wird von IDEA RCS wie folgt ermittelt:

E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN

\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}

E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}

Für die Berechnung verwendete Spannung-Dehnung-Diagramme

Bewehrung - M r, M c, M s und M u

Beton - M r, M c, M s

Beton - M u