Diagrama N-M-κ

El diagrama N-M-κ muestra la curvatura (rigidez a flexión) de un elemento en función del momento flector aplicado y la fuerza normal. Existen tres tipos de diagramas N-M-κ:
- a corto plazo,
- a largo plazo
- ELU.
Estos diagramas difieren en los tipos de diagramas tensión-deformación utilizados para el cálculo (explicados a continuación).

El cálculo de la rigidez para los estados característicos seleccionados de la sección transversal se utiliza para determinar el diagrama N-M-κ. En general, puede ser cualquier estado de la sección transversal a partir del cual se calcula la respuesta y del que se derivan la rigidez a flexión y la curvatura. En IDEA RCS se consideran cuatro puntos característicos (M_r, M_c, M_s y M_u)

M_r - el momento de fisuración 

La sección transversal está sometida a la fuerza normal definida por el usuario y el plano de deformación comienza a girar (en la dirección del momento flector especificado) hasta que se alcanza la resistencia última a tracción del hormigón en una fibra de hormigón (para la clase de hormigón C30/37 esto es f_ctm = 2,896 MPa). Para el cálculo se utiliza un diagrama tensión-deformación bilineal con rama plástica horizontal tanto para la armadura como para el hormigón.

M_c - el momento flector cuando se alcanza la resistencia a compresión del hormigón

A partir del paso anterior, se identifica la fibra de hormigón más solicitada a compresión. Para esta fibra, se establece la deformación en la resistencia última del hormigón (f_ck/E_cm para el corto plazo, f_ck/E_ceff para el largo plazo y f_cd/E_cm para el diagrama ELU). Con base en la fuerza normal definida y la dirección del momento flector, se ejecuta el proceso iterativo para encontrar el plano de deformación que establezca el equilibrio entre la respuesta de la sección transversal y la fuerza normal definida.  Para el cálculo se utiliza un diagrama tensión-deformación bilineal con rama plástica horizontal tanto para la armadura como para el hormigón.

M_s - el momento flector cuando se alcanza el límite elástico en la barra de armadura más solicitada

Otro punto característico del diagrama N-M-κ es el estado tensional de la sección transversal cuando se alcanza el límite elástico en la barra de armadura más solicitada (la deformación de la barra es igual a f_yk/E_s para los diagramas a corto y largo plazo, f_yd/E_s para el diagrama ELU). El proceso iterativo encuentra el equilibrio de fuerzas normales en la sección transversal girando el plano de deformación alrededor del punto especificado por la posición de la barra de armadura más solicitada. Para el cálculo se utiliza un diagrama tensión-deformación bilineal con rama plástica horizontal tanto para la armadura como para el hormigón.

M_u - el momento flector en el estado límite último

Esta es la capacidad portante última de una sección transversal a flexión, cuando la sección transversal está sometida a la fuerza normal de cálculo definida N_ed. Para el cálculo de la capacidad de la sección transversal se supone que se alcanzan la resistencia a compresión en la fibra de hormigón más solicitada y la resistencia a tracción en la barra de armadura más solicitada (deformación máxima para el hormigón ε_cu = 0,1 y para la armadura ε_s,max = 0,5). Para el cálculo se utiliza un diagrama tensión-deformación bilineal con rama plástica horizontal para la armadura y un diagrama parábola-rectángulo para el hormigón.

La rigidez y la curvatura resultantes debidas a la combinación de fuerza normal y momento flector definida por el usuario (Md) se calculan mediante interpolación lineal de los puntos característicos individuales del diagrama N-M-κ.

Cálculo de rigideces y curvaturas

Las rigideces y curvaturas para cada estado tensional de la sección transversal (M_r, M_c, M_s o M_u) se calculan directamente a partir de la rotación del plano de deformación. 

$$E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}$$

E_Ax .   .    rigidez axial del elemento

N . .   .   . la fuerza normal especificada

ε_x .   .   .  deformación axial en el centro de gravedad de la sección transversal de hormigón

$$E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }$$

E_Iy .   .   .   rigidez a flexión del elemento

M .   .   .    el momento flector calculado M_r, M_c, M_s o M_u

κ .   .   .   . la curvatura del elemento, calculada como la tangente del ángulo entre el plano de deformación y el eje longitudinal del elemento

Ejemplo práctico

Una sección transversal de hormigón (clase de hormigón C30/37) está armada con armadura ϕ32 (grado B500B). La combinación cuasipermanente definida es N = -730 kN y M_y = 557 kNm.

El plano de deformación para el punto característico M_s es determinado por IDEA RCS de la siguiente manera:

$$E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN$$

$$\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}$$

$$E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}$$

Diagramas tensión-deformación utilizados para el cálculo

Armadura - M_r, M_c, M_s y M_u

Hormigón - M_r, M_c, M_s

Hormigón - M_u