IDEA StatiCa RCS – Tragwerksbezogene Bemessung von 1D-Betonbauteilen

Methoden zum Nachweis der Querschnittstragfähigkeit

Zur Überprüfung des Grenzzustands der Tragfähigkeit von 1D-Betonbauteilen können zwei bekannte Methoden verwendet werden. Die erste liefert die Querschnittstragfähigkeit in Form einer Interaktionsfläche oder eines Interaktionsdiagramms (bei Biegemoment in einer Richtung). Die Querschnittsauslastung kann als Verhältnis der einwirkenden Schnittgrößen zu den Schnittgrößen im Grenzzustand bestimmt werden. Die zweite Methode ermittelt das Gleichgewicht im Querschnitt. Dabei untersuchen wir das tatsächliche Verhalten des belasteten Querschnitts, die Materialausnutzung hinsichtlich der Spannungen und die Schwachstellen des Querschnitts.

Allgemeine Bemessungsannahmen und Berechnungsannahmen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit 

1. Die Dehnung ε in der Bewehrung und im Beton ist als direkt proportional zum Abstand von der Nulllinie anzunehmen (ebene Querschnitte bleiben eben).
2. Das Zusammenwirken von Bewehrung und Beton wird durch starren Verbund ohne Schlupf sichergestellt (die Dehnung ε der Bewehrung und die Dehnung in den benachbarten Betonfasern sind gleich).
3. Die Zugfestigkeit des Betons wird vernachlässigt (alle Zugspannungen werden von der Bewehrung aufgenommen).
4. Die Betondruckspannungen in der Druckzone werden in Abhängigkeit von der Dehnung anhand der Spannung-Dehnung-Diagramme berechnet.
5. Die Spannungen in der Bewehrung werden in Abhängigkeit von der Dehnung anhand der Spannung-Dehnung-Diagramme berechnet.
6. Die Betondruckdehnung ist durch die Grenzdehnung ε_cu2 (Parabel-Rechteck-Diagramm für Beton unter Druck) und ε_cu3 (bilineare Spannung-Dehnung-Beziehung) begrenzt, [2].
7. Die Druckdehnung der Bewehrung ist bei horizontalem plastischem oberem Ast nicht begrenzt; bei geneigtem plastischem oberem Ast ist die Dehnung auf ε_ud begrenzt,[2].
8. Ein Grenzzustand liegt vor, wenn der Zustand mindestens eines der Materialien die Grenzdehnung überschreitet (wenn εu nicht begrenzt ist, ist der gedrückte Beton maßgebend).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}$$

Interaktionsdiagramm

Die erste Möglichkeit besteht darin, den Querschnitt mithilfe einer Interaktionsfläche (oder eines Interaktionsdiagramms) nachzuweisen. Die Erläuterung erfolgt am Beispiel der Interaktionsflächen für den bewehrten quadratischen Querschnitt aus der folgenden Abbildung. Auf der Interaktionsfläche liegen Punkte, die den Grenzzustand der Tragfähigkeit des untersuchten Querschnitts definieren. Die Interaktionsfläche wird aus den Punkten (N, My, Mz) gezeichnet, die durch Spannungsintegration im Querschnitt bestimmt werden, in dem in einem der Materialien die Grenzdehnung erreicht wurde. Bei einer 3D-Interaktion lässt sich die Fläche aus einem 2D-Interaktionsdiagramm ableiten. Dieses ist eine geschlossene Kurve und entspricht dem Spannungszustand bei stetig gedrehter Nulllinie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}$$

Bei einem zur y-Achse symmetrischen Querschnitt ist das Interaktionsdiagramm symmetrisch zur Ebene N-M_y. Entsprechend ist bei einem zur z-Achse symmetrischen Querschnitt das Interaktionsdiagramm symmetrisch zur Ebene N-M_z. Ein einseitig bewehrter Querschnitt führt zu einer abgeflachten Form des Interaktionsdiagramms

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}$$

Die Punkte, die den Grenzzustand der Tragfähigkeit definieren, ergeben sich aus der Spannungsintegration.  Die folgende Abbildung zeigt die Dehnung im Grenzzustand der Tragfähigkeit.

Dehnungsverteilungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (entnommen aus [2]).

Das Interaktionsdiagramm zeigt das Versagen des Querschnitts unter Normalkraft und Biegemomenten. [1]

Betrachtet man das 2D-Diagramm (geschlossene Kurve auf der Interaktionsfläche), zeigt sich, dass die Dehnungsebene durch die Nulllinie und den maßgebenden Punkt [y, z, ε] verläuft, der als maßgebender Punkt R bezeichnet wird.  Der Punkt [y, z] definiert einen Punkt im Querschnitt mit dem Dehnungswert ε im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Die Neigung der Nulllinie ist für alle Punkte des 2D-Diagramms konstant.

Ist die Druckspannung im Beton für die Bemessung maßgebend, fällt der Punkt R mit der am stärksten gedrückten Betonfaser oder mit dem Grenzpunkt C zusammen. Dies gilt jedoch nur, wenn der Querschnitt aus einer Betonsorte besteht, also nicht bei einem gemischten Querschnitt.   

Ist die Zugspannung in der Bewehrung für die Bemessung maßgebend (die Dehnung ε_ud wird im Grenzzustand der Tragfähigkeit bei einem oder mehreren Stäben überschritten), muss die Bedingung erfüllt sein, dass für die gegebene Dehnungsebene der Wert ε_ud bei keinem anderen Stab überschritten wird.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}$$

Die Abbildung oben zeigt, dass sich das Diagramm in zwei Bereiche unterteilen lässt: den Bereich, in dem das Versagen durch eine Zugkraft verursacht wird, und den Bereich, in dem es durch eine Druckkraft eintritt. Die Grenzpunkte entsprechen dem oben beschriebenen Fall, in dem auch die extreme Neigung der Dehnungsebene zu erkennen ist. Beim Zeichnen eines Interaktionsdiagramms ändert sich die Neigung der Dehnungsebene des Querschnitts innerhalb dieses Intervalls, während wir den Punkt R suchen (siehe oben). Anhand der so definierten Ebene führen wir die Integration durch, um die Spannung im Grenzzustand der Tragfähigkeit zu erhalten.

Nachweis eines Querschnitts unter Normalkraft und Biegemoment

Der Nachweis eines Querschnitts unter Normalkraft und Biegemoment besteht darin, zu zeigen, dass die nachzuweisenden Beanspruchungen (Kombination N_d, M_yd, M_zd) innerhalb der Interaktionsfläche oder auf ihr liegen. Dies kann mit verschiedenen Methoden erfolgen. Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis eines Rechteckquerschnitts unter den Schnittgrößen N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Methode NuMuMu

Zur Bestimmung des Querschnittswiderstands nehmen wir proportionale Änderungen aller Schnittgrößenkomponenten an (die Ausmitte der Normalkraft bleibt konstant), bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen lässt sich als Bewegung entlang einer Linie interpretieren, die den Ursprung des Koordinatensystems (0,0,0) mit dem durch die Schnittgrößen (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) definierten Punkt verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die ermittelt werden können, stellen zwei Schnittgrößensätze im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: den Bemessungswert des Normalkraftwiderstands N_Rd und die zugehörigen Bemessungswerte der Momententragfähigkeit M_Rdy, M_Rdz.

Methode  NuMM

Zur Bestimmung des Querschnittswiderstands nehmen wir eine konstante Normalkraft (gleich der einwirkenden Bemessungsnormalkraft) und proportionale Änderungen der Biegemomente an, bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen lässt sich als Bewegung in einer horizontalen Ebene entlang der Linie interpretieren, die den Punkt (N_Ed,0,0) mit dem durch die einwirkenden Schnittgrößen (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) definierten Punkt verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die ermittelt werden können, stellen zwei Schnittgrößensätze im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: die Bemessungswerte der Momententragfähigkeit M_Rdy, M_Rdz und die (zugehörige) einwirkende Bemessungsnormalkraft N_Ed.

Methode  NMuMu

Zur Bestimmung des Querschnittswiderstands nehmen wir eine konstante Normalkraft (gleich der einwirkenden Bemessungsnormalkraft) und proportionale Änderungen der Biegemomente an, bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen lässt sich als Bewegung in einer horizontalen Ebene entlang der Linie interpretieren, die den Punkt (N_Ed,0,0) mit dem durch die einwirkenden Schnittgrößen (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) definierten Punkt verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die ermittelt werden können, stellen zwei Schnittgrößensätze im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: die Bemessungswerte der Momententragfähigkeit M_Rdy, M_Rdz, und die (zugehörige) einwirkende Bemessungsnormalkraft N_Ed.

Ermittlung der Querschnittsantwort

Eine weitere Möglichkeit, den Querschnitt nachzuweisen, besteht darin, die Querschnittsantwort zu ermitteln (d. h. die Dehnungs- und Spannungsverteilung infolge der einwirkenden Schnittgrößen). Diese Methode ist auch als Methode der Grenzverformung bekannt. Die Höhe der einwirkenden Spannungen in jeder Faser (bei ebener Biegung in jeder Schicht) und in jedem Bewehrungsstab wird in Abhängigkeit von der Dehnung anhand des Spannung-Dehnung-Diagramms des Materials berechnet.
Die Ermittlung der Querschnittsantwort erfolgt mit dem in [6] angegebenen numerischen Verfahren. Das Prinzip besteht in der schrittweisen Laststeigerung des Querschnitts um die unausgeglichenen Anteile der nicht übertragenen Kräfte. Diese werden durch Integration der Spannung über den Querschnitt anhand der Spannung-Dehnung-Diagramme ermittelt. Kann der Spannungswert für die Dehnung im Spannung-Dehnung-Diagramm gefunden werden, siehe Abbildung unten (a), ist die berechnete Spannung bei linear-elastischem Material korrekt. In den Fällen (b) und (c) erreicht die Spannung bei einer linearen Berechnung unrealistische Werte, und ein Teil (b) oder der gesamte Wert (c) kann vom Material nicht übertragen werden. Durch Integration der nicht übertragenen Spannungen erhalten wir die nicht übertragenen Schnittgrößen, deren Resultierende zu den Schnittgrößen aus veränderlichen Lasten addiert werden müssen. 

Nicht übertragene Spannungen in Spannung-Dehnung-Diagrammen. [4]

Nicht übertragene innere Kräfte. [4]

Diese Berechnungsmethode erfordert den Einsatz numerischer Verfahren zur Integration der Spannung über die Querschnittsfläche und zur nichtlinearen Lösung der Gleichgewichtsgleichungen im Querschnitt. Die Iteration wird beendet, sobald die Konvergenzkriterien erfüllt sind.

$$\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}$$

Dabei ist 

F_e die Querschnittsbelastung,

F_i die Querschnittsantwort (auf Grundlage der Dehnungsebene berechnete Schnittgrößen).

Ist a der Näherungswert (angenäherte Wert) und b der exakte (wahre) Wert, ergibt sich die absolute Abweichung aus der folgenden Gleichung.

$$e = \left| {b - a} \right|$$

Die relative Abweichung ergibt sich aus der folgenden Formel:

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|$$

In den meisten Programmen lassen sich diese Konvergenzkriterien einstellen (Standardwerte sind 1 % als relativer Fehler sowie 100 N und 100 Nm als absoluter Fehler der Normalkraft und der Momente). 

Wenn also die Eingabe N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm lautet und die integrierten Schnittgrößen nach der Iteration N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm betragen, erfolgt die Bewertung wie folgt. Da N und Mz gleich 0 sind, kann ein Vergleich mit der absoluten Abweichung erfolgen:

Der Wert der Normalkraft 100N> | 70 | N
Der Wert des Biegemoments Mz 100Nm> | 20 | Nm
Der Wert des Biegemoments My

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01$$

Nachweis des Querschnitts anhand der Querschnittsantwort

Bei der Ermittlung des Gleichgewichts im Querschnitt ist die Dehnungsebene bekannt. Aus der Dehnungsebene können wir die Dehnung an jeder beliebigen Stelle im Querschnitt berechnen und daraus anhand der Spannung-Dehnung-Diagramme der Materialien die Spannung oder die Schnittgrößen in Bewehrungsstäben, im Querschnitt oder in dessen Teilen bestimmen. Die berechneten Spannungs- und Dehnungswerte vergleichen wir mit dem Grenzdehnungswert aus den Spannung-Dehnung-Diagrammen der verwendeten Materialien.
Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass wir ein vollständiges Bild der Spannungs- und Dehnungswerte im Querschnitt unter den einwirkenden Schnittgrößen erhalten.

Im Hinblick auf sprödes Versagen ist der Querkraftnachweis einer der wichtigen Nachweise eines Stahlbetonquerschnitts.

Berechnungsablauf

Die Berechnung der Querkrafttragfähigkeit besteht aus mehreren Grundschritten. Zuerst ist zu untersuchen, ob an der nachgewiesenen Stelle Biegerisse auftreten oder nicht. Treten Risse auf, wird die Berechnung nach EN 1992-1-1 [2], Abschnitt 6.2.2 (1) verwendet. Andernfalls wird bestimmt, ob es sich um unbewehrten Beton oder schwach bewehrten Beton handelt, und anschließend gemäß EN 1992-1-1 Abschnitt 12.6.3 vorgegangen. 

Für bewehrten ungerissenen Beton (ohne Querkraftbewehrung) erfolgt der Nachweis nach EN 1992-1-1 Abschnitt 6.2.2 (2). Für Bauteile, bei denen Querkraftbewehrung erforderlich ist, erfolgt der Nachweis nach Abschnitt 6.2.3 [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen ohne Querkraftbewehrung

Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen in gerissenen Biegezonen (Abschn. 6.2.2 (1) [2])

Die Querkrafttragfähigkeit von Stahlbetonbauteilen ohne Querkraftbewehrung unter Biegemoment ergibt sich aus:

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

Diese wurde auf Grundlage von Versuchen an einer repräsentativen Anzahl einfacher Träger bei Versagen durch Querkraft definiert. Da die obige Tragfähigkeit für Bauteile ohne Längsbewehrung (r_l) null sein kann, wurden für schwach bewehrte Bauteile Gleichungen abgeleitet. Da die obige Tragfähigkeit für Bauteile ohne Längsbewehrung (r_l) null sein kann, wurde sie für die schwach bewehrten Bauteile durch die folgende Gleichung bestimmt

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

Die Querkrafttragfähigkeit unter Einfluss der Normalkraft wurde durch die folgende Gleichung bestimmt

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

Die Querkrafttragfähigkeit in ihrer vollständigen Form, die EN 1992-1-1 Abschn. 6.2.2 (1) entspricht

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

Mit einem Mindestwert von

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

wobei  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          Faktor der Querschnittshöhe 

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      Bewehrungsgrad der Längsbewehrung

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons nach 28 Tagen

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        kleinste Breite des Querschnitts im Zugbereich

d          statische Nutzhöhe eines Querschnitts

υ_min      minimale äquivalente Querkraftfestigkeit υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen in ungerissenen Biegezonen (Abschn. 6.2.2 (2) [2])

Die Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen in ungerissenen Biegezonen kann aus dem Mohrschen Spannungskreis bestimmt werden. In die Gleichung

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

setzen wir σ_x = σ_cp und τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) ein, lösen nach V_Rd,c auf und erhalten eine Gleichung, die der in EN 1992-1-1 Abschn. 6.2.2 (2) angegebenen Formel entspricht

wobei  

I           das Flächenträgheitsmoment ist,

b_w        die Breite des Querschnitts in der Schwerachse ist

S          das Flächenmoment ersten Grades oberhalb und bezogen auf die Schwerachse ist,

f_ctd        Bemessungswert der axialen Zugfestigkeit des Betons in MPa,

 s_cp       die Betondruckspannung in der Schwerachse infolge Belastung und/oder Vorspannung ist,

a_l         Faktor der Übertragungslänge, üblicherweise 1,0.

In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass die Tragfähigkeit V_Rd ,c  in Bereichen ohne Biegerisse deutlich höher sein kann als in gerissenen Bereichen nach Abschnitt 6.2.2 (1) [2]. Die Abbildung unten zeigt deutlich, dass die Querkraft, obwohl sie an ihrem Extremwert nachgewiesen wird (an dem keine Risse entstehen), nicht zwangsläufig über die gesamte Trägerlänge übertragen werden kann. Dies liegt an einer Änderung der Berechnungsmethode der Querkrafttragfähigkeit des Betons. Auf der sicheren Seite kann die Querkrafttragfähigkeit selbstverständlich nach Abschnitt 6.2.2 (1) [2] auch an Stellen angesetzt werden, an denen keine Risse auftreten.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

Zum Ausdruck für V_Rd, c  nach Abschnitt 6.2.2 (2)[2] ist ebenfalls anzumerken, dass im allgemeinen Fall der Nachweis an der Faser der extremen Hauptzugspannung des Betons in der Zone der Normaldruckspannung geführt werden sollte, jedoch nicht im Schwerpunkt des Querschnitts. An dieser Stelle müssen die Querschnittskennwerte (S und b_W) berechnet werden. Zur Bestimmung der maximalen Hauptspannung s₁ im Programm IDEA RCS zeichnen wir eine Linie durch den Schwerpunkt in Richtung der resultierenden Querkräfte. Diese Linie teilen wir in 20 Abschnitte. Auf dieser Linie werden weitere charakteristische Punkte ergänzt (Punkte des Querschnittspolygons, Schwerpunkt, Nulllinie). In diesen Punkten berechnen wir S, b_w, σ_x, τ_yz und σ_1.  Im Punkt der maximalen Hauptzugspannung berechnen wir die Querkrafttragfähigkeit.

Die Querkraft muss vor Anwendung des Abminderungsbeiwerts b nach Abschnitt 6.2.2 (6) die zusätzliche Bedingung erfüllen

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

wobei 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  wobei f_ck in MPa einzusetzen ist

Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen ohne Bewehrung oder mit geringer Bewehrung (Abschn. 12.6.3 [2])

Die Querkrafttragfähigkeit von unbewehrtem oder schwach bewehrtem Beton kann aus dem folgenden Ausdruck bestimmt werden

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

Wobei

τ_cp ersetzen wir durch

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

oder

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

Die in der obigen Formel verwendeten Teilwerte ergeben sich aus:

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

wobei  

f_cd,pl     Bemessungswert der Druckfestigkeit  von unbewehrtem oder schwach bewehrtem Beton,

f_ctd,pl    Bemessungswert der axialen Zugfestigkeit von unbewehrtem oder schwach bewehrtem Beton,

f_cvd       Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit unter Betondruck.

Tragfähigkeit von Bauteilen mit Querkraftbewehrung (Abschn. 6.2.3 [2])

Die Berechnung der Tragfähigkeit von Stahlbetonbauteilen mit Querkraftbewehrung basiert auf dem Fachwerkmodell mit variabler Druckstrebenneigung. Grundlage dieser Methode ist das Kräftegleichgewicht an dem Dreieck, das durch die Druckstrebenkraft (Diagonale), die Kraft der Querkraftbewehrung (Bügel) und die Kraft der Längsbewehrung bestimmt wird.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

Der Querschnitt unter Querkraftbeanspruchung wird von Rissen unter dem Winkel θ durchzogen, daher wird die Querkraft von der Betondiagonale mit demselben Winkel aufgenommen. Die Druckkraft der Diagonale kann als V_ed/sinθ ausgedrückt werden. Diese Kraft muss über die Betonfläche senkrecht zur Druckdiagonale b_wzcosθ übertragen werden. Die Betonspannung in der Druckdiagonale beträgt dann:

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

Durch Einsetzen von $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  und $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ und Auflösen nach $${{V}_{Rd,max}}$$ erhalten wir die Gleichung für die Querkrafttragfähigkeit der Diagonale:

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

Zum Ausgleich der vertikalen Kraftkomponente in der Druckdiagonale wird Querkraftbewehrung eingesetzt. Die Größe der vertikalen Kraft ergibt sich aus der Druckspannung der Diagonale in der Betonfläche, die einem einzelnen Bügel zugeordnet ist - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Die Grenzkraft des Bügels wird angegeben als \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Nach Einsetzen von σ_c und Vergleich mit der Grenzkraft in der Bewehrung erhalten wir nach Umformung:

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

Wird V_ed als V_RDs ausgedrückt, erhalten wir die Tragfähigkeit des Querschnitts mit vertikaler Querkraftbewehrung:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

Die Längsschubkraft wird von der Längsbewehrung aufgenommen und kann als V_edcotgθ bestimmt werden. Die Herleitung der obigen Formeln ist in [4] zu finden.

Mit dem Programm IDEA RCS können nur Bauteile mit vertikaler Querkraftbewehrung nachgewiesen werden. Allgemein können die folgenden Gleichungen verwendet werden:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

Wobei  

A_sw      die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung ist,

s           der Abstand der Bügel ist,

f_ywd      der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung ist,

b_w        die minimale Breite zwischen Zug- und Druckgurt ist. Zur Berechnung der Tragfähigkeit V_Rd,max muss die Querschnittsbreite auf die sogenannte Nennbreite des Querschnitts reduziert werden, falls der Querschnitt durch Hüllrohre geschwächt ist

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ für verpresste Metallhüllrohre

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ für nicht verpresste Metallhüllrohre           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa oder  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       ein Beiwert zur Berücksichtigung des Spannungszustands im Druckgurt ist.

Tab. 1‑1 Bestimmung des Beiwerts α_cw

Der Winkel θ ist der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Trägerachse senkrecht zur Querkraft. Die Grenzwerte von cotθ für die Anwendung in einem Land sind dem jeweiligen Nationalen Anhang zu entnehmen. Die empfohlenen Grenzen ergeben sich aus dem Ausdruck:

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

Die Wahl der Größe des Winkels θ kann den Wert der Tragfähigkeiten beeinflussen. Die Abhängigkeit der Tragfähigkeiten ist in Abbildung 1.15 dargestellt. Die Abbildung zeigt, dass mit zunehmendem Winkel θ die Tragfähigkeit V_Rd,max  zunimmt und die Tragfähigkeit V_Rd,s abnimmt. Die Tragfähigkeit V_Rd,c ist konstant, da sie auf dem Fachwerkmodell basiert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

Berechnung der Querschnittskennwerte für Querkraft

Zur Berechnung der Querkraft ist es wichtig, die Querschnittsgrößen zu berechnen, die die Querkrafttragfähigkeit beeinflussen. Zu diesen Größen zählen vor allem die querkraftwirksame Querschnittsbreite b_w, die statische Nutzhöhe d und der Hebelarm z. Die Norm [2] gibt diese Werte an, die direkt mit der tatsächlichen Biegebeanspruchung zusammenhängen. Problematisch ist jedoch die Bestimmung dieser Werte, wenn die Richtung der resultierenden Biegemomente (genauer die Richtung der Resultierenden der Querschnittstragfähigkeit) sich deutlich von der Richtung der resultierenden Querkräfte unterscheidet. In diesem Fall enthält die Norm EC2 keine Empfehlungen.

Querschnittsbreite zur Querkraftaufnahme b_w

Das Programm IDEA RCS berechnet die Querschnittsbreite zur Querkraftaufnahme in der Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte. Je nach Abschnitt des Eurocodes wird diese Breite wie folgt berechnet:
-  Die kleinste Querschnittsbreite zwischen der Resultierenden des Betondrucks und der Zugbewehrung in der Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte für Abschnitt 6.2.2 (a) und 6.2.3 (1)
- Die Querschnittsbreite in einer Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte im nachgewiesenen Punkt nach Abschnitt 6.2.2 (2)

Statische Nutzhöhe eines Querschnitts

Die statische Nutzhöhe ist üblicherweise definiert als der Abstand der am stärksten gedrückten Betonfaser vom Schwerpunkt der Bewehrung. Da sie unmittelbar mit der Biegung zusammenhängt, wird der Abstand als senkrechte Projektion auf die Schwerlinie der ebenen Dehnungsebene angegeben. 

Diese Definition kann so präzisiert werden, dass anstelle des Schwerpunkts der Zugbewehrung die Lage der Resultierenden der Bewehrungskräfte verwendet wird. Bei der Entwicklung des Programms IDEA RCS war folgendes Problem zu lösen: Wie ist die statische Nutzhöhe des Querschnitts zu definieren, wenn die Ebene der Biegebeanspruchung nicht mit der Richtung der Resultierenden der Querkräfte übereinstimmt. Daher wird die statische Nutzhöhe definiert als der Abstand der am stärksten gedrückten Betonfaser  von der Resultierenden der Kräfte in der Zugbewehrung  (auf Grundlage der Biegebeanspruchung) und zwar in Richtung der Resultierenden der Querkräfte, siehe Abbildung 1.17.

Ausnahmefälle treten auf, wenn die gedrückte Faser oder die Resultierende in der Zugbewehrung nicht bestimmt werden kann. In diesem Fall empfehlen wir, den Wert 0,9 h (90 % der Querschnittshöhe in Richtung der Resultierenden der Querkräfte) zu verwenden. Diesen Wert kann der Benutzer im Programm IDEA RCS in den Einstellungen der Normvariablen festlegen.

Hebelarm der inneren Kräfte

Der Hebelarm der inneren Kräfte ist in 6.2.3 (3) [2] angegeben und wird definiert als der „Abstand zwischen Zug- und Druckgurt“.  Die Norm legt nicht fest, wie vorzugehen ist, wenn die Ebene des wirkenden Biegemoments von der Richtung der Resultierenden der Querkräfte abweicht. Daher definieren wir wie im Fall der statischen Nutzhöhe den Abstand in der Richtung der Resultierenden der Querkräfte. Auch hier können ähnliche Ausnahmefälle auftreten, zum Beispiel wenn der gesamte Querschnitt gedrückt ist usw. In diesem Fall wird der Wert 0,9 d (90 % der statischen Nutzhöhe) angesetzt. Diesen Wert kann der Benutzer im Programm IDEA RCS in den Einstellungen der Normvariablen festlegen.

Die Abhängigkeit zwischen der Neigung der Biegeebene und der Resultierenden der Querkraft ist in Abbildung 1.18 und Abbildung 1.19 deutlich zu erkennen. Mit zunehmender Neigung nehmen die Werte der statischen Nutzhöhe, der Hebelarme und der zugehörigen Tragfähigkeiten ab. Der Grenzzustand liegt bei 90°. Bei dieser Neigung kann der Hebelarm der inneren Kräfte nicht berechnet werden, folglich ist der Hebelarm gleich null. In diesem Fall wird der in den Einstellungen der Normvariablen festgelegte Wert berücksichtigt. Dadurch entsteht am Ende des Diagramms ein Sprung. Diese Untersuchung belegt, dass das empfohlene Maximum der Neigung etwa 20° beträgt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

Im Rahmen der Tests der RCS-Anwendung wurde eine Untersuchung zur Abhängigkeit der Querkrafttragfähigkeit von der Änderung der Normalkraft durchgeführt. Die Tragfähigkeit V_Rd,max wird nur durch den Beiwert α_cw beeinflusst, siehe Abb. 1.20. Abb. 1.21 zeigt einen konstanten Wert der Tragfähigkeit V_Rds. Bei der Tragfähigkeit V_Rdc führt eine Zunahme der Normalkraft zu einer Abnahme. Die blaue Kurve in Abb. 1.21 zeigt die Tragfähigkeit V_Rdc unter Vernachlässigung des Einflusses der Risse und wurde mit der Formel in Abschnitt 6.2.2 (1) [2] berechnet. Der Sprung im Übergang zwischen Druck und Zug wird durch die mitwirkende Zugbewehrung verursacht. Die rote Kurve wird mit der Formel in Abschnitt 6.2.2 (2) [2] berechnet. Nach dem Auftreten des ersten Risses entspricht die Abhängigkeitskurve der von 6.2.2 (1) [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$

Berechnungsannahmen

Das Verhalten eines Stahlbetonquerschnitts unter Torsionsbeanspruchung lässt sich in zwei Zustände einteilen - vor und nach dem Zeitpunkt, ab dem erstmals mit Rissen gerechnet werden kann. Vor der Rissbildung verhält sich der Querschnitt wie ein elastisches Material. Die Torsionsspannung kann mit der folgenden Formel ausgedrückt werden   

 $$\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}$$ 

wobei W_t das Torsionswiderstandsmoment des Querschnitts ist.

Risse im unbewehrten Bauteil infolge der Hauptzugspannung aus Torsion gelten ebenfalls als Grenzzustand der Tragfähigkeit. Das Verhalten eines Stahlbetonquerschnitts unter Torsionsbeanspruchung kann anhand eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts beschrieben werden, siehe Abbildung unten. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}$$

Berechnungsablauf

Der Ablauf des Stahlbetonnachweises für Torsion ist dem Nachweis für Querkraft sehr ähnlich. Zunächst wird der Betonwiderstand nachgewiesen. Ist der Betonnachweis erfüllt, kann die Bewehrung nach den Konstruktionsregeln bemessen werden. Andernfalls müssen die Bewehrung und der Widerstand der Druckdiagonalen rechnerisch nachgewiesen werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}$$

Widerstand

Der Schubfluss in einer Wand eines dünnwandigen Querschnitts unter Torsion kann wie folgt ausgedrückt werden:

$${{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

Die Querkraft in einer Wand eines dünnwandigen Querschnitts kann wie folgt ausgedrückt werden:

$$V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z$$

Dabei ist 

τ          der Schubfluss in der Wand,

t_ef         die effektive Wanddicke,

z           die Seitenlänge der Wand,

T_Ed       das Torsionsmoment,

A_k        die von den Mittellinien der verbundenen Wände eingeschlossene Fläche, einschließlich innerer Hohlflächen.

Das Rissmoment bei Torsion kann bestimmt werden, indem f_ctd in den vorherigen Ausdruck eingesetzt wird. So erhalten wir den Ausdruck für den Torsionswiderstand ohne Torsionsbewehrung.

$${{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}$$

wobei  f_ctd       der Bemessungswert der zentrischen Betonzugfestigkeit ist

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}$$

Der Bauteilwiderstand mit Torsionsbewehrung setzt sich aus dem Widerstand der Betondruckdiagonalen zusammen, der wiederum auf dem Fachwerkmodell beruht. Die Druckspannung in der Diagonalen kann mithilfe der Querkraft in der Wand eines dünnwandigen Querschnitts auf der betrachteten Wandfläche ausgedrückt werden, d. h.

$${{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }$$

Durch Einsetzen von  σ_c=σ_cwf_cd und T_Ed=T_Rd,max und Auflösen nach T_Rd,max erhalten wir die Gleichung für den Widerstand der Druckdiagonalen

$${{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}$$

wobei  

ν          = 0,6 für f_ck ≤ 60MPa oder  für f_ck > 60MPa

α_cw       der Beiwert, der den Spannungszustand im Druckgurt berücksichtigt

f_cd        der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit

Der Widerstand der Querkraftbewehrung unter Torsion basiert ebenfalls auf der Spannung in der Druckdiagonalen. Die Bügelkraft entspricht der Spannung in der Druckdiagonalen auf der Fläche, die der jeweiligen Bügelreihe zugeordnet ist, d. h.

$${{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~$$

Durch Einsetzen von  T_Ed=T_Rd,s und Auflösen nach T_Rd,s  erhalten wir die Gleichung:

 $${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta$$ 

Sind die Mengen der Längs- und Querkraftbewehrung bekannt, können wir den Winkel θ mit dem folgenden Ausdruck bestimmen

$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}$$ 

Durch Einsetzen in T_Rd,s erhalten wir

$${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}$$  

Dabei ist

A_sw      die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung

s           der Längsabstand der Bügel der Querkraftbewehrung

f_ywd      die wirksame Bemessungsfestigkeit der Querkraftbewehrung

A_sl       die Querschnittsfläche der Längsbewehrung

u_k         der äußere Umfang des Querschnitts

f_ywd      die wirksame Bemessungsfestigkeit der Längsbewehrung

Die Kraft in der Längsbewehrung kann aus der Querkraft in einer Wand eines Querschnitts unter reiner Torsionsbeanspruchung abgeleitet werden, die wie folgt gegeben ist:

$$V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}$$

Diese Kraft wird in Längsrichtung umgerechnet, und wir erhalten:

$${{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }$$

Der zulässige Wertebereich für den Winkel θ entspricht dem des Querkraftnachweises, d. h. 1 < cot θ < 2,5. Die Abhängigkeit zwischen den Widerständen ist in der Abbildung unten dargestellt. Das Diagramm zeigt, dass mit zunehmendem Winkel θ  der Widerstand T_Rd,max zunimmt,  der Widerstand T_Rd.s abnimmt und der Widerstand T_Rd,c konstant bleibt, da er nicht auf dem Fachwerkmodell beruht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}$$

Berechnung der Querschnittskennwerte für Torsion

Um den Querschnitt für Torsion nachzuweisen, ist es erforderlich, einen sogenannten äquivalenten dünnwandigen geschlossenen Querschnitt zu bestimmen. Zur Ermittlung der Abmessungen des äquivalenten dünnwandigen Querschnitts wird eine Rechteckform angenommen. Für die tatsächliche Fläche des Rechtecks gilt A = b×h und für den Umfang des Rechtecks u =2 (b +h). Mit diesen beiden Gleichungen lassen sich die Fläche und der Umfang eines alternativen dünnen Rechteckquerschnitts des ursprünglichen Querschnitts bestimmen. Die Lösung der zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ergibt:

$$b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$$h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}$$

Die Wanddicke des effektiven Querschnitts kann aus dem Umfang und der Querschnittsfläche wie folgt bestimmt werden:

$$t=\text{A}/\text{u}$$

Damit ergeben sich die Fläche und der Umfang bezogen auf die Mittellinie des effektiven Querschnitts:

$${{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$${{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)$$

Das Problem dieser Methode tritt bei Querschnitten vom Typ T mit breitem Flansch auf, wenn die Gesamtfläche und der Gesamtumfang zur Berechnung der Abmessungen herangezogen werden (einschließlich dieses Flansches). In zukünftigen Versionen des Programms IDEA RCS wird die Auswahl des massivsten Querschnittsteils möglich sein, der dann für den Torsionsnachweis verwendet wird.

Interaktion von Querkraft und Torsion für die Querkraftbewehrung

Ermittlung der Kraft in der Querkraftbewehrung infolge Querkraft. 

Die Berechnung basiert auf der in EN 1992-1-1 definierten Formel zur Ermittlung des Widerstands der Querkraftbewehrung. Auf Grundlage von Gleichung 6.13 (Kap. 6.2.3 (4)) lässt sich der Tragwiderstand eines Bügelschenkels wie folgt ableiten:

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . Querschnittsfläche eines Bügelschenkels, der im betrachteten Schnitt die Querkraft aufnimmt

s .  .  .  .  . Abstand der Querkraftbewehrung in Richtung der Bauteillängsachse 

a_sw,V .  .  . Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung pro Längeneinheit

z .  .  .  .  . der innere Hebelarm. Bei einem Bauteil mit konstanter Höhe entspricht er dem Biegemoment im betrachteten Element. Bei der Querkraftbemessung von Stahlbeton ohne Normalkraft darf üblicherweise der Näherungswert z = 0,9d verwendet werden.

f_ywd .  .  .  der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung

θ .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Bauteilachse senkrecht zur Querkraft

α .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Querkraftbewehrung und der Bauteilachse senkrecht zur Querkraft

β .  .  .  .  . Neigung des Bügelschenkels relativ zur Resultierenden der einwirkenden Querkraft

Die Querkraft wird anhand des Winkels der Bewehrung und der Dehnsteifigkeit der einzelnen Bügelschenkel gleichmäßig auf die einzelnen Bewehrungen umgelagert, die die Querkraft aufnehmen.

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

Weiterhin lässt sich die mittlere Bewehrungsdehnung in Richtung der resultierenden Querkraft ableiten:

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

Die tatsächliche Dehnung der i-ten Bewehrung kann wie folgt berechnet werden:

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

Die Zugspannung in einem bestimmten Bewehrungsschenkel:

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

Ermittlung der Kraft im einzelnen Bügel infolge Torsion

Der Torsionswiderstand eines Querschnitts darf auf Grundlage eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts berechnet werden, bei dem das Gleichgewicht durch einen geschlossenen Schubfluss erfüllt wird. Vollquerschnitte dürfen durch äquivalente dünnwandige Querschnitte modelliert werden. Bei nicht vollen Querschnitten darf die äquivalente Wanddicke die tatsächliche Wanddicke nicht überschreiten.

Der Schubfluss in den Wänden eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts infolge Torsion darf wie folgt berechnet werden:

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

Die Querkraft in einer bestimmten Wand beträgt dann:

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . Länge der Mittellinie der betrachteten Wand

Querkraft im Steg – die Länge der Stegmittellinie kann durch den Wert des Hebelarms "z" ersetzt werden.

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

Kraft in den Bügeln, die die Torsion aufnehmen, pro Meter Bauteillänge (pro Längeneinheit):

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

Zerlegung der Kräfte für den einzelnen Bügel

Ist für alle Bügel dasselbe Material definiert, ist die resultierende Spannung infolge Torsion in jedem Bügelschenkel konstant. Dann gilt:

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

wobei a_sw,T die Gesamtfläche der Bügel ist, die die Torsion pro Längeneinheit aufnehmen.

Haben die einzelnen Bügel unterschiedliche Materialien, muss die Dehnsteifigkeit der einzelnen Stäbe berücksichtigt werden.

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . Anzahl der Bewehrungsschenkel (Bewehrungsgruppen), die die Torsion aufnehmen

F_si,T .  .  . Kraft in der i-ten Bewehrungsgruppe infolge Torsion pro Längeneinheit

a_si,T .  .  . Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung, die die Torsion aufnimmt, pro Längeneinheit 

E_si,T .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten Bewehrungsgruppe, die die Torsion aufnimmt

ε_sw,T .  .  Dehnung in der Bewehrung infolge Torsion

Die resultierende Spannung in jedem Bügel infolge der einwirkenden Torsion wird wie folgt berechnet:

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

V+T-Interaktion

Die Berechnung der Spannungen in den Bügeln infolge Querkraft und Torsion ist dann eine Summation der Spannungen aus den einzelnen Lastkomponenten.  

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

Resultierende Kraft in der i-ten Bewehrung:

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

Interaktion von Querkraft, Torsion und Biegung für die Längsbewehrung

Ermittlung der Kraft in jeder Längsbewehrung infolge Normalkraft und Biegemoment

Die RCS-Anwendung wird verwendet, um die Querschnittsantwort infolge der Kombination aus Normalkraft und Biegemoment zu berechnen und so die Spannung und Dehnung in den einzelnen Längsstäben und der Spannbewehrung zu bestimmen.

Ermittlung der Kraft in der einzelnen Längsbewehrung infolge Querkraft

Der Zuwachs der Zugkraft in der Längsbewehrung ΔF_td infolge der Querkraft hängt von der Geometrie des Strebe-und-Zugband-Modells ab. 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  Zuwachs der Zugkraft in der Längsbewehrung infolge der Querkraft

V_ed .  .  .  . Bemessungswert der Querkraft, die im betrachteten Schnitt wirkt

θ .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Bauteilachse 

α .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Querkraftbewehrung und der Bauteilachse

Für die im Zuggurt angeordnete Längsbewehrung sollte die resultierende Kraft F_t in der Längsbewehrung infolge der Kombination N+M+V nicht größer als M_Ed,max/z angesetzt werden (wobei M_Ed,max das maximale Moment entlang des Trägers ist).

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

Die Kraft ΔF_td wird von allen Spanngliedern mit Verbund und der Bewehrung übertragen, die sich in dem Teil des Querschnitts befinden, der die Querkraft aufnimmt (im Fall eines I-Profils der Steg). Auf der sicheren Seite kann der Beitrag der Spannbewehrung mit 0 angesetzt werden. Die Berechnung geht davon aus, dass der Zuwachs der Axialdehnung der einzelnen Längsbewehrung, die die Querkraft aufnimmt, konstant ist (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Die Herleitung gilt für ein bilineares Arbeitsdiagramm der Bewehrung mit horizontalem plastischem Ast. Bei einem Diagramm mit geneigtem Ast muss die Berechnung angepasst werden.

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . Dehnungszuwachs in der Längsbewehrung infolge der Querkraft

n_s,V .  .  .  . Anzahl der Längsbewehrungen, die die Querkraft aufnehmen

A_sl,i,V .  .  . Fläche der i-ten Längsbewehrung, die die Querkraft aufnimmt

E_sl,i,V .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten Längsbewehrung, die die Querkraft aufnimmt

n_p,V .  .  .  . Anzahl der Spannglieder, die die Querkraft aufnehmen

A_pl,i,V .  .  . Fläche des i-ten Spannglieds, das die Querkraft aufnimmt

E_pl,i,V .  .  . Elastizitätsmodul des i-ten Spannglieds, das die Querkraft aufnimmt

Nach der Ermittlung des Kraftwerts ΔF_td kann anschließend die mittlere Bewehrungsdehnung Δε_V berechnet werden.

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

Spannungszuwachs in den einzelnen Längsstäben infolge der einwirkenden Querkraft:

für Betonstahl $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

für Spannglied $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

Ermittlung der Kraft in jeder Längsbewehrung infolge Torsion

Es ist sehr wichtig, die Längsbewehrung zu bestimmen, die die Torsion aufnimmt. Dies ist die Bewehrung, die in einem alternativen, torsionsaufnehmenden effektiven dünnwandigen Querschnitt liegt.

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Gemäß EN 1992-1-1 müssen für die torsionsaufnehmende Längsbewehrung mehrere Bedingungen erfüllt sein:

- die Bewehrung sollte gleichmäßig über die Länge z_i verteilt werden, bei kleinen Querschnitten darf die Bewehrung jedoch an den Ecken des Bügels konzentriert werden

- der maximale Achsabstand der Längsbewehrung beträgt 350 mm

Der Beitrag der Spannbewehrung wird gemäß EN 1992-1-1 nicht berücksichtigt.

EN 1992-2 legt fest, dass der Beitrag der Spannbewehrung berücksichtigt werden darf, der maximale Spannungszuwachs in der Spannbewehrung jedoch Δσ_p ≤ 500MPa nicht überschreiten darf. Dann kann die Formel wie folgt angepasst werden:

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Obwohl der Zuwachs der Spannbewehrung berücksichtigt werden darf, liegt dies jedoch im Ermessen des Benutzers. Derzeit wird die Spannbewehrung in der Berechnung nicht berücksichtigt. 

Die Berechnung geht davon aus, dass der Zuwachs der Axialdehnung jeder querkraftaufnehmenden Längsbewehrung konstant ist (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Die Herleitung gilt für ein bilineares Arbeitsdiagramm der Bewehrung mit horizontalem plastischem Ast. Bei einem Diagramm mit ansteigendem Ast muss die Berechnung angepasst werden.

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . Bemessungswert des Torsionsmoments, das im betrachteten Schnitt einwirkt

θ .  .  .  .  . Neigung der Druckdiagonalen bezogen auf die Längsachse des Trägers (identisch mit der für die Querkraft)

u_k .  .  .  .  Umfang der Fläche A_k

A_f .  .  .  .  die Fläche, die durch die Mittellinie des Ersatz-Hohlquerschnitts mit dünnen Wänden definiert wird

n_s,T .  .  .  .Anzahl der Längsbewehrungen im Beton, die das Torsionsmoment aufnehmen

A_sl,i,T .  .  . Fläche der i-ten Längsbewehrung im Beton, die das Torsionsmoment aufnimmt

Δε_T .  .  .  .die Dehnungsänderung in der Längsbewehrung infolge des Torsionsmoments

Δσ_s,i,T .  .  Spannungsänderung in der i-ten Längsbewehrung infolge des Torsionsmoments

E_sl,i,T .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten Längsbewehrung im Beton, die das Torsionsmoment aufnimmt

Spannungszuwachs in jeder Längsbewehrung infolge des einwirkenden Torsionsmoments:

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$

Der Nachweis basiert auf allgemeinen Annahmen, bei denen zwei Zustände des Querschnitts betrachtet werden: der ungerissene Querschnitt (die Zugfestigkeit des Betons wird nicht vernachlässigt) und der vollständig gerissene Querschnitt (die Zugfestigkeit des Betons wird vernachlässigt). Die Lösung unter Vernachlässigung der Betonzugfestigkeit wird unter den Annahmen von Abschnitt 7.1 (2) EN 1992-1-1 betrachtet.

Bei der Berechnung der Spannungen und Durchbiegungen wird der Querschnitt als ungerissen betrachtet, wenn die Biegezugspannung den Wert f_ct, eff nicht überschreitet. Der Wert von f_ct, eff kann als f_ctm oder f_ctm,fl angesetzt werden. Der Wert f_ctm wird bei der Berechnung der Rissbreite und der Zugverfestigung verwendet.

Im Rahmen dieses Nachweises werden vier grundlegende Fälle hinsichtlich der Spannungsbegrenzung behandelt.

• 7.2 (2) Druckspannungen in Bauteilen, die Umgebungsbedingungen der Expositionsklassen XD, XF und XS ausgesetzt sind, sind zu begrenzen:

$$\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}$$

$${{k}_{1}}=0,6$$

• 7.2 (3) Die Spannung im Beton unter quasi-ständigen Einwirkungen ist zu begrenzen:

$$\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}$$

$${{k}_{2}}=0,45$$

• 7.2 (5) Zugspannungen in der Bewehrung unter der charakteristischen Einwirkungskombination sind zu begrenzen:

$$\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}$$

$${{k}_{3}}=0,8$$

• 7.2 (5) Wenn die Spannung aus einer aufgezwungenen Verformung resultiert, darf die Zugspannung folgenden Wert nicht überschreiten:

$$\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}$$

$${{k}_{4}}=1$$

Die Werte k₁, k₂, k₃, k₄ für die Anwendung in einem Land können dem jeweiligen Nationalen Anhang entnommen werden. Die empfohlenen Werte betragen jeweils 0,8; 1 und 0,75, charakteristische Streckgrenze der Bewehrung, f_ck charakteristische Zylinderdruckfestigkeit f_ck, ermittelt nach 28 Tagen.

Die Entstehung von Rissen

Ein charakteristisches Merkmal von Stahlbetonstruktur unter Biege- oder Zugbeanspruchung ist das Auftreten von Rissversagen an Stellen, an denen die Zugspannung im Beton die Zugfestigkeit des Betons überschreitet. Für die Dauerhaftigkeit der Struktur sowie für die Ästhetik der Struktur ist es wichtig sicherzustellen, dass die entstehenden Risse so klein wie möglich sind. Die Berechnung der Rissbreiten sowie die für die verschiedenen Expositionsklassen zulässigen Maximalbreiten sind in EN 1992-1-1, Kapitel 7.3 angegeben.

Im ersten Schritt der Berechnung wird bestimmt, ob der Querschnitt gerissen ist oder nicht. Die Rissbreite selbst wird stets aus der quasi-ständigen oder häufigen Lastkombination berechnet (abhängig vom nationalen Anhang), die Rissbildung muss jedoch aus allen angegebenen GZG-Kombinationen überprüft werden. Dabei können zwei Fälle auftreten:

• Die maximale Zugspannung in den Betonrandfasern überschreitet aus keiner Lastkombination (quasi-ständig M_E,qp, häufig M_E,fr oder charakteristisch M_E,k) die Zugfestigkeit des Betons, und daher wird der Querschnitt als ungerissen betrachtet.

$${{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

• Wenn für eine der Kombinationen (quasi-ständig, häufig oder charakteristisch) Risse entstehen, d. h. das aus der betrachteten Lastkombination resultierende Biegemoment größer als das kritische Moment M_cr ist, gilt der Querschnitt aus dieser Lastkombination als gerissen, und die Eigenschaften des gerissenen Querschnitts sowie die Rissbreite müssen berechnet werden.

$${{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

M_E,i   .   .   das Biegemoment aus einer GZG-Lastkombination. Es kann sich dabei um M_E,qp, M_E,fr oder M_E,k handeln. 

f_ct,ef   .   .  die Zugfestigkeit des Betons zum betrachteten Zeitpunkt. Ist der Beton älter als 28 Tage, wird eine Festigkeit gleich f_ctm angesetzt.

Berechnung der Rissbreite

Bei einem biegebeanspruchten Bauteil wird die Rissbildung in 2 Phänomene unterteilt:

• Rissbildungsphase (Phase Nr. 2 in Abb. 1)
• Abgeschlossenes Rissbild (Phase Nr. 3 in Abb. 1)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}$$

Rissbildungsphase

Dies ist der anfängliche Teil des Prozesses, in dem einzelne Risse noch allmählich entstehen, bis der gesamte Zugbereich des Bauteils von Rissen betroffen ist, die annähernd gleichmäßig über die Länge des Bauteils verteilt sind. Der erste Riss entsteht, wenn die Kraft im zugbeanspruchten Streifen den Wert der kritischen Kraft N_r (kritische Zugkraft, siehe unten) überschreitet, und weitere Risse entwickeln sich bis zu einem Belastungsniveau, bei dem die Kraft im zugbeanspruchten Streifen etwa 1,3N_cr beträgt (Phase Nr. 2 in Abb. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}$$

Die entstehenden Risse werden in 2 Typen unterteilt – Primärrisse und Sekundärrisse. Primärrisse entstehen in den Zugrandfasern, wenn die effektive Zugfestigkeit des Betons (f_ct,eff) erreicht wird. Primärrisse stellen das erste Rissbild dar (Abb. 2). Kürzere Sekundärrisse bilden sich dann zwischen den Primärrissen (Abb. 3). Bei Spannungen, die etwa 1,2 bis 1,5 σ_sr entsprechen (üblicherweise wird ein Mittelwert von 1,3 σ_sr angesetzt, wobei σ_sr die Spannung in der Bewehrung bei der Bildung von Primärrissen in der Zugzone des Betons ist), ist auch die Entwicklung der Sekundärrisse abgeschlossen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}$$

Die Rissbreite in der Rissbildungsphase kann wie folgt berechnet werden:

$${{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}$$

Phase des abgeschlossenen Rissbilds

Nach Überschreiten von etwa dem 1,3-fachen der kritischen Kraft in der Zugzone entstehen keine neuen Risse mehr, die Anzahl der Risse im Bauteil stabilisiert sich, und mit weiterer Belastung nimmt nur noch die Breite der vorhandenen Risse zu (Phase Nr. 3 in Abb. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}$$

Die Rissbreite bei abgeschlossenem Rissbild kann wie folgt berechnet werden:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}$$

Kritische Zugkraft

Die Berechnung basiert auf dem Tension Chord Model (TCM). Die grundlegende Überlegung besteht darin, die Grenztragfähigkeit eines Stahlbetonstreifens zu berechnen, der aus einem Bewehrungsstab mit der Fläche A_s,eff besteht, der von einer effektiven Zugbetonfläche A_c,eff umgeben ist, die in der Lage ist, die Zugspannung aufzunehmen, bis die Zugfestigkeit f_ct,eff überschritten wird (normalerweise wird f_ctm angesetzt). Unter der Annahme eines vollständigen Verbunds zwischen Bewehrung und Beton kann davon ausgegangen werden, dass bis zum Auftreten des ersten Risses die Verformung der Bewehrung und des umgebenden Betons identisch ist. Die maximale Kraft im Zugstreifen unmittelbar vor dem ersten Riss N_r kann dann bestimmt werden:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}$$

Durch Einführung der Substitution

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

ergibt sich:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Unmittelbar nach der Bildung des ersten Risses wird die gesamte Kraft N_r von der Bewehrung übertragen, und die Spannung in der Bewehrung, die durch den gerade entstandenen Riss verläuft, kann wie folgt berechnet werden:

$${{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Rissbreitenberechnung nach EC 1992-1-1

Zur Berechnung der Rissbreite an Stahlbetonbauteilen wird folgende Gleichung verwendet:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

s_r,max   .   .   .   maximaler Rissabstand

ε_sm  .   .   .   .   die mittlere Dehnung der Bewehrung aus der Lastkombination, einschließlich der Auswirkungen der Zugverfestigung.

ε_cm  .   .   .   .   mittlere Dehnung des Betons zwischen den Rissen

Berechnung der Dehnungsdifferenz

Die Differenz der Dehnung von Bewehrung und Beton zwischen den Rissen kann aus folgender Gleichung ermittelt werden:

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

σ_s      .   .   .   .   die Spannung in der Bewehrung im Riss aus der betrachteten Lastkombination

k_t      .   .   .   .   ein empirischer Koeffizient, der die mittlere Dehnung berücksichtigt und von der Lastdauer abhängt. Für die Kurzzeitanalyse kann er den Wert 0,6 annehmen. Für die Langzeitanalyse wird die Reduzierung der Steifigkeit des Verbundquerschnitts auf etwa 70 % berücksichtigt, sodass sein Wert 0,4 beträgt, was die zeitabhängige Degradation des Verbunds zwischen Bewehrung und Beton einschließt.

α_e     .   .   .   . das effektive Verhältnis der Elastizitätsmoduli

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}$$

ς_p,_eff  .   .   .   .   effektiver Bewehrungsgrad

$${{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

A_c,_eff .   .   .   .   die effektive Fläche des zugbeanspruchten Betons um die Bewehrung (Bestimmung von A_c,eff siehe unten)

A_s,_eff .   .   .   .   die Fläche der verbundenen Bewehrung, die sich im Bereich von A_c,_eff befindet

A_p´    .   .   .   .   ist die Fläche der vor- oder nachgespannten Spannglieder innerhalb von A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   ist das angepasste Verhältnis der Verbundfestigkeit unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Durchmesser von Spann- und Bewehrungsstahl:

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}$$

ξ  .   .   . das Verhältnis der Verbundfestigkeit von Spann- und Bewehrungsstahl (Tabelle 6.2)

ϕ_s   .   .  größter Stabdurchmesser des Bewehrungsstahls

ϕ_p   .   .  der Durchmesser oder äquivalente Durchmesser des Spannstahls

Bei Bündeln ist A_p die Fläche der Bewehrung im Spannglied

$${{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}$$

Für einzelne Sieben-Draht-Litzen, bei denen φ_wire der Drahtdurchmesser ist

$${{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Für einzelne Drei-Draht-Litzen, bei denen φ_wire der Drahtdurchmesser ist

$${{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Wenn zur Rissverhinderung ausschließlich Spannbewehrung verwendet wird, ist Folgendes zu berücksichtigen.

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}$$

Bei vorgespannten Bauteilen ist eine Mindestfläche an verbundener Bewehrung nicht erforderlich, solange unter der charakteristischen Lastkombination und dem charakteristischen Wert der Vorspannkraft die Zugspannung in keiner Faser größer ist als die Zugfestigkeit des Betons, f_ct,eff. (siehe EN 1992-1-1 Abschn. 7.3.2 für weitere Einzelheiten)

Die effektive Fläche des zugbeanspruchten Betons

Ein wichtiger, aber gleichzeitig der schwierigste Schritt der Berechnung ist die Bestimmung der effektiven Fläche des zugbeanspruchten Betons um die Bewehrung. Sowohl der Eurocode als auch der Model Code betrachten einfache Belastungsfälle, bei denen das Stahlbetonbauteil durch einachsige Biegung oder Zug beansprucht wird. Der Wert der effektiven Höhe wird wie folgt bestimmt:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}$$

In der Regel ist der Wert h_c,eff = 2,5(h-d) maßgebend. Für zugbeanspruchte Bauteile ist die Obergrenze h/2, während sie für biegebeanspruchte Bauteile (h-x)/3 beträgt. Die Fläche A_c,eff ist jedoch auch durch die aus Gleichung 5(c+ϕ/2) bestimmte Breite begrenzt. Wenn der Abstand der Bewehrungsstäbe größer als 5(c+ϕ/2) ist, wird für die einzelnen Stäbe die effektive Fläche des zugbeanspruchten Betons mit der Breite 5(c+ϕ/2) angesetzt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}$$

Maximaler Rissabstand

Bei der Berechnung des maximalen Rissabstands s_r,max können zwei Fälle auftreten:

• Der Achsabstand der verbundenen Bewehrung überschreitet nicht den Abstand 5(c+ϕ/2) – Abb. 9a
• Der Achsabstand der verbundenen Bewehrung ist größer als 5(c+ϕ/2) – Abb. 9b

Die Berechnung des maximalen Rissabstands s_r,max für den Fall, dass die Achsabstände der Bewehrung den Wert 5(c+ϕ/2) nicht überschreiten, ist wie folgt definiert:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

c  .    .   .   .   .   Betondeckungswert in mm. Da der Betondeckungswert für die Randbewehrung zu den horizontalen und vertikalen Rändern unterschiedlich sein kann, wird empfohlen, den maximalen Betondeckungswert der betrachteten Bewehrung anzusetzen.

ϕ     .   .   .   .   Durchmesser der verbundenen Bewehrung. Bei unterschiedlichen Bewehrungsdurchmessern ist der äquivalente Durchmesser gemäß EN 1992-1-1 Gleichung 7.12 zu berechnen.

$${{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}$$

k₁ .   .   .   . ist ein Koeffizient, der die Verbundeigenschaften der verbundenen Bewehrung berücksichtigt

• k₁ = 0,8 für Rippenstäbe
• k₁ = 1,6 für Stäbe mit effektiv glatter Oberfläche (z. B. Spannglieder)

k₂ .   .   .   . ist ein Koeffizient, der die Dehnungsverteilung berücksichtigt

• k₂ = 1,0 für Biegung
• k₂ = 0,5 für reinen Zug

Für Fälle mit außermittiger Zugbeanspruchung oder für lokale Bereiche sollten Zwischenwerte von k₂ verwendet werden, die aus folgender Beziehung berechnet werden können:

$${{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}$$

k₃      .   .   .   .  Koeffizient, der die Länge des Bereichs nahe eines Risses ausdrückt, in dem der Verbund zwischen Beton und Bewehrung unterbrochen ist. Der empfohlene Grundwert des EC k₃ = 3,4 kann durch den Nationalen Anhang geändert werden. 

k₄      .   .   .   .   Koeffizient, der das Verhältnis zwischen Verbund- und Zugfestigkeit des Betons ausdrückt. Der empfohlene Grundwert des EC k4 = 0,425 kann durch den Nationalen Anhang angepasst werden.

Die Berechnung des maximalen Rissabstands s_r,max für den Fall, dass die Achsabstände der Bewehrung den Wert 5(c+ϕ/2) überschreiten, ist wie folgt definiert:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

Die maximalen Rissabstandswerte gemäß der Gleichung

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

sollten stets größer sein als die durch die Gleichung

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;$$

ermittelten Werte; andernfalls wird empfohlen, den größeren Abstand aus den obigen Gleichungen anzusetzen. Die Gleichung für die Dehnung im Beton/in der Bewehrung wird für den Fall großer Achsabstände der Bewehrung nicht geändert. In Bereichen mit kontrollierten Rissbreiten sollte der Achsabstand der einzelnen Bewehrungsstäbe nicht größer als 5(c+ϕ/2) sein.

In RCS implementierte Rissbreitenberechnung

Bestimmung der effektiven Fläche A_c,eff

Da es nicht ohne Weiteres bestimmbar ist, welche Bewehrung als längsverlaufende risswiderstehende Bewehrung betrachtet werden kann, wird A_c,eff mithilfe des folgenden iterativen Verfahrens bestimmt.

• Aus der gesamten auf Zug beanspruchten Bewehrung wird der Zugkraftmittelpunkt C_g,s,1 bestimmt. Die statische Höhe der Bewehrung d ist der Abstand zwischen C_g,s und der am stärksten gedrückten Betonrandfaser, berechnet in Richtung des resultierenden Biegemoments. Gleichzeitig werden die Lage der Nulllinie und die Höhe der Druckzone x für den gerissenen Querschnitt bestimmt. Damit kann die effektive Höhe h_c,eff bestimmt werden:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

• Durch Ausschluss aller Bewehrungsstäbe, die außerhalb von A_c,eff,1 liegen, wird der neue Schwerpunkt der Bewehrung C_g,s,2 bestimmt, zusammen mit der neuen statischen Höhe der Bewehrung d; die effektive Höhe h_c,eff wird auf dieselbe Weise wie im vorherigen Schritt bestimmt, jedoch mit geänderten Eingangswerten.

Es wird erneut überprüft, ob die gesamte betrachtete zugbeanspruchte Bewehrung in A_c,eff,2 liegt. Ist diese Bedingung erfüllt, kann die Iteration abgebrochen werden, und die Werte h_c,eff,2, A_c,eff,2 und A_s,eff,2 werden als Ergebniswerte in IDEA StatiCa RCS angezeigt.

Mögliche Fälle der Rissbreitenberechnung

Bei der Berechnung von Rissbreiten können grundsätzlich drei Fälle auftreten:

• Die Zugbewehrung liegt im Bereich A_c,eff, wobei der Achsabstand der einzelnen Bewehrungsstäbe kleiner als 5(c+ϕ/2) ist. Dann werden für die Berechnung folgende Definitionen verwendet:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• Die Zugbewehrung liegt in A_c,eff, wobei der Achsabstand der einzelnen Bewehrungsstäbe den Abstand 5(c+ϕ/2) überschreitet. Dann werden für die Berechnung folgende Definitionen verwendet:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• Die Zugbewehrung liegt nicht in A_c,eff (dies kann beispielsweise durch eine große Betondeckung verursacht werden). 

In diesem Fall wäre es nicht möglich, die Rissbreite zu berechnen. Daher wird die Berechnung der effektiven Höhe h_c,eff wie folgt geändert:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}$$

Gleichzeitig wird folgende Nichtkonformität angezeigt:

Die effektive Zugbetonfläche um die Bewehrung oder Spannglieder mit der Tiefe h_c,eff, wobei h_c,eff der kleinere Wert aus 2,5(h – d) oder h/2 ist. Unter Berücksichtigung des Wertes (h – x)/3 liegt die Bewehrung außerhalb der effektiven Zugbetonfläche, sodass eine Berechnung der Rissbreite gemäß Abschnitt 7.3.4 nicht möglich wäre.

Das N-M-κ-Diagramm zeigt die Krümmung (Biegesteifigkeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von einem einwirkenden Biegemoment und einer Normalkraft. Es gibt drei Arten von N-M-κ-Diagrammen:
- Kurzzeit,
- Langzeit
- GZT.
Diese Diagramme unterscheiden sich in den Arten der Spannung-Dehnung-Diagramme, die für die Berechnung verwendet werden (siehe unten).

Zur Ermittlung des N-M-κ-Diagramms dient die Steifigkeitsberechnung für ausgewählte charakteristische Zustände des Querschnitts. Allgemein kann dies jeder Querschnittszustand sein, für den die Beanspruchung berechnet wird und aus dem sich Biegesteifigkeit und Krümmung ableiten lassen. In IDEA RCS werden vier charakteristische Punkte betrachtet (M_r, M_c, M_s und M_u).

M_r - das Rissmoment 

Der Querschnitt wird mit einer benutzerdefinierten Normalkraft beansprucht, und die Dehnungsebene beginnt sich (in Richtung des vorgegebenen Biegemoments) zu drehen, bis in einer Betonfaser die Zugfestigkeit des Betons erreicht ist (für die Betonfestigkeitsklasse C30/37 beträgt sie f_ctm = 2,896 MPa). Für die Berechnung wird sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit horizontalem plastischem Ast verwendet.

M_c - das Biegemoment bei Erreichen der Druckfestigkeit des Betons

Aus dem vorherigen Schritt wird die am höchsten ausgenutzte Betonfaser im Druckbereich ermittelt. Für diese Faser wird die Dehnung bei der Festigkeit des Betons (f_ck/E_cm für Kurzzeit, f_ck/E_ceff für Langzeit und f_cd/E_cm für das GZT-Diagramm) angesetzt. Auf Grundlage der definierten Normalkraft und der Richtung des Biegemoments wird ein Iterationsprozess zur Bestimmung der Dehnungsebene durchgeführt, um das Gleichgewicht zwischen der Beanspruchung des Querschnitts und der definierten Normalkraft zu finden.  Für die Berechnung wird sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit horizontalem plastischem Ast verwendet.

M_s - das Biegemoment bei Erreichen der Streckgrenze im am höchsten ausgenutzten Bewehrungsstab

Ein weiterer charakteristischer Punkt des N-M-κ-Diagramms ist der Spannungszustand des Querschnitts, in dem die Streckgrenze im am höchsten ausgenutzten Bewehrungsstab erreicht wird (die Dehnung des Bewehrungsstabs entspricht f_yk/E_s für die Kurzzeit- und Langzeitdiagramme, f_yd/E_s für das GZT-Diagramm). Der Iterationsprozess ermittelt das Gleichgewicht der Normalkräfte im Querschnitt, indem die Dehnungsebene um den Punkt gedreht wird, der durch die Lage des am höchsten ausgenutzten Bewehrungsstabs festgelegt ist. Für die Berechnung wird sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit horizontalem plastischem Ast verwendet.

M_u - das Biegemoment im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Dies ist die Biegetragfähigkeit eines Querschnitts, wenn der Querschnitt mit dem definierten Bemessungswert der Normalkraft N_ed beansprucht wird. Für die Berechnung der Querschnittstragfähigkeit wird angenommen, dass die Druckfestigkeit in der am höchsten ausgenutzten Betonfaser und die Zugfestigkeit im am höchsten ausgenutzten Bewehrungsstab erreicht werden (maximale Dehnung für Beton ε_cu = 0,1 und für Bewehrung ε_s,max = 0,5. Für die Berechnung werden ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit horizontalem plastischem Ast für die Bewehrung und ein Parabel-Rechteck-Diagramm für den Beton verwendet.

Die resultierende Steifigkeit und Krümmung für die benutzerdefinierte Kombination aus Normalkraft und Biegemoment ( Md) werden dann durch lineare Interpolation zwischen den einzelnen charakteristischen Punkten des N-M-κ-Diagramms berechnet.

Berechnung der Steifigkeiten und Krümmungen

Die Steifigkeiten und Krümmungen für jeden Spannungszustand des Querschnitts (M_r, M_c, M_s oder M_u) werden direkt aus der Drehung der Dehnungsebene berechnet. 

$$E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}$$

E_Ax .   .    Dehnsteifigkeit des Bauteils

N . .   .   . die vorgegebene Normalkraft

ε_x .   .   .  Dehnung in Längsrichtung im Schwerpunkt des Betonquerschnitts

$$E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }$$

E_Iy .   .   .   Biegesteifigkeit des Bauteils

M .   .   .    das berechnete Biegemoment M_r, M_c, M_s oder M_u

κ .   .   .   . die Krümmung des Bauteils, berechnet als Tangens des Winkels zwischen der Dehnungsebene und der Bauteillängsachse

Praxisbeispiel

Ein Betonquerschnitt (Betonfestigkeitsklasse C30/37) ist mit ϕ32-Bewehrung (Güte B500B) bewehrt. Die definierte quasi-ständige Kombination ist N = -730 kN und M_y = 557 kNm.

Die Dehnungsebene für den charakteristischen Punkt M_s wird von IDEA RCS wie folgt ermittelt:

$$E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN$$

$$\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}$$

$$E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}$$

Für die Berechnung verwendete Spannung-Dehnung-Diagramme

Bewehrung - M_r, M_c, M_s und M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

[1] Bradáč Betonové konstrukce (Betonstrukturen), 1. Teil: Bemessung von Bauteilen aus Stahlbeton und unbewehrtem Beton, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, inkl. Änderung NA Ed. A (2007) und Revision 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerische Methoden in der nichtlinearen Betonbemessung, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, Online-Buch http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010