IDEA StatiCa RCS – Constructief ontwerp van 1D-betonstaven

Methoden voor de toetsing van de doorsnedecapaciteit

Voor de toetsing van de uiterste grenstoestand van 1D-betonstaven zijn twee bekende methoden beschikbaar. De eerste methode levert de uiterste doorsnedeweerstand in de vorm van een interactieoppervlak of een interactiediagram (bij een buigend moment in één richting). De doorsnedecapaciteit kan worden bepaald als de verhouding tussen de werkende snedekrachten en de krachten in de grenstoestand. De tweede methode zoekt het evenwicht in een doorsnede, waarbij we kijken naar het werkelijke gedrag van de belaste doorsnede, het materiaalgebruik in termen van spanningen en inzicht in de zwakke punten van de doorsnede.

Algemene ontwerp- en rekenaannamen voor de uiterste grenstoestand 

1. De rek ε in de wapening en het beton wordt verondersteld recht evenredig te zijn met de afstand tot de neutrale lijn (vlakke doorsneden blijven vlak).
2. De samenwerking tussen wapening en beton is gewaarborgd door samenwerking van beton en wapening zonder slip (de rek ε in de wapening en in de aangrenzende vezels van het beton is gelijk).
3. De treksterkte van beton wordt verwaarloosd (alle trekspanningen worden door de wapening opgenomen).
4. De drukspanningen in het beton in de drukzone worden berekend uit de rek met behulp van spanning-rekdiagrammen.
5. De spanningen in de wapening worden berekend uit de rek met behulp van spanning-rekdiagrammen.
6. De betonrek bij druk is begrensd door de uiterste rek ε_cu2 (parabool-rechthoekdiagram voor beton onder druk) en ε_cu3 (bilineaire spanning-rekrelatie), [2].
7. De rek van de wapening bij druk is niet begrensd bij een horizontale plastische tak; bij een hellende plastische tak is de rek begrensd tot ε_ud,[2].
8. Er is sprake van een grenstoestand wanneer ten minste één van de materialen de uiterste grensrek overschrijdt (als εu niet is begrensd, is het beton onder druk maatgevend).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}$$

Interactiediagram

De eerste mogelijkheid is om de doorsnede te toetsen met een interactieoppervlak (of interactiediagram). De toelichting is gebaseerd op een voorbeeld van de interactieoppervlakken voor de gewapende vierkante doorsnede uit het voorbeeld in onderstaande figuur. Op het interactieoppervlak liggen punten die de uiterste grenstoestand van de beschouwde doorsnede definiëren. Het interactieoppervlak wordt getekend op basis van de punten (N, My, Mz), die worden bepaald door spanningsintegratie over de doorsnede, waarin in een van de materialen de uiterste grensrek is bereikt. Voor een 3D- interactie kan het oppervlak worden afgeleid uit een 2D- interactiediagram, dat een gesloten curve is die overeenkomt met de spanningstoestand bij een stapsgewijs gedraaide neutrale lijn.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}$$

Bij een doorsnede die symmetrisch is om de y-as, is het interactiediagram symmetrisch rond het vlak N-M_y. Op dezelfde wijze is bij een doorsnede die symmetrisch is om de z-as het interactiediagram symmetrisch rond het vlak N-M_z. Een eenzijdig gewapende doorsnede geeft een afgeplatte vorm van het interactiediagram

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}$$

De punten die de uiterste grenstoestand definiëren, worden verkregen door spanningsintegratie.  De onderstaande figuur toont de rek in de uiterste grenstoestand.

Rekverdelingen in de uiterste grenstoestand (overgenomen uit [2]).

Het interactiediagram toont het bezwijken van de doorsnede onder normaalkracht en buigende momenten. [1]

Bij beschouwing van het 2D-diagram (gesloten curve op het interactieoppervlak) kunnen we vaststellen dat het rekvlak door de neutrale lijn en het kritieke punt [y, z, ε] gaat, dat wordt beschouwd als kritiek punt R.  Punt [y, z] definieert een punt in de doorsnede met de rekwaarde ε in de uiterste grenstoestand. De helling van de neutrale lijn is constant voor alle punten van het 2D-diagram.

Wanneer de drukspanning in het beton maatgevend is voor het ontwerp, valt punt R samen met de meest gedrukte betonvezel of met het begrenzende punt C. Dit is echter alleen van toepassing als de doorsnede uit één type beton bestaat - dus niet bij een gemengde doorsnede.   

Wanneer de trekspanning in de wapening maatgevend is voor het ontwerp (de rek ε_ud wordt in de uiterste grenstoestand overschreden voor een of meer staven), moet worden voldaan aan de voorwaarde dat voor het gegeven rekvlak de waarde ε_ud in geen enkele andere staaf wordt overschreden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}$$

De bovenstaande afbeelding laat zien dat het diagram in twee delen kan worden verdeeld: het deel waarin het bezwijken wordt veroorzaakt door een trek kracht en het deel dat bezwijkt door een druk kracht. De grenspunten komen overeen met de situatie hierboven, waarin ook de uiterste helling van het rekvlak te zien is. Bij het tekenen van een interactie diagram varieert de helling van het rekvlak van een doorsnede binnen dit interval, terwijl we zoeken naar het punt R (zie hierboven). Op basis van het zo gedefinieerde vlak voeren we de integratie uit om de spanning in de uiterste grenstoestand te bepalen.

Toetsing van een doorsnede onder normaalkracht en buigend moment

De toetsing van een doorsnede onder normaalkracht en buigend moment bestaat uit het aantonen dat de te toetsen snedekrachten (combinatie N_d, M_yd, M_zd) binnen of op het interactieoppervlak liggen. Dit kan met verschillende methoden. Het volgende voorbeeld toont de toetsing van een rechthoekige doorsnede onder de krachten N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Methode NuMuMu

Om de weerstand van een doorsnede te bepalen nemen we evenredige wijzigingen aan in alle componenten van de snedekrachten (de excentriciteit van de normaalkracht blijft constant) totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken snedekrachten kan worden opgevat als een beweging langs een lijn die het oorsprongspunt van het coördinatenstelsel (0,0,0) verbindt met het punt dat wordt gedefinieerd door de snedekrachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee stelsels van krachten in de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten in de grenstoestand: de rekenwaarde van de normaalkrachtweerstand N_Rd en de bijbehorende rekenwaarden van de momentweerstand M_Rdy, M_Rdz.

Methode  NuMM

Om de weerstand van de doorsnede te bepalen nemen we een constante normaalkracht aan (gelijk aan de werkende rekenwaarde van de normaalkracht) en evenredige wijzigingen in de buigende momenten totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken snedekrachten kan worden opgevat als een beweging in een horizontaal vlak langs de lijn die het punt (N_Ed,0,0) verbindt met het  punt dat wordt gedefinieerd door de werkende snedekrachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee stelsels van krachten in de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten in de grenstoestand: de rekenwaarden van de momentweerstand M_Rdy, M_Rdz en de (bijbehorende) werkende rekenwaarde van de normaalkracht N_Ed.

Methode  NMuMu

Om de weerstand van de doorsnede te bepalen nemen we een constante normaalkracht aan (gelijk aan de werkende rekenwaarde van de normaalkracht) en evenredige wijzigingen in de buigende momenten totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken snedekrachten kan worden opgevat als een beweging in een horizontaal vlak langs de lijn die het punt (N_Ed,0,0) verbindt met het punt dat wordt gedefinieerd door de werkende snedekrachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee stelsels van krachten in de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten in de grenstoestand: de rekenwaarden van de momentweerstand M_Rdy, M_Rdz, en de (bijbehorende) werkende rekenwaarde van de normaalkracht N_Ed.

Het bepalen van de doorsnederespons

Een andere mogelijkheid om de doorsnede te toetsen is het bepalen van de doorsnederespons (d.w.z. de verdeling van rek en spanning als gevolg van de werkende snedekrachten). Deze methode staat ook bekend als de methode van de grensvervorming. Het niveau van de werkende spanningen in elke vezel (bij vlakke buiging in elke laag) en in elke wapeningsstaaf wordt berekend op basis van de rek volgens het spanning-rekdiagram van het materiaal.
Het bepalen van de doorsnederespons gebeurt met de numerieke methode uit [6]. Het principe bestaat uit het stapsgewijs ophogen van de belasting op de doorsnede met de onevenwichtige componenten van niet-overgedragen krachten. Deze worden verkregen door de spanning over de doorsnede te integreren met behulp van spanning-rekdiagrammen. Als de spanningswaarde kan worden gevonden voor de rek in het spanning-rekdiagram, zie onderstaande figuur (a), is de berekende spanning correct uitgaande van lineair elastisch materiaal. In de gevallen (b) en (c) bereikt de spanning bij een lineaire berekening onrealistische waarden, en kan een deel (b) of de volledige waarde (c) niet door het materiaal worden overgedragen. Door de niet-overgedragen spanningen te integreren krijgen we niet-overgedragen snedekrachten, en de resultanten daarvan moeten worden toegevoegd aan de snedekrachten van de veranderlijke belastingen. 

Niet-overgedragen spanningen in spanning-rekdiagrammen. [4]

Niet-overgedragen inwendige krachten. [4]

Deze rekenmethode vereist het gebruik van numerieke methoden voor het integreren van de spanning over het doorsnedeoppervlak en voor de niet-lineaire analyse van evenwichtsvergelijkingen in de doorsnede. De iteratie wordt beëindigd op het moment dat aan de convergentiecriteria is voldaan.

$$\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}$$

waarin 

F_e de belasting op de doorsnede is,

F_i de doorsnederespons is (snedekrachten berekend op basis van het rekvlak).

Als a de benaderde waarde is en b de exacte (werkelijke) waarde, dan wordt de absolute afwijking gegeven door de volgende vergelijking.

$$e = \left| {b - a} \right|$$

De relatieve afwijking wordt gegeven door de volgende formule:

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|$$

In de meeste programma's kunt u deze convergentiecriteria instellen (de standaardwaarden zijn 1% als relatieve fout, 100 N, 100 Nm als absolute fout van de normaalkracht en de momenten). 

Als we dus als invoer N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm hebben en de geïntegreerde krachten na iteratie N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, is de beoordeling als volgt. Omdat N en Mz gelijk zijn aan 0, kan een vergelijking met de absolute afwijking worden gemaakt:

De waarde van de normaalkracht 100N> | 70 | N
De waarde van het buigend moment Mz 100Nm> | 20 | Nm
De waarde van het buigend moment My

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01$$

Toetsing van de doorsnede op basis van de respons

Bij het bepalen van het evenwicht in de doorsnede is het rekvlak bekend. Uit het rekvlak kunnen we de rek op elke plaats in de doorsnede berekenen, en vervolgens de spanning of de inwendige krachten in wapeningsstaven, in de doorsnede of in delen daarvan met behulp van spanning-rekdiagrammen van de materialen. De berekende spanningen en rekwaarden vergelijken we met de grensrek uit de spanning-rekdiagrammen van de toegepaste materialen.
Het voordeel van deze methode is dat we een volledig beeld krijgen van de spannings- en rekwaarden in de doorsnede onder de snedekrachten die op de doorsnede werken.

Met betrekking op bros bezwijken is de toetsing op afschuiving een van de belangrijke toetsingen van een gewapende betondoorsnede.

Berekeningsprocedure

De berekening van de afschuifweerstand bestaat uit enkele basisonderdelen. Eerst moet worden geanalyseerd of er scheuren door buiging optreden of niet op de getoetste locatie. Als er scheuren zijn, gebruik dan de berekening volgens EN 1992-1-1 [2], artikel 6.2.2 (1). Anders bepalen we of het ongewapend beton of licht gewapend beton betreft en gaan we verder volgens EN 1992-1-1 artikel 12.6.3. 

Voor gewapend ongescheurd beton (zonder afschuifwapening) toetsen we volgens EN 1992-1-1 artikel 6.2.2 (2). Voor elementen waarbij afschuifwapening vereist is toetsen we volgens artikel 6.2.3 [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

Afschuifweerstand van staven zonder afschuifwapening

Afschuifweerstand van staven in gescheurde buigingszones (art. 6.2.2 (1) [2])

De afschuifweerstand van gewapend betonnen staven zonder afschuifwapening die op buigend moment worden belast, wordt gegeven door:

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

Deze formule is opgesteld op basis van proeven op een representatief aantal enkelvoudig opgelegde liggers die door afschuifkracht bezweken. Omdat de bovenstaande weerstand nul kan zijn voor elementen zonder langswapening (r_l), zijn voor licht gewapende staven aparte vergelijkingen afgeleid. Omdat de bovenstaande weerstand nul kan zijn voor staven zonder langswapening (r_l), is voor de licht gewapende staven de volgende vergelijking bepaald

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

Voor de afschuifweerstand met invloed van de normaalkracht is de volgende vergelijking bepaald

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

De afschuifweerstand in volledige vorm, overeenkomstig EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

Met een minimum van

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

waarbij  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          factor voor de doorsnedehoogte 

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      wapeningspercentage van de langswapening

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        karakteristieke cilinderdruksterkte van het beton na 28 dagen

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        kleinste breedte van de doorsnede in de trekzone

d          effectieve hoogte van een doorsnede

υ_min      minimale equivalente afschuifsterkte υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Afschuifweerstand van staven in ongescheurde buigingszones (art. 6.2.2 (2) [2])

De afschuifweerstand van staven in ongescheurde buigingszones kan worden bepaald met de cirkel van Mohr. In de vergelijking

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

substitueren we σ_x = σ_cp en τ_z = V_Rd,c S / (I b_w), lossen we V_Rd,c op en verkrijgen we de vergelijking die overeenkomt met de formule in EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

waarbij  

I           het kwadratisch oppervlaktemoment is,

b_w        de breedte van de doorsnede ter hoogte van de zwaartepuntsas is

S          het statisch oppervlaktemoment is van het deel boven de zwaartepuntsas, bepaald om die as,

f_ctd        rekenwaarde van de axiale treksterkte van beton in MPa,

 s_cp       de drukspanning in het beton ter hoogte van de zwaartepuntsas is, als gevolg van belasting en/of voorspanning,

a_l         factor voor de overdrachtslengte, meestal 1,0.

In verband hiermee moet worden opgemerkt dat in zones zonder buigscheuren de weerstand V_Rd ,c  aanzienlijk hoger kan zijn dan in gescheurde zones volgens artikel 6.2.2 (1) [2]. De onderstaande figuur toont duidelijk dat, ook als de afschuifkracht op de extreme plaats wordt getoetst (waar geen scheuren optreden), daarmee niet noodzakelijk is gewaarborgd dat de kracht over de hele liggerlengte kan worden overgedragen. Dit komt door een wijziging in de methode voor de berekening van de afschuifweerstand van het beton. Aan de veilige kant kan de afschuifweerstand uiteraard worden bepaald volgens artikel 6.2.2 (1) [2] ook op plaatsen waar geen scheuren zullen optreden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

Bij de uitdrukking voor V_Rd, c  volgens artikel 6.2.2 (2)[2] moet ook worden opgemerkt dat de toetsing in het algemeen moet plaatsvinden in de vezel met de maximale hoofdtrekspanning in het beton in de zone met normale drukspanning, maar niet in het zwaartepunt van de doorsnede. Voor dit punt moeten de doorsnede-eigenschappen (S en b_W) worden berekend. Om de maximale hoofdspanning s₁ te bepalen trekken we in het programma IDEA RCS een lijn door het zwaartepunt in de richting van de resulterende afschuifkrachten. Deze lijn verdelen we in 20 segmenten. Op deze lijn voegen we nog meer karakteristieke punten toe (punten van de doorsnedepolygoon, het zwaartepunt, de neutrale lijn). In deze punten berekenen we S, b_w, σ_x, τ_yz en σ_1.  In het punt met de maximale hoofdtrekspanning berekenen we de afschuifweerstand.

De afschuifkracht moet vóór toepassing van de reductiefactor b volgens artikel 6.2.2 (6) voldoen aan de extra voorwaarde

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

waarbij 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  waarbij f_ck in MPa is

Afschuifweerstand van staven zonder wapening of met lichte wapening (art. 12.6.3 [2])

De afschuifweerstand van ongewapend of licht gewapend beton kan worden bepaald met de uitdrukking

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

Waarbij

τ_cp vervangen we door

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

of

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

De deelwaarden die in de bovenstaande formule worden gebruikt, worden gegeven door:

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

waarbij  

f_cd,pl     rekenwaarde van de druksterkte van ongewapend of licht gewapend beton,

f_ctd,pl    rekenwaarde van de axiale treksterkte van ongewapend of licht gewapend beton,

f_cvd       rekenwaarde van de afschuifweerstand onder betondruk.

De weerstand van staven met afschuifwapening (art. 6.2.3 [2])

De berekening van de weerstand van gewapend betonnen staven met afschuifwapening is gebaseerd op de vakwerkanalogie met diagonalen onder variabele hoek. De basis van deze methode is het krachtenevenwicht in de driehoek die wordt bepaald door de drukdiagonaalkracht (diagonaal), de kracht in de afschuifwapening (beugel) en de kracht in de langswapening.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

De doorsnede onder afschuifbelasting wordt onder een hoek θ doorsneden door scheuren. Daarom biedt de betondiagonaal met dezelfde hoek weerstand tegen de afschuifkracht. De drukkracht in de diagonaal kan worden uitgedrukt als V_ed/sinθ. Deze kracht moet worden overgedragen door het betonoppervlak loodrecht op de drukdiagonaal b_wzcosθ. De betondrukspanning in de drukdiagonaal is dan gelijk aan:

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

Door $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  en $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ te substitueren en $${{V}_{Rd,max}}$$ uit te drukken, verkrijgen we de vergelijking voor de afschuifweerstand van de diagonaal:

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

Om de verticale krachtcomponent in de drukdiagonaal in evenwicht te brengen, wordt afschuifwapening toegepast. De grootte van de verticale kracht is gebaseerd op de diagonale drukspanning in het betongebied dat overeenkomt met één beugel - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. De grenskracht in de beugel wordt gegeven door \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Na invulling van σ_c en vergelijking met de grens kracht in de wapening verkrijgen we na omwerking:

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

Door vervolgens V_ed uit te drukken als V_RDs verkrijgen we de weerstand van de doorsnede met verticale afschuifwapening:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

De longitudinale afschuifkracht wordt overgedragen door de langswapening en kan worden bepaald als V_edcotgθ . De afleiding van bovenstaande formules is te vinden in [4].

Met het programma IDEA RCS is het alleen mogelijk staven met verticale afschuifwapening te toetsen. In het algemeen kunnen de volgende vergelijkingen worden gebruikt:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

Waarbij  

A_sw      de doorsnede-oppervlakte van de afschuifwapening is,

s           de h.o.h.-afstand van de beugels is,

f_ywd      de rekenwaarde van de vloeigrens van de afschuifwapening is,

b_w        de minimale breedte tussen de trek- en drukgordel is. Voor de berekening van de weerstand V_Rd,max moet de doorsnedebreedte worden verlaagd tot de zogenoemde nominale breedte van de doorsnede indien de doorsnede wordt verzwakt door kabelkanalen

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ voor geïnjecteerde metalen kanalen

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ voor niet-geïnjecteerde metalen kanalen           

υ          = 0,6 voor f_ck ≤ 60MPa of  voor f_ck > 60MPa,

α_cw       een coëfficiënt is die rekening houdt met de spanningstoestand in de drukgordel.

Tab. 1‑1 Bepaling van coëfficiënt α_cw

Hoek θ is de hoek tussen de betondrukdiagonaal en de ligger-as loodrecht op de afschuifkracht. De grenswaarden van cotθ voor gebruik in een land zijn te vinden in de Nationale Bijlage. De aanbevolen grenzen worden gegeven door de uitdrukking:

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

De keuze van de grootte van de hoek θ kan de waarde van de weerstanden beïnvloeden. De afhankelijkheid van de weerstanden is zichtbaar in figuur 1.15. De figuur laat zien dat bij toenemende hoek θ de weerstand V_Rd,max  toeneemt en de weerstand V_Rd,s afneemt. De weerstand V_Rd,c is constant, omdat deze gebaseerd is op de vakwerkanalogie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

Berekening van doorsnede-eigenschappen voor afschuiving

Voor de berekening van afschuiving is het belangrijk om de doorsnedegrootheden te berekenen die de afschuifweerstand beïnvloeden. Deze grootheden omvatten voornamelijk de afschuifweerstand biedende doorsnedebreedte b_w, de effectieve hoogte d en de inwendige hefboomsarm z. De norm [2] geeft deze waarden die direct samenhangen met de werkelijke buigspanning. Het probleem is echter het bepalen van deze waarden wanneer de richting van de resulterende buigende momenten (of nauwkeuriger de richting van de resultante van de doorsnedeweerstand) aanzienlijk afwijkt van de richting van de resulterende afschuifkrachten. In dit geval geeft de EC2-norm geen aanbevelingen.

Afschuifweerstand biedende doorsnedebreedte b_w

Het programma IDEA RCS berekent de afschuifweerstand biedende doorsnedebreedte in de richting loodrecht op de resultante van de afschuif krachten. Afhankelijk van het artikel in de Eurocode wordt deze breedte als volgt bepaald:
-  De kleinste breedte van de doorsnede tussen de resultante van de betondruk en de trekwapening in de richting loodrecht op de resultante van de afschuif krachten voor artikel 6.2.2 (a) en 6.2.3 (1)
- De doorsnedebreedte in een richting loodrecht op de resultante van de afschuif krachten in het getoetste punt volgens artikel 6.2.2 (2)

Effectieve hoogte van een doorsnede

De effectieve hoogte wordt gewoonlijk gedefinieerd als de afstand van de meest gedrukte betonvezel tot het zwaartepunt van de wapening. Omdat deze afstand direct samenhangt met de buiging, wordt deze gegeven als loodrechte projectie op de zwaartelijn van het vlak van de rekken. 

Deze definitie kan worden verduidelijkt door in plaats van het zwaartepunt van de trekwapening de positie van de resultante van de krachten in de wapening te gebruiken. Tijdens de ontwikkeling van het programma IDEA RCS is het volgende probleem opgelost: hoe de effectieve hoogte van de doorsnede te definiëren wanneer het vlak van de buigende belastingen niet overeenkomt met de richting van de resulterende afschuif krachten. Daarom wordt de effectieve hoogte gedefinieerd als de afstand van de meest gedrukte betonvezel  tot de resultante van de krachten in de trekwapening  (op basis van de buigspanning) en in de richting van de resulterende afschuif krachten, zie figuur 1.17.

Uitzonderlijke gevallen treden op wanneer we de gedrukte vezel of de resultante in de trekwapening niet kunnen bepalen. In dat geval raden we aan de waarde 0.9 h te gebruiken (90% van de doorsnedehoogte in de richting van de resulterende afschuif krachten). Deze waarde kan de gebruiker in het programma IDEA RCS definiëren via de instelling van de normvariabelen.

Hefboomsarm van de inwendige krachten

De hefboomsarm van de inwendige krachten staat in 6.2.3 (3) [2] en wordt gedefinieerd als de "afstand tussen de trek- en drukgordel”.  De norm definieert niet hoe te handelen wanneer  het vlak van het werkende buigend moment afwijkt van de richting van de resulterende afschuif krachten. Daarom definiëren we, net als bij de effectieve hoogte, de afstand in de richting van de resulterende afschuif krachten. Ook hier kunnen we te maken krijgen met vergelijkbare uitzonderlijke gevallen, bijvoorbeeld wanneer de hele doorsnede op druk wordt belast, enz. In dat geval nemen we de waarde 0.9 d (90% van de effectieve doorsnedehoogte). Deze waarde kan de gebruiker in het programma IDEA RCS instellen via de instelling van de normvariabelen.

De afhankelijkheid tussen de helling van het buigvlak en de resultante van de afschuifkracht is duidelijk zichtbaar in figuur 1.18 en figuur 1.19. Naarmate de helling toeneemt, nemen de waarden van de effectieve hoogte, de hefboomsarmen en de bijbehorende weerstanden af. De grenstoestand is 90°. Bij deze helling kan de hefboomsarm van de inwendige krachten niet worden berekend, waardoor de hefboomsarm gelijk is aan nul. In dat geval wordt de waarde aangehouden die is opgegeven in de instelling van de normvariabelen. Hierdoor ontstaat een sprong aan het einde van de grafiek. Deze studie toont aan dat het aanbevolen maximum voor de helling ongeveer 20° is.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

Als onderdeel van het testen van de RCS applicatie is een studie uitgevoerd naar de afhankelijkheid van de afschuifweerstand van veranderingen in de normaalkracht. De weerstand V_Rd,max wordt alleen beïnvloed door de coëfficiënt α_cw, zie fig. 1.20. Fig. 1.21 toont een constante waarde van de weerstand V_Rds. Voor de weerstand V_Rdc neemt deze af bij toenemende normaalkracht. De blauwe curve in fig. 1.21 toont de weerstand V_Rdc zonder rekening te houden met de invloed van scheuren en is berekend met de formule in paragraaf 6.2.2 (1) [2]. De sprong in de overgang tussen druk en trek wordt veroorzaakt door de bijdrage van de trekwapening. De rode curve wordt berekend met de formule in paragraaf 6.2.2 (2) [2]. Nadat de eerste scheur is ontstaan, is de afhankelijkheidscurve gelijk aan die voor 6.2.2 (1) [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$

Rekenuitgangspunten

Het gedrag van een gewapende beton doorsnede belast op torsie kan worden verdeeld in twee categorieën - vóór en na het moment waarop de eerste scheuren worden verwacht. Vóór scheurvorming gedraagt de doorsnede zich als een elastisch materiaal. De torsiespanning kan worden uitgedrukt met de formule   

 $$\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}$$ 

waarin W_t het torsieweerstandsmoment van de doorsnede is.

Scheuren in de ongewapende staaf als gevolg van de hoofdspanning in trek door torsie vormen eveneens een uiterste grenstoestand. Het gedrag van een gewapende beton doorsnede belast op torsie kan worden beschreven aan de hand van een dunwandige gesloten doorsnede, zie onderstaande afbeelding. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}$$

Rekenprocedure

De procedure van een toetsing van gewapend beton op torsie is zeer vergelijkbaar met de toetsing op afschuiving. Allereerst toetsen we de weerstand van het beton. Als de toetsing van het beton wordt voldaan, kan de wapening worden ontworpen met de constructieve regels. Anders moeten we de wapening en de weerstand van de drukdiagonaal door berekening verifiëren.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}$$

Weerstand

De schuifstroom in een wand van een dunwandige doorsnede onder torsie kan worden uitgedrukt als:

$${{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

De dwarskracht in een wand van een dunwandige doorsnede kan worden uitgedrukt als:

$$V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z$$

Waarin 

τ          de schuifstroom in de wand is,

t_ef         de effectieve wanddikte is,

z           de zijdelingse lengte van de wand is,

T_Ed       het torsiemoment is,

A_k        de oppervlakte is die wordt omsloten door de hartlijnen van de aansluitende wanden, inclusief de inwendige holle delen.

Het scheurmoment bij torsie kan worden bepaald door f_ctd in de voorgaande uitdrukking in te vullen. Zo verkrijgen we de uitdrukking voor de weerstand bij torsie zonder torsiewapening.

$${{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}$$

waarin  f_ctd       de rekenwaarde van de axiale treksterkte van het beton is

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}$$

De weerstand van de staaf met torsiewapening is opgebouwd uit de weerstand van de betonnen drukdiagonalen, die opnieuw is gebaseerd op de vakwerkanalogie. De drukspanning in de diagonaal kan worden uitgedrukt met behulp van de dwarskracht in de wand van een dunwandige doorsnede op het wandoppervlak dat wordt beschouwd, d.w.z.

$${{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }$$

Door σ_c=σ_cwf_cd en T_Ed=T_Rd,max te substitueren en T_Rd,max uit te drukken, verkrijgen we een vergelijking voor de weerstand van de drukdiagonaal

$${{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}$$

waarin  

ν          = 0,6 voor f_ck ≤ 60MPa of  voor f_ck > 60MPa

α_cw       een coëfficiënt is die rekening houdt met de drukspanningstoestand in de drukflens

f_cd        de rekenwaarde van de druksterkte van het beton is

De weerstand van de dwarskrachtwapening bij torsie is opnieuw gebaseerd op de spanning in de drukdiagonaal. De beugelkracht is gelijk aan de spanning in de drukdiagonaal over het oppervlak dat overeenkomt met de betreffende beugelrij, d.w.z.

$${{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~$$

Door T_Ed=T_Rd,s te substitueren en T_Rd,s uit te drukken, verkrijgen we de vergelijking:

 $${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta$$ 

Als de hoeveelheid langswapening en dwarskrachtwapening bekend is, kunnen we de hoek θ bepalen met de uitdrukking

$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}$$ 

Door substitutie voor T_Rd,s verkrijgen we

$${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}$$  

Waarin

A_sw      de oppervlakte van de dwarskrachtwapening is

s           de hart-op-hartafstand van de beugels van de dwarskrachtwapening is

f_ywd      de effectieve rekenwaarde van de sterkte van de dwarskrachtwapening is

A_sl       de oppervlakte van de langswapening is

u_k         de buitenomtrek van de doorsnede is

f_ywd      de effectieve rekenwaarde van de sterkte van de langswapening is

De kracht in de langswapening kan worden afgeleid uit de dwarskracht in een wand van een doorsnede onder zuivere torsie, die als volgt wordt gegeven:

$$V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}$$

Die kracht wordt omgezet naar de langsrichting en we verkrijgen:

$${{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }$$

Het toegestane bereik van de waarden voor de hoek θ is vergelijkbaar met dat bij de toetsing op afschuiving, d.w.z. 1 < cot θ < 2,5. De afhankelijkheid tussen de weerstanden is te zien in onderstaande afbeelding. Het diagram laat zien dat bij toenemende hoek θ  de weerstand T_Rd,max toeneemt,  de weerstand T_Rd.s afneemt en de weerstand T_Rd,c constant is, aangezien deze niet is gebaseerd op de vakwerkanalogie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}$$

Berekening van de doorsnedekarakteristieken voor torsie

Om de doorsnede op torsie te toetsen is het noodzakelijk een zogenaamde equivalente dunwandige gesloten doorsnede vast te stellen. Bij het bepalen van de afmetingen van de equivalente dunwandige doorsnede wordt uitgegaan van een rechthoekige vorm. Voor de werkelijke oppervlakte van een rechthoek geldt A = b×h en voor de omtrek van de rechthoek u =2 (b +h). Met deze twee vergelijkingen kan een alternatieve dunne rechthoekige oppervlakte en omtrek van de oorspronkelijke doorsnede worden bepaald. Het oplossen van twee vergelijkingen met twee onbekenden geeft:

$$b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$$h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}$$

De wanddikte van de effectieve doorsnede kan worden bepaald uit de omtrek en de doorsnede-oppervlakte als:

$$t=\text{A}/\text{u}$$

Dan worden de oppervlakte en de omtrek gedefinieerd door de hartlijn van de effectieve doorsnede:

$${{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$${{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)$$

Het probleem met deze methode doet zich voor bij doorsneden van het type T met een brede flens, wanneer de totale oppervlakte en omtrek worden gebruikt om de afmetingen te berekenen (inclusief deze flens). In toekomstige versies van het IDEA RCS programma zal de selectie van het meest massieve deel van de doorsnede mogelijk worden, dat zal worden gebruikt voor de toetsing op torsie.

Interactie van afschuifkracht en torsie voor afschuifwapening

Bepaling van de kracht in de afschuifwapening ten gevolge van afschuifkracht. 

De berekening is gebaseerd op de formule voor de weerstand van de afschuifwapening volgens EN 1992-1-1. Op basis van vergelijking 6.13 (hoofdstuk 6.2.3 (4)) kan de draagweerstand van één beugelbeen worden afgeleid als:

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . doorsnede-oppervlak van één beugelbeen dat afschuiving opneemt in de beschouwde doorsnede

s .  .  .  .  . hart-op-hartafstand van de afschuifwapening in de richting van de lengteas van de staaf 

a_sw,V .  .  . doorsnede-oppervlak van de afschuifwapening per lengte-eenheid

z .  .  .  .  . de inwendige hefboomsarm. Voor een staaf met constante hoogte, overeenkomend met het buigend moment in het beschouwde element. Bij de afschuifberekening van gewapend beton zonder normaalkracht mag doorgaans de benaderde waarde z = 0,9d worden gebruikt.

f_ywd .  .  .  de rekenwaarde van de vloeigrens van de afschuifwapening

θ .  .  .  .  . de hoek tussen de drukdiagonaal in het beton en de staafas loodrecht op de afschuifkracht

α .  .  .  .  . de hoek tussen de afschuifwapening en de staafas loodrecht op de afschuifkracht

β .  .  .  .  . helling van het beugelbeen ten opzichte van de resultante van de aangrijpende afschuifkracht

De afschuifkracht wordt gelijkmatig verdeeld over de afzonderlijke wapening die de afschuifkracht opneemt, op basis van de hoek van de wapening en de axiale stijfheid van de afzonderlijke beugelbenen.

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

Verder kan de gemiddelde wapeningsrek in de richting van de resulterende afschuifkracht worden afgeleid:

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

De werkelijke rek van de i-de wapening kan worden berekend als:

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

De trek in een bepaald been van de wapening:

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

Bepaling van de kracht in een afzonderlijke beugel ten gevolge van torsie

De torsieweerstand van een doorsnede mag worden berekend op basis van een dunwandige gesloten doorsnede, waarin evenwicht wordt verkregen door een gesloten schuifstroom. Massieve doorsneden mogen worden gemodelleerd door equivalente dunwandige doorsneden. Voor niet-massieve doorsneden mag de equivalente wanddikte de werkelijke wanddikte niet overschrijden.

De schuifstroom in de wanden van een dunwandige gesloten doorsnede ten gevolge van torsie kan worden berekend als:

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

De afschuifkracht in een bepaalde wand is dan:

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . lengte van de hartlijn van de beschouwde wand

Afschuifkracht in het lijf - de lengte van de hartlijn van het lijf kan worden vervangen door de waarde van de hefboomsarm "z".

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

Kracht in de beugels die torsie opnemen per meter staaflengte (per lengte-eenheid):

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

Ontbinding van krachten voor een afzonderlijke beugel

Als voor alle beugels hetzelfde materiaal is gedefinieerd, is de resulterende spanning ten gevolge van torsie in elk beugelbeen constant. Dan geldt:

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

waarbij a_sw,T het totale oppervlak is van de beugels die torsie opnemen per lengte-eenheid.

Als afzonderlijke beugels verschillende materialen hebben, moet rekening worden gehouden met de axiale stijfheid van de afzonderlijke staven.

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . aantal benen van de wapening (wapeningsgroepen) dat torsie opneemt

F_si,T .  .  . kracht in de i-de wapeningsgroep ten gevolge van torsie per lengte-eenheid

a_si,T .  .  . doorsnede-oppervlak van de afschuifwapening die torsie opneemt per lengte-eenheid 

E_si,T .  .  . elasticiteitsmodulus van Young van de i-de wapeningsgroep die torsie opneemt

ε_sw,T .  .  rek in de wapening ten gevolge van torsie

De resulterende spanning in elke beugel ten gevolge van de aangrijpende torsie wordt berekend als:

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

V+T interactie

De berekening van de spanningen in beugels ten gevolge van afschuiving en torsie is dan een sommatie van de spanningen ten gevolge van de afzonderlijke belastingcomponenten.  

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

Resulterende kracht in de i-de wapening:

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

Interactie van afschuiving, torsie en buiging voor langswapening

Bepaling van de kracht in elke langswapeningsstaaf ten gevolge van normaalkracht en buigend moment

De RCS applicatie wordt gebruikt om de doorsnederespons ten gevolge van de combinatie van normaalkracht en buigend moment te berekenen, om de spanning en rek in de afzonderlijke langswapeningsstaven en de voorspanwapening te bepalen.

Bepaling van de kracht in de afzonderlijke langswapening ten gevolge van afschuifkracht

De toename van de trek kracht in de langswapening ΔF_td ten gevolge van de afschuifkracht is afhankelijk van de geometrie van het Staafwerkmodel. 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  toename van de trek kracht in de langswapening ten gevolge van de afschuifkracht

V_ed .  .  .  . rekenwaarde van de afschuifkracht die werkt in de beschouwde doorsnede

θ .  .  .  .  . de hoek tussen de drukdiagonaal in het beton en de staafas 

α .  .  .  .  . de hoek tussen de afschuifwapening en de staafas

Voor de langswapening in de trekzone mag de resulterende kracht F_t in de langswapening ten gevolge van de combinatie N+M+V niet groter worden genomen dan M_Ed,max/z (waarbij M_Ed,max het maximale moment langs de ligger is)

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

De kracht ΔF_td wordt overgedragen door alle aanhechtende spanelementen en alle wapening die zich bevindt in het deel van de doorsnede dat afschuiving opneemt (het lijf in het geval van een I-profiel). Aan de veilige kant mag de bijdrage van de voorspanwapening gelijk aan 0 worden genomen. Uitgangspunt van de berekening is dat de toename van de axiale rek van de afzonderlijke langswapening die afschuiving opneemt constant is (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). De afleiding is geldig voor een bilineair werkdiagram van de wapening met een horizontale plastische tak. In het geval van een diagram met een hellende tak moet de berekening worden aangepast.

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . rektoename in de langswapening ten gevolge van de afschuifkracht

n_s,V .  .  .  . aantal langswapeningsstaven dat de afschuifkracht opneemt

A_sl,i,V .  .  . oppervlak van de i-de langswapeningsstaaf die de afschuifkracht opneemt

E_sl,i,V .  .  . elasticiteitsmodulus van Young van de i-de langswapeningsstaaf die de afschuifkracht opneemt

n_p,V .  .  .  . aantal spanelementen dat de afschuifkracht opneemt

A_pl,i,V .  .  . oppervlak van het i-de spanelement dat de afschuifkracht opneemt

E_pl,i,V .  .  . elasticiteitsmodulus van Young van het i-de spanelement dat de afschuifkracht opneemt

Na het bepalen van de waarde van de kracht ΔF_td kan de gemiddelde wapeningsrek Δε_V worden berekend.

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

Spanningstoename in de afzonderlijke langswapeningsstaven ten gevolge van de aangrijpende afschuifkracht:

voor betonstaal $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

voor spanelement $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

Bepaling van de kracht in elke langswapeningsstaaf ten gevolge van torsie

Het is van groot belang om de langswapening te bepalen die de torsie opneemt. Dit is de wapening die zich bevindt in een alternatieve effectieve dunwandige doorsnede die torsie opneemt.

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Volgens EN 1992-1-1 moet aan meerdere voorwaarden worden voldaan voor de langswapening die torsie opneemt:

- de wapening moet gelijkmatig over de lengte z_i worden verdeeld, maar in kleine doorsneden mag de wapening in de hoeken van de beugel worden geconcentreerd

- de maximale hart-op-hartafstand van de langswapening bedraagt 350 mm

Volgens EN 1992-1-1 wordt de bijdrage van voorspanwapening niet in rekening gebracht.

EN 1992-2 stelt dat de bijdrage van voorspanwapening in rekening mag worden gebracht, maar dat de maximale spanningstoename in de voorspanwapening niet groter mag zijn dan Δσ_p ≤ 500MPa. De formule kan dan als volgt worden aangepast:

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Hoewel de toename van de voorspanwapening in rekening mag worden gebracht, is dit echter een keuze van de gebruiker. Momenteel wordt voorspanwapening niet in rekening gebracht in de berekening. 

Uitgangspunt van de berekening is dat de toename van de axiale rek van elke langswapening die afschuiving opneemt constant is (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). De afleiding is geldig voor een bilineair werkdiagram van de wapening met een horizontale plastische tak. In het geval van een diagram met een oplopende tak moet de berekening worden aangepast.

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . de rekenwaarde van het wringend moment dat werkt in de beschouwde doorsnede

θ .  .  .  .  . helling van de drukdiagonalen ten opzichte van de lengteas van de ligger (identiek aan die voor de afschuifkracht)

u_k .  .  .  .  omtrek van het oppervlak A_k

A_f .  .  .  .  het oppervlak begrensd door de hartlijn van de vervangende holle dunwandige doorsnede

n_s,T .  .  .  .aantal langswapeningsstaven in het beton dat het wringend moment opneemt

A_sl,i,T .  .  . oppervlak van de i-de langswapeningsstaaf in het beton die het wringend moment opneemt

Δε_T .  .  .  .de verandering van de rek in de langswapening ten gevolge van het wringend moment

Δσ_s,i,T .  .  verandering van de spanning in de i-de langswapeningsstaaf ten gevolge van het wringend moment

E_sl,i,T .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de langswapeningsstaaf in het beton die het wringend moment opneemt

Spanningstoename in elke langswapeningsstaaf ten gevolge van het aangrijpende wringend moment:

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$

De toetsing is gebaseerd op algemene uitgangspunten, waarbij twee toestanden van de doorsnede worden beschouwd: de ongescheurde doorsnede (de treksterkte van het beton wordt niet verwaarloosd) en de volledig gescheurde doorsnede (de treksterkte van het beton wordt verwaarloosd). De oplossing met verwaarloosde treksterkte van het beton wordt beschouwd onder de aannamen van artikel 7.1 (2) EN 1992-1-1.

Bij het berekenen van de spanningen en doorbuigingen wordt de doorsnede beschouwd als ongescheurd, als de trekspanning door buiging niet groter is dan f_ct, eff. De waarde van f_ct, eff mag worden aangenomen als f_ctm of f_ctm,fl. De waarde f_ctm wordt gebruikt bij het berekenen van de scheurwijdte en tension stiffening.

Als onderdeel van deze toetsing behandelen we vier basisgevallen met betrekking tot de spanningsbegrenzing.

• 7.2 (2) De drukspanning in staven die blootgesteld zijn aan omgevingen van milieuklassen XD, XF en XS moet worden beperkt:

$$\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}$$

$${{k}_{1}}=0,6$$

• 7.2 (3) De spanning in het beton onder quasi-blijvende belastingen wordt beperkt:

$$\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}$$

$${{k}_{2}}=0,45$$

• 7.2 (5) De trekspanningen in de wapening onder de karakteristieke belastingcombinatie moeten worden beperkt:

$$\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}$$

$${{k}_{3}}=0,8$$

• 7.2 (5) Wanneer de spanning wordt veroorzaakt door een opgelegde vervorming, mag de trekspanning niet groter zijn dan:

$$\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}$$

$${{k}_{4}}=1$$

De waarden k₁, k₂, k₃, k₄ voor gebruik in een land zijn te vinden in de Nationale Bijlage van dat land. De aanbevolen waarden zijn respectievelijk 0,8; 1 en 0,75, de karakteristieke vloeispanning van de wapening, f_ck de karakteristieke cilindersterkte f_ck bepaald na 28 dagen.

Het ontstaan van scheuren

Een kenmerkend verschijnsel bij constructies van gewapend beton onder buiging of trek is het optreden van scheurvorming op plaatsen waar de trekspanning in het beton de treksterkte van het beton overschrijdt. Voor de duurzaamheid en ook voor het uiterlijk van de constructie is het belangrijk dat de ontstane scheuren zo klein mogelijk blijven. De berekening van de scheurwijdten en de maximaal toelaatbare scheurwijdten voor de verschillende milieuklassen zijn gegeven in EN 1992-1-1, hoofdstuk 7.3.

In de eerste stap van de berekening wordt bepaald of de doorsnede gescheurd is of niet. De scheurwijdte zelf wordt altijd berekend uit de quasi-blijvende of frequente belastingcombinatie (afhankelijk van de nationale bijlage), maar het ontstaan van scheuren moet worden getoetst voor alle voorgeschreven BGT-combinaties. Er kunnen dus twee situaties optreden:

• De maximale trekspanning in de betonvezels overschrijdt voor geen enkele belastingcombinatie (quasi-blijvend M_E,qp, frequent M_E,fr of karakteristiek M_E,k) de treksterkte van het beton. De doorsnede wordt dan als ongescheurd beschouwd.

$${{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

• Als er scheuren ontstaan voor een van de combinaties (quasi-blijvend, frequent of karakteristiek), dat wil zeggen dat het buigend moment uit de beschouwde belastingcombinatie groter is dan het kritieke moment M_cr, is de doorsnede voor die belastingcombinatie gescheurd. Dan moeten de eigenschappen van de gescheurde doorsnede en de scheurwijdte worden berekend.

$${{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

M_E,i   .   .   het buigend moment uit een BGT-belastingcombinatie. Dit kan dus M_E,qp, M_E,fr of M_E,k zijn. 

f_ct,ef   .   .  de treksterkte van het beton op het beschouwde tijdstip. Als het beton ouder is dan 28 dagen, beschouwen we een sterkte gelijk aan f_ctm.

Berekening van de scheurwijdte

Bij een op buiging belast element wordt de scheurvorming onderverdeeld in 2 fasen:

• Scheurvormingsfase (fase 2 in Afb. 1)
• Gestabiliseerde scheurontwikkeling (fase 3 in Afb. 1)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}$$

Scheurvormingsfase

Dit is het beginstadium van het proces waarin afzonderlijke scheuren nog geleidelijk ontstaan, totdat het volledige getrokken deel van de staaf is aangetast door scheuren die ongeveer gelijkmatig over de lengte van de staaf zijn verdeeld. De eerste scheur ontstaat wanneer de kracht in de getrokken strook de waarde van de kritieke kracht N_r overschrijdt (kritieke trek kracht, zie hieronder). Verdere scheuren ontwikkelen zich tot een belastingniveau waarbij de kracht in de getrokken strook ongeveer gelijk is aan 1,3N_cr (fase 2 in Afb. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}$$

De zich ontwikkelende scheuren worden onderverdeeld in 2 typen: primaire en secundaire scheuren. Primaire scheuren ontstaan in de getrokken vezels wanneer de effectieve treksterkte van het beton (f_ct,eff) wordt bereikt. Primaire scheuren vormen het eerste scheurpatroon (Afb. 2). Tussen de primaire scheuren ontstaan vervolgens kortere secundaire scheuren (Afb. 3). Bij spanningen die overeenkomen met circa 1,2 tot 1,5 σ_sr (meestal wordt een gemiddelde waarde van 1,3 σ_sr aangehouden, waarbij σ_sr de spanning in de wapening is bij het ontstaan van primaire scheuren in de getrokken zone van het beton) is ook de ontwikkeling van secundaire scheuren voltooid.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}$$

De scheurwijdte in de scheurvormingsfase kan als volgt worden berekend:

$${{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}$$

Gestabiliseerde scheurvorming

Nadat de kritieke kracht in de getrokken zone met circa 1,3 keer is overschreden, ontstaan er geen nieuwe scheuren meer. Het aantal scheuren in het element is gestabiliseerd en alleen de wijdte van de bestaande scheuren neemt toe bij verdere belasting (fase 3 in Afb. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}$$

De scheurwijdte tijdens de gestabiliseerde ontwikkeling kan worden berekend als:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}$$

Kritieke trek kracht

De berekening is gebaseerd op het Tension Chord Model (TCM). Het uitgangspunt is de berekening van het uiterste draagvermogen van een strook gewapend beton, gevormd door een wapeningsstaaf met oppervlakte A_s,eff omgeven door een effectieve oppervlakte van het getrokken beton A_c,eff. Deze strook kan de trekspanning weerstaan totdat de treksterkte f_ct,eff wordt overschreden (normaal beschouwen we f_ctm). Uitgaande van een perfecte aanhechting tussen de wapening en het beton kunnen we aannemen dat tot het ontstaan van de eerste scheur de vervorming van de wapening en het omringende beton identiek is. Dan kan de maximale kracht in de getrokken strook vlak voor de eerste scheur N_r worden bepaald:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}$$

Door de volgende substitutie te introduceren

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

verkrijgen we:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Direct na het ontstaan van de eerste scheur wordt de volledige kracht N_r door de wapening overgedragen. De spanning in de wapening die door de zojuist gevormde scheur loopt, kan dan als volgt worden berekend:

$${{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Berekening van de scheurwijdte volgens EC 1992-1-1

De volgende vergelijking wordt gebruikt om de scheurwijdte in elementen van gewapend beton te berekenen:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

s_r,max   .   .   .   maximale scheurafstand

ε_sm  .   .   .   .   de gemiddelde rek van de wapening uit de belastingcombinatie, inclusief de effecten van tension stiffening.

ε_cm  .   .   .   .   gemiddelde rek van het beton tussen de scheuren

Berekening van het rekverschil

Het verschil in rek tussen de wapening en het beton tussen de scheuren kan worden verkregen uit de vergelijking:

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

σ_s      .   .   .   .   de spanning in de wapening ter plaatse van de scheur uit de beschouwde belastingcombinatie

k_t      .   .   .   .   een empirische coëfficiënt die rekening houdt met de gemiddelde rek en afhankelijk is van de belastingduur. Deze kan de waarde 0,6 aannemen voor kortetermijnberekeningen. Voor langetermijnberekeningen wordt rekening gehouden met de reductie van de stijfheid van het samengestelde materiaal tot circa 70%, zodat de waarde 0,4 bedraagt. Hierin is de mate van afname van de aanhechting tussen de wapening en het beton in de tijd verwerkt.

α_e     .   .   .   . de effectieve verhouding van de elasticiteitsmodulussen

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}$$

ς_p,_eff  .   .   .   .   effectief wapeningspercentage

$${{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

A_c,_eff .   .   .   .   het effectieve oppervlak van het getrokken beton rondom de wapening (bepaling van A_c,eff hieronder)

A_s,_eff .   .   .   .   het oppervlak van de aanhechtende wapening binnen het oppervlak A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   is het oppervlak van de voor- of nagespannen spanelementen binnen A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   is de aangepaste verhouding van de aanhechtsterkte, rekening houdend met de verschillende diameters van voorspanstaal en wapeningsstaal:

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}$$

ξ  .   .   . de verhouding van de aanhechtsterkte van voorspanstaal en wapeningsstaal (Tabel 6.2)

ϕ_s   .   .  grootste staafdiameter van het wapeningsstaal

ϕ_p   .   .  de diameter of equivalente diameter van het voorspanstaal

Voor bundels is A_p het oppervlak van de wapening in het spanelement

$${{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}$$

Voor enkele zeven-draads strengen, waarbij φ_wire de draaddiameter is

$${{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Voor enkele drie-draads strengen, waarbij φ_wire de draaddiameter is

$${{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Als uitsluitend voorspanwapening wordt toegepast om scheurvorming te beperken, moet het volgende worden aangehouden.

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}$$

In voorgespannen staven is een minimale hoeveelheid aanhechtende wapening niet vereist, zolang onder de karakteristieke belastingcombinatie en de karakteristieke waarde van de voorspankracht de trekspanning in een willekeurige vezel niet groter is dan de treksterkte van het beton, f_ct,eff. (zie EN 1992-1-1, hoofdstuk 7.3.2 voor meer details)

Het effectieve oppervlak van het getrokken beton

Een belangrijke, maar tegelijk de meest gecompliceerde stap van de berekening is het bepalen van het effectieve oppervlak van het getrokken beton rondom de wapening. Zowel Eurocode als Model Code gaan uit van eenvoudige belastingsituaties, waarbij het element van gewapend beton wordt belast door uniaxiale buiging of trek. De waarde van de effectieve hoogte wordt bepaald als:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}$$

Meestal is de waarde h_c,eff = 2,5(h-d) maatgevend. Voor getrokken elementen is de bovengrens h/2, terwijl deze voor gebogen elementen (h-x)/3 bedraagt. Het oppervlak A_c,eff wordt echter ook begrensd door de breedte die volgt uit de vergelijking 5(c+ϕ/2). Als de onderlinge afstand van de wapeningsstaven groter is dan 5(c+ϕ/2), wordt voor de afzonderlijke staven het effectieve oppervlak van het getrokken beton met een breedte van 5(c+ϕ/2) aangehouden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}$$

Maximale scheurafstand

Bij de berekening van de maximale scheurafstand s_r,max kunnen twee situaties optreden:

• De hart-op-hartafstand van de aanhechtende wapening is niet groter dan 5(c+ϕ/2) - Afb. 9a
• De hart-op-hartafstand van de aanhechtende wapening is groter dan 5(c+ϕ/2) - Afb. 9b

De berekening van de maximale scheurafstand s_r,max voor het geval dat de hart-op-hartafstanden van de wapening niet groter zijn dan de waarde 5(c+ϕ/2) is als volgt gedefinieerd:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

c  .    .   .   .   .   waarde van de betondekking in mm. Aangezien de betondekking voor de randwapening zowel aan de horizontale als aan de verticale randen verschillend kan zijn, wordt aanbevolen de maximale betondekking aan te houden die voor de beschouwde wapening wordt aangetroffen.

ϕ     .   .   .   .   diameter van de aanhechtende wapening. Bij verschillende wapeningsdiameters moet de equivalente diameter worden berekend volgens EN 1992-1-1, vergelijking 7.12.

$${{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}$$

k₁ .   .   .   . is een coëfficiënt die rekening houdt met de aanhechtingseigenschappen van de aanhechtende wapening

• k₁ = 0,8 voor staven met hoge aanhechting
• k₁ = 1,6 voor staven met een effectief glad oppervlak (bijv. spanelementen)

k₂ .   .   .   . is een coëfficiënt die rekening houdt met de verdeling van de rek

• k₂ = 1,0 voor buiging
• k₂ = 0,5 voor zuivere trek

Voor excentrische trek of voor lokale gebieden moeten tussenliggende waarden van k₂ worden gebruikt, die kunnen worden berekend met de relatie:

$${{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}$$

k₃      .   .   .   .  coëfficiënt die de lengte uitdrukt van het gebied nabij een scheur waar de aanhechting tussen het beton en de wapening is verbroken. De aanbevolen basiswaarde van EC k₃ = 3,4 kan worden gewijzigd door de Nationale Bijlage. 

k₄      .   .   .   .   coëfficiënt die de relatie uitdrukt tussende aanhechtsterkte en de treksterkte van het beton. De aanbevolen basiswaarde van EC k4 = 0.425 kan worden aangepast door de Nationale Bijlage.

De berekening van de maximale scheurafstand s_r,max voor het geval dat de hart-op-hartafstanden van de wapening groter zijn dan de waarde 5(c+ϕ/2) is als volgt gedefinieerd:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

Maximale scheurafstanden volgens de vergelijking

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

moeten altijd groter zijn dan de waarden die volgen uit de vergelijking

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;$$

anders wordt aanbevolen de grootste afstand aan te houden die uit bovenstaande vergelijkingen volgt. De vergelijking voor de rek in het beton en de wapening wordt niet aangepast voor het geval van een grote hart-op-hartafstand van de wapening. In gebieden met beheerste scheurwijdten mag de hart-op-hartafstand van de afzonderlijke wapeningsstaven niet groter zijn dan 5(c+ϕ/2).

Berekening van de scheurwijdte in RCS

Bepaling van het effectieve oppervlak A_c,eff

Omdat het niet eenvoudig is te bepalen welke wapening als in lengterichting scheurbeperkende wapening kan worden beschouwd, wordt A_c,eff bepaald met het volgende iteratieve proces.

• Van alle op trek werkende wapening wordt het zwaartepunt van de trekkracht C_g,s,1 bepaald. De effectieve hoogte van de wapening d is de afstand tussen C_g,s en de meest gedrukte betonvezel, berekend in de richting van het resulterende buigend moment. Tegelijkertijd worden de ligging van de neutrale lijn en de hoogte van het gedrukte gebied x voor de gescheurde doorsnede bepaald. Hiermee kan de effectieve hoogte h_c,eff worden bepaald:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

• Door alle wapening die buiten A_c,eff,1 ligt uit te sluiten, wordt het nieuwe zwaartepunt van de wapening C_g,s,2 bepaald, samen met de nieuwe effectieve hoogte van de wapening d. De effectieve hoogte h_c,eff wordt op dezelfde wijze bepaald als in de vorige stap, alleen met gewijzigde invoerwaarden.

Opnieuw wordt gecontroleerd of alle beschouwde getrokken wapening binnen A_c,eff,2 ligt. Als aan deze voorwaarde is voldaan, kan de iteratie worden beëindigd en worden de waarden h_c,eff,2, A_c,eff,2 en A_s,eff,2 als resultaat weergegeven in IDEA StatiCa RCS.

Mogelijke situaties bij de berekening van de scheurwijdte

In het algemeen kunnen er drie situaties optreden bij de berekening van scheurwijdten:

• De getrokken wapening ligt in het gebied A_c,eff, waarbij de hart-op-hartafstand van de afzonderlijke wapeningsstaven kleiner is dan 5(c+ϕ/2). Dan worden de volgende definities gebruikt voor de berekening:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• De getrokken wapening ligt in A_c,eff, waarbij de hart-op-hartafstand van de afzonderlijke wapeningsstaven groter is dan 5(c+ϕ/2). Dan worden de volgende definities gebruikt voor de berekening:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• De getrokken wapening ligt niet in A_c,eff (dit kan bijvoorbeeld worden veroorzaakt door een grote betondekking). 

In dit geval zou het niet mogelijk zijn de scheurwijdte te berekenen. Daarom wordt de berekening van de effectieve hoogte h_c,eff als volgt aangepast:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}$$

Tegelijkertijd wordt de volgende afwijking weergegeven:

Het effectieve oppervlak van het getrokken beton rondom de wapening of de spanelementen met hoogte h_c,eff, waarbij h_c,eff de kleinste waarde is van 2,5(h – d) of h/2. Bij het aanhouden van de waarde (h – x)/3 ligt de wapening buiten het effectieve oppervlak van het getrokken beton. Daarom zou het niet mogelijk zijn de scheurwijdte te berekenen volgens artikel 7.3.4.

Het N-M-κ diagram toont de kromming (buigstijfheid) van een element als functie van een aangebrachte buigend moment en normaalkracht. Er zijn drie typen N-M-κ diagrammen:
- korte duur,
- lange duur
- UGT.
Deze diagrammen verschillen in de typen spanning-rek diagrammen die voor de berekening worden gebruikt (hieronder toegelicht).

De stijfheidsberekening voor geselecteerde karakteristieke toestanden van de doorsnede wordt gebruikt om het N-M-κ diagram te bepalen. In het algemeen kan dit elke doorsnedetoestand zijn waarvoor de respons wordt berekend en waaruit de buigstijfheid en kromming worden afgeleid. In IDEA RCS beschouwen we vier karakteristieke punten (M_r, M_c, M_s en M_u)

M_r - het scheurmoment 

De doorsnede wordt belast met een door de gebruiker gedefinieerde normaalkracht en het rekvlak begint te roteren (in de richting van het opgegeven buigend moment) totdat de uiterste treksterkte van het beton in een betonvezel wordt bereikt (voor betonsterkteklasse C30/37 is dit f_ctm = 2,896 MPa). Voor de berekening wordt een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak gebruikt voor zowel wapening als beton.

M_c - het buigend moment waarbij de druksterkte van het beton wordt bereikt

Uit de vorige stap wordt de meest benutte betonvezel op druk bepaald. Voor deze vezel wordt de rek bij de uiterste sterkte van het beton ingesteld (f_ck/E_cm voor korte duur, f_ck/E_ceff voor lange duur en f_cd/E_cm voor het UGT-diagram). Op basis van de gedefinieerde normaalkracht en de richting van het buigend moment wordt het iteratieproces voor het vinden van het rekvlak uitgevoerd om evenwicht te vinden tussen de respons van de doorsnede en de gedefinieerde normaalkracht.  Voor de berekening wordt een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak gebruikt voor zowel wapening als beton.

M_s - het buigend moment waarbij de vloeigrens in het meest benutte wapeningsstaal wordt bereikt

Een ander karakteristiek punt van het N-M-κ diagram is de spanningstoestand van de doorsnede waarbij de vloeigrens in het meest benutte wapeningsstaal wordt bereikt (de rek van het wapeningsstaal is gelijk aan f_yk/E_s voor de diagrammen voor korte en lange duur, f_yd/E_s voor het UGT-diagram). Het iteratieproces vindt evenwicht van de normaalkrachten in de doorsnede door het rekvlak te roteren rond het punt dat wordt bepaald door de positie van het meest benutte wapeningsstaal. Voor de berekening wordt een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak gebruikt voor zowel wapening als beton.

M_u - het buigend moment in de uiterste grenstoestand

Dit is het uiterste draagvermogen van een doorsnede op buiging, wanneer de doorsnede wordt belast met de gedefinieerde rekenwaarde van de normaalkracht N_ed. Voor de berekening van het draagvermogen van de doorsnede wordt aangenomen dat de druksterkte in de meest benutte betonvezel en de treksterkte in het meest benutte wapeningsstaal worden bereikt (maximale rek voor beton ε_cu = 0,1 en voor wapening ε_s,max = 0,5. Voor de berekening wordt een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak gebruikt voor de wapening en een parabool-rechthoek diagram voor het beton.

De resulterende stijfheid en kromming voor de door de gebruiker gedefinieerde combinatie van normaalkracht en buigend moment ( Md) worden vervolgens berekend met lineaire interpolatie tussen de afzonderlijke karakteristieke punten van het N-M-κ diagram.

Berekening van stijfheden en krommingen

De stijfheden en krommingen voor elke spanningstoestand van de doorsnede (M_r, M_c, M_s of M_u) worden rechtstreeks berekend uit de rotatie van het rekvlak. 

$$E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}$$

E_Ax .   .    axiale stijfheid van het element

N . .   .   . de opgegeven normaalkracht

ε_x .   .   .  axiale rek in het zwaartepunt van de betondoorsnede

$$E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }$$

E_Iy .   .   .   buigstijfheid van het element

M .   .   .    het berekende buigend moment M_r, M_c, M_s of M_u

κ .   .   .   . de kromming van het element, berekend als de tangens van de hoek tussen het rekvlak en de lengteas van het element

Praktijkvoorbeeld

Een betondoorsnede (betonsterkteklasse C30/37) is gewapend met wapening ϕ32 (kwaliteit B500B). De gedefinieerde quasi-permanente combinatie is N = -730 kN en M_y = 557 kNm.

Het rekvlak voor het karakteristieke punt M_s wordt door IDEA RCS als volgt bepaald:

$$E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN$$

$$\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}$$

$$E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}$$

Spanning-rek diagrammen die voor de berekening worden gebruikt

Wapening - M_r, M_c, M_s en M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

[1] Bradáč Betonové konstrukce (betonconstructies), deel 1: Dimensionering van staven van gewapend en ongewapend beton, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies - Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen, incl. wijziging NA ed. A (2007) en herziening 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. en collectief Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, online boek http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010