IDEA StatiCa RCS – Constructief ontwerp van 2D betonnen staven

Plaat

Volgens EN 1992-1-1, art. 5.3.1(4) is een plaat een staaf waarvan de kleinste afmeting van het plaatveld niet kleiner is dan 5 maal de totale plaatdikte. De plaat wordt alleen belast door buigende momenten en afschuifkrachten loodrecht op het hartvlak van de plaat. De toetsing van de detailleringsregels wordt uitgevoerd volgens EN 1992-1-1, art. 9.3.

Schaal als plaat – schaalplaat

De geometrie wordt op dezelfde wijze gedefinieerd als de geometrie van de plaat.  In tegenstelling tot de plaat kan de schaalplaat worden belast door buiging en membraanwerking. De detailleringsregels worden getoetst volgens de regels voor platen (EN 1992-1-1, art. 9.3).

Wand

Volgens EN 1992-1-1, art. 5.3.1(7) is een wand een staaf waarvoor de volgende principes niet worden vervuld:

• de doorsnedehoogte is niet groter dan 4 maal de breedte
• de hoogte is ten minste 3 maal de doorsnedehoogte

De wand wordt alleen belast door membraanwerking en de detailleringsregels worden getoetst volgens EN 1992-1-1, art. 9.6.

Schaal als wand – schaalwand

De geometrie wordt op dezelfde wijze gedefinieerd als de geometrie van de wand. In tegenstelling tot de wand kan de schaalwand worden belast door buiging en membraanwerking. De detailleringsregels worden getoetst volgens de detailleringsregels voor wanden (EN 1992-1-1, art. 9.6).

Gedrongen ligger

Volgens EN 1992-1-1, art. 5.3.1(3) is een gedrongen ligger een staaf waarvan de overspanning kleiner is dan 3 maal de totale doorsnedehoogte. De gedrongen ligger kan, net als de wand, alleen door membraanwerking worden belast. De detailleringsregels worden getoetst volgens EN 1992-1-1, art. 9.7.

Voor de toetsing wordt een schaalelement van 1 m x 1 m gedefinieerd. In dit schaalelement wordt de wapening ingevoerd. Voor de toetsing van de 2D-staaf wordt de wapening per strekkende meter in rekening gebracht.

Voor het invoeren van de wapening aan de boven- en onderzijde kunnen vooraf gedefinieerde wapeningstemplates worden gebruikt. Het is mogelijk om algemene wapening in de plaat in te voeren.

Invoer van wapening met wapeningstemplates

IDEA RCS levert twee templates voor het invoeren van wapening in een 2D-element. Eén template is bedoeld voor de invoer van wapening aan het bovenoppervlak, de andere voor de invoer van wapening aan het onderoppervlak.

Beide templates maken de invoer van orthogonale wapening aan de oppervlakken van het 2D-element mogelijk. Met beide templates kan de wapening worden gedraaid om de lokale x-as van het 2D-element.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Dialog for the definition of 2D reinforcement}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Schema of defined reinforcement at the lower surface of 2D element}}}$$

Invoer van algemene wapening

Elke wapeningslaag wordt gedefinieerd in de doorsnede en in het bovenaanzicht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{General input}}}$$

Type wapening

Het type wapeningsstaaf moet worden gedefinieerd om de toetsing van de detailleringsregels te kunnen uitvoeren. Voor 2D-elementen van het type

• Plaat en schaal–plaat – voor toetsingen volgens EN 1992-1-1, art. 9.3.1.1

  • Hoofdwapening
  • Verdeelwapening
• Wand, schaal-wand en gedrongen ligger – voor toetsing volgens EN 1992-1-1, art. 9.6.2 en 9.6.3

  • Horizontale wapening
  • Verticale wapening

Invoer van interne krachten

De invoer van interne krachten van 2D-staven is afhankelijk van het type 2D-element:

• Schaal-plaat – membraankrachten (n_x, n_y en n_xy), buigende momenten (m_x, m_y en m_xy) en afschuifkrachten (v_x en v_y) kunnen worden ingevoerd
• Schaal-wand – membraankrachten (n_x, n_y en n_xy), buigende momenten (m_x, m_y en m_xy) en afschuifkrachten (v_x en v_y) kunnen worden ingevoerd
• Plaat – alleen buigende momenten (m_x, m_y en m_xy) en afschuifkrachten (v_x en v_y) kunnen worden ingevoerd
• Wand – alleen membraankrachten (n_x, n_y en n_xy) kunnen worden ingevoerd
• Gedrongen ligger – alleen membraankrachten (n_x, n_y en n_xy) kunnen worden ingevoerd

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}$$

De volgende typen combinaties moeten worden gedefinieerd voor de toetsingen:

• Uiterste grenstoestand/Buitengewoon – de interne krachtcomponenten die voor dit type combinaties zijn gedefinieerd, worden gebruikt voor de UGT-toetsingen van 2D-elementen:

  • Capaciteit N-M-M
  • Respons N-M-M
  • Interactie

en de toetsing van detailleringsregels

• Karakteristiek – de interne krachtcomponenten die voor dit type combinatie zijn gedefinieerd, worden gebruikt voor de toetsing van de spanningsbegrenzing (BGT)
• Quasi-blijvend – de interne krachtcomponenten die voor dit type combinatie zijn gedefinieerd, worden gebruikt voor de toetsing van de scheurwijdte (BGT)

Bepalen van de toetsingsrichting

Voor een juiste toetsing van het 2D-element moet de toetsingsrichting worden bepaald. De toetsingsrichting kan voor elk combinatietype afzonderlijk worden ingevoerd met de volgende twee methoden:

• Door de gebruiker gedefinieerde richting – de gebruiker definieert de toetsingsrichting als een hoek ten opzichte van de x-as in het vlak van het 2D-element. Deze optie is standaard ingesteld voor het combinatietype UGT en de vooraf ingestelde waarde van de hoek is 0 graden. De toetsingen worden uitgevoerd in de volgende richtingen:

  • Gedefinieerde richting
  • Richting loodrecht op de gedefinieerde richting
  • Richting van de drukdiagonaal aan het bovenoppervlak
  • Richting van de drukdiagonaal aan het onderoppervlak
• Richting van de hoofdspanningen – de toetsingsrichting wordt automatisch berekend als de richting van de hoofdspanningen aan het boven- en onderoppervlak van het 2D-element. Deze optie is standaard ingesteld voor de combinatietypen Karakteristiek en Quasi-blijvend. De toetsingen worden uitgevoerd in de volgende richtingen:

  • Richting van de hoofdspanningen aan het onderoppervlak
  • Richting loodrecht op de richting van de hoofdspanningen aan het onderoppervlak
  • Richting van de drukdiagonaal aan het onderoppervlak
  • Richting van de hoofdspanningen aan het bovenoppervlak
  • Richting loodrecht op de richting van de hoofdspanningen aan het bovenoppervlak
  • Richting van de drukdiagonaal aan het bovenoppervlak

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}$$

Analyse van de toetsingsrichting voor de uiterste grenstoestand

Analyse 1

Voor een 2D-element dat alleen belast wordt door buigende momenten (m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m ), waarbij de hoek van de wapening en de hoek van de toetsingsrichting voor de uiterste grenstoestand zijn gewijzigd, worden de resultaten weergegeven in de volgende grafiek:

Uit de analyse volgt:

• Als de wapeningsstaven loodrecht op elkaar staan, zijn de toetsingsresultaten voor verschillende hoeken van de toetsingsrichting vergelijkbaar. Ze zijn niet afhankelijk van de gedefinieerde wapeningshoek en de maximale waarde van de toetsing wordt gevonden voor hoeken van 0, 45 en 90 graden. Deze toetsing kan dus worden uitgevoerd voor een vooraf ingestelde toetsingshoek van 0 graden.
• Als de wapeningsstaven niet loodrecht op elkaar staan, verschillen de toetsingsresultaten aanzienlijk en wordt de maximale toetsingswaarde ongeveer bereikt in de richting die overeenkomt met de richting van de gemiddelde wapening. Het wordt daarom aanbevolen om de vooraf ingestelde toetsingsrichting te wijzigen of om toetsingen in meer richtingen uit te voeren wanneer de wapeningsstaven niet loodrecht op elkaar staan.

Analyse 2

Voor orthogonale wapening zijn de waarden van de buigende momenten en de hoek gewijzigd voor de UGT-normtoetsing. De resultaten worden weergegeven in de grafiek:

Uit de analyse volgt dat ook voor verschillende waarden van de buigende momenten de maximale waarde van de toetsing van de uiterste grenstoestand wordt gevonden voor toetsingsrichtingen van 0, 45 en 90 graden. De toetsing kan dus worden uitgevoerd voor een vooraf ingestelde toetsingshoek van 0 graden. Een vergelijkbare conclusie geldt voor 2D-elementen die alleen door normaalkracht worden belast of door normaalkracht in combinatie met buigende momenten.

Herberekening van interne krachten naar toetsingsrichtingen

De gedefinieerde interne krachten worden herberekend naar de toetsingsrichtingen met de transformatieformule van Baumann, beschreven in Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. De berekeningsprocedure is als volgt:

1. Berekening van normaalkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element
2. Berekening van hoofdkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element
3. Berekening van herberekende krachten voor elk oppervlak naar de gedefinieerde toetsingsrichting
4. Berekening van herberekende krachten voor elk oppervlak naar het midden
5. Herberekening van afschuifkrachten naar de gedefinieerde toetsingsrichting

Berekening van normaalkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element

De gedefinieerde interne krachten worden naar beide oppervlakken herberekend met de volgende formules:

$${{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}$$

$${{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}$$

$$~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}$$

De hefboomsarm van de interne krachten (z) moet worden bepaald voor de herberekening van de interne krachten. De hefboomsarm van de interne krachten wordt bepaald met de methode van de grensrek bij belasting door het hoofdbuigmoment in de richtingen van de hoofdmomenten m₁ aan beide oppervlakken. Als de hoofdmomenten gelijk zijn aan nul of als er geen evenwicht wordt gevonden in de richting van de hoofdmomenten, wordt de hefboomsarm van de interne krachten bepaald met de formule:

$$z=x\cdot d$$

In het volgende diagram wordt een verificatie van de hefboomsarm van de interne krachten weergegeven voor de buigende momenten m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m. De richting van de hoofdmomenten is berekend als α_m1 = 22,5 graden en de respons van de doorsnede is berekend om de hefboomsarm van de interne krachten te bepalen.

Berekening van interne krachten aan beide oppervlakken

De hoofdkrachten aan beide oppervlakken van het 2D-element worden berekend met de formule:

$${{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}$$

$${{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}$$

En de richting van de hoofdkrachten wordt berekend met de formule:

$${{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)$$

Berekening van herberekende interne krachten aan de oppervlakken naar de gedefinieerde toetsingsrichting

De herberekening van de hoofdkrachten naar de toetsingsrichtingen wordt voor elk oppervlak afzonderlijk uitgevoerd met de transformatieformule van Baumann:

$${{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}$$

Transformatie van herberekende interne krachten naar het zwaartepunt van de doorsnede

Voor de toetsing van het 2D-element moeten de oppervlaktekrachten in een bepaalde richting worden herberekend naar het zwaartepunt van de doorsnede. Het resultaat is een normaalkracht n_d,i en een buigend moment m_d,I die in het zwaartepunt van de doorsnede van het 2D-element werken.

                      m_d,i = n_lower,i·z_s,low + n_upper,i·z_s,upp

                         n_d,i = n_lower,i + n_upper,i

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}$$

Herberekening van afschuifkrachten naar de gedefinieerde toetsingsrichting

De afschuifkrachten worden herberekend naar de toetsingsrichting met de formule:

$${{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})$$

en de maximale afschuifkracht is:

$${{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$$

en deze werkt in de richting

$$\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)$$

Vergelijking van de herberekening van interne krachten met verschillende methoden

Herberekening van krachten volgens EN 1992-1-1

De methode die in EN 1992-1-1 wordt beschreven, wordt in diverse programma's en in de praktijk gebruikt om de rekenwaarden van interne krachten te berekenen. EN 1992-1-1 houdt alleen rekening met loodrechte wapeningsrichtingen. De berekening van de dimensionerende krachten onder invloed van het torsiemoment wordt beschreven in het volgende stroomschema, waarbij m_y³ m_x. Een soortgelijk schema kan worden opgesteld voor momenten m_y < m_x

De waarden van de herberekende dimensionerende krachten voor het type staaf = Plaat, berekend met de in de EN beschreven methode, worden weergegeven in de volgende tabel:

In IDEA StatiCa RCS worden de waarden van de momenten aan het boven- en onderoppervlak niet weergegeven, maar wel de waarden van de normaalkrachten aan beide oppervlakken en de waarden van de momenten herberekend naar het zwaartepunt van de doorsnede.

De momenten aan het onder- en bovenoppervlak kunnen worden berekend met de oppervlaktekrachten die in de numerieke uitvoer worden weergegeven, met de formule:

$${{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z$$

De waarden van de oppervlaktekrachten en de herberekende momenten worden weergegeven in de volgende tabellen:

De tabellen laten zien dat de momenten aan de plaatoppervlakken, berekend in IDEA Concrete en berekend volgens de in de EN beschreven methode, slechts aan één oppervlak overeenkomen. Dit verschil wordt veroorzaakt door een andere optimalisatie van de betondiagonaal. De methode die in IDEA StatiCa RCS wordt gebruikt, zoekt de hoek van de drukdiagonaal bij de minimale kracht in de diagonaal. De in de EN beschreven methode zoekt naar een minimale som van de negatieve krachten uit alle richtingen.

Vergelijking van de berekening van interne krachten met de programma's RFEM en SCIA Engineer

Om de resultaten van herberekende interne krachten in de programma's IDEA Concrete, RFEM en SCIA Engineer (SEN) te vergelijken, is een eenvoudig model van een plaat met afmetingen 6 m x 4 m en een dikte van 200 mm opgesteld. De plaat wordt met lijnopleggingen aan de randen ondersteund en belast met een gelijkmatig verdeelde belasting van 10 kN/m².

Om de weergave te vereenvoudigen worden alleen de waarden van herberekende interne krachten in één langsdoorsnede weergegeven. De afstand van de doorsnede tot de plaatrand bedraagt 1,5 m. De in het programma RFEM berekende interne krachten zijn gebruikt als invoerwaarden voor IDEA Concrete.

De tabel toont een goede overeenstemming van de in de afzonderlijke programma's berekende krachten.

Zoals beschreven in Snedekrachten in het hoofdstuk Transformatie van herberekende snedekrachten naar het zwaartepunt van de doorsnede, worden de dimensionerende oppervlaktekrachten getransformeerd naar het zwaartepunt van de doorsnede van een 2D-element. Het resultaat van deze transformatie is een buigend moment en een normaalkracht, werkend in het zwaartepunt van een rechthoekige doorsnede, waarvan de randlengte 1 m is en de hoogte overeenkomt met de dikte van de plaat.

De toetsingen van het 2D-element worden in alle gedefinieerde richtingen tegelijk uitgevoerd. Het programma rekent de wapening automatisch om naar de toetsrichting met de formule:

$${{A}_{Si,\alpha }}={{A}_{S}}\cdot {{\cos }^{2}}({{\alpha }_{i}})$$

Resultaten van toetsingen in gedefinieerde richtingen

Alle geactiveerde toetsingen worden automatisch in alle vereiste richtingen uitgevoerd. De weergave van de resultaten is vergelijkbaar met de weergave van de resultaten van 1D-elementen. Bij 2D-elementen kan de richting worden ingesteld die wordt weergegeven. De resultaten voor 2D-elementen worden weergegeven in toetsrichtingen. Alle richtingen waarin de toetsingen zijn berekend, worden in de grafische weergave getekend.

De pijlen in de afbeelding geven toetsrichtingen weer, waarbij oranje de richting van de maximale toetswaarde is en rood de huidige toetsrichting. Om de huidige richting te wijzigen, klikt u op de pijl of op de betreffende knop in het lint.

De resultaten van de afzonderlijke toetsingen worden weergegeven in de huidige richting. De hoek van de toetsing wordt boven de tabel met de samenvatting van de toetsing weergegeven.

De resultaten in de maatgevende richting worden in het rapport afgedrukt.

Uiterste grenstoestand

De principes van de UGT-toetsingen worden beschreven in de handleiding theoretische achtergrond voor 1D-elementen. In de volgende hoofdstukken worden alleen de verschillen voor 2D-elementen beschreven.

Capaciteitstoetsing

De capaciteitstoetsing verschilt niet van de toetsingen van 1D-elementen. De belasting werkt slechts in één vlak, dus het toetstype is N + M.

Responstoetsing

De responstoetsingen voor de afzonderlijke toetsrichtingen gebruiken dezelfde algoritmen als de toetsingen van 1D-elementen.

Interactietoetsing

Anders dan bij 1D-elementen wordt de interactietoetsing alleen uitgevoerd om de benuttingsgraad V + M te bepalen, de interactie van afschuiving en buigend moment. De waarden V_Rd,c en V_Rd,max kunnen worden gecontroleerd in de samenvattingstabel van de interactietoetsing.

Vergelijking van de capaciteitstoetsing tussen IDEA Concrete, RFEM en SCIA Engineer

Om de resultaten van de capaciteitstoetsing te vergelijken met RFEM en SCIA Engineer zijn dezelfde gegevens gebruikt als beschreven in Snedekrachten in het hoofdstuk Vergelijking van de berekening van snedekrachten met de programma's RFEM en SCIA Engineer. De vergelijking is uitgevoerd in twee punten van de plaat.

Omdat de programma's RFEM en SEN niet de werkelijke wapening in de plaat toetsen, maar alleen de benodigde wapeningsoppervlakte bepalen, zijn twee methoden gebruikt om de berekening te vergelijken. De eerste methode vergelijkt de benuttingsgraad van de doorsnede voor de benodigde wapening zoals bepaald in RFEM en SEN, uitgaande van de aanname dat de doorsnede precies voor 100% benut wordt bij toepassing van de berekende benodigde wapeningsoppervlakte.

De benuttingsgraad van de in IDEA Concrete gewapende doorsnede kan dan relatief worden uitgedrukt.

Relatieve benuttingsgraad = A_{s, req} / A_{s, RCS} × 100 [%]

De doorsnede in IDEA Concrete is aan de onderzijde gewapend met wapening d=10 mm met een h.o.h.-afstand van 200 mm in beide richtingen. De wapeningsoppervlakte in beide richtingen is 314 mm².

De tabel toont een goede overeenkomst van de benuttingsgraad voor alle programma's.

Voor de tweede methode is in IDEA Concrete wapening met ongeveer dezelfde oppervlakte gedefinieerd als de berekende benodigde wapening in RFEM en SEN. Vervolgens is de benuttingsgraad van de doorsnede vergeleken. De resultaten worden weergegeven in de volgende tabel:

Ook hier is er een goede overeenkomst van de resultaten.

Bruikbaarheidsgrenstoestand

Spanningsbegrenzing

De toetsing van de spanningsbegrenzing verschilt niet van de toetsingen voor 1D-elementen.

Toetsing van de scheurwijdte

In aanvulling op de toetsing van 1D-elementen kan voor 2D-elementen ook de richting van de scheur worden weergegeven.

Constructieve bepalingen

De toetsing van de constructieve bepalingen van 2D-elementen kan in twee basisgroepen worden verdeeld:       

• Toetsing van het wapeningspercentage
• Toetsing van de staafafstanden

De toetsing van de constructieve bepalingen hangt ook af van het type 2D-element. Voor schaalplaat- en plaatelementen worden afzonderlijke toetsingen uitgevoerd voor de hoofdwapening en de verdeelwapening.  Bij wandelementen wordt onderscheid gemaakt tussen verticale en horizontale wapening.

De toetsing van het wapeningspercentage wordt uitgevoerd in de richting van de hoofdspanningen.  De wapening die in de snede van het 2D-element is gedefinieerd (met uitzondering van de verdeelwapening) wordt getransformeerd naar de richtingen van de hoofdspanningen.

De toetsing van de staafafstanden wordt uitgevoerd loodrecht op de richting van de gedefinieerde wapening. Deze toetsing wordt uitgevoerd voor alle gedefinieerde wapeningslagen en de grenswaarden zijn afhankelijk van het type getoetst element en van het type gedefinieerde wapening.