Kroucení

Předpoklady výpočtu

Chování železobetonového průřezu namáhaného kroucením lze rozdělit do dvou kategorií - před a po okamžiku, kdy lze poprvé očekávat vznik trhlin. Před vznikem trhliny se průřez chová jako pružný materiál. Napětí od kroucení lze vyjádřit vztahem   

 $$\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}$$ 

kde W_t je modul průřezu v kroucení.

Trhliny v nevyztuženém prvku způsobené hlavním tahovým napětím od kroucení jsou rovněž mezním stavem únosnosti. Chování železobetonového průřezu namáhaného kroucením lze popsat na základě tenkostěnného uzavřeného průřezu, viz obr. níže. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}$$

Postup výpočtu

Postup posouzení železobetonového průřezu na kroucení je velmi podobný posouzení na smyk. Nejprve posoudíme únosnost betonu. Pokud posouzení betonu vyhoví, lze vyztužení navrhnout podle konstrukčních zásad. V opačném případě je nutné výpočtem ověřit vyztužení a únosnost tlačených diagonál.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}$$

Únosnost

Smykový tok ve stěně tenkostěnného průřezu při kroucení lze vyjádřit jako:

$${{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

Smykovou sílu ve stěně tenkostěnného průřezu lze vyjádřit jako:

$$V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z$$

Kde 

τ          je smykový tok ve stěně,

t_ef         je účinná tloušťka stěny,

z           je délka strany stěny,

T_Ed       je krouticí moment,

A_k        je plocha ohraničená střednicemi navazujících stěn, včetně vnitřních dutin.

Moment na mezi vzniku trhlin při kroucení lze určit dosazením f_ctd do předchozího vztahu. Tak získáme vztah pro únosnost v kroucení bez výztuže pro kroucení.

$${{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}$$

kde  f_ctd       je návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}$$

Únosnost prvku s výztuží pro kroucení se skládá z únosnosti tlačených betonových diagonál, která je opět založena na metodě příhradové analogie. Tlakové napětí v diagonále lze vyjádřit pomocí smykové síly ve stěně tenkostěnného průřezu na uvažované ploše stěny, tj.

$${{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }$$

Dosazením  σ_c=σ_cwf_cd a T_Ed=T_Rd,max a vyjádřením T_Rd,max získáme rovnici pro únosnost tlačené diagonály

$${{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}$$

kde  

ν          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa nebo  pro f_ck > 60MPa

α_cw       je součinitel zohledňující stav napětí v tlačeném pásu

f_cd        je návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku

Únosnost smykové výztuže namáhané kroucením je opět založena na napětí v tlačené diagonále. Síla ve třmínku je rovna napětí v tlačené diagonále na ploše, která odpovídá příslušné řadě třmínků, tj.

$${{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~$$

Dosazením  T_Ed=T_Rd,s a vyjádřením T_Rd,s  získáme rovnici:

 $${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta$$ 

Je-li známo množství podélné a smykové výztuže, můžeme úhel θ určit ze vztahu

$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}$$ 

Dosazením do T_Rd,s získáme

$${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}$$  

Kde

A_sw      je plocha smykové výztuže

s           je osová vzdálenost třmínků smykové výztuže

f_ywd      je účinná návrhová pevnost smykové výztuže

A_sl       je plocha podélné výztuže

u_k         je vnější obvod průřezu

f_ywd      je účinná návrhová pevnost podélné výztuže

Sílu v podélné výztuži lze odvodit ze smykové síly ve stěně průřezu namáhaného čistým krouticím momentem, která je dána vztahem:

$$V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}$$

Tato síla se transformuje do podélného směru a získáme:

$${{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }$$

Přípustný rozsah hodnot úhlu θ je podobný jako při posouzení na smyk, tj. 1 < cot θ < 2,5. Závislost mezi jednotlivými únosnostmi je zobrazena na obr. níže. Diagram ukazuje, že se zvětšujícím se úhlem θ  únosnost T_Rd,max roste,  únosnost T_Rd.s klesá a únosnost T_Rd,c je konstantní, protože není založena na metodě příhradové analogie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}$$

Výpočet charakteristik průřezu pro kroucení

Pro posouzení průřezu na kroucení je nutné stanovit tzv. ekvivalentní tenkostěnný uzavřený průřez. Při určování rozměrů ekvivalentního tenkostěnného průřezu se předpokládá obdélníkový tvar. Pro skutečnou plochu obdélníku platí A = b×h a pro obvod obdélníku u =2 (b +h). Pomocí těchto dvou rovnic lze získat náhradní tenký obdélníkový tvar se stejnou plochou a obvodem jako původní průřez. Řešením dvou rovnic o dvou neznámých získáme:

$$b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$$h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}$$

Tloušťku stěny ekvivalentního průřezu lze určit z obvodu a plochy průřezu jako:

$$t=\text{A}/\text{u}$$

Plocha a obvod definované střednicí ekvivalentního průřezu pak jsou:

$${{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$${{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)$$

Problém této metody nastává u průřezu tvaru T se širokou deskou, kdy se pro výpočet rozměrů použije celková plocha a obvod (včetně této desky). V budoucích verzích programu IDEA RCS bude umožněn výběr nejmasivnější části průřezu, která bude použita pro posouzení na kroucení.