Torsion

Hypothèses de calcul

Le comportement d'une section en béton armé soumise à la torsion peut être divisé en deux catégories - avant et après l'apparition des premières fissures. Avant la fissuration, la section transversale se comporte comme un matériau élastique. La contrainte de torsion peut être exprimée par la formule   

 $$\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}$$ 

où W_t est le module de section en torsion.

Les fissures dans un élément non armé dues à la contrainte principale de traction en torsion constituent également un état limite ultime. Le comportement d'une section en béton armé soumise à la torsion peut être décrit sur la base d'une section fermée à paroi mince, voir la figure ci-dessous. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}$$

Procédure de calcul

La procédure de vérification normative d'une section en béton armé à la torsion est très similaire à la vérification au cisaillement. Tout d'abord, on vérifie la résistance du béton. Si la vérification du béton est satisfaite, le ferraillage peut être dimensionné en appliquant les règles de détaillage. Dans le cas contraire, il est nécessaire de vérifier le ferraillage et la résistance des diagonales comprimées par le calcul.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}$$

Résistance

Le flux de cisaillement dans la paroi d'une section à paroi mince soumise à la torsion peut être exprimé comme suit :

$${{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

L'effort tranchant dans la paroi d'une section à paroi mince peut être exprimé comme suit :

$$V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z$$

Où 

τ          Flux de cisaillement dans la paroi,

t_ef         est l'épaisseur effective de la paroi,

z           est la longueur du côté de la paroi,

T_Ed       est le moment de torsion,

A_k        est l'aire délimitée par les lignes médianes des parois de liaison, y compris les zones creuses intérieures.

Le moment de fissuration en torsion peut être déterminé en substituant f_ctd dans l'expression précédente. On obtient ainsi l'expression de la résistance à la torsion sans ferraillage de torsion.

$${{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}$$

où  f_ctd       valeur de calcul de la résistance à la traction axiale du béton

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}$$

La résistance de l'élément avec ferraillage de torsion est composée de la résistance des diagonales comprimées en béton, basée sur la méthode de l'analogie du treillis. La contrainte de compression dans la diagonale peut être exprimée à l'aide de l'effort tranchant dans la paroi d'une section à paroi mince sur la surface de paroi considérée, soit :

$${{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }$$

En substituant σ_c=σ_cwf_cd et T_Ed=T_Rd,max et en exprimant T_Rd,max on obtient l'équation de la résistance des diagonales comprimées :

$${{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}$$

où  

ν          = 0,6 pour f_ck ≤ 60MPa ou  pour f_ck > 60MPa

α_cw       coefficient tenant compte de l'état de contrainte de compression dans la membrure comprimée

f_cd        valeur de calcul de la résistance à la compression du béton

la résistance du ferraillage transversal soumis à la torsion est également basée sur la contrainte dans la diagonale comprimée. L'effort dans l'étrier est égal à la contrainte dans la diagonale comprimée sur l'aire correspondant à la ligne d'étrier considérée, soit :

$${{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~$$

En substituant T_Ed=T_Rd,s et en exprimant T_Rd,s  on obtient l'équation :

 $${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta$$ 

Si les quantités de ferraillage longitudinal et transversal sont connues, on peut définir l'angle θ par l'expression :

$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}$$ 

En substituant T_Rd,s on obtient :

$${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}$$  

Où

A_sw      aire du ferraillage transversal

s           est l'espacement radial des étriers du ferraillage transversal

f_ywd      est la résistance de calcul effective du ferraillage transversal

A_sl       aire du ferraillage longitudinal

u_k         est le périmètre extérieur de la section transversale

f_ywd      est la résistance de calcul effective du ferraillage longitudinal

L'effort dans le ferraillage longitudinal peut être déduit de l'effort tranchant dans la paroi d'une section soumise à un moment de torsion pur, qui est donné par :

$$V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}$$

Cet effort est transformé en direction longitudinale et on obtient :

$${{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }$$

La plage admissible des valeurs de l'angle θ est similaire à celle de la vérification au cisaillement, soit 1 < cot θ < 2,5. La dépendance entre les résistances est illustrée dans la figure ci-dessous. Le diagramme montre qu'avec l'augmentation de l'angle θ, la résistance T_Rd,max croît, la résistance T_Rd.s décroît et la résistance T_Rd,c reste constante, car elle n'est pas basée sur la méthode de l'analogie du treillis.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}$$

Calcul des caractéristiques de la section transversale pour la torsion

Pour vérifier la section transversale à la torsion, il est nécessaire d'établir une section fermée à paroi mince équivalente. Pour déterminer les dimensions de la section à paroi mince équivalente, on suppose une forme rectangulaire. Pour l'aire réelle d'un rectangle, on a A = b×h et pour le périmètre du rectangle u =2 (b +h). En utilisant ces deux équations, on peut obtenir l'aire et le périmètre du rectangle à paroi mince équivalent de la section d'origine. En résolvant deux équations à deux inconnues, on obtient :

$$b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$$h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}$$

L'épaisseur de paroi de la section efficace peut être définie à partir du périmètre et de l'aire de la section comme suit :

$$t=\text{A}/\text{u}$$

Puis l'aire et le périmètre définis par la ligne médiane de la section efficace :

$${{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$${{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)$$

La difficulté avec cette méthode concerne les sections de type T avec une large table lorsque l'aire totale et le périmètre sont utilisés pour calculer les dimensions (y compris cette table). Dans les versions futures du programme IDEA RCS, la sélection de la partie la plus massive de la section transversale sera activée, ce qui permettra de vérifier la torsion.