Torsie

Rekenuitgangspunten

Het gedrag van een gewapende beton doorsnede belast op torsie kan worden verdeeld in twee categorieën - vóór en na het moment waarop de eerste scheuren worden verwacht. Vóór scheurvorming gedraagt de doorsnede zich als een elastisch materiaal. De torsiespanning kan worden uitgedrukt met de formule   

 $$\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}$$ 

waarin W_t het torsieweerstandsmoment van de doorsnede is.

Scheuren in de ongewapende staaf als gevolg van de hoofdspanning in trek door torsie vormen eveneens een uiterste grenstoestand. Het gedrag van een gewapende beton doorsnede belast op torsie kan worden beschreven aan de hand van een dunwandige gesloten doorsnede, zie onderstaande afbeelding. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}$$

Rekenprocedure

De procedure van een toetsing van gewapend beton op torsie is zeer vergelijkbaar met de toetsing op afschuiving. Allereerst toetsen we de weerstand van het beton. Als de toetsing van het beton wordt voldaan, kan de wapening worden ontworpen met de constructieve regels. Anders moeten we de wapening en de weerstand van de drukdiagonaal door berekening verifiëren.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}$$

Weerstand

De schuifstroom in een wand van een dunwandige doorsnede onder torsie kan worden uitgedrukt als:

$${{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

De dwarskracht in een wand van een dunwandige doorsnede kan worden uitgedrukt als:

$$V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z$$

Waarin 

τ          de schuifstroom in de wand is,

t_ef         de effectieve wanddikte is,

z           de zijdelingse lengte van de wand is,

T_Ed       het torsiemoment is,

A_k        de oppervlakte is die wordt omsloten door de hartlijnen van de aansluitende wanden, inclusief de inwendige holle delen.

Het scheurmoment bij torsie kan worden bepaald door f_ctd in de voorgaande uitdrukking in te vullen. Zo verkrijgen we de uitdrukking voor de weerstand bij torsie zonder torsiewapening.

$${{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}$$

waarin  f_ctd       de rekenwaarde van de axiale treksterkte van het beton is

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}$$

De weerstand van de staaf met torsiewapening is opgebouwd uit de weerstand van de betonnen drukdiagonalen, die opnieuw is gebaseerd op de vakwerkanalogie. De drukspanning in de diagonaal kan worden uitgedrukt met behulp van de dwarskracht in de wand van een dunwandige doorsnede op het wandoppervlak dat wordt beschouwd, d.w.z.

$${{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }$$

Door σ_c=σ_cwf_cd en T_Ed=T_Rd,max te substitueren en T_Rd,max uit te drukken, verkrijgen we een vergelijking voor de weerstand van de drukdiagonaal

$${{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}$$

waarin  

ν          = 0,6 voor f_ck ≤ 60MPa of  voor f_ck > 60MPa

α_cw       een coëfficiënt is die rekening houdt met de drukspanningstoestand in de drukflens

f_cd        de rekenwaarde van de druksterkte van het beton is

De weerstand van de dwarskrachtwapening bij torsie is opnieuw gebaseerd op de spanning in de drukdiagonaal. De beugelkracht is gelijk aan de spanning in de drukdiagonaal over het oppervlak dat overeenkomt met de betreffende beugelrij, d.w.z.

$${{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~$$

Door T_Ed=T_Rd,s te substitueren en T_Rd,s uit te drukken, verkrijgen we de vergelijking:

 $${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta$$ 

Als de hoeveelheid langswapening en dwarskrachtwapening bekend is, kunnen we de hoek θ bepalen met de uitdrukking

$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}$$ 

Door substitutie voor T_Rd,s verkrijgen we

$${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}$$  

Waarin

A_sw      de oppervlakte van de dwarskrachtwapening is

s           de hart-op-hartafstand van de beugels van de dwarskrachtwapening is

f_ywd      de effectieve rekenwaarde van de sterkte van de dwarskrachtwapening is

A_sl       de oppervlakte van de langswapening is

u_k         de buitenomtrek van de doorsnede is

f_ywd      de effectieve rekenwaarde van de sterkte van de langswapening is

De kracht in de langswapening kan worden afgeleid uit de dwarskracht in een wand van een doorsnede onder zuivere torsie, die als volgt wordt gegeven:

$$V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}$$

Die kracht wordt omgezet naar de langsrichting en we verkrijgen:

$${{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }$$

Het toegestane bereik van de waarden voor de hoek θ is vergelijkbaar met dat bij de toetsing op afschuiving, d.w.z. 1 < cot θ < 2,5. De afhankelijkheid tussen de weerstanden is te zien in onderstaande afbeelding. Het diagram laat zien dat bij toenemende hoek θ  de weerstand T_Rd,max toeneemt,  de weerstand T_Rd.s afneemt en de weerstand T_Rd,c constant is, aangezien deze niet is gebaseerd op de vakwerkanalogie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}$$

Berekening van de doorsnedekarakteristieken voor torsie

Om de doorsnede op torsie te toetsen is het noodzakelijk een zogenaamde equivalente dunwandige gesloten doorsnede vast te stellen. Bij het bepalen van de afmetingen van de equivalente dunwandige doorsnede wordt uitgegaan van een rechthoekige vorm. Voor de werkelijke oppervlakte van een rechthoek geldt A = b×h en voor de omtrek van de rechthoek u =2 (b +h). Met deze twee vergelijkingen kan een alternatieve dunne rechthoekige oppervlakte en omtrek van de oorspronkelijke doorsnede worden bepaald. Het oplossen van twee vergelijkingen met twee onbekenden geeft:

$$b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$$h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}$$

De wanddikte van de effectieve doorsnede kan worden bepaald uit de omtrek en de doorsnede-oppervlakte als:

$$t=\text{A}/\text{u}$$

Dan worden de oppervlakte en de omtrek gedefinieerd door de hartlijn van de effectieve doorsnede:

$${{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$${{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)$$

Het probleem met deze methode doet zich voor bij doorsneden van het type T met een brede flens, wanneer de totale oppervlakte en omtrek worden gebruikt om de afmetingen te berekenen (inclusief deze flens). In toekomstige versies van het IDEA RCS programma zal de selectie van het meest massieve deel van de doorsnede mogelijk worden, dat zal worden gebruikt voor de toetsing op torsie.