Torsion

Berechnungsannahmen

Das Verhalten eines Stahlbetonquerschnitts unter Torsionsbeanspruchung lässt sich in zwei Zustände einteilen - vor und nach dem Zeitpunkt, ab dem erstmals mit Rissen gerechnet werden kann. Vor der Rissbildung verhält sich der Querschnitt wie ein elastisches Material. Die Torsionsspannung kann mit der folgenden Formel ausgedrückt werden   

 $$\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}$$ 

wobei W_t das Torsionswiderstandsmoment des Querschnitts ist.

Risse im unbewehrten Bauteil infolge der Hauptzugspannung aus Torsion gelten ebenfalls als Grenzzustand der Tragfähigkeit. Das Verhalten eines Stahlbetonquerschnitts unter Torsionsbeanspruchung kann anhand eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts beschrieben werden, siehe Abbildung unten. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}$$

Berechnungsablauf

Der Ablauf des Stahlbetonnachweises für Torsion ist dem Nachweis für Querkraft sehr ähnlich. Zunächst wird der Betonwiderstand nachgewiesen. Ist der Betonnachweis erfüllt, kann die Bewehrung nach den Konstruktionsregeln bemessen werden. Andernfalls müssen die Bewehrung und der Widerstand der Druckdiagonalen rechnerisch nachgewiesen werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}$$

Widerstand

Der Schubfluss in einer Wand eines dünnwandigen Querschnitts unter Torsion kann wie folgt ausgedrückt werden:

$${{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

Die Querkraft in einer Wand eines dünnwandigen Querschnitts kann wie folgt ausgedrückt werden:

$$V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z$$

Dabei ist 

τ          der Schubfluss in der Wand,

t_ef         die effektive Wanddicke,

z           die Seitenlänge der Wand,

T_Ed       das Torsionsmoment,

A_k        die von den Mittellinien der verbundenen Wände eingeschlossene Fläche, einschließlich innerer Hohlflächen.

Das Rissmoment bei Torsion kann bestimmt werden, indem f_ctd in den vorherigen Ausdruck eingesetzt wird. So erhalten wir den Ausdruck für den Torsionswiderstand ohne Torsionsbewehrung.

$${{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}$$

wobei  f_ctd       der Bemessungswert der zentrischen Betonzugfestigkeit ist

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}$$

Der Bauteilwiderstand mit Torsionsbewehrung setzt sich aus dem Widerstand der Betondruckdiagonalen zusammen, der wiederum auf dem Fachwerkmodell beruht. Die Druckspannung in der Diagonalen kann mithilfe der Querkraft in der Wand eines dünnwandigen Querschnitts auf der betrachteten Wandfläche ausgedrückt werden, d. h.

$${{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }$$

Durch Einsetzen von  σ_c=σ_cwf_cd und T_Ed=T_Rd,max und Auflösen nach T_Rd,max erhalten wir die Gleichung für den Widerstand der Druckdiagonalen

$${{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}$$

wobei  

ν          = 0,6 für f_ck ≤ 60MPa oder  für f_ck > 60MPa

α_cw       der Beiwert, der den Spannungszustand im Druckgurt berücksichtigt

f_cd        der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit

Der Widerstand der Querkraftbewehrung unter Torsion basiert ebenfalls auf der Spannung in der Druckdiagonalen. Die Bügelkraft entspricht der Spannung in der Druckdiagonalen auf der Fläche, die der jeweiligen Bügelreihe zugeordnet ist, d. h.

$${{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~$$

Durch Einsetzen von  T_Ed=T_Rd,s und Auflösen nach T_Rd,s  erhalten wir die Gleichung:

 $${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta$$ 

Sind die Mengen der Längs- und Querkraftbewehrung bekannt, können wir den Winkel θ mit dem folgenden Ausdruck bestimmen

$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}$$ 

Durch Einsetzen in T_Rd,s erhalten wir

$${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}$$  

Dabei ist

A_sw      die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung

s           der Längsabstand der Bügel der Querkraftbewehrung

f_ywd      die wirksame Bemessungsfestigkeit der Querkraftbewehrung

A_sl       die Querschnittsfläche der Längsbewehrung

u_k         der äußere Umfang des Querschnitts

f_ywd      die wirksame Bemessungsfestigkeit der Längsbewehrung

Die Kraft in der Längsbewehrung kann aus der Querkraft in einer Wand eines Querschnitts unter reiner Torsionsbeanspruchung abgeleitet werden, die wie folgt gegeben ist:

$$V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}$$

Diese Kraft wird in Längsrichtung umgerechnet, und wir erhalten:

$${{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }$$

Der zulässige Wertebereich für den Winkel θ entspricht dem des Querkraftnachweises, d. h. 1 < cot θ < 2,5. Die Abhängigkeit zwischen den Widerständen ist in der Abbildung unten dargestellt. Das Diagramm zeigt, dass mit zunehmendem Winkel θ  der Widerstand T_Rd,max zunimmt,  der Widerstand T_Rd.s abnimmt und der Widerstand T_Rd,c konstant bleibt, da er nicht auf dem Fachwerkmodell beruht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}$$

Berechnung der Querschnittskennwerte für Torsion

Um den Querschnitt für Torsion nachzuweisen, ist es erforderlich, einen sogenannten äquivalenten dünnwandigen geschlossenen Querschnitt zu bestimmen. Zur Ermittlung der Abmessungen des äquivalenten dünnwandigen Querschnitts wird eine Rechteckform angenommen. Für die tatsächliche Fläche des Rechtecks gilt A = b×h und für den Umfang des Rechtecks u =2 (b +h). Mit diesen beiden Gleichungen lassen sich die Fläche und der Umfang eines alternativen dünnen Rechteckquerschnitts des ursprünglichen Querschnitts bestimmen. Die Lösung der zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ergibt:

$$b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$$h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}$$

Die Wanddicke des effektiven Querschnitts kann aus dem Umfang und der Querschnittsfläche wie folgt bestimmt werden:

$$t=\text{A}/\text{u}$$

Damit ergeben sich die Fläche und der Umfang bezogen auf die Mittellinie des effektiven Querschnitts:

$${{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$${{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)$$

Das Problem dieser Methode tritt bei Querschnitten vom Typ T mit breitem Flansch auf, wenn die Gesamtfläche und der Gesamtumfang zur Berechnung der Abmessungen herangezogen werden (einschließlich dieses Flansches). In zukünftigen Versionen des Programms IDEA RCS wird die Auswahl des massivsten Querschnittsteils möglich sein, der dann für den Torsionsnachweis verwendet wird.