1.2 Hlavní předpoklady a omezení CSFM ve 3D

3D CSFM definuje chování betonu na základě modifikované Mohr-Coulombovy teorie plasticity pro monotónní zatěžování. Metoda uvažuje hlavní napětí v betonu v tlaku a napětí ve vyztužení (σ_sr) v trhlinách, přičemž zanedbává pevnost betonu v tahu (tension cut-off), s výjimkou jeho ztužujícího vlivu na vyztužení (Tahové zpevnění).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Pruty vyztužení jsou propojeny s objemovými konečnými prvky betonu pomocí prvků soudržnosti, které umožňují prokluz mezi betonem a vyztužením. Je třeba poznamenat, že 3D CSFM není vhodná pro simulaci prostého betonu z důvodu absence tahu, která může vést k zavádějícímu přetvoření a divergenci modelu. Mohr-Coulombova teorie obecně zahrnuje dvě základní vlastnosti, které řídí vývoj plochy plasticity v tlaku a částečně v tahu: úhel vnitřního tření φ a parametr koheze c. 3D CSFM předpokládá nulový úhel vnitřního tření (obr. 1.2.1e), což vede ke konzervativnímu návrhu, protože plocha plasticity se podobá modelu Tresca, který je nezávislý na prvním invariantu napětí.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Prezentovaný materiálový model je vícenásobný model plasticity daný kombinací modelů Mohr-Coulomb a Rankine pro monotónní zatěžování. Je důležité poznamenat, že tento model neřeší odtížení, a proto se neukládají stavové proměnné, jak je tomu u klasických modelů plasticity používaných pro cyklické zatěžování.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Jak již bylo zmíněno, materiálový model je určen pro použití v aplikacích, které počítají odezvu železobetonu (není vhodný pro prostý beton). Důvodem je vyloučení betonu v tahu. Model proto není vhodný ani pro konstrukční prvky, u nichž nejsou splněna návrhová pravidla pro železobeton, například minimální stupeň vyztužení, maximální osová vzdálenost prutů apod. Je třeba také dodat, že z důvodu numerické stability je v modelu definována velmi malá tahová únosnost. Tahová část je omezena rovinami odpovídajícími modelu Rankine.

3D CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření betonu v tlaku (tj. uvažuje nekonečně plastickou větev po dosažení maximálního napětí). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušujících se tlakem. Jejich mezní únosnost je však správně predikována, pokud se zohlední nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele 𝜂_𝑓𝑐 definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

f_c je charakteristická válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

Hodnota f_c,red se pak porovnává s ekvivalentním hlavním napětím σ_c,eq v betonu, které bude definováno dále, samozřejmě s uvážením všech dílčích součinitelů spolehlivosti předepsaných normou.

Podrobný popis modelu betonu naleznete na následujícím odkazu:

• Materiálový model betonu pro 3D Detail

Vyztužení

Bilineární diagram napětí-přetvoření pro pruty vyztužení, jak jej definují návrhové normy (obr. 1.2.1d), představuje idealizovaný model. Tento model vyžaduje v návrhové fázi znalost základních vlastností vyztužení, konkrétně pevnosti a třídy tažnosti. Alternativně má uživatel možnost definovat vlastní vztah napětí-přetvoření.

Tahové zpevnění se uvažuje úpravou vztahu napětí-přetvoření holého prutu vyztužení tak, aby zachytil průměrnou tuhost prutů zabetonovaných v betonu (ε_m) (obr. 1.2.1b).

Kotvení

Soudržnost s prokluzem mezi vyztužením a betonem se v modelu konečných prvků zavádí uvažováním zjednodušeného tuhého ideálně plastického konstitutivního vztahu uvedeného na (obr. 1.2.1f), kde f_bd je návrhová hodnota (násobená součinitelem) mezního napětí v soudržnosti stanovená návrhovou normou pro konkrétní podmínky soudržnosti.

Jedná se o zjednodušený model, jehož jediným účelem je ověření ustanovení o soudržnosti podle návrhových norem (tj. kotvení vyztužení). Zkrácení kotevní délky při použití háků, smyček a podobných tvarů prutů lze uvážit definováním určité únosnosti na konci vyztužení, jak bude popsáno dále.

Kotvy

Prvek kotvy je definován tak, že je schopen přenášet normálové tahové nebo tlakové síly i smykové síly s uvážením ohybové tuhosti. 

K dispozici jsou následující typy kotev:

• Předem zabetonované kotvy

  • Vyztužení
  • Podložka
  • Spřahovací trn
• Předem zabetonované vyztužení

  • Vyztužení
  • Závitové tyče

Předem zabetonované kotvy - vyztužení

Modelováno jako žebírkové vyztužení zabetonované v betonu. Pevnost soudržnosti se vypočte podle pravidel zvolené normy stejným způsobem jako u standardního vyztužení. Na konci kotvy lze definovat typ kotvení, který funguje stejně jako u vyztužení – použije se kotevní pružina se součinitelem β nastaveným podle zvolené normy. K dispozici jsou tři geometrické tvary: přímý, tvar L, tvar U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Předem zabetonované kotvy - podložka a spřahovací trn

Podložka a hlava spřahovacího trnu jsou modelovány jako plechový skořepinový prvek z příslušného materiálu připojený přímo k dříku kotvy. Přenáší zatížení do betonu pomocí kontaktu působícího pouze v tlaku. Dostupné tvary: kruhový a čtvercový (u spřahovacího trnu pouze kruhový) s přizpůsobitelnými rozměry. Model podložky a hlavy je pružný a neposuzuje se na únosnost. 

Na úrovni modelu konečných prvků se přímo posuzuje vytažení kotvy. Tlakový kontakt má nastavena ukončovací kritéria tak, aby nebyl schopen přenést do betonu větší kontaktní napětí, než předepisuje zvolená norma. V praxi to znamená, že pokud by byla kotva zatížena silou, která nevyhovuje posouzení na vytažení, výsledkem by bylo předčasné ukončení výpočtu, protože by bylo toto ukončovací kritérium při dalším zatěžování překročeno.

Dřík kotvy má nulovou pevnost soudržnosti – veškeré zatížení se přenáší do betonu prostřednictvím plechu nebo hlavy.

Dodatečně instalované kotvy - vyztužení a závitová tyč

Navrženo jako pruty instalované do vyvrtaných otvorů a spojené lepidlem. Inženýr zadává návrhovou pevnost soudržnosti přímo z technické specifikace lepicího výrobku.

Materiálový model kotev ze šroubového materiálu

U kotev ze šroubového materiálu (závitové tyče a kotvy s podložkami) se dvě vlastnosti materiálového modelu liší od jmenovitých hodnot šroubového materiálu: modul pružnosti a tažnost. Obě popisují chování sestavy šroubu a geometrii zkušebních těles, na nichž se jmenovité hodnoty měří. Nezávisí na návrhové normě, a proto se použijí stejně pro všechny návrhové normy. Jmenovitý diagram napětí-přetvoření šroubového materiálu i diagram upravený součiniteli C_E a C_A jsou zobrazeny na kartě Materiály (obr. 1.2.4).

Pružná tuhost. Modul pružnosti šroubového materiálu se snižuje součinitelem C_E:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - modul pružnosti šroubu
• E_b - modul pružnosti kotvy použitý v analýze

Tento přístup byl převzat na základě nejnovějšího výzkumu (dosud nepublikovaného; odkaz bude doplněn po publikaci), v němž byl efektivní modul pružnosti sestavy šroubu kalibrován analýzou metodou konečných prvků na rozsáhlé databázi zkoušek šroubů. Potvrzují to již publikované experimentální výsledky Janković a kol. (2025): v 66 zkouškách tahem závitových tyčí délky 1000 mm (M20 až M30, třídy 8.8 a 10.9) odpovídala naměřená počáteční tuhost hodnotě 0,8·E·A_s/L_b, při průměrném poměru predikované a naměřené tuhosti 0,98 a variačním koeficientu 7,9 %. U tyčí této délky je vliv matic a záběru závitu zanedbatelný, takže snížení představuje efektivní modul pružnosti samotné závitové tyče. Stejný součinitel je mimochodem obsažen i v tuhosti šroubu v tahu podle EN 1993-1-8 (součinitel 1,6 pro řadu šroubů se dvěma šrouby).

Tažnost. Tažnost šroubového materiálu je charakterizována poměrným prodloužením po přetržení A, typicky okolo 10 %. Tyto hodnoty se měří na krátkých zkušebních tělesech, kde lokální zúžení (krčkování) tvoří velkou část naměřeného prodloužení. Délka krčku nezávisí na délce tělesa, takže poměrné prodloužení s rostoucí délkou tělesa klesá. U kotev zabetonovaných do délky několika set milimetrů je podstatně nižší než předepsaná hodnota. Aplikace proto používá sníženou tažnost:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - poměrné prodloužení šroubového materiálu po přetržení
• A_red - snížená tažnost použitá jako ukončovací kritérium přetvoření kotvy
• C_A - součinitel snížení tažnosti
• L_s - kotevní délka zabetonované části kotvy [mm]

Jakmile přetvoření v kotvě dosáhne hodnoty A_red, je splněno ukončovací kritérium a analýza se ukončí, stejně jako u ostatních ukončovacích kritérií 3D CSFM.

Rovnice byla převzata na základě nejnovějšího výzkumu (dosud nepublikovaného; odkaz bude doplněn po publikaci), který poskytuje aproximaci plastické deformace šroubu při jeho mezní únosnosti, kalibrovanou na rozsáhlé databázi zkoušek šroubů: Δ_u,p = A · (0,177 · L + 2,19), kde L je deformující se délka šroubu v mm. Člen úměrný délce představuje rovnoměrné prodloužení tyče a konstantní člen představuje lokální příspěvek krčkování. V aplikaci se jako tato délka uvažuje zabetonovaná délka kotvy L_s a vydělením Δ_u,p délkou L_s se získá přetvoření A/C_A. Součinitel C_A s délkou roste a blíží se limitní hodnotě 1/0,177 = 5,65. Pro zabetonované délky 200 mm a více překračuje hodnotu 5,3, takže tažnost kotvy se sníží přibližně na jednu pětinu jmenovité hodnoty, např. z 12 % na asi 2,2 % při L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Další informace o připojení jednotlivých typů kotev k patní desce nebo k předem zabetonovanému plechu naleznete v kapitole Typy konečných prvků - Prvky pro přenos zatížení.