1.2 Belangrijkste aannames en beperkingen voor CSFM in 3D

3D CSFM definieert het betongedrag op basis van de gemodificeerde Mohr-Coulomb plasticiteitstheorie voor monotone belasting. De methode houdt rekening met de hoofdspanningen in beton op druk en de wapeningsspanningen (σ_sr) ter plaatse van de scheuren, waarbij de treksterkte van beton wordt verwaarloosd (trekafsnijding), behalve voor het stijvere effect op de wapening (Tension stiffening).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

De wapeningsstaven zijn via aanhechtingselementen gekoppeld aan de eindige elementen van het betonvolume, waardoor slip tussen beton en wapening mogelijk is. Merk op dat 3D CSFM niet geschikt is voor het simuleren van ongewapend beton vanwege het ontbreken van trek, wat kan leiden tot misleidende vervormingen en divergentie van het model. In het algemeen omvat de Mohr-Coulomb-theorie twee fundamentele eigenschappen die de ontwikkeling van het plasticiteitsoppervlak op druk en gedeeltelijk op trek bepalen: de hoek van inwendige wrijving φ en de cohesieparameter c. 3D CSFM gaat uit van een hoek van inwendige wrijving van nul (Fig. 1.2.1e), wat leidt tot een conservatief ontwerp doordat het plasticiteitsoppervlak lijkt op het Tresca-model, dat onafhankelijk is van de eerste spanningsinvariant.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Het gepresenteerde materiaalmodel is een multisurface-plasticiteitsmodel, gevormd door de combinatie van de Mohr-Coulomb- en Rankine-modellen voor monotone belasting. Het is belangrijk op te merken dat dit model ontlasting niet behandelt. Toestandsvariabelen worden daarom niet opgeslagen, zoals wel gebeurt in klassieke plasticiteitsmodellen voor cyclische belasting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Zoals reeds vermeld is het materiaalmodel bedoeld voor toepassingen die het gedrag van gewapend beton berekenen (niet geschikt voor ongewapend beton). Dit komt doordat beton op trek wordt uitgesloten. Het model is daarom evenmin geschikt voor constructieve elementen waarvoor niet wordt voldaan aan de ontwerpregels voor gewapend beton, zoals het minimale wapeningspercentage, de maximale staafafstand, enzovoort. Ook moet worden toegevoegd dat om redenen van numerieke stabiliteit een zeer kleine treksterkte in het model is gedefinieerd. Het trekgedeelte wordt begrensd door vlakken die overeenkomen met het Rankine-model.

3D CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rekken voor beton op druk (het gaat dus uit van een oneindig plastische tak nadat de piekspanning is bereikt). Door deze vereenvoudiging kan het vervormingsvermogen van constructies die op druk bezwijken niet worden geverifieerd. Hun uiterste capaciteit wordt echter correct voorspeld wanneer de toename van de brosheid van beton bij toenemende sterkte in rekening wordt gebracht met de reductiefactor 𝜂_𝑓𝑐 die in fib Model Code 2010 als volgt is gedefinieerd:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarin:

f_c de karakteristieke cilindersterkte van het beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

De f_c,red wordt vervolgens vergeleken met de equivalente hoofdspanning σ_c,eq in het beton, die verderop wordt gedefinieerd, uiteraard met inachtneming van alle veiligheidsfactoren die door de norm worden voorgeschreven.

Een gedetailleerde beschrijving van het betonmodel is te vinden via de volgende link:

• Concrete Material Model for 3D Detail

Wapening

Het bilineaire spanning-rek-diagram voor wapeningsstaven, zoals gedefinieerd door de ontwerpnormen (Fig. 1.2.1d), vertegenwoordigt een geïdealiseerd model. Dit model vereist kennis van de basiseigenschappen van de wapening tijdens de ontwerpfase, met name de sterkte- en ductiliteitsklasse. Als alternatief kunnen gebruikers een eigen spanning-rek-relatie definiëren.

Tension stiffening wordt in rekening gebracht door de spanning-rek-relatie van de blanke wapeningsstaaf aan te passen, zodat de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven wordt weergegeven (ε_m) (Fig 1.2.1b).

Verankering

Aanhechting-slip tussen wapening en beton wordt in het eindige-elementenmodel geïntroduceerd door de vereenvoudigde stijf-ideaal-plastische constitutieve relatie uit (Fig. 1.2.1f) te beschouwen, waarbij f_bd de rekenwaarde (de gefactoreerde waarde) is van de uiterste aanhechtingsspanning die de norm voorschrijft voor de specifieke aanhechtingsomstandigheden.

Dit is een vereenvoudigd model met als enige doel het verifiëren van de aanhechtingsvoorschriften volgens de ontwerpnormen (d.w.z. de verankering van wapening). De reductie van de verankeringslengte bij het gebruik van haken, lussen en vergelijkbare staafvormen kan in rekening worden gebracht door een bepaalde capaciteit aan het uiteinde van de wapening te definiëren, zoals verderop wordt beschreven.

Ankers

Het ankerelement is gedefinieerd als een element dat normaal trek- of drukkrachten kan overdragen, evenals afschuifkrachten, rekening houdend met de buigstijfheid. 

De volgende typen ankers zijn beschikbaar:

• Ingestorte ankers

  • Wapening
  • Ankerplaat
  • Kopdeuvel
• Ingestorte wapening

  • Wapening
  • Draadeinden

Ingestorte - Wapening

Gemodelleerd als geribde wapening ingebed in beton. De aanhechtingssterkte wordt berekend volgens de regels van de geselecteerde norm, op dezelfde manier als voor standaardwapening. Aan het ankeruiteinde kan een verankeringstype worden gedefinieerd, dat identiek werkt aan wapening - er wordt een verankeringsveer toegepast met de β-factor ingesteld volgens de gekozen norm. Er zijn drie geometrische vormen beschikbaar: recht, L-vorm, U-vorm.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Ingestorte - Ankerplaat en kopdeuvel

De ankerplaat en de kop van de kopdeuvel worden gemodelleerd als een plaat-schaalelement van het overeenkomstige materiaal, rechtstreeks bevestigd aan de ankerschacht. Dit element draagt de belasting over op het beton via contact dat alleen druk overdraagt. Beschikbare vormen: rond en vierkant (alleen rond voor kopdeuvel), met aanpasbare afmetingen. Het model van de ankerplaat en de kop is elastisch en wordt niet getoetst op weerstand. 

Op het niveau van het eindige-elementenmodel wordt het uittrekken van het anker direct getoetst. Het drukcontact heeft stopcriteria die ervoor zorgen dat er geen grotere contactspanning op het beton kan worden overgedragen dan door de geselecteerde norm is voorgeschreven. In de praktijk betekent dit dat als het anker wordt belast met een kracht die niet voldoet aan de uittrekcontrole, de berekening voortijdig wordt beëindigd, omdat dit stopcriterium bij verdere belasting wordt overschreden.

De ankerschacht heeft een aanhechtingssterkte van nul – alle belasting wordt via de plaat of kop op het beton overgedragen.

Achteraf aangebrachte - Wapening en draadeind

Ontworpen als staven die in geboorde gaten worden geplaatst en met lijm worden aangehecht. De ingenieur specificeert de rekenwaarde van de aanhechtingssterkte rechtstreeks uit de technische specificatie van het lijmproduct.

Materiaalmodel van ankers van boutmateriaal

Voor ankers van boutmateriaal (draadeinden en ankers met ankerplaten) wijken twee eigenschappen van het materiaalmodel af van de nominale waarden van het boutmateriaal: de elasticiteitsmodulus en de ductiliteit. Beide beschrijven het gedrag van de boutverbinding en de geometrie van de proefstukken waarop de nominale waarden worden gemeten. Ze zijn niet afhankelijk van de ontwerpnorm en worden daarom voor alle ontwerpnormen identiek toegepast. Zowel het nominale spanning-rek-diagram van het boutmateriaal als het diagram dat is aangepast met de coëfficiënten C_E en C_A worden weergegeven op het tabblad Materials (Fig. 1.2.4).

Elastische stijfheid. De elasticiteitsmodulus van het boutmateriaal wordt gereduceerd met de coëfficiënt C_E:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - elasticiteitsmodulus van de bout
• E_b - elasticiteitsmodulus van het anker zoals gebruikt in de analyse

Deze aanpak is gebaseerd op het meest recente onderzoek (nog niet gepubliceerd; de referentie wordt toegevoegd na publicatie), waarin de effectieve elasticiteitsmodulus van de boutverbinding met een eindige-elementenanalyse is gekalibreerd aan de hand van een uitgebreide database van boutproeven. Dit wordt bevestigd door reeds gepubliceerde experimentele resultaten van Janković et al. (2025): bij 66 trekproeven op draadeinden met een lengte van 1000 mm (M20 tot M30, klassen 8.8 en 10.9) kwam de gemeten initiële stijfheid overeen met 0.8·E·A_s/L_b, met een gemiddelde verhouding tussen voorspelde en gemeten stijfheid van 0.98 en een variatiecoëfficiënt van 7.9 %. Bij draadeinden van deze lengte is de invloed van de moeren en van de draadinsteek verwaarloosbaar. De reductie vertegenwoordigt dus een effectieve elasticiteitsmodulus van het draadeind zelf. Overigens is dezelfde factor opgenomen in de stijfheid van een bout op trek in EN 1993-1-8 (coëfficiënt 1.6 voor een boutrij van twee bouten).

Ductiliteit. De ductiliteit van boutmateriaal wordt gekarakteriseerd door de procentuele rek na breuk A, doorgaans ongeveer 10 %. Deze waarden worden gemeten op korte proefstukken, waarbij lokale insnoering een groot deel van de gemeten rek vormt. De lengte van de insnoering is niet afhankelijk van de lengte van het proefstuk, dus de procentuele rek neemt af naarmate het proefstuk langer wordt. Voor ankers die enkele honderden millimeters in het beton zijn ingebed, ligt deze aanzienlijk lager dan de gespecificeerde waarde. De applicatie gebruikt daarom de gereduceerde ductiliteit:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - procentuele rek na breuk van het boutmateriaal
• A_red - gereduceerde ductiliteit, gebruikt als stopcriterium voor de rek van het anker
• C_A - reductiecoëfficiënt voor de ductiliteit
• L_s - ingebedde lengte van het anker [mm]

Wanneer de rek in het anker A_red bereikt, is aan het stopcriterium voldaan en wordt de analyse beëindigd, op dezelfde manier als bij de andere stopcriteria van 3D CSFM.

De vergelijking is gebaseerd op het meest recente onderzoek (nog niet gepubliceerd; de referentie wordt toegevoegd na publicatie), dat een benadering geeft van de plastische vervorming van een bout bij zijn uiterste weerstand, gekalibreerd aan de hand van een uitgebreide database van boutproeven: Δ_u,p = A · (0.177 · L + 2.19), waarin L de vervormende lengte van de bout in mm is. De term die evenredig is met de lengte vertegenwoordigt de uniforme rek van het draadeind en de constante term de lokale bijdrage van de insnoering. In de applicatie wordt de ingebedde lengte van het anker L_s als deze lengte genomen. Door Δ_u,p te delen door L_s volgt de rek A/C_A. De coëfficiënt C_A neemt toe met de lengte en nadert de limiet 1/0.177 = 5.65. Voor ingebedde lengten van 200 mm en meer is deze groter dan 5.3, waardoor de ductiliteit van het anker wordt gereduceerd tot ongeveer een vijfde van de nominale waarde, bijvoorbeeld van 12 % tot circa 2.2 % bij L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Meer informatie over het aansluiten van de afzonderlijke ankertypen op de voetplaat of de ingestorte plaat is te vinden in het hoofdstuk Typen eindige elementen - Load transferring devices.