1.2 Główne założenia i ograniczenia CSFM w 3D

3D CSFM definiuje zachowanie betonu w oparciu o teorię plastyczności zmodyfikowanego kryterium Mohra-Coulomba dla obciążeń monotonicznych. Metoda uwzględnia naprężenia główne w betonie ściskanym oraz naprężenia w zbrojeniu (σ_sr) w rysach, pomijając wytrzymałość betonu na rozciąganie (odcięcie rozciągania), z wyjątkiem jego efektu usztywnienia zbrojenia (Tension stiffening).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Pręty zbrojeniowe są połączone z elementami skończonymi objętościowymi betonu za pomocą elementów przyczepności, co umożliwia poślizg między betonem a zbrojeniem. Należy zauważyć, że 3D CSFM nie nadaje się do symulacji betonu niezbrojonego ze względu na brak rozciągania, co może prowadzić do błędnych odkształceń i rozbieżności modelu. Ogólnie teoria Mohra-Coulomba obejmuje dwie podstawowe właściwości określające rozwój powierzchni plastyczności przy ściskaniu i częściowo przy rozciąganiu: kąt tarcia wewnętrznego φ oraz parametr spójności c. 3D CSFM przyjmuje zerowy kąt tarcia wewnętrznego (rys. 1.2.1e), co prowadzi do projektowania w sposób zachowawczy, ponieważ powierzchnia plastyczności przypomina model Tresca, który jest niezależny od pierwszego niezmiennika naprężeń.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Przedstawiony model materiałowy jest wielopowierzchniowym modelem plastyczności, będącym kombinacją modeli Mohra-Coulomba i Rankine'a dla obciążeń monotonicznych. Należy zaznaczyć, że model ten nie uwzględnia odciążenia, dlatego zmienne stanu nie są zapamiętywane, tak jak ma to miejsce w klasycznych modelach plastyczności stosowanych dla obciążeń cyklicznych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Jak wspomniano wcześniej, model materiałowy jest przeznaczony do stosowania w aplikacjach obliczających odpowiedź konstrukcji żelbetowych (nie nadaje się do betonu niezbrojonego). Wynika to z pominięcia betonu w strefie rozciąganej. Z tego względu model nie nadaje się również do elementów konstrukcyjnych, w których nie są spełnione zasady projektowania konstrukcji żelbetowych, takie jak minimalny stopień zbrojenia, maksymalny rozstaw prętów itp. Należy również dodać, że ze względu na stabilność numeryczną w modelu zdefiniowano bardzo małą nośność na rozciąganie. Część rozciągana jest ograniczona płaszczyznami odpowiadającymi modelowi Rankine'a.

3D CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w odniesieniu do odkształceń betonu ściskanego (tzn. przyjmuje nieskończenie plastyczną gałąź po osiągnięciu naprężenia maksymalnego). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności do odkształceń konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Jednak ich nośność graniczna jest prawidłowo przewidywana, gdy wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości jest uwzględniony za pomocą współczynnika redukcyjnego 𝜂_𝑓𝑐 zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

f_c jest wytrzymałością charakterystyczną betonu na ściskanie, określoną na próbkach walcowych (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

Wartość f_c,red jest następnie porównywana z równoważnym naprężeniem głównym σ_c,eq w betonie, które zostanie zdefiniowane dalej, oczywiście z uwzględnieniem wszystkich współczynników bezpieczeństwa przewidzianych w normie.

Szczegółowy opis modelu betonu można znaleźć pod poniższym łączem:

• Model materiałowy betonu dla 3D Detail

Zbrojenie

Dwuliniowy wykres naprężenie-odkształcenie dla prętów zbrojeniowych, zdefiniowany w normach projektowych (rys. 1.2.1d), stanowi model wyidealizowany. Model ten wymaga znajomości podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania, a w szczególności klasy wytrzymałości i ciągliwości. Użytkownik ma także możliwość zdefiniowania własnej zależności naprężenie-odkształcenie.

Tension stiffening jest uwzględniane przez modyfikację zależności naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu odwzorowania średniej sztywności prętów zatopionych w betonie (ε_m) (rys. 1.2.1b).

Zakotwienie

Poślizg przyczepności między zbrojeniem a betonem jest wprowadzany do modelu elementów skończonych poprzez przyjęcie uproszczonej sztywno-idealnie plastycznej zależności konstytutywnej przedstawionej na (rys. 1.2.1f), gdzie f_bd oznacza wartość obliczeniową (z uwzględnieniem współczynników) granicznego naprężenia przyczepności określonego w normie projektowej dla danych warunków przyczepności.

Jest to uproszczony model, którego jedynym celem jest weryfikacja wymagań dotyczących przyczepności zgodnie z normami projektowymi (tzn. zakotwienia zbrojenia). Skrócenie długości zakotwienia w przypadku stosowania haków, pętli i podobnych kształtów prętów można uwzględnić poprzez zdefiniowanie określonej nośności na końcu zbrojenia, co zostanie opisane dalej.

Kotwy

Element kotwy jest zdefiniowany jako zdolny do przenoszenia normalnych sił rozciągających lub ściskających, a także sił ścinających, z uwzględnieniem sztywności giętnej. 

Dostępne są następujące typy kotew:

• Kotwy wylewane na miejscu budowy

  • Zbrojenie
  • Podkładka
  • Śruba z łbem
• Zbrojenie wylewane na miejscu budowy

  • Zbrojenie
  • Pręty gwintowane

Wylewane na miejscu budowy - zbrojenie

Modelowane jako zbrojenie żebrowane zatopione w betonie. Wytrzymałość przyczepności jest obliczana zgodnie z zasadami wybranej normy, w taki sam sposób jak dla zbrojenia standardowego. Na końcu kotwy można zdefiniować typ zakotwienia, działający identycznie jak w przypadku zbrojenia - stosowana jest sprężyna zakotwienia ze współczynnikiem β ustawionym zgodnie z wybraną normą. Dostępne są trzy kształty geometryczne: prosty, w kształcie litery L, w kształcie litery U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Wylewane na miejscu budowy - podkładka i śruba z łbem

Podkładka oraz łeb śruby z łbem są modelowane jako element płytowo-powłokowy z odpowiedniego materiału, połączony bezpośrednio z trzonem kotwy. Przenosi on obciążenie na beton poprzez kontakt przenoszący wyłącznie ściskanie. Dostępne kształty: okrągły i kwadratowy (dla śruby z łbem tylko okrągły), z możliwością zdefiniowania wymiarów. Model podkładki i łba jest sprężysty i nie jest sprawdzany pod kątem nośności. 

Na poziomie modelu elementów skończonych bezpośrednio sprawdzane jest wyrwanie kotwy. Dla kontaktu ściskanego ustawiono kryteria zatrzymania w taki sposób, aby nie mógł on przenieść na beton większego naprężenia kontaktowego, niż przewiduje wybrana norma. W praktyce oznacza to, że jeśli kotwa zostałaby obciążona siłą niespełniającą warunków sprawdzenia na wyrwanie, skutkiem byłoby przedwczesne zakończenie obliczeń, ponieważ kryterium zatrzymania zostałoby przekroczone podczas dalszego obciążania.

Trzon kotwy ma zerową wytrzymałość przyczepności – całe obciążenie jest przekazywane na beton poprzez płytkę lub łeb.

Montowane po betonowaniu - zbrojenie i pręt gwintowany

Zaprojektowane jako pręty montowane w wywierconych otworach i połączone za pomocą kleju. Inżynier podaje obliczeniową wytrzymałość przyczepności bezpośrednio na podstawie specyfikacji technicznej produktu klejącego.

Model materiałowy kotew wykonanych z materiału śrub

W przypadku kotew wykonanych z materiału śrub (pręty gwintowane i kotwy z podkładkami) dwie właściwości modelu materiałowego różnią się od wartości nominalnych materiału śruby: moduł sprężystości i ciągliwość. Obie opisują zachowanie zespołu śruby oraz geometrię próbek badawczych, na których mierzone są wartości nominalne. Nie zależą one od normy projektowej, dlatego są stosowane jednakowo dla wszystkich norm projektowych. Zarówno nominalny wykres naprężenie-odkształcenie materiału śruby, jak i wykres zmodyfikowany współczynnikami C_E i C_A są wyświetlane w zakładce Materials (rys. 1.2.4).

Sztywność sprężysta. Moduł sprężystości materiału śruby jest redukowany współczynnikiem C_E:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - moduł sprężystości śruby
• E_b - moduł sprężystości kotwy przyjęty w analizie

Podejście to przyjęto na podstawie najnowszych badań (jeszcze nieopublikowanych; odniesienie zostanie dodane po publikacji). W badaniach tych efektywny moduł sprężystości zespołu śruby skalibrowano za pomocą analizy metodą elementów skończonych na podstawie obszernej bazy badań śrub. Potwierdzają to już opublikowane wyniki badań doświadczalnych Jankovića i in. (2025). W 66 próbach rozciągania prętów gwintowanych o długości 1000 mm (M20 do M30, klasy 8.8 i 10.9) zmierzona sztywność początkowa odpowiadała wartości 0,8·E·A_s/L_b. Średni stosunek sztywności przewidywanej do zmierzonej wynosił 0,98, a współczynnik zmienności 7,9 %. W prętach o takiej długości wpływ nakrętek i zazębienia gwintu jest pomijalny, więc redukcja odpowiada efektywnemu modułowi sprężystości samego pręta gwintowanego. Taki sam współczynnik zawiera zresztą sztywność śruby rozciąganej według EN 1993-1-8 (współczynnik 1,6 dla rzędu śrub złożonego z dwóch śrub).

Ciągliwość. Ciągliwość materiału śruby jest opisana procentowym wydłużeniem po zerwaniu A, zwykle rzędu 10 %. Wartości te mierzy się na krótkich próbkach, w których lokalne przewężenie stanowi dużą część zmierzonego wydłużenia. Długość strefy przewężenia nie zależy od długości próbki, dlatego procentowe wydłużenie maleje wraz ze wzrostem jej długości. W przypadku kotew zakotwionych w betonie na kilkaset milimetrów jest ono znacznie niższe niż wartość deklarowana. Aplikacja stosuje zatem zredukowaną ciągliwość:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - procentowe wydłużenie po zerwaniu materiału śruby
• A_red - zredukowana ciągliwość, stosowana jako kryterium zatrzymania kotwy w odniesieniu do odkształcenia
• C_A - współczynnik redukcji ciągliwości
• L_s - długość zakotwienia kotwy w betonie [mm]

Gdy odkształcenie w kotwie osiągnie wartość A_red, kryterium zatrzymania zostaje spełnione i analiza jest przerywana, tak samo jak w przypadku pozostałych kryteriów zatrzymania w 3D CSFM.

Równanie przyjęto na podstawie najnowszych badań (jeszcze nieopublikowanych; odniesienie zostanie dodane po publikacji). Dają one przybliżenie odkształcenia plastycznego śruby przy jej nośności granicznej, skalibrowane na obszernej bazie badań śrub: Δ_u,p = A · (0,177 · L + 2,19), gdzie L jest długością odkształcającą się śruby w mm. Składnik proporcjonalny do długości odpowiada równomiernemu wydłużeniu pręta, a składnik stały odpowiada lokalnemu udziałowi przewężenia. W aplikacji jako tę długość przyjmuje się długość zakotwienia kotwy L_s, a podzielenie Δ_u,p przez L_s daje odkształcenie A/C_A. Współczynnik C_A rośnie wraz z długością i zbliża się do wartości granicznej 1/0,177 = 5,65. Dla długości zakotwienia 200 mm i większych przekracza on 5,3, więc ciągliwość kotwy jest zredukowana do około jednej piątej wartości nominalnej, np. z 12 % do około 2,2 % przy L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Więcej informacji o łączeniu poszczególnych typów kotew z płytą podstawy lub płytą wylewaną na miejscu budowy można znaleźć w rozdziale Typy elementów skończonych - Elementy przenoszące obciążenia.