In der Praxis werden das Strebe-und-Zugband-Verfahren (S&T) und die Spannungsfeldverfahren standardmäßig zur Bemessung von Diskontinuitätsbereichen in Stahlbetonstrukturen und Spannbetonstrukturen eingesetzt. Das Kompatible Spannungsfeldverfahren (CSFM) wurde durch die Erweiterung dieser klassischen Theorien entwickelt, ermöglicht einen hohen Automatisierungsgrad und ist normenkonform. Trotz seiner Einfachheit liefert das Verfahren eine sehr realistische Beschreibung des Tragverhaltens einer Betonstruktur, sowohl im Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) als auch im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (GZG). Das CSFM ist in IDEA StatiCa Detail implementiert.
Abb. 1 a) Wand mit Öffnungen b) Schubwand c) Träger mit ausgeklinkten Enden und Öffnungen d) Brückenpfeiler e) Brückenquerträger
Standardverfahren zur Bemessung von Querschnitten von Betonstrukturen sind in den Bereichen anwendbar, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese der ebenen Dehnungsverteilung gilt (B-Bereich). Die Stellen, an denen diese Hypothese nicht gilt, werden als Diskontinuitätsbereiche (D-Bereiche) bezeichnet. Dazu gehören Teile von Strukturen, in denen Einzellasten angreifen oder in denen sich der Querschnitt plötzlich ändert, wie ausgeklinkte Enden (Abb. 1c), wandartige Träger, Wände mit Öffnungen (Abb. 1a, 1b) oder Konsolen und Pfahlkopfplatten. Im Brückenbau sind dies z. B. Pfeilerköpfe (Abb. 1d), Querträger (Abb. 1e), Umlenkblöcke usw.
1. Strebe-und-Zugband-Methode
Die Grundannahme bei der Definition eines S&T-Modells ist, dass die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt wird. Ein einfaches Fachwerkmodell besteht aus Elementen, die auf Druck und Zug beansprucht werden und das Verhalten im GZT abbilden. Im Allgemeinen ist dies keine komplexe Aufgabe, und die Definition eines einfachen S&T-Modells (Abb. 2a) sollte für einen erfahrenen Ingenieur kein Problem darstellen. Doch selbst bei dieser einfachen Aufgabe kann die korrekte Bewertung des Modells gemäß der Bemessungsnorm ein mühsamer, manueller und iterativer Prozess sein.
Abb. 2 a) S&T-Modell Variante 1 b) S&T-Modell Variante 2 c) S&T-Modell Variante
Zugbänder, Knotenbereiche und die Querzugdehnung in den Druckstreben müssen bewertet werden. Besteht das Modell den Nachweis nicht, muss die S&T-Geometrie angepasst oder ein anderes S&T-Modell gewählt werden (Abb. 2b, 2c). Dies führt häufig dazu, dass der Tragwerksplaner die Geometrie des S&T-Modells nur einmal wählt und lediglich die Bewehrung bewertet. Das kann zu erheblichen Fehlern führen. Die Wahl des Modells ist stets eine Frage der Erfahrung. Bei komplexeren Konstruktionsdetails ist es möglicherweise nicht so einfach wie im obigen Fall, ein S&T-Modell zu wählen, das das tatsächliche Verhalten der Struktur ausreichend genau abbildet. Außerdem ist das S&T-Verfahren nur eine Methode für die Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Es erlaubt keine Bemessung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (Verformung, Rissbildung). Diese Nachweise sind besonders bei Strukturen von erheblicher Bedeutung entscheidende Kriterien, da sie die Nutzungsdauer der Struktur unmittelbar beeinflussen.
2. Kompatibles Spannungsfeldverfahren - CSFM
Das CSFM ist ein modernes nichtlineares Verfahren für die Analyse von D-Bereichen und Elementen, deren Verhalten sich auf einen ebenen Spannungszustand, d. h. ein 2D-Modell, vereinfachen lässt. Es beruht jedoch weiterhin auf einer grundlegenden und sicheren Annahme der Normen: Beton wirkt nicht auf Zug, und der gesamte Zug muss durch die Bewehrung aufgenommen werden. Das Kompatible Spannungsfeldverfahren (CSFM) ist eine Weiterentwicklung des S&T-Verfahrens und der Spannungsfeldverfahren und beseitigt deren oben genannte Hauptnachteile: Unsicherheiten bei der Modellwahl, schwierige Automatisierung und die Unmöglichkeit, Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit zu bewerten.
Abb. 3 a) Ebener Dehnungszustand b) Hauptspannung c) CSFM
Das Prinzip des CSFM lässt sich am ebenen Spannungszustand eines einfachen ebenen Elements einer Stahlbetonstruktur erklären. Abb. 3a zeigt das einfache 2D-Element im ebenen Spannungszustand, wie wir es aus allen Lehrbüchern der Elastizitäts- und Festigkeitslehre kennen. Dies ist der Spannungszustand an einem Punkt der Struktur, der beispielsweise durch eine linear-elastische Analyse mit der Methode der finiten Elemente (FEM) ermittelt wird. Das Element wird durch eine horizontale Normalspannung σx, eine vertikale Normalspannung σz und eine Schubspannung τxz beansprucht. Aus diesen Spannungen lassen sich die sogenannten Hauptspannungen und ihre Richtung, definiert durch den Winkel θ, bestimmen (Abb. 3b). Das Element wird dann durch die Hauptzugspannung σ1 und die Hauptdruckspannung σ2 beansprucht.
Wie sieht die Dehnung desselben, mit dem CSFM analysierten Elements aus? Die Dehnung ist in Abbildung 3c dargestellt. Der gedrückte Beton tritt in Richtung der Hauptdruckspannung σ2 auf. Dabei entsteht ein Spannungsfeld mit der Spannung σc2. Wie oben erwähnt, wird grundsätzlich angenommen, dass der Beton nicht auf Zug wirkt. Daher wird die senkrecht dazu wirkende Hauptzugspannung σ1 nicht vom Beton aufgenommen, und es bildet sich ein Riss senkrecht zu dieser Richtung. Die Spannung σc1r muss daher null sein. Um ein Versagen unseres 2D-Elements zu vermeiden, muss die gesamte Zugspannung von der Bewehrung aufgenommen werden (in Abb. 3c blau dargestellt), die Teil des Berechnungsmodells sein muss.
Wird diese Spannungsanalyse mit dem CSFM kontinuierlich über den gesamten zu lösenden 2D-Bereich durchgeführt, ergibt sich ein kontinuierliches Druckfeld im Beton sowie Zug- und Druckspannungen in der Bewehrung. Eine vereinfachte grafische Darstellung des CSFM-Spannungsfelds ist in Abbildung 4 dargestellt. Zusätzlich zur Ausnutzung von Beton und Bewehrung zeigt die Abbildung auch die sich ändernden Richtungen der berechneten Spannungen σc2 entlang der Bereiche.
Abb. 4 Gesamtergebnisse aus IDEA StatiCa Detail
Die Analyse eines Details oder einer Struktur mit dem CSFM basiert auf der Methode der finiten Elemente. Der Beton wird mit 2D-Scheibenelementen und die Bewehrung mit 1D-Bauteilelementen modelliert (Abb. 7). Die Analyse wird nicht in einem Schritt durchgeführt, da es sich um ein nichtlineares Problem handelt. Die Lasten werden während der Berechnung inkrementell aufgebracht, und die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems wird mit dem Newton-Raphson-Verfahren ermittelt.
Die fiktiven verschmierten Risse (ε1 ist der Mittelwert) „bilden sich“ senkrecht zur Richtung der Hauptspannungen, die sich während der nichtlinearen Berechnung ändern kann, da das Element mit jedem Lastinkrement „fortschreitend reißt“. Zusammenfassend wird ein fiktiver spannungsfreier, rotierender Riss betrachtet.
Das Ergebnis der FEM-Lösung mit dem CSFM ist ein kompatibles Spannungsfeld (d. h. der Beton zerfällt im Modell nicht in einzelne, unabhängig wirkende Druckstreben) und ein Dehnungszustand, die im gesamten gelösten 2D-Gebiet kontinuierlich sind. Dies ist ein wesentlicher Vorteil gegenüber den klassischen S&T-Ansätzen und ermöglicht es, das Berechnungsmodell zu automatisieren und zu verfeinern, wie in den folgenden Absätzen beschrieben.
Abb. 5 Prinzip der Betonerweichung
Die einfache Formulierung des CSFM erlaubt die Verwendung des normgemäßen einachsigen Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms für Beton unter Druck. Bekanntlich nimmt die Druckfestigkeit von Beton ab, wenn der Beton durch Querrisse geschädigt wird (Abb. 5). Dieser sogenannte Effekt der Druckerweichung wird im Verfahren berücksichtigt, indem die effektive Druckfestigkeitdes Betons automatisch berücksichtigt wird.
Anhand des Niveaus der Querzugdehnungen ε1 wird der Abminderungsbeiwert kc bestimmt und das Spannung-Dehnung-Diagramm des Betons angepasst (Abb. 5). Da das Dehnungsfeld in der gesamten Struktur bekannt ist, kann die effektive Druckfestigkeit des Betons in einzelnen Schnitten automatisch in Abhängigkeit vom lokalen Niveau der Querzugdehnungen ε1 berechnet werden.
Abb. 6 Prinzip der Zugverfestigung
Darüber hinaus berücksichtigt das CSFM den Versteifungseffekt des zugbeanspruchten Betons zwischen den Rissen auf die Bewehrung, die sogenannte Zugverfestigung. Im Berechnungsmodell wird der mittlere Bewehrungsgrad εm verwendet. Anschließend wird das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung modifiziert (Abb. 6). Dies ermöglicht eine realistische Abbildung der Steifigkeit einer durch Risse geschädigten Stahlbetonstruktur. Es bleibt jedoch dabei, dass die Zugfestigkeit des Betons nicht zur Traglast beiträgt. Für die Bemessung maßgebend ist die maximale Spannung in der Bewehrung σsr in den Rissen (Abb. 6).
Das CSFM verwendet gängige einachsige Werkstoffmodelle (Spannung-Dehnung-Diagramme), die in den Bemessungsnormen definiert sind. Für den Nachweis im GZT wird dann das übliche Verfahren, das Teilsicherheitskonzept, angewendet. Die Einfachheit des Verfahrens macht es für die Ingenieurpraxis geeignet und entspricht den Bemessungsnormen.
Obwohl es sich um eine nichtlineare FEM-Analyse handelt, muss der Tragwerksplaner keine zusätzlichen Materialeigenschaften und Betonkennwerte in die Berechnung eingeben, die in der Entwurfsphase möglicherweise noch gar nicht verfügbar sind und die z. B. für nichtlineare FEM-Analysen auf Grundlage der Bruchmechanik erforderlich sind. Wie bereits erwähnt, besteht ein wesentlicher Vorteil der CSFM-Analyse neben den Grenzzuständen der Tragfähigkeit darin, dass auch Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit bewertet werden können: Durchbiegungen, Spannungsbegrenzungen und insbesondere die Rissbreite.
Abb. 7 Beispiel für die Darstellung eines Finite-Elemente-Modells in IDEA StatiCa Detail
(Abb. 7) Das FEM-Modell im CSFM besteht aus mehreren Arten von finiten Elementen:
- 1D-Element mit Axialsteifigkeit für die Bewehrung
- 2D-isoparametrisches Element für den Beton
- Endfedern für das Verankerungsmodell der Bewehrung mit Endausbildung
- Spezielles 2D-Element zur Modellierung des Verbunds zwischen Bewehrung und Beton
- Starre und interpolierende Randbedingungen (Multi-Point Constraints, MPC) zwischen Verbundelementen und Beton
Wenn die bemessene Bewehrung ein sprödes Versagen des Elements verhindert, liefert das CSFM nachweislich trotz der einfachen Formulierung sehr gute Vorhersagen des Tragverhaltens und der Traglast der Struktur. Mit anderen Worten: Das Verfahren ist beispielsweise nicht für die Bemessung von Trägern ohne Querkraftbewehrung geeignet, die ein potenziell sprödes Verhalten zeigen. Verifizierungen des Verfahrens, einschließlich Versuchen, sind in [1] angegeben. Eine ausführlichere Beschreibung des Verfahrens würde den Rahmen dieses Beitrags sprengen und ist ebenfalls im Theoretischen Hintergrund zu finden.
Die Prinzipien des CSFM sind offensichtlich allgemeingültig. Seine Anwendung ist daher nicht auf D-Bereiche beschränkt, sondern kann auch zur Modellierung ganzer Bauteile, z. B. von Fertigteilträgern, eingesetzt werden, sofern sich das Element auf ein ebenes 2D-Modell vereinfachen lässt. Das Verfahren und seine Implementierung in der Software (IDEA StatiCa Detail) wurden zudem erweitert, sodass nun vorgespannte und nachgespannte Bewehrung definiert werden kann.
3. Beispiel für die Bemessung eines Pfeilerkopfs
Die praktische Anwendung des CSFM wird anhand der Bemessung des Brückenpfeilerkopfs in Abbildung 8 gezeigt. Es handelt sich um den zweiten Pfeiler einer durchlaufenden Brücke mit drei Feldern von 30,0 m, 42,0 m und 30,0 m. Der Kopf des Stahlbetonpfeilers wird in Beton C40/50 bemessen, seine Dicke (in Längsrichtung der Brücke) beträgt 2,0 m.
Abb. 8 Pfeilerkopf: a) Zusammenfassung der Bemessung; b) Betondruckspannung im GZT; c) Zugspannung in der Bewehrung im GZT; d) Rissbreite im GZG
Im oberen Bereich des Pfeilerkopfs wurde zunächst ein Querträger mit Bewehrung B500 20xϕ28+20xϕ25 – in den oberen vier Lagen – bemessen. Abbildung 8a zeigt eine zusammenfassende Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit mit den Druckspannungen im Beton, den Richtungen der Druckspannungen und den Spannungen in der Bewehrung. Die detailliertere Spannungsverteilung im Beton und in der Bewehrung ist in den Abbildungen 8b und 8c dokumentiert. Die Querbewehrung liegt knapp unterhalb der Streckgrenze, auch die Spannungen im Beton (und die zugehörigen Dehnungen) sind im GZT zufriedenstellend. Das Ergebnis der Rissbreitenberechnung (Abb. 8d) zeigt jedoch, dass die Bemessung im GZG nicht erfüllt ist: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Um die zulässige Rissbreite einzuhalten, ist es erforderlich, die Bewehrung des Querträgers auf 20xϕ32+20xϕ28 zu erhöhen. Bei wlim = 0,2 mm (z. B. Pfeiler in der Nähe einer Straße mit Sprühnebel aus Tausalz, Expositionsklasse XF2) müsste die Bewehrung des Querträgers sogar auf 24xϕ32+24xϕ28 erhöht werden.
Fazit
Das CSFM eignet sich für die Ingenieurpraxis, da es einfache, in einer Bemessungsnorm definierte Werkstoffmodelle verwendet. Neben den Grenzzuständen der Tragfähigkeit ermöglicht es auch die Bemessung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit. Deren Nachweis war bei Verwendung von S&T-Modellen bisher kaum vorstellbar. Durch die Implementierung des Verfahrens in IDEA StatiCa Detail lässt sich das Tragverhalten der Struktur realistisch erfassen sowie Diskontinuitätsbereiche und größere Baugruppen effizient und sicher bemessen und nachweisen.
Das CSFM wurde hauptsächlich durch die Arbeit von Professor Walter Kaufmann, Leiter des Instituts für Baustatik und Konstruktion, Eidgenössische Technische Hochschule (ETH) Zürich, entwickelt. Er und sein Team haben das Verfahren und seine Software-Implementierung auch verifiziert.
Literatur
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
