A gyakorlatban a Strut-and-Tie (S&T) és a feszültségmező-módszerek szokásos eszközei a vasbeton és feszített beton szerkezetek diszkontinuitási tartományainak méretezésére. A Compatible Stress Field Method (CSFM) ezen klasszikus elméletek kiterjesztéseként jött létre. Nagymértékű automatizálást tesz lehetővé, és összhangban van a méretezési szabvánnyal. Egyszerűsége ellenére a módszer rendkívül realisztikusan írja le a betonszerkezet viselkedését mind teherbírási határállapotban (ULS), mind használhatósági határállapotban (SLS). A CSFM az IDEA StatiCa Detail programban van megvalósítva.
1. ábra a) Nyílásokkal ellátott fal b) Merevítő fal c) Kivágott végű és nyílásokkal ellátott gerenda d) Hídpillér e) Hídkeresztmerevítő
A betonszerkezetek keresztmetszeteinek méretezésére szolgáló szokásos eljárások azokon a részeken alkalmazhatók, ahol érvényes az alakváltozások síkbeli eloszlására vonatkozó Bernoulli-Navier-hipotézis (B-régió). Azokat a helyeket, ahol ez a hipotézis nem érvényes, diszkontinuitási tartományoknak (D-régióknak) nevezzük. Ide tartoznak a szerkezetek azon részei, ahol koncentrált terhek jelennek meg, vagy ahol a keresztmetszet hirtelen megváltozik, például kivágott végek (1c ábra), mélygerendák, nyílásokkal ellátott falak (1a, 1b ábra), vagy konzolok és cölöpfejek. A hídépítésben ilyenek például a pillérfejek (1d ábra), a keresztmerevítők (1e ábra), a térítők (deviátorok) stb.
1. Strut and Tie módszer
Az S&T modell felvételének alapfeltevése, hogy a beton húzószilárdságát figyelmen kívül hagyjuk. Az egyszerű rácsos modell nyomott és húzott elemekből áll, és az ULS viselkedést jeleníti meg. Ez általában nem bonyolult feladat, és egy alap S&T modell felvétele (2a ábra) nem okozhat gondot egy tapasztalt mérnöknek. Azonban még ennél az alapfeladatnál is fárasztó, kézi és iteratív folyamat lehet a modell szabványnak megfelelő ellenőrzése.
2. ábra a) S&T modell 1. változat b) S&T modell 2. változat c) S&T modell 3. változat
Ellenőrizni kell a húzott rudakat, a csomóponti tartományokat és a nyomott rudak keresztirányú húzási alakváltozását. Ha a modell nem felel meg az ellenőrzésnek, az S&T geometriát módosítani kell, vagy másik S&T modellt kell választani (2b, 2c ábra). Ez gyakran oda vezet, hogy a statikus mérnök az S&T modell geometriáját csak egyszer választja meg, és csak a vasalást ellenőrzi. Ez jelentős hibához vezethet. A modell megválasztása mindig a tapasztalat kérdése. Bonyolultabb szerkezeti kialakításoknál olyan S&T modell kiválasztása, amely kellően megfelel a szerkezet tényleges viselkedésének, nem biztos, hogy olyan egyszerű, mint a fenti esetben. Az S&T emellett csak a teherbírási határállapotok méretezésére alkalmas módszer. Nem teszi lehetővé a használhatósági határállapotok (alakváltozás, repedezettség) méretezését, pedig ezek kritikus szempontok, különösen a jelentős fontosságú szerkezeteknél, mivel közvetlenül befolyásolják a szerkezet élettartamát.
2. Compatible Stress Field Method - CSFM
A CSFM egy modern nemlineáris módszer a D-régiók, valamint olyan elemek vizsgálatára, amelyek viselkedése síkbeli feszültségállapotra, azaz 2D modellre egyszerűsíthető. Ugyanakkor továbbra is a szabványok egyik alapvető és biztonságos feltevésén alapul: a beton nem vesz részt a húzás felvételében, és minden húzást a vasalásnak kell felvennie. A Compatible Stress Field Method (CSFM) az S&T és a feszültségmező-módszerek továbbfejlesztése, amely kiküszöböli azok fent említett fő hátrányait: a modellválasztás bizonytalanságát, az automatizálás nehézségét és a használhatósági határállapotok vizsgálatának lehetetlenségét.
3. ábra a) Síkbeli alakváltozás b) Főfeszültség c) CSFM
A CSFM elve egy vasbeton szerkezet alap síkelemének síkbeli feszültségállapotán keresztül magyarázható el. A 3a ábra az alap 2D elemet mutatja síkbeli feszültségállapotban, ahogyan azt a rugalmasságtan és szilárdságtan valamennyi tankönyvéből ismerjük. Ez a szerkezet egy pontjában fellépő feszültség, amelyet például lineárisan rugalmas végeselem-módszerrel (FEM) végzett számítással kaphatunk meg. Az elemet σx vízszintes normálfeszültség, σz függőleges normálfeszültség és τxz nyírófeszültség terheli. Ezekből a feszültségekből meghatározhatók az úgynevezett főfeszültségek és azok θ szöggel megadott iránya (3b ábra). Az elemet ekkor σ1 húzó főfeszültség és σ2 nyomó főfeszültség terheli.
Milyen lesz ugyanennek az elemnek az alakváltozása a CSFM szerinti vizsgálatban? Az alakváltozást a 3c ábra mutatja. A nyomott beton a σ2 nyomó főfeszültség irányában jelenik meg, és σc2 feszültséggel rendelkező feszültségmező jön létre. Ahogy fentebb említettük, az alapfeltevés szerint a beton nem vesz részt a húzás felvételében. Ezért a keresztirányú σ1 húzó főfeszültséget a beton nem veszi fel, és az irányra merőlegesen repedés keletkezik. A σc1r feszültségnek ezért nullának kell lennie. A 2D elem tönkremenetelének elkerülése érdekében minden húzófeszültséget a vasalásnak kell felvennie (a 3c ábrán kékkel jelölve), amelynek a számítási modell részét kell képeznie.
Ha ezt a feszültségvizsgálatot a CSFM segítségével folyamatosan a teljes megoldandó 2D tartományra elvégezzük, az eredmény egy folytonos nyomási mező a betonban, valamint húzó- és nyomófeszültségek a vasalásban. A CSFM feszültségmezőjének egyszerűsített grafikus megjelenítését a 4. ábra mutatja. A beton és a vasalás kihasználtsági arányai mellett az ábra a számított σc2 feszültségek tartományonként változó irányait is jelzi.
4. ábra Összesített eredmények az IDEA StatiCa Detail programból
Egy kialakítás vagy szerkezet CSFM szerinti vizsgálata a végeselem-módszeren alapul. A betont 2D falelemekkel, a vasalást 1D szerkezeti elemekkel modellezzük (7. ábra). A vizsgálat nem egy lépésben történik, mivel nemlineáris feladatról van szó. A terheket a számítás során lépésenként növeljük, a nemlineáris egyenletrendszer megoldását pedig a Newton-Raphson-módszerrel keressük.
A fiktív, szétkent repedések (ε1 az átlagérték) a főfeszültségek irányára merőlegesen „alakulnak ki”, és ez az irány a nemlineáris számítás során változhat, ahogy az elem a terhelés minden egyes növekménye során „fokozatosan megreped”. Összefoglalva: fiktív, feszültségmentes, elforduló repedést feltételezünk.
A CSFM-mel kapott végeselemes megoldás eredménye egy kompatibilis feszültségmező (azaz a beton a modellben nem esik szét egyedi, egymástól függetlenül működő nyomott rudakra), valamint az alakváltozási állapot, amelyek a megoldandó 2D tartományban mindenütt folytonosak. Ez jelentős előny a klasszikus S&T megközelítésekkel szemben, és lehetővé teszi a számítási modell automatizálását és finomítását, ahogyan azt a következő bekezdések ismertetik.
5. ábra A betonlágyulás elve
A CSFM egyszerű megfogalmazása lehetővé teszi, hogy a nyomott betonra a szabvány szerinti szokásos egytengelyű parabola-téglalap feszültség-alakváltozás diagramot használjuk. Köztudott, hogy a beton nyomószilárdsága csökken, ha a betont keresztirányú repedések károsítják (5. ábra). Ez az úgynevezett nyomási lágyulás hatás a módszerben a beton effektív nyomószilárdságának automatikus figyelembevételével jelenik meg.
A keresztirányú ε1 húzási alakváltozások szintje alapján meghatározzuk a kc csökkentő tényezőt, és módosítjuk a beton feszültség-alakváltozás diagramját (5. ábra). Mivel az alakváltozási mező a teljes szerkezetben ismert, a beton effektív nyomószilárdsága az egyes szelvényekben automatikusan számítható a keresztirányú ε1 húzási alakváltozások helyi szintjétől függően.
6. ábra A húzási merevítő hatás elve
A CSFM ezenkívül figyelembe veszi a repedések közötti húzott beton vasalásra gyakorolt merevítő hatását, az úgynevezett húzási merevítő hatást. A számítási modellben az átlagos vasalási arányt (εm) használjuk, majd módosítjuk a vasalás feszültség-alakváltozás diagramját (6. ábra). Ez lehetővé teszi a repedésekkel károsodott vasbeton szerkezet merevségének realisztikus leírását. Továbbra is igaz azonban, hogy a beton húzószilárdsága nem járul hozzá a teherbíráshoz. A méretezés szempontjából a vasalásban a repedéseknél fellépő σsr maximális feszültség a mértékadó (6. ábra).
A CSFM a méretezési szabványokban megadott szokásos egytengelyű anyagmodelleket (feszültség-alakváltozás diagramokat) használja. Az ULS ellenőrzése ezután a szokásos módszerrel, a résztényezős módszerrel történik. A módszer egyszerűsége alkalmassá teszi a mérnöki gyakorlatban való használatra, és összhangban van a méretezési szabványokkal.
Bár nemlineáris végeselemes vizsgálatról van szó, a statikus mérnöknek nem kell a számításba további anyagjellemzőket és betonjellemzőket megadnia. Ezek a tervezési szakaszban gyakran nem is állnak rendelkezésre, a törésmechanikán alapuló nemlineáris végeselemes vizsgálatokhoz viszont szükségesek. Ahogy már jeleztük, a CSFM vizsgálat egyik fő előnye a teherbírási határállapotok mellett a használhatósági határállapotok vizsgálata: lehajlások, feszültséghatárok és különösen a repedéstágasság.
7. ábra Példa a végeselemes modell megjelenítésére az IDEA StatiCa Detail programban
(7. ábra) A CSFM végeselemes modellje többféle végeselemből áll:
- 1D elem tengelyirányú merevséggel a vasalás számára
- 2D izoparametrikus elem a betonhoz
- Végrugók a végkiképzéssel rendelkező vasalás lehorgonyzási modelljéhez
- Speciális 2D elem a vasalás és a beton közötti tapadás modellezésére
- Merev és interpoláló kényszerfeltételek (Multi-Point Constraints, MPC) a tapadási elemek és a beton között
Ha a méretezett vasalás megakadályozza az elem rideg tönkremenetelét, a CSFM a megfogalmazás egyszerűsége ellenére igazoltan nagyon jó előrejelzést ad a szerkezet viselkedésére és teherbírására. Más szóval a módszer nem alkalmas például az olyan, nyírási kengyelezés nélküli gerendák méretezésére, amelyek viselkedése potenciálisan rideg. A módszer igazolásai, kísérletekkel együtt, az [1] forrásban találhatók. A módszer részletesebb leírása meghaladja e cikk kereteit, és az Elméleti háttér dokumentumban is megtalálható.
Egyértelmű, hogy a CSFM alapelvei általánosak, ezért alkalmazása nem korlátozódik a D-régiókra, hanem teljes szerkezeti elemek, például előregyártott tartók modellezésére is használható, ha az elem síkbeli 2D modellre egyszerűsíthető. A módszert és annak szoftveres megvalósítását (IDEA StatiCa Detail) tovább fejlesztették, így lehetőség van előfeszített és utófeszített vasalás megadására is.
3. Példa pillérfej méretezésére
A CSFM gyakorlati alkalmazását a 8. ábrán látható hídpillérfej méretezése mutatja be. Ez egy háromnyílású, folytonos híd második pillére, amelynek nyílásai 30,0 m, 42,0 m és 30,0 m. A vasbeton pillérfej C40/50 betonból készül, vastagsága (a híd hosszirányában) 2,0 m.
8. ábra Pillérfej: a) Összesített méretezés; b) Nyomófeszültség a betonban ULS-ben; c) Húzófeszültség a vasalásban ULS-ben; d) Repedéstágasság SLS-ben
A pillérfej tetején először B500 vasalású keresztirányú gerendát méreteztünk 20xϕ28+20xϕ25 kiosztással, a felső négy rétegben. A 8a ábra az összesített méretezést mutatja teherbírási határállapotban: a betonban fellépő nyomófeszültségeket, a nyomófeszültségek irányát és a vasalásban fellépő feszültségeket. A betonban és a vasalásban kialakuló feszültségeloszlást részletesebben a 8b és 8c ábra szemlélteti. A keresztirányú vasalás feszültsége éppen a folyáshatár alatt van, a betonban fellépő feszültségek (és a hozzájuk tartozó alakváltozások) is megfelelőek ULS-ben. A repedéstágasság számításának eredménye (8d ábra) azonban azt mutatja, hogy a kialakítás SLS-ben nem felel meg: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. A határ repedéstágasság betartásához növelni kell a keresztgerenda vasalását 20xϕ32+20xϕ28 értékre. Ha wlim = 0,2 mm (például sózott permetet előidéző úthoz közeli pillér, XF2 környezeti hatásosztály), a keresztgerenda vasalását 24xϕ32+24xϕ28 értékre kellene növelni.
Összegzés
A CSFM megfelel a mérnöki gyakorlatnak, mert a méretezési szabványban megadott egyszerű anyagmodelleket használja. A teherbírási határállapotok mellett lehetővé teszi a használhatósági határállapotok méretezését is, amelynek vizsgálatát S&T modellekkel korábban nehéz volt elképzelni. A módszer IDEA StatiCa Detail programban történő megvalósításával realisztikusan megragadható a szerkezet viselkedése, és hatékonyan, biztonságosan méretezhetők és ellenőrizhetők a diszkontinuitási tartományok és a nagyobb szerkezeti egységek.
A CSFM-et főként Walter Kaufmann professzor, a zürichi Svájci Szövetségi Műszaki Egyetem (ETH) Szerkezetépítési Tanszékének vezetője munkássága révén fejlesztették ki. Munkatársaival együtt igazolta a módszert és annak szoftveres megvalósítását is.
Irodalom
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Szerző
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
