In de praktijk worden de Staafwerkmethode (S&T) en de spanningsveldmethoden standaard gebruikt voor het ontwerpen van discontinuïteitsgebieden in gewapende en voorgespannen betonconstructies. De Compatible Stress Field Method (CSFM) is ontwikkeld door deze klassieke theorieën uit te breiden. De methode maakt een hoge mate van automatisering mogelijk en is consistent met de norm. Ondanks de eenvoud geeft de methode een zeer realistische beschrijving van het gedrag van een betonconstructie, zowel in de uiterste grenstoestand (UGT) als in de bruikbaarheidsgrenstoestand (BGT). De CSFM is geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Wand met openingen b) Wandschijf c) Ligger met tandopleggingen en openingen d) Brugpijler e) Brugdiafragma
Standaardprocedures voor het ontwerpen van doorsneden van betonconstructies zijn van toepassing in gebieden waar de hypothese van Bernoulli-Navier over een vlakke rekverdeling geldt (B-gebied). De plaatsen waar deze hypothese niet geldt, worden discontinuïteitsgebieden (D-gebieden) genoemd. Hiertoe behoren delen van constructies waar geconcentreerde belastingen optreden of waar een plotselinge verandering van de doorsnede is, zoals tandopleggingen (Fig. 1c), gedrongen liggers, wanden met openingen (Fig. 1a, 1b), of consoles en paalkoppen. In de brugbouw zijn dit bijv. pijlerkoppen (Fig. 1d), diafragma's (Fig. 1e), deviatoren, enz.
1. Staafwerkmethode
Het uitgangspunt bij het definiëren van een S&T-model is dat de treksterkte van beton wordt verwaarloosd. Een eenvoudig vakwerkmodel bestaat uit elementen die op druk en trek werken en die het gedrag in de UGT weergeven. Over het algemeen is dit geen complex probleem en het definiëren van een basis S&T-model (Fig. 2a) zou voor een ervaren ingenieur geen probleem moeten zijn. Maar zelfs voor deze basistaak kan de correcte toetsing van het model conform de norm een tijdrovend, handmatig en iteratief proces zijn.
Fig. 2 a) S&T-model optie 1 b) S&T-model optie 2 c) S&T-model optie
Trekstaven, knoopgebieden en de dwarse trekrek in drukdiagonalen moeten worden getoetst. Als het model de toetsing niet doorstaat, moet de S&T-geometrie worden aangepast of moet een ander S&T-model worden gekozen (Fig. 2b, 2c). Dit leidt er vaak toe dat de constructeur de geometrie van het S&T-model slechts één keer kiest en alleen de wapening toetst. Dit kan tot een aanzienlijke fout leiden. De keuze van het model is altijd een kwestie van ervaring. Bij complexere constructieve details is hetkiezen van een S&T-model dat voldoende overeenkomt met het werkelijke gedrag van de constructie mogelijk niet zo eenvoudig als in bovenstaand geval. Bovendien is de S&T een methode voor het ontwerpen van uitsluitend uiterste grenstoestanden. De methode maakt het niet mogelijk om bruikbaarheidsgrenstoestanden (vervorming, scheurvorming) te toetsen. Dit zijn kritische criteria, vooral bij constructies van groot belang, omdat ze rechtstreeks van invloed zijn op de levensduur van de constructie.
2. Compatible Stress Field Method - CSFM
CSFM is een moderne niet-lineaire methode voor de analyse van D-gebieden en elementen waarvan het gedrag kan worden vereenvoudigd tot een vlakspanningstoestand, d.w.z. een 2D-model. De methode is echter nog steeds gebaseerd op een fundamenteel en veilig uitgangspunt van de normen: beton neemt geen trek op en alle trek moet door wapening worden overgedragen. De Compatible Stress Field Method (CSFM) is een doorontwikkeling van de S&T- en spanningsveldmethoden. Zij neemt de hierboven genoemde belangrijkste nadelen weg: onzekerheden bij de modelkeuze, de moeilijke automatisering en het onvermogen om bruikbaarheidsgrenstoestanden te toetsen.
Fig. 3 a) Vlakke rek b) Hoofdspanning c) CSFM
Het principe van CSFM kan worden toegelicht aan de hand van de vlakspanningstoestand van het basis vlakke element van een gewapende betonconstructie. Fig. 3a toont het basis 2D-element in vlakspanning, zoals we dat kennen uit alle leerboeken over elasticiteit en sterkteleer. Dit is de spanning in één punt van de constructie, bijvoorbeeld verkregen met een lineair elastische analyse met de Eindige Elementen Methode (FEM). Het element wordt belast door een horizontale normaalspanning σx, een verticale normaalspanning σz en een schuifspanning τxz. Uit deze spanningen kunnen de zogenoemde hoofdspanningen en hun richting, gedefinieerd door de hoek θ, worden bepaald (Fig. 3b). Het element wordt vervolgens belast door de hoofdtrekspanning σ1 en de hoofddrukspanning σ2.
Hoe ziet de rek van hetzelfde element eruit wanneer het met CSFM wordt geanalyseerd? De rek is weergegeven in Figuur 3c. Het beton onder druk treedt op in de richting van de hoofddrukspanning σ2. Hierdoor ontstaat een spanningsveld met spanning σc2. Zoals hierboven vermeld, is het uitgangspunt dat beton geen trek opneemt. De dwarse hoofdtrekspanning σ1 wordt dus niet door het beton overgedragen en loodrecht op die richting ontstaat een scheur. De spanning σc1r moet daarom nul zijn. Om bezwijken van ons 2D-element te voorkomen, moet alle trekspanning door de wapening worden overgedragen (blauw weergegeven in Fig. 3c). Deze wapening moet deel uitmaken van het rekenmodel.
Wordt deze spanningsanalyse met CSFM continu over het gehele 2D-gebied uitgevoerd, dan is het resultaat een continu drukveld in het beton plus trek- en drukspanningen in de wapening. Een vereenvoudigde grafische weergave van het CSFM-spanningsveld is te zien in Figuur 4. Naast de benuttingsgraden van het beton en de wapening geeft de figuur ook de wisselende richtingen van de berekende spanningen σc2 langs de gebieden weer.
Fig. 4 Globale resultaten uit IDEA StatiCa Detail
De analyse van een detail of constructie met CSFM is gebaseerd op de Eindige Elementen Methode. Het beton wordt gemodelleerd met 2D-wandelementen en de wapening met 1D-staafelementen (Fig. 7). De analyse wordt niet in één stap uitgevoerd, omdat het een niet-lineair probleem is. Tijdens de berekening worden de belastingen stapsgewijs aangebracht en de oplossing van het niet-lineaire stelsel vergelijkingen wordt gevonden met de Newton-Raphson-methode.
De fictieve uitgesmeerde scheuren (ε1 is de gemiddelde waarde) worden "gevormd" loodrecht op de richting van de hoofdspanningen. Deze richting kan tijdens de niet-lineaire berekening veranderen doordat het element bij elke belastingstap "progressief scheurt". Samengevat wordt uitgegaan van een fictieve spanningsvrije roterende scheur.
Het resultaat van de FEM-oplossing met CSFM is een compatibel spanningsveld (d.w.z. het beton breekt in het model niet op in afzonderlijke, onafhankelijk werkende drukdiagonalen) en een rektoestand die continu zijn over het gehele op te lossen 2D-domein. Dit is een belangrijk voordeel ten opzichte van klassieke S&T-benaderingen en maakt het mogelijk het rekenmodel te automatiseren en te verfijnen, zoals beschreven in de volgende alinea's.
Fig. 5 Principe van compression softening van beton
De eenvoudige formulering van CSFM maakt het mogelijk het standaard uniaxiale parabool-rechthoekdiagram voor de spanning-rek van beton onder druk conform de norm te gebruiken. Zoals bekend neemt de druksterkte van beton af wanneer het beton door dwarse scheuren is aangetast (Fig. 5). Dit zogenoemde compression softening effect wordt in de methode verwerkt door automatisch rekening te houden met de effectieve druksterkte van het beton.
Op basis van de grootte van de dwarse trekrek ε1 wordt de reductiefactor kc bepaald en wordt het spanning-rekdiagram van het beton aangepast (Fig. 5). Aangezien het rekveld in de gehele constructie bekend is, kan de effectieve druksterkte van het beton automatisch worden berekend in afzonderlijke doorsneden, afhankelijk van de lokale grootte van de dwarse trekrek ε1.
Fig. 6 Principe van tension stiffening
Bovendien houdt de CSFM rekening met het stiffening effect van het op trek belaste beton tussen de scheuren op de wapening, de zogenoemde tension stiffening. In het rekenmodel wordt de gemiddelde wapeningsrek εm gebruikt. Vervolgens wordt het spanning-rekdiagram van de wapening aangepast (Fig. 6). Hierdoor kan de stijfheid van een door scheuren aangetaste gewapende betonconstructie realistisch worden weergegeven. Het blijft echter zo dat de treksterkte van beton niet bijdraagt aan de uiterste draagkracht. De maximale spanning in de wapening σsr in de scheuren is maatgevend voor het ontwerp (Fig. 6).
CSFM gebruikt gangbare uniaxiale materiaalmodellen (spanning-rekdiagrammen) die in de normen zijn gedefinieerd. Voor de toetsing in de UGT wordt vervolgens de standaardaanpak met partiële factoren gebruikt. De eenvoud van de methode maakt haar geschikt voor de ingenieurspraktijk en is consistent met de normen.
Hoewel het een niet-lineaire FEM-analyse is, hoeft de constructeur geen extra materiaaleigenschappen en betonkarakteristieken in de berekening in te voeren. Deze zijn in de ontwerpfase mogelijk niet eens beschikbaar en zijn bijvoorbeeld wel nodig voor niet-lineaire FEM-analyses op basis van breukmechanica. Zoals eerder aangegeven is een belangrijk voordeel van de CSFM-analyse, naast de uiterste grenstoestanden, de mogelijkheid om bruikbaarheidsgrenstoestanden te toetsen: doorbuigingen, spanningsbeperkingen en met name scheurwijdte.
Fig. 7 Voorbeeld van een weergave van het eindige-elementenmodel in IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) Het FEM-model in CSFM bestaat uit verschillende typen eindige elementen:
- 1D-element met axiale stijfheid voor de wapening
- 2D-isoparametrisch element voor het beton
- Eindveren voor het verankeringsmodel van de wapening met eindafwerking
- Speciaal 2D-element om de aanhechting tussen wapening en beton te modelleren
- Stijve en interpolerende randvoorwaarden (Multi-Point Constraints, MPC) tussen aanhechtingselementen en beton
Als de ontworpen wapening bros bezwijken van het element voorkomt, geeft de CSFM aantoonbaar zeer goede voorspellingen van het gedrag en de uiterste draagkracht van de constructie, ondanks de eenvoud van de formulering. De methode is met andere woorden niet geschikt voor bijvoorbeeld het ontwerp van liggers zonder dwarskrachtwapening, die mogelijk bros gedrag vertonen. Verificaties van de methode, inclusief experimenten, zijn opgenomen in [1]. Een uitgebreidere beschrijving van de methode valt buiten het bestek van dit artikel en is ook te vinden in Theoretical Background.
Het is duidelijk dat de principes van CSFM algemeen zijn en dat de toepassing dus niet beperkt is tot D-gebieden, maar kan worden gebruikt om hele staven te modelleren, bijv. prefab liggers, en waar het element kan worden vereenvoudigd tot een vlak 2D-model. De methode en de implementatie ervan in software (IDEA StatiCa Detail) zijn ook uitgebreid met de mogelijkheid om voorgespannen wapening en wapening met voorspanning met nagerekt staal op te geven.
3. Voorbeeld van het ontwerp van een pijlerkop
De praktische toepassing van CSFM wordt getoond aan de hand van het ontwerp van de brugpijlerkop in Figuur 8. Dit is de tweede pijler van een doorgaande brug met drie overspanningen van 30,0 m, 42,0 m en 30,0 m. De kop van de gewapende betonpijler is ontworpen in beton C40/50 en heeft een dikte (in de lengterichting van de brug) van 2,0 m.
Fig. 8 Pijlerkop: a) Samenvatting van het ontwerp; b) Drukspanning in het beton in de UGT; c) Trekspanning in de wapening in de UGT; d) Scheurwijdte in de BGT
Aan de bovenzijde van de pijlerkop werd eerst een dwarsligger ontworpen met wapening B500 20xϕ28+20xϕ25 in de bovenste vier lagen. Figuur 8a toont een samenvattend ontwerp in de uiterste grenstoestand, met de drukspanningen in het beton, de richtingen van de drukspanningen en de spanningen in de wapening. Een gedetailleerdere spanningsverdeling in het beton en de wapening is weergegeven in Figuur 8b en 8c. De dwarswapening zit net onder de vloeigrens en ook de spanningen in het beton (en de bijbehorende rekken) zijn in de UGT bevredigend. Het resultaat van de scheurwijdteberekening (Fig. 8d) laat echter zien dat het ontwerp niet voldoet in de BGT: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Om aan de grenswaarde voor de scheurwijdte te voldoen, is het noodzakelijk de wapening van de dwarsligger te vergroten tot 20xϕ32+20xϕ28. Bij wlim = 0,2 mm (bijv. een pijler nabij een weg waar strooizout wordt verspreid, milieuklasse XF2) zou de wapening van de dwarsligger zelfs moeten worden vergroot tot 24xϕ32+24xϕ28.
Conclusie
CSFM past bij de ingenieurspraktijk, omdat de methode eenvoudige materiaalmodellen gebruikt die in een norm zijn gedefinieerd. Naast de uiterste grenstoestanden maakt zij ook het ontwerpen van bruikbaarheidsgrenstoestanden mogelijk. Een toetsing hiervan was met S&T-modellen tot nu toe moeilijk voor te stellen. Door de implementatie van de methode in IDEA StatiCa Detail kan de respons van de constructie realistisch worden vastgelegd en kunnen discontinuïteitsgebieden en grotere samenstellingen efficiënt en veilig worden ontworpen en getoetst.
De CSFM is voornamelijk ontwikkeld door het werk van professor Walter Kaufmann, hoofd van de leerstoel Structural Engineering aan het Swiss Federal Institute of Technology (ETH) Zürich. Hij en zijn team hebben ook de methode en de softwareimplementatie ervan geverifieerd.
Literatuur
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Auteur
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
