În practică, metodele Bielă-tiranți (S&T) și ale câmpurilor de tensiuni sunt utilizate în mod standard pentru calculul zonelor de discontinuitate din structurile din beton armat și beton precomprimat. Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil (CSFM) a fost dezvoltată prin extinderea acestor teorii clasice. Ea permite un grad ridicat de automatizare și este conformă cu norma de proiectare. În ciuda simplității sale, metoda oferă o descriere foarte realistă a răspunsului unei structuri din beton atât la starea limită ultimă (SLU), cât și la starea limită de serviciu (SLS). CSFM este implementată în IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Perete cu goluri b) Perete structural c) Grindă cu capete decupate și goluri d) Pilă de pod e) Diafragmă de pod
Procedurile standard de calcul al secțiunilor transversale ale structurilor din beton se aplică în zonele în care este valabilă ipoteza Bernoulli-Navier a distribuției plane a deformațiilor (zona B). Locurile în care această ipoteză nu se aplică se numesc zone de discontinuitate (zone D). Acestea includ părțile de structură în care apar forțe concentrate sau în care secțiunea transversală se modifică brusc, precum capetele decupate (Fig. 1c), grinzile perete, pereții cu goluri (Fig. 1a, 1b), consolele sau radierele pe piloți. În domeniul podurilor, acestea sunt, de exemplu, riglele de pilă (Fig. 1d), diafragmele (Fig. 1e), deviatorii etc.
1. Metoda Bielă-tiranți
Ipoteza de bază la definirea unui model S&T este că rezistența la întindere a betonului se neglijează. Un model simplu de grindă cu zăbrele constă din elemente care lucrează la compresiune și la întindere și reprezintă comportarea la SLU. În general, aceasta nu este o problemă complexă, iar definirea unui model S&T de bază (Fig. 2a) nu ar trebui să ridice dificultăți pentru un inginer cu experiență. Totuși, chiar și pentru această sarcină de bază, evaluarea corectă a modelului conform normei de proiectare poate fi un proces anevoios, manual și iterativ.
Fig. 2 a) Modelul S&T varianta 1 b) Modelul S&T varianta 2 c) Modelul S&T varianta
Trebuie verificați tiranții, zonele nodale și deformația transversală de întindere din biele. Dacă modelul nu satisface verificarea, geometria S&T trebuie ajustată sau trebuie ales un alt model S&T (Fig. 2b, 2c). Aceasta duce adesea la situația în care inginerul structurist alege geometria modelului S&T o singură dată și verifică doar armătura. Acest lucru poate duce la o eroare substanțială. Alegerea modelului ține întotdeauna de experiență. Pentru detaliile structurale mai complexe, alegerea unui model S&T care să corespundă suficient de bine comportării reale a structurii poate să nu fie la fel de simplă ca în cazul de mai sus. De asemenea, S&T este o metodă de calcul doar pentru stările limită ultime. Ea nu permite calculul la stările limită de serviciu (deformații, fisurare), care sunt criterii critice, mai ales în structurile de importanță semnificativă, deoarece influențează direct durata de exploatare a structurii.
2. Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil - CSFM
CSFM este o metodă neliniară modernă pentru analiza zonelor D și a elementelor al căror comportament poate fi simplificat la o stare plană de tensiuni, adică un model 2D. Cu toate acestea, ea se bazează în continuare pe o ipoteză de bază și sigură a normelor: betonul nu lucrează la întindere, iar toată întinderea trebuie preluată de armătură. Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil (CSFM) reprezintă o evoluție a metodelor S&T și a câmpurilor de tensiuni. Ea elimină principalele dezavantaje ale acestora, menționate mai sus: incertitudinile în alegerea modelului, dificultatea automatizării și imposibilitatea verificării stărilor limită de serviciu.
Fig. 3 a) Stare plană de deformații b) Tensiuni principale c) CSFM
Principiul CSFM poate fi explicat pe starea plană de tensiuni a elementului plan de bază al unei structuri din beton armat. Fig. 3a prezintă elementul 2D de bază în stare plană de tensiuni, așa cum îl cunoaștem din toate manualele de elasticitate și rezistența materialelor. Aceasta este starea de tensiuni într-un punct al structurii, obținută, de exemplu, printr-o analiză liniar-elastică cu Metoda Elementelor Finite (FEM). Elementul este supus unei tensiuni normale orizontale σx, unei tensiuni normale verticale σz și unei tensiuni de forfecare τxz. Din aceste tensiuni se pot determina așa-numitele tensiuni principale și direcția lor, definită de unghiul θ (Fig. 3b). Elementul este apoi supus tensiunii principale de întindere σ1 și tensiunii principale de compresiune σ2.
Cum va arăta deformația aceluiași element analizat prin CSFM? Deformația este prezentată în Figura 3c. Betonul comprimat apare în direcția tensiunii principale de compresiune σ2. Se generează astfel un câmp de tensiuni cu tensiunea σc2. După cum s-a menționat mai sus, ipoteza de bază este că betonul nu lucrează la întindere. Prin urmare, tensiunea principală transversală de întindere σ1 nu va fi preluată de beton, iar o fisură se va forma perpendicular pe această direcție. Tensiunea σc1r trebuie deci să fie zero. Pentru a evita cedarea elementului nostru 2D, toată tensiunea de întindere trebuie preluată de armătură (indicată cu albastru în Fig. 3c), care trebuie să facă parte din modelul de calcul.
Dacă această analiză a tensiunilor se efectuează cu CSFM continuu pe întreaga zonă 2D care trebuie rezolvată, rezultatul este un câmp continuu de compresiune în beton, plus tensiunile de întindere și de compresiune din armătură. În Figura 4 este prezentată o reprezentare grafică simplificată a câmpului de tensiuni CSFM. Pe lângă gradele de utilizare ale betonului și ale armăturii, figura indică și direcțiile variabile ale tensiunilor calculate σc2 de-a lungul zonelor.
Fig. 4 Rezultate generale din IDEA StatiCa Detail
Analiza unui detaliu sau a unei structuri cu CSFM se bazează pe Metoda Elementelor Finite. Betonul este modelat cu elemente de perete 2D, iar armătura cu elemente liniare 1D (Fig. 7). Analiza nu se efectuează într-un singur pas, deoarece este o problemă neliniară. Încărcările se aplică în incremente pe parcursul calculului, iar soluția sistemului neliniar de ecuații se obține cu metoda Newton-Raphson.
Fisurile fictive distribuite (ε1 este valoarea medie) se „formează” perpendicular pe direcția tensiunilor principale, care se pot modifica în timpul calculului neliniar, pe măsură ce elementul „fisurează progresiv” la fiecare increment de încărcare. În concluzie, se consideră o fisură fictivă rotativă, fără tensiuni.
Rezultatul soluției FEM obținute cu CSFM este un câmp de tensiuni compatibil (adică betonul nu se descompune în modelul de calcul în biele individuale care acționează independent) și starea de deformații, ambele continue pe întregul domeniu 2D analizat. Acesta este un avantaj major față de abordările clasice S&T și permite automatizarea și rafinarea modelului de calcul, așa cum este descris în paragrafele următoare.
Fig. 5 Principiul reducerii rezistenței betonului
Formularea simplă a CSFM permite utilizarea diagramei standard parabolă-dreptunghi uniaxiale efort-deformație pentru betonul comprimat, conform normei de proiectare. După cum este bine cunoscut, rezistența la compresiune a betonului scade atunci când betonul este deteriorat de fisuri transversale (Fig. 5). Acest efect, denumit rezistența redusă a betonului comprimat, este inclus în metodă prin luarea în considerare automată a rezistenței efective la compresiune a betonului.
În funcție de nivelul deformațiilor transversale de întindere ε1, se determină factorul de reducere kc și se ajustează diagrama efort-deformație a betonului (Fig. 5). Deoarece câmpul de deformații din întreaga structură este cunoscut, rezistența efectivă la compresiune a betonului poate fi calculată automat în secțiunile individuale, în funcție de nivelul local al deformațiilor transversale de întindere ε1.
Fig. 6 Principiul participării betonului întins
În plus, CSFM ia în considerare participarea betonului întins dintre fisuri la comportarea armăturii, așa-numita participare a betonului întins. În modelul de calcul se utilizează gradul mediu de armare εm. Apoi diagrama efort-deformație a armăturii se modifică (Fig. 6). Aceasta permite o reprezentare realistă a rigidității unei structuri din beton armat afectate de fisuri. Rămâne totuși valabil faptul că rezistența la întindere a betonului nu contribuie la capacitatea ultimă. Tensiunea maximă din armătură σsr în dreptul fisurilor este determinantă pentru calcul (Fig. 6).
CSFM utilizează modele de material uniaxiale uzuale (diagrame efort-deformație) definite în normele de proiectare. Pentru verificarea la SLU se utilizează apoi abordarea standard, metoda coeficienților parțiali de siguranță. Simplitatea metodei o face potrivită pentru practica inginerească și este conformă cu normele de proiectare.
Chiar dacă este o analiză neliniară cu elemente finite (FEA), inginerul structurist nu trebuie să introducă în calcul proprietăți suplimentare ale materialelor și caracteristici ale betonului, care este posibil să nu fie disponibile nici măcar în faza de proiectare și care sunt necesare, de exemplu, în analizele FEA neliniare bazate pe mecanica ruperii. După cum s-a indicat deja, un avantaj major al analizei CSFM, pe lângă stările limită ultime, este posibilitatea de a verifica stările limită de serviciu: deplasările, limitările de tensiuni și, în special, lățimea fisurilor.
Fig. 7 Exemplu de reprezentare a modelului cu elemente finite în IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) Modelul FEM din CSFM este alcătuit din mai multe tipuri de elemente finite:
- element 1D cu rigiditate axială pentru armătură
- element izoparametric 2D pentru beton
- arcuri de capăt pentru modelul de ancorare a armăturii cu tratarea capătului
- element 2D special pentru modelarea aderenței dintre armătură și beton
- constrângeri rigide și de interpolare (constrângeri multipunct, Multi-Point Constraints, MPC) între elementele de aderență și beton
Dacă armătura proiectată previne cedarea fragilă a elementului, s-a demonstrat că CSFM oferă predicții foarte bune ale răspunsului și ale capacității ultime a structurii, în ciuda simplității formulării. Cu alte cuvinte, metoda nu este potrivită, de exemplu, pentru calculul grinzilor fără armătură transversală la forfecare, care prezintă o comportare potențial fragilă. Verificările metodei, inclusiv cele experimentale, sunt prezentate în [1]. O descriere mai detaliată a metodei depășește scopul acestei lucrări și poate fi găsită și în Fundamente teoretice.
Este clar că principiile CSFM sunt generale și, prin urmare, aplicarea ei nu se limitează la zonele D, ci poate fi utilizată pentru modelarea unor elemente întregi, de exemplu grinzi prefabricate, atunci când elementul poate fi simplificat la un model plan 2D. Metoda și implementarea ei în software (IDEA StatiCa Detail) au fost extinse, de asemenea, cu posibilitatea de a specifica armătură pretensionată și post-tensionată.
3. Exemplu de calcul al riglei unei pile
Aplicarea practică a CSFM este prezentată în calculul riglei pilei de pod din Figura 8. Aceasta este a doua pilă a unui pod continuu cu trei deschideri de 30,0 m, 42,0 m și 30,0 m. Capul pilei din beton armat este proiectat din beton C40/50, iar grosimea sa (în direcția longitudinală a podului) este de 2,0 m.
Fig. 8 Rigla pilei: a) Rezumatul calculului; b) Tensiuni de compresiune în beton la SLU; c) Tensiuni de întindere în armătură la SLU; d) Lățimea fisurilor la SLS
În partea superioară a riglei pilei a fost proiectată mai întâi o grindă transversală cu armătură B500 20xϕ28+20xϕ25, adică primele patru straturi de sus. Figura 8a prezintă un rezumat al calculului la starea limită ultimă, cu tensiunile de compresiune din beton, direcțiile tensiunilor de compresiune și tensiunile din armătură. Distribuția mai detaliată a tensiunilor în beton și în armătură este apoi documentată în Figurile 8b și 8c. Armătura transversală se află chiar sub limita de curgere, iar tensiunile din beton (și deformațiile relative) sunt satisfăcătoare la SLU. Totuși, rezultatul calculului lățimii fisurilor (Fig. 8d) arată că soluția nu satisface la SLS: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Pentru a respecta lățimea limită a fisurilor, este necesară creșterea armăturii grinzii transversale la 20xϕ32+20xϕ28. În cazul wlim = 0,2 mm (de exemplu, o pilă amplasată lângă un drum care generează aerosoli de sare, nivelul de influență al mediului XF2), armătura grinzii transversale ar trebui majorată chiar la 24xϕ32+24xϕ28.
Concluzie
CSFM se potrivește practicii inginerești, deoarece utilizează modele de material simple, definite într-o normă de proiectare. Pe lângă stările limită ultime, ea permite și calculul la stările limită de serviciu. Verificarea acestora era dificil de imaginat anterior la utilizarea modelelor S&T. Prin implementarea metodei în IDEA StatiCa Detail, este posibilă apoi surprinderea realistă a răspunsului structurii, precum și calculul și verificarea eficientă și sigură a zonelor de discontinuitate și a ansamblurilor mai mari.
CSFM a fost dezvoltată în principal prin lucrările profesorului Walter Kaufmann, șeful Catedrei de Inginerie Structurală a Institutului Federal Elvețian de Tehnologie (ETH) din Zürich. El și echipa sa au verificat metoda și implementarea ei software.
Bibliografie
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
