在实际工程中，拉压杆（Strut-and-Tie，S&T）法和应力场法通常用于设计钢筋混凝土和预应力混凝土结构中的不连续区域。协调应力场法（CSFM）是在这些经典理论的基础上发展而来的，自动化程度高，并符合设计标准。该方法虽然简单，却能非常真实地描述混凝土结构在承载能力极限状态（ULS）和正常使用极限状态（SLS）下的响应。CSFM（协调应力场法）已在 IDEA StatiCa Detail 中实现。
图 1 a) 带洞口的墙 b) 剪力墙 c) 带企口端和洞口的梁 d) 桥墩 e) 桥梁横隔板
在符合伯努利-纳维平截面假定（即平面应变分布假定）的部位（B 区），可采用混凝土结构截面设计的标准方法。不符合该假定的部位称为不连续区域（D 区）。这些部位包括出现集中荷载或截面突变的结构部分，例如企口端（图 1c）、深梁、带洞口的墙（图 1a、1b），以及牛腿和桩承台。在桥梁工程领域，这类部位包括桥墩盖梁（图 1d）、横隔板（图 1e）、转向块等。
1. 拉压杆法
建立 S&T 模型的基本假定是忽略混凝土的抗拉强度。简单的桁架模型由受压和受拉的单元组成，用于表示承载能力极限状态下的行为。通常，这并不是一个复杂的问题，对于经验丰富的工程师来说，建立基本的 S&T 模型（图 2a）应当不成问题。然而，即使是这项基本工作，按照设计标准对模型进行正确评估，也可能是一个繁琐、手动且需反复迭代的过程。
图 2 a) S&T 模型方案 1 b) S&T 模型方案 2 c) S&T 模型方案 3
必须对拉杆、节点区以及压杆中的横向拉应变进行验算。如果模型未通过校核，就必须调整 S&T 的几何形状，或选用其他 S&T 模型（图 2b、2c）。这往往导致结构工程师只选择一次 S&T 模型几何形状，并且只验算钢筋，从而可能造成很大的误差。模型的选择始终取决于经验。对于更复杂的结构细部，要选出与结构实际行为足够吻合的 S&T 模型，可能不像上述情况那样容易。此外，S&T 仅是一种用于极限状态承载能力设计的方法。它无法用于正常使用极限状态（变形、裂缝）的设计，而这些恰恰是关键的判据，对于重要结构尤其如此，因为它们直接影响结构的使用寿命。
2. 协调应力场法 - CSFM
CSFM（协调应力场法）是一种现代的非线性方法，用于分析 D 区以及其行为可简化为平面应力（即二维模型）的构件。 不过，它仍然基于标准中基本而安全的假定：混凝土不承受拉力，所有拉力都必须由钢筋承担。协调应力场法（CSFM）是 S&T 和应力场法的发展，消除了上述两种方法的主要缺点：模型选择的不确定性、难以实现自动化，以及无法验算正常使用极限状态。
图 3 a) 平面应变 b) 主应力 c) CSFM（协调应力场法）
CSFM（协调应力场法）的原理可以通过钢筋混凝土结构中基本平面单元的平面应力来说明。图 3a 显示了处于平面应力状态的基本二维单元，这是所有弹性力学和材料力学教科书中都有的内容。这是结构中某一点的应力，例如可通过有限单元法（FEM）的线弹性分析得到。该单元承受水平正应力 σx、竖向正应力 σz 和剪应力 τxz。由这些应力可以确定所谓的主应力及其方向（由角度 θ 定义）（图 3b）。此时，该单元承受主拉应力 σ1 和主压应力 σ2。
用 CSFM（协调应力场法）分析同一单元，其应变会是什么样？应变如图 3c 所示。受压混凝土出现在主压应力 σ2 的方向上，并形成应力为 σc2 的应力场。如上所述，基本假定是混凝土不承受拉力。因此，横向主拉应力 σ1 不会由混凝土传递，并将在垂直于该方向上形成裂缝。因此，应力 σc1r 必须为零。为避免该二维单元破坏，所有拉应力都必须由钢筋承担（图 3c 中以蓝色表示），钢筋必须是计算模型的一部分。
如果使用 CSFM（协调应力场法）在待求解的整个二维区域内连续进行这种应力分析，其结果就是混凝土中连续的压力场，以及钢筋中的拉应力和压应力。图 4 给出了 CSFM（协调应力场法）应力场的简化图示。除混凝土和钢筋的承载比外，该图还显示了计算得到的应力 σc2 沿各区域变化的方向。
图 4 IDEA StatiCa Detail 的整体结果
使用 CSFM（协调应力场法）对细部或结构进行的分析基于有限单元法。混凝土采用二维墙单元模拟，钢筋采用一维构件单元模拟（图 7）。由于这是一个非线性问题，分析不是一步完成的。计算过程中分级施加荷载，并使用牛顿-拉夫森法求解非线性方程组。
虚拟的弥散裂缝（ε1 为平均值）"形成"于垂直于主应力的方向上。随着单元在每一级荷载作用下"逐步开裂"，该方向在非线性计算过程中可能发生变化。总之，这里考虑的是一种虚拟的无应力旋转裂缝。
采用 CSFM（协调应力场法）进行有限单元法求解，得到的是协调应力场（即模型中的混凝土不会分裂为各自独立作用的压杆）和应变状态，二者在整个求解的二维区域内都是连续的。与经典的 S&T 方法相比，这是一项重大优势，并使计算模型可以实现自动化和细化，详见以下各段。
图 5 混凝土软化原理
CSFM（协调应力场法）的表述简单，因此可以按照设计标准，对受压混凝土采用标准的单轴抛物线-矩形应力-应变图。众所周知，当混凝土因横向裂缝而受损时，其抗压强度会降低（图 5）。这种所谓的压力软化效应，通过自动考虑混凝土的有效抗压强度而纳入该方法中。
根据横向拉应变 ε1 的水平确定折减系数 kc，并据此调整混凝土的应力-应变图（图 5）。由于整个结构的应变场是已知的，因此可根据横向拉应变 ε1 的局部水平，在各个截面处自动计算混凝土的有效抗压强度。
图 6 拉力刚化原理
此外，CSFM（协调应力场法）还考虑了裂缝之间受拉混凝土对钢筋的刚化效应，即所谓的拉力刚化。计算模型中采用平均配筋应变 εm，并据此修正钢筋的应力-应变图（图 6）。这样可以真实地反映因开裂而受损的钢筋混凝土结构的刚度。但混凝土的抗拉强度仍然不计入极限承载力。裂缝处钢筋的最大应力 σsr 对设计起控制作用（图 6）。
CSFM（协调应力场法）采用设计标准中定义的常用单轴材料模型（应力-应变图），并采用标准方法，即分项安全系数法，来验算承载能力极限状态。该方法简单，适用于工程实践，并且符合设计标准。
尽管这是一种非线性有限元分析，但结构工程师无需在计算中输入额外的材料特性和混凝土特征参数。这些参数在设计阶段可能根本无法获得，而基于断裂力学的非线性有限元分析等方法则必须用到它们。如前所述，除承载能力极限状态外，CSFM（协调应力场法）分析的另一大优势是能够验算正常使用极限状态：挠度、应力限值，尤其是裂缝宽度。
图 7 IDEA StatiCa Detail 中有限元模型表示示例
（图 7）CSFM（协调应力场法）中的有限元模型由多种类型的有限单元组成：
- 用于钢筋的具有轴向刚度的一维单元
- 用于混凝土的二维等参单元
- 用于带端部处理的钢筋锚固模型的端部弹簧
- 用于模拟钢筋与混凝土之间粘结的特殊二维单元
- 粘结单元与混凝土之间的刚性和插值约束（多点约束，MPC）
如果所设计的钢筋能够防止构件发生脆性破坏，那么尽管 CSFM（协调应力场法）的表述简单，实践已证明它能很好地预测结构的响应和极限承载力。换言之，该方法不适用于例如无横向抗剪钢筋的梁的设计，因为这类梁可能表现出脆性行为。该方法的验证（包括试验）见文献 [1]。对该方法更详细的描述超出了本文的范围，也可参见理论背景。
显然，CSFM（协调应力场法）的原理具有普遍性，因此其应用不限于 D 区，也可用于对整个构件（例如预制梁）建模，只要该构件可以简化为平面二维模型。该方法及其软件实现（IDEA StatiCa Detail）也已得到扩展，可指定预应力和后张钢筋。
3. 桥墩盖梁设计示例
图 8 中的桥墩盖梁设计展示了 CSFM（协调应力场法）的实际应用。该桥墩是一座三跨连续桥梁的第二个桥墩，跨径分别为 30.0 m、42.0 m 和 30.0 m。钢筋混凝土桥墩的墩帽采用 C40/50 混凝土，其厚度（沿桥梁纵向）为 2.0 m。
图 8 桥墩盖梁：a) 设计汇总；b) 承载能力极限状态下混凝土中的压应力； c) 承载能力极限状态下钢筋中的拉应力；d) 正常使用极限状态下的裂缝宽度
在桥墩盖梁顶部，首先设计了一道横梁，采用 B500 钢筋，配置 20xϕ28+20xϕ25（顶部四层）。图 8a 给出了承载能力极限状态下的设计汇总，显示了混凝土中的压应力、压应力方向以及钢筋中的应力。混凝土和钢筋中更详细的应力分布见图 8b 和图 8c。横向钢筋的应力刚好低于屈服强度，混凝土中的应力（及相应的应变）在承载能力极限状态下也满足要求。然而，裂缝宽度的计算结果（图 8d）表明，该设计在正常使用极限状态下不满足要求：wmax = 0.36 mm > wlim = 0.3 mm。为满足裂缝宽度限值，必须增加横梁的钢筋，配置增至 20xϕ32+20xϕ28。如果 wlim = 0.2 mm（例如桥墩靠近会产生盐雾的道路，环境影响等级 XF2），则横梁的钢筋甚至需要增加到 24xϕ32+24xϕ28。
结论
CSFM（协调应力场法）适合工程实践，因为它采用设计标准中定义的简单材料模型。除承载能力极限状态外，它还可用于正常使用极限状态的设计，而此前采用 S&T 模型时，很难想象能对其进行验算。通过在 IDEA StatiCa Detail 中实现该方法，可以真实地反映结构的响应，并高效、安全地对不连续区域和较大的组合构件进行设计和验算。
CSFM（协调应力场法）主要是通过苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）结构工程系主任 Walter Kaufmann 教授的工作发展起来的。他和他的团队还对该方法及其软件实现进行了验证。
参考文献
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
作者
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
