V praxi se k návrhu diskontinuitních oblastí ve vyztužených a předpjatých betonových konstrukcích standardně používají metoda vzpěra-táhlo (S&T) a metody napěťových polí. Compatible Stress Field Method (CSFM) vznikla rozšířením těchto klasických teorií, umožňuje vysoký stupeň automatizace a je v souladu s návrhovou normou. Přes svou jednoduchost poskytuje metoda velmi realistický popis odezvy betonové konstrukce jak v mezním stavu únosnosti (MSÚ), tak v mezním stavu použitelnosti (MSP). CSFM je implementována v IDEA StatiCa Detail.
Obr. 1 a) Stěna s otvory b) Smyková stěna c) Nosník s ozuby a otvory d) Mostní pilíř e) Mostní příčník
Standardní postupy navrhování průřezů betonových konstrukcí jsou použitelné v částech, kde platí Bernoulliho-Navierova hypotéza o rovinném rozdělení přetvoření (oblast B). Místa, kde tato hypotéza neplatí, se nazývají diskontinuitní oblasti (D-oblasti). Patří sem části konstrukcí, kde působí soustředěná zatížení nebo kde dochází k náhlé změně průřezu, například ozuby (obr. 1c), vysoké nosníky, stěny s otvory (obr. 1a, 1b) nebo krátké konzoly a hlavice pilot. V oblasti mostního inženýrství jsou to např. hlavy pilířů (obr. 1d), příčníky (obr. 1e), deviátory atd.
1. Metoda vzpěra-táhlo
Základním předpokladem při definici modelu S&T je, že se tahová pevnost betonu zanedbává. Jednoduchý příhradový model se skládá z prvků namáhaných tlakem a tahem, které představují chování v MSÚ. Obecně nejde o složitý problém a definice základního modelu S&T (obr. 2a) by neměla být pro zkušeného inženýra problémem. Avšak i pro tento základní úkol může být správné posouzení modelu v souladu s návrhovou normou zdlouhavým, ručním a iterativním procesem.
Obr. 2 a) Model S&T varianta 1 b) Model S&T varianta 2 c) Model S&T varianta 3
Je nutné posoudit táhla, styčníkové oblasti a příčné tahové přetvoření ve vzpěrách. Pokud model při posouzení nevyhoví, musí se upravit geometrie modelu S&T, nebo zvolit jiný model S&T (obr. 2b, 2c). To často vede k tomu, že stavební inženýr zvolí geometrii modelu S&T pouze jednou a posuzuje pouze betonářskou výztuž. To může vést k podstatné chybě. Volba modelu je vždy otázkou zkušeností. U složitějších konstrukčních detailů nemusí být volba modelu S&T, který dostatečně odpovídá skutečnému chování konstrukce, tak snadná jako ve výše uvedeném případě. Metoda S&T je navíc metodou pro návrh pouze v mezních stavech únosnosti. Neumožňuje návrh v mezních stavech použitelnosti (přetvoření, vznik trhlin), které jsou rozhodujícími kritérii, zejména u konstrukcí zásadního významu, protože přímo ovlivňují jejich životnost.
2. Compatible Stress Field Method - CSFM
CSFM je moderní nelineární metoda pro analýzu D-oblastí a prvků, jejichž chování lze zjednodušit na rovinnou napjatost, tj. 2D model. Je však stále založena na základním a bezpečném předpokladu norem: beton nepůsobí v tahu a veškerý tah musí být přenesen vyztužením. Compatible Stress Field Method (CSFM) je vývojem metod S&T a napěťových polí, který odstraňuje jejich hlavní nevýhody uvedené výše: nejistoty při volbě modelu, obtížnou automatizaci a nemožnost posuzovat mezní stavy použitelnosti.
Obr. 3 a) Rovinné přetvoření b) Hlavní napětí c) CSFM
Princip CSFM lze vysvětlit na rovinné napjatosti základního rovinného prvku železobetonové konstrukce. Obr. 3a znázorňuje základní 2D prvek v rovinné napjatosti, jak ji známe ze všech učebnic pružnosti a pevnosti. Jde o napětí v jednom bodě konstrukce, získané například lineárně elastickou analýzou metodou konečných prvků (MKP). Prvek je namáhán vodorovným normálovým napětím σx, svislým normálovým napětím σz a smykovým napětím τxz. Z těchto napětí lze určit tzv. hlavní napětí a jejich směr definovaný úhlem θ (obr. 3b). Prvek je pak namáhán hlavním tahovým napětím σ1 a hlavním tlakovým napětím σ2.
Jak bude vypadat přetvoření stejného prvku analyzovaného metodou CSFM? Přetvoření je znázorněno na obrázku 3c. Tlačený beton se objeví ve směru hlavního tlakového napětí σ2. Vzniká tak napěťové pole s napětím σc2. Jak bylo uvedeno výše, základním předpokladem je, že beton nepůsobí v tahu. Příčné hlavní tahové napětí σ1 proto nebude betonem přenášeno a kolmo na tento směr vznikne trhlina. Napětí σc1r musí být proto nulové. Aby nedošlo k porušení našeho 2D prvku, musí být veškeré tahové napětí přeneseno výztuží (na obr. 3c vyznačena modře), která musí být součástí výpočetního modelu.
Pokud se tato analýza napětí provádí metodou CSFM průběžně v celé řešené 2D oblasti, výsledkem je spojité tlakové pole v betonu a tahová a tlaková napětí ve výztuži. Zjednodušené grafické znázornění napěťového pole CSFM je na obrázku 4. Kromě využití betonu a výztuže obrázek také ukazuje proměnné směry vypočtených napětí σc2 v jednotlivých oblastech.
Obr. 4 Celkové výsledky z IDEA StatiCa Detail
Analýza detailu nebo konstrukce metodou CSFM je založena na metodě konečných prvků. Beton je modelován 2D stěnovými prvky a výztuž 1D prutovými prvky (obr. 7). Analýza se neprovádí v jednom kroku, protože jde o nelineární problém. Zatížení se během výpočtu aplikuje po přírůstcích a řešení nelineární soustavy rovnic se hledá Newton-Raphsonovou metodou.
Fiktivní rozetřené trhliny (ε1 je průměrná hodnota) se „tvoří“ kolmo na směr hlavních napětí, který se může během nelineárního výpočtu měnit, jak prvek „postupně praská“ při každém přírůstku zatížení. Stručně řečeno je uvažována fiktivní rotující trhlina bez napětí.
Výsledkem řešení metodou konečných prvků s využitím CSFM je kompatibilní napěťové pole (tj. beton se v modelu nerozpadá na jednotlivé nezávisle působící vzpěry) a stav přetvoření, které jsou spojité v celé řešené 2D oblasti. To je zásadní výhoda oproti klasickým postupům S&T a umožňuje to automatizaci a zpřesnění výpočetního modelu, jak je popsáno v následujících odstavcích.
Obr. 5 Princip tlakového změkčení betonu
Jednoduchá formulace CSFM umožňuje použít standardní jednoosý parabolicko-obdélníkový pracovní diagram betonu v tlaku podle návrhové normy. Jak je známo, tlaková pevnost betonu klesá, pokud je beton porušen příčnými trhlinami (obr. 5). Tento tzv. efekt tlakového změkčení je v metodě zahrnut automatickým zohledněním účinné tlakové pevnosti betonu.
Na základě úrovně příčných tahových přetvoření ε1 se určí redukční součinitel kc a upraví se pracovní diagram betonu (obr. 5). Protože je pole přetvoření v celé konstrukci známo, lze účinnou tlakovou pevnost betonu vypočítat automaticky v jednotlivých řezech v závislosti na místní úrovni příčných tahových přetvoření ε1.
Obr. 6 Princip tahového zpevnění
CSFM dále zohledňuje ztužující vliv taženého betonu mezi trhlinami na výztuž, tzv. tahové zpevnění. Ve výpočetním modelu se používá průměrné přetvoření výztuže εm. Poté se upraví pracovní diagram výztuže (obr. 6). To umožňuje realistické vyjádření tuhosti železobetonové konstrukce porušené trhlinami. Stále však platí, že tahová pevnost betonu nepřispívá k mezní únosnosti. Pro návrh je rozhodující maximální napětí ve výztuži σsr v trhlinách (obr. 6).
CSFM využívá běžné jednoosé materiálové modely (pracovní diagramy) definované v návrhových normách. K posouzení v MSÚ se pak používá standardní postup, metoda dílčích součinitelů. Jednoduchost metody ji činí vhodnou pro inženýrskou praxi a je v souladu s návrhovými normami.
Přestože jde o nelineární analýzu metodou konečných prvků, stavební inženýr nemusí do výpočtu zadávat další materiálové vlastnosti a charakteristiky betonu, které nemusí být ve fázi návrhu ani k dispozici a které jsou nezbytné například u nelineárních analýz MKP založených na lomové mechanice. Jak již bylo uvedeno, hlavní výhodou analýzy CSFM je kromě mezních stavů únosnosti také možnost posuzovat mezní stavy použitelnosti: průhyby, omezení napětí a zejména šířku trhlin.
Obr. 7 Příklad zobrazení modelu metodou konečných prvků v IDEA StatiCa Detail
(obr. 7) Model MKP v CSFM se skládá z několika typů konečných prvků:
- 1D prvek s osovou tuhostí pro výztuž
- 2D izoparametrický prvek pro beton
- Koncové pružiny pro model kotvení výztuže s úpravou konců
- Speciální 2D prvek pro modelování soudržnosti mezi výztuží a betonem
- Tuhé a interpolační vazby (Multi-Point Constraints, MPC) mezi prvky soudržnosti a betonem
Pokud navržená výztuž zabraňuje křehkému porušení prvku, CSFM prokazatelně poskytuje velmi dobré předpovědi odezvy a mezní únosnosti konstrukce i přes jednoduchost formulace. Jinými slovy, metoda není vhodná například pro návrh nosníků bez příčné smykové výztuže, které vykazují potenciálně křehké chování. Verifikace metody, včetně experimentů, jsou uvedeny v [1]. Podrobnější popis metody přesahuje rozsah tohoto článku a lze jej nalézt také v části Teoretický základ.
Je zřejmé, že principy CSFM jsou obecné, a proto její použití není omezeno na D-oblasti, ale lze ji použít k modelování celých prvků, např. prefabrikovaných nosníků, kde lze prvek zjednodušit na rovinný 2D model. Metoda a její implementace v softwaru (IDEA StatiCa Detail) byly také rozšířeny o možnost zadání předpjaté a dodatečně předpjaté výztuže.
3. Příklad návrhu hlavy pilíře
Praktické použití CSFM je ukázáno na návrhu hlavy mostního pilíře na obrázku 8. Jde o druhý pilíř spojitého mostu o třech polích 30,0 m, 42,0 m a 30,0 m. Hlava železobetonového pilíře je navržena z betonu C40/50 a její tloušťka (v podélném směru mostu) je 2,0 m.
Obr. 8 Hlava pilíře: a) Souhrnný návrh; b) Tlakové napětí v betonu v MSÚ; c) Tahové napětí ve výztuži v MSÚ; d) Šířka trhlin v MSP
V horní části hlavy pilíře byl nejprve navržen příčník s výztuží B500 20xϕ28+20xϕ25 – horní čtyři vrstvy. Obrázek 8a ukazuje souhrnný návrh v mezním stavu únosnosti se zobrazením tlakových napětí v betonu, směrů tlakových napětí a napětí ve výztuži. Podrobnější rozložení napětí v betonu a výztuži je pak zdokumentováno na obrázcích 8b a 8c. Příčná výztuž je těsně pod mezí kluzu a také napětí v betonu (a příslušná přetvoření) jsou v MSÚ vyhovující. Výsledek výpočtu šířky trhlin (obr. 8d) však ukazuje, že návrh v MSP nevyhovuje: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Aby byla splněna omezující šířka trhlin, je nutné zvýšit vyztužení příčníku na 20xϕ32+20xϕ28. V případě wlim = 0,2 mm (např. pilíř v blízkosti komunikace, na které vzniká solná mlha, třída vlivu prostředí XF2) by bylo nutné vyztužení příčníku zvýšit dokonce na 24xϕ32+24xϕ28.
Závěr
CSFM vyhovuje inženýrské praxi, protože využívá jednoduché materiálové modely definované v návrhové normě. Kromě mezních stavů únosnosti umožňuje také návrh mezních stavů použitelnosti. Jejich posouzení bylo dříve při použití modelů S&T těžko představitelné. Implementací metody v IDEA StatiCa Detail je pak možné realisticky zachytit odezvu konstrukce a efektivně a bezpečně navrhovat a posuzovat diskontinuitní oblasti i větší celky.
CSFM byla vyvinuta především díky práci profesora Waltera Kaufmanna, vedoucího katedry konstrukčního inženýrství na Švýcarském federálním technologickém institutu (ETH) v Curychu. On a jeho tým také ověřili metodu a její softwarovou implementaci.
Literatura
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
