En la práctica, los métodos de Biela-y-tirante (B&T) y de Campos de Tensiones se utilizan habitualmente para dimensionar las regiones de discontinuidad en estructuras de hormigón armado y pretensado. El Método del Campo de Tensiones Compatible (CSFM) se desarrolló ampliando estas teorías clásicas, permite un alto grado de automatización y es coherente con la norma de cálculo. A pesar de su sencillez, el método proporciona una descripción muy realista de la respuesta de una estructura de hormigón, tanto en estado límite último (ELU) como en estado límite de servicio (ELS). El CSFM está implementado en IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Muro con aberturas b) Muro de cortante c) Viga con extremos rebajados y aberturas d) Pila de puente e) Riostra de puente
Los procedimientos habituales para dimensionar secciones transversales de estructuras de hormigón son aplicables en las zonas donde rige la hipótesis de Bernoulli-Navier de distribución plana de deformaciones (región B). Las zonas donde esta hipótesis no se cumple se denominan regiones de discontinuidad (regiones D). Estas incluyen las partes de las estructuras donde aparecen cargas concentradas o donde hay un cambio brusco de sección transversal, como los extremos rebajados (Fig. 1c), las vigas de gran canto, los muros con aberturas (Figs. 1a, 1b), o las ménsulas y los encepados. En el campo de la ingeniería de puentes, estas son, por ejemplo, los cabezales de pila (Fig. 1d), las riostras (Fig. 1e), los desviadores, etc.
1. Método de Biela y Tirante
La hipótesis básica al definir un modelo B&T es que se desprecia la resistencia a tracción del hormigón. Un modelo de celosía simple consta de elementos que trabajan a compresión y a tracción, y representa el comportamiento en ELU. En general, no es un problema complejo, y definir un modelo B&T básico (Fig. 2a) no debería suponer dificultad para un ingeniero con experiencia. Sin embargo, incluso para esta tarea básica, la verificación correcta del modelo conforme a la norma de cálculo puede ser un proceso tedioso, manual e iterativo.
Fig. 2 a) Modelo B&T, opción 1 b) Modelo B&T, opción 2 c) Modelo B&T, opción
Deben verificarse los tirantes, las zonas nodales y la deformación transversal de tracción en las bielas. Si el modelo no supera la verificación, debe ajustarse la geometría del B&T o seleccionarse un modelo B&T diferente (Fig. 2b, 2c). Esto lleva con frecuencia a que el ingeniero estructural elija la geometría del modelo B&T una sola vez y verifique únicamente la armadura. Esto puede provocar un error sustancial. La elección del modelo es siempre una cuestión de experiencia. En detalles estructurales más complejos, elegir un B&T que se ajuste suficientemente al comportamiento real de la estructura puede no ser tan sencillo como en el caso anterior. Además, el B&T es un método de dimensionamiento solo para estados límite últimos. No permite el dimensionamiento de los estados límite de servicio (deformación, fisuración), que son criterios críticos, especialmente en estructuras de especial importancia, ya que afectan directamente a la vida útil de la estructura.
2. Método del Campo de Tensiones Compatible - CSFM
El CSFM es un moderno método no lineal para el análisis de regiones D y de elementos cuyo comportamiento puede simplificarse a tensión plana, es decir, a un modelo 2D. No obstante, sigue basándose en una hipótesis básica y segura de las normas: el hormigón no trabaja a tracción, y toda la tracción debe ser resistida por la armadura. El Método del Campo de Tensiones Compatible (CSFM) es una evolución de los métodos B&T y de campos de tensiones, que elimina sus principales inconvenientes mencionados anteriormente: las incertidumbres en la selección del modelo, la dificultad de automatización y la imposibilidad de verificar los estados límite de servicio.
Fig. 3 a) Deformación plana b) Tensión principal c) CSFM
El principio del CSFM puede explicarse a partir de la tensión plana de un elemento plano básico de una estructura de hormigón armado. La Fig. 3a muestra el elemento 2D básico en tensión plana, tal como lo conocemos de todos los libros de texto de elasticidad y resistencia de materiales. Esta es la tensión en un punto de la estructura, obtenida, por ejemplo, mediante un análisis lineal elástico con el Método de los Elementos Finitos (MEF). El elemento está sometido a una tensión normal horizontal σx, una tensión normal vertical σz y una tensión tangencial τxz. A partir de estas tensiones pueden determinarse las denominadas tensiones principales y su dirección, definida por el ángulo θ (Fig. 3b). El elemento queda entonces sometido a la tensión principal de tracción σ1 y a la tensión principal de compresión σ2.
¿Cómo será la deformación del mismo elemento analizado mediante el CSFM? La deformación se muestra en la Figura 3c. El hormigón comprimido aparece en la dirección de la tensión principal de compresión σ2. Y se genera un campo de tensiones con tensión σc2. Como se ha mencionado anteriormente, la hipótesis básica es que el hormigón no trabaja a tracción. Por lo tanto, el hormigón no resistirá la tensión principal transversal de tracción σ1, y se formará una fisura perpendicular a esa dirección. La tensión σc1r debe ser, por tanto, cero. Para evitar el fallo de nuestro elemento 2D, toda la tensión de tracción debe ser resistida por la armadura (indicada en azul en la Fig. 3c), que debe formar parte del modelo de cálculo.
Si este análisis de tensiones se realiza mediante el CSFM de forma continua en toda la región 2D que se desea resolver, el resultado es un campo de compresiones continuo en el hormigón, además de tensiones de tracción y compresión en la armadura. En la Figura 4 se muestra una representación gráfica simplificada del campo de tensiones del CSFM. Además de los ratios de utilización del hormigón y de la armadura, la figura indica también las distintas direcciones de las tensiones σc2 calculadas a lo largo de las regiones.
Fig. 4 Resultados globales de IDEA StatiCa Detail
El análisis de un detalle o de una estructura mediante el CSFM se basa en el Método de los Elementos Finitos. El hormigón se modela con elementos de muro 2D y la armadura con elementos lineales 1D (Fig. 7). El análisis no se realiza en un solo paso, ya que se trata de un problema no lineal. Las cargas se aplican de forma incremental durante el cálculo, y la solución del sistema no lineal de ecuaciones se obtiene mediante el método de Newton-Raphson.
Las fisuras distribuidas ficticias (ε1 es el valor medio) se "forman" perpendicularmente a la dirección de las tensiones principales, que puede cambiar durante el cálculo no lineal a medida que el elemento "se fisura progresivamente" en cada incremento de carga. En resumen, se considera una fisura rotatoria ficticia libre de tensiones.
El resultado de la solución por MEF mediante el CSFM es un campo de tensiones compatible (es decir, el hormigón no se divide en el modelo en bielas individuales que actúan de forma independiente) y el estado de deformación, que son continuos en todo el dominio 2D resuelto. Esta es una ventaja importante frente a los enfoques B&T clásicos y permite automatizar y refinar el modelo de cálculo, como se describe en los párrafos siguientes.
Fig. 5 Principio del ablandamiento del hormigón
La formulación sencilla del CSFM permite utilizar el diagrama tensión-deformación uniaxial parábola-rectángulo habitual para el hormigón a compresión, según la norma de cálculo. Como es sabido, la resistencia a compresión del hormigón disminuye cuando este se daña por fisuras transversales (Fig. 5). Este efecto, denominado ablandamiento a compresión , se incorpora al método teniendo en cuenta automáticamente la resistencia a compresión efectiva del hormigón.
En función del nivel de deformaciones transversales de tracción ε1, se determina el factor de reducción kc y se ajusta el diagrama tensión-deformación del hormigón (Fig. 5). Dado que se conoce el campo de deformaciones en toda la estructura, la resistencia a compresión efectiva del hormigón puede calcularse automáticamente en cada sección en función del nivel local de deformaciones transversales de tracción ε1.
Fig. 6 Principio de la rigidización a tracción
Además, el CSFM considera el efecto de rigidización que el hormigón traccionado entre fisuras ejerce sobre la armadura, la llamada rigidización a tracción. En el modelo de cálculo se utiliza la cuantía media de armadura εm. A continuación se modifica el diagrama tensión-deformación de la armadura (Fig. 6). Esto permite una representación realista de la rigidez de una estructura de hormigón armado dañada por fisuras. No obstante, sigue siendo cierto que la resistencia a tracción del hormigón no contribuye a la capacidad última. La tensión máxima en la armadura σsr en las fisuras es determinante para el dimensionamiento (Fig. 6).
El CSFM utiliza modelos de material uniaxiales habituales (diagramas tensión-deformación) definidos en las normas de cálculo. Para verificar el ELU se emplea el enfoque habitual, el método de los coeficientes parciales de seguridad. La sencillez del método lo hace adecuado para la práctica profesional y es coherente con las normas de cálculo.
Aunque se trata de un análisis no lineal por elementos finitos, el ingeniero estructural no tiene que introducir en el cálculo propiedades adicionales del material ni características del hormigón que quizá ni siquiera estén disponibles en la fase de proyecto y que sí son necesarias, por ejemplo, en los análisis no lineales por elementos finitos basados en la mecánica de la fractura. Como ya se ha indicado, una ventaja importante del análisis con el CSFM, además de los estados límite últimos, es la posibilidad de verificar los estados límite de servicio: flechas, limitaciones de tensiones y, en particular, el ancho de fisura.
Fig. 7 Ejemplo de representación del modelo de elementos finitos en IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) El modelo MEF del CSFM se compone de varios tipos de elementos finitos:
- Elemento 1D con rigidez axial para la armadura
- Elemento isoparamétrico 2D para el hormigón
- Muelles de extremo para el modelo de anclaje de la armadura con tratamiento de extremo
- Elemento 2D especial para modelizar la adherencia entre la armadura y el hormigón
- Restricciones rígidas e interpolantes (Multi-Point Constraints, MPC) entre los elementos de adherencia y el hormigón
Si la armadura dimensionada impide el fallo frágil del elemento, se ha demostrado que el CSFM ofrece muy buenas predicciones de la respuesta y de la capacidad última de la estructura, a pesar de la sencillez de la formulación. Dicho de otro modo, el método no es adecuado, por ejemplo, para el dimensionamiento de vigas sin armadura transversal de cortante, que presentan un comportamiento potencialmente frágil. Las verificaciones del método, incluidos los ensayos, se recogen en [1]. Una descripción más detallada del método queda fuera del alcance de este artículo y también puede consultarse en los Fundamentos teóricos.
Está claro que los principios del CSFM son generales y que, por tanto, su aplicación no se limita a las regiones D, sino que puede utilizarse para modelizar elementos completos, por ejemplo vigas prefabricadas, siempre que el elemento pueda simplificarse a un modelo plano 2D. El método y su implementación en el software (IDEA StatiCa Detail) también se han ampliado, con la posibilidad de definir armadura pretensada y postensada.
3. Ejemplo de dimensionamiento de un cabezal de pila
La aplicación práctica del CSFM se muestra en el dimensionamiento del cabezal de pila de puente de la Figura 8. Se trata de la segunda pila de un puente continuo de tres vanos de 30,0 m, 42,0 m y 30,0 m. La cabeza de la pila de hormigón armado se ha proyectado con hormigón C40/50 y su espesor (en la dirección longitudinal del puente) es de 2,0 m.
Fig. 8 Cabezal de pila: a) Resumen del dimensionamiento; b) Tensión de compresión en el hormigón en ELU; c) Tensión de tracción en la armadura en ELU; d) Ancho de fisura en ELS
En la parte superior del cabezal de pila se dimensionó inicialmente una viga transversal con armadura B500 de 20xϕ28+20xϕ25, en las cuatro capas superiores. La Figura 8a muestra un resumen del dimensionamiento en estado límite último, con las tensiones de compresión en el hormigón, las direcciones de las tensiones de compresión y las tensiones en la armadura. La distribución más detallada de tensiones en el hormigón y en la armadura se documenta en las Figuras 8b y 8c. La armadura transversal queda justo por debajo del límite elástico y las tensiones en el hormigón (y las deformaciones relativas) también son satisfactorias en ELU. Sin embargo, el resultado del cálculo del ancho de fisura (Fig. 8d) muestra que el dimensionamiento no cumple en ELS: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Para cumplir el ancho de fisura límite es necesario aumentar la armadura de la viga transversal a 20xϕ32+20xϕ28. En el caso de wlim = 0,2 mm (por ejemplo, una pila próxima a una carretera que genera aerosol salino, clase de exposición ambiental XF2), la armadura de la viga transversal tendría que aumentarse incluso a 24xϕ32+24xϕ28.
Conclusión
El CSFM se adapta a la práctica profesional porque utiliza modelos de material sencillos definidos en una norma de cálculo. Además de los estados límite últimos, permite también el dimensionamiento de los estados límite de servicio. Su verificación resultaba difícil de concebir hasta ahora con los modelos B&T. Gracias a la implementación del método en IDEA StatiCa Detail, es posible captar de forma realista la respuesta de la estructura y dimensionar y verificar con eficiencia y seguridad las regiones de discontinuidad y los conjuntos de mayor tamaño.
El CSFM se desarrolló principalmente gracias al trabajo del profesor Walter Kaufmann, director de la Cátedra de Ingeniería Estructural del Instituto Federal Suizo de Tecnología (ETH) de Zúrich. Él y su equipo también verificaron el método y su implementación en el software.
Bibliografía
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
