Nella pratica, i metodi Puntone-e-tirante (P&T) e dei Campi di Tensione sono comunemente utilizzati per progettare le regioni di discontinuità nelle strutture in calcestruzzo armato e precompresso. Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile (CSFM) è stato sviluppato estendendo queste teorie classiche. Consente un elevato grado di automazione ed è coerente con la normativa di progetto. Nonostante la sua semplicità, il metodo fornisce una descrizione molto realistica della risposta di una struttura in calcestruzzo sia allo stato limite ultimo (SLU) sia allo stato limite di esercizio (SLE). Il CSFM è implementato in IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Parete con aperture b) Parete di taglio c) Trave con estremità ribassate e aperture d) Pila da ponte e) Traverso da ponte
Le procedure standard per il progetto delle sezioni trasversali delle strutture in calcestruzzo sono applicabili nelle zone in cui vale l'ipotesi di Bernoulli-Navier di distribuzione piana delle deformazioni (regione B). Le zone in cui questa ipotesi non è valida sono dette regioni di discontinuità (regioni D). Ne fanno parte le porzioni di struttura in cui compaiono carichi concentrati o in cui si verifica un brusco cambio di sezione trasversale, come le estremità ribassate (Fig. 1c), le travi alte, le pareti con aperture (Figg. 1a, 1b), oppure le mensole corte e i plinti su pali. Nel campo dell'ingegneria dei ponti si tratta, ad esempio, di pulvini di pila (Fig. 1d), traversi (Fig. 1e), deviatori, ecc.
1. Metodo Puntone e Tirante
L'ipotesi di base nella definizione di un modello P&T è che la resistenza a trazione del calcestruzzo sia trascurata. Un semplice modello reticolare è costituito da elementi soggetti a compressione e a trazione, che rappresentano il comportamento allo SLU. In generale non si tratta di un problema complesso, e definire un modello P&T di base (Fig. 2a) non dovrebbe essere un problema per un ingegnere esperto. Tuttavia, anche per questo compito elementare, la corretta verifica del modello in conformità alla normativa di progetto può essere un processo laborioso, manuale e iterativo.
Fig. 2 a) Modello P&T, opzione 1 b) Modello P&T, opzione 2 c) Modello P&T, opzione
Devono essere verificati i tiranti, le zone nodali e la deformazione trasversale di trazione nei puntoni. Se il modello non supera la verifica, occorre modificare la geometria del P&T oppure scegliere un modello P&T diverso (Fig. 2b, 2c). Questo porta spesso l'ingegnere strutturale a scegliere la geometria del modello P&T una sola volta e a verificare soltanto le barre d'armatura. Ciò può comportare un errore sostanziale. La scelta del modello è sempre una questione di esperienza. Per dettagli strutturali più complessi, scegliere un modello P&T che rappresenti in modo adeguato il comportamento reale della struttura può non essere così semplice come nel caso precedente. Inoltre, il P&T è un metodo per il progetto dei soli stati limite ultimi. Non consente il progetto degli stati limite di esercizio (deformazione, fessurazione), che sono criteri fondamentali, soprattutto nelle strutture di particolare importanza, poiché influiscono direttamente sulla vita utile della struttura.
2. Metodo del Campo di Tensioni Compatibile - CSFM
Il CSFM è un moderno metodo non lineare per l'analisi delle regioni D e degli elementi il cui comportamento può essere semplificato allo stato piano di tensione, ossia a un modello 2D. Si basa comunque su un'ipotesi fondamentale e sicura delle normative: il calcestruzzo non resiste a trazione e tutta la trazione deve essere trasferita dall'armatura. Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile (CSFM) è un'evoluzione dei metodi P&T e dei campi di tensione e ne elimina i principali svantaggi sopra citati: le incertezze nella scelta del modello, la difficoltà di automazione e l'impossibilità di verificare gli stati limite di esercizio.
Fig. 3 a) Stato piano di deformazione b) Tensione principale c) CSFM
Il principio del CSFM può essere spiegato considerando lo stato piano di tensione dell'elemento piano di base di una struttura in calcestruzzo armato. La Fig. 3a mostra l'elemento 2D di base in stato piano di tensione, come lo conosciamo da tutti i testi di elasticità e scienza delle costruzioni. Questa è la tensione in un punto della struttura, ottenuta, ad esempio, mediante un'analisi lineare elastica con il Metodo degli Elementi Finiti (FEM). L'elemento è soggetto a una tensione normale orizzontale σx, a una tensione normale verticale σz e a una tensione tangenziale τxz. Da queste tensioni è possibile determinare le cosiddette tensioni principali e la loro direzione, definita dall'angolo θ (Fig. 3b). L'elemento è quindi soggetto alla tensione principale di trazione σ1 e alla tensione principale di compressione σ2.
Come si presenta la deformazione dello stesso elemento analizzato con il CSFM? La deformazione è mostrata nella Figura 3c. Il calcestruzzo compresso compare nella direzione della tensione principale di compressione σ2. Si genera così un campo di tensioni con tensione σc2. Come detto sopra, l'ipotesi di base è che il calcestruzzo non resista a trazione. Pertanto, la tensione principale di trazione trasversale σ1 non sarà trasferita dal calcestruzzo e si formerà una fessura perpendicolare a tale direzione. La tensione σc1r deve quindi essere nulla. Per evitare la rottura del nostro elemento 2D, tutta la tensione di trazione deve essere trasferita dall'armatura (indicata in blu nella Fig. 3c), che deve far parte del modello di calcolo.
Se questa analisi tensionale viene eseguita con il CSFM in modo continuo su tutta la regione 2D da risolvere, il risultato è un campo di compressione continuo nel calcestruzzo, più le tensioni di trazione e di compressione nell'armatura. Una rappresentazione grafica semplificata del campo di tensioni del CSFM è mostrata nella Figura 4. Oltre ai tassi di sfruttamento del calcestruzzo e dell'armatura, la figura indica anche le direzioni variabili delle tensioni σc2 calcolate lungo le regioni.
Fig. 4 Risultati complessivi da IDEA StatiCa Detail
L'analisi di un dettaglio o di una struttura mediante il CSFM si basa sul Metodo degli Elementi Finiti. Il calcestruzzo è modellato con elementi 2D di tipo parete e l'armatura con elementi 1D (Fig. 7). L'analisi non viene eseguita in un unico passaggio, poiché si tratta di un problema non lineare. I carichi vengono applicati per incrementi durante il calcolo e la soluzione del sistema di equazioni non lineari viene trovata con il metodo di Newton-Raphson.
Le fessure diffuse fittizie (ε1 è il valore medio) si "formano" perpendicolarmente alla direzione delle tensioni principali, che può cambiare durante il calcolo non lineare man mano che l'elemento "si fessura progressivamente" a ogni incremento di carico. In sintesi, si considera una fessura rotante fittizia priva di tensioni.
Il risultato della soluzione FEM con il CSFM è un campo di tensioni compatibile (ossia, nel modello il calcestruzzo non si scompone in singoli puntoni che agiscono indipendentemente) e uno stato di deformazione, entrambi continui in tutto il dominio 2D analizzato. Questo rappresenta un importante vantaggio rispetto agli approcci P&T classici e consente di automatizzare e raffinare il modello di calcolo, come descritto nei paragrafi seguenti.
Fig. 5 Principio dell'ammorbidimento del calcestruzzo
La semplice formulazione del CSFM consente di utilizzare il diagramma tensione-deformazione parabola-rettangolo uniassiale standard per il calcestruzzo compresso, secondo la normativa di progetto. Come è noto, la resistenza a compressione del calcestruzzo diminuisce quando il calcestruzzo è danneggiato da fessure trasversali (Fig. 5). Questo cosiddetto effetto di ammorbidimento a compressione è incluso nel metodo tenendo automaticamente conto della resistenza a compressione efficace del calcestruzzo.
In base al livello delle deformazioni trasversali di trazione ε1, viene determinato il fattore di riduzione kc e il diagramma tensione-deformazione del calcestruzzo viene modificato (Fig. 5). Poiché il campo delle deformazioni in tutta la struttura è noto, la resistenza a compressione efficace del calcestruzzo può essere calcolata automaticamente nelle singole sezioni in funzione del livello locale delle deformazioni trasversali di trazione ε1.
Fig. 6 Principio dell'irrigidimento a trazione
Inoltre, il CSFM tiene conto dell'effetto di irrigidimento esercitato sull'armatura dal calcestruzzo teso tra le fessure, il cosiddetto irrigidimento a trazione. Nel modello di calcolo si utilizza la percentuale media di armatura εm. Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura viene quindi modificato (Fig. 6). Ciò consente una rappresentazione realistica della rigidezza di una struttura in calcestruzzo armato danneggiata da fessure. Resta tuttavia valido che la resistenza a trazione del calcestruzzo non contribuisce alla capacità ultima. La tensione massima nell'armatura σsr in corrispondenza delle fessure è determinante per il progetto (Fig. 6).
Il CSFM utilizza i comuni modelli di materiale uniassiali (diagrammi tensione-deformazione) definiti nelle normative di progetto. Per la verifica allo SLU si adotta quindi l'approccio standard, il metodo dei coefficienti parziali di sicurezza. La semplicità del metodo lo rende adatto alla pratica professionale ed è coerente con le normative di progetto.
Pur trattandosi di un'analisi FEA non lineare, l'ingegnere strutturale non deve inserire nel calcolo ulteriori proprietà dei materiali e caratteristiche del calcestruzzo che potrebbero non essere disponibili nella fase di progetto e che sono invece necessarie, ad esempio, nelle analisi FEA non lineari basate sulla meccanica della frattura. Come già indicato, un importante vantaggio dell'analisi CSFM, oltre agli stati limite ultimi, è la possibilità di verificare gli stati limite di esercizio: frecce, limitazioni delle tensioni e, in particolare, ampiezza delle fessure.
Fig. 7 Esempio di rappresentazione del modello a elementi finiti in IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) Il modello FEM nel CSFM è composto da diversi tipi di elementi finiti:
- elemento 1D con rigidezza assiale per l'armatura
- elemento isoparametrico 2D per il calcestruzzo
- molle di estremità per il modello di ancoraggio dell'armatura con trattamento di estremità
- elemento 2D speciale per modellare l'aderenza tra armatura e calcestruzzo
- vincoli rigidi e interpolanti (Multi-Point Constraints, MPC) tra gli elementi di aderenza e il calcestruzzo
Se l'armatura progettata impedisce la rottura fragile dell'elemento, il CSFM ha dimostrato di fornire ottime previsioni della risposta e della capacità ultima della struttura, nonostante la semplicità della formulazione. In altre parole, il metodo non è adatto, ad esempio, al progetto di travi prive di armatura trasversale a taglio, che presentano un comportamento potenzialmente fragile. Le verifiche del metodo, comprese quelle sperimentali, sono riportate in [1]. Una descrizione più dettagliata del metodo esula dagli scopi del presente articolo e si trova anche nel Background teorico.
È evidente che i principi del CSFM sono generali e che quindi la sua applicazione non si limita alle regioni D, ma può essere utilizzata per modellare interi elementi, ad esempio travi prefabbricate, e in tutti i casi in cui l'elemento possa essere semplificato a un modello piano 2D. Il metodo e la sua implementazione nel software (IDEA StatiCa Detail) sono stati inoltre estesi con la possibilità di definire armatura precompressa e post-tesa.
3. Esempio di progetto di un pulvino di pila
L'applicazione pratica del CSFM è illustrata nel progetto del pulvino di pila da ponte in Figura 8. Si tratta della seconda pila di un ponte continuo a tre campate di 30,0 m, 42,0 m e 30,0 m. La testa della pila in calcestruzzo armato è progettata in calcestruzzo C40/50 e il suo spessore (nella direzione longitudinale del ponte) è di 2,0 m.
Fig. 8 Pulvino di pila: a) Riepilogo del progetto; b) Tensione di compressione nel calcestruzzo allo SLU; c) Tensione di trazione nell'armatura allo SLU; d) Ampiezza delle fessure allo SLE
Nella parte superiore del pulvino è stato dapprima progettato un traverso con armatura B500 20xϕ28+20xϕ25, disposta nei quattro strati superiori. La Figura 8a mostra un riepilogo del progetto allo stato limite ultimo, con le tensioni di compressione nel calcestruzzo, le direzioni delle tensioni di compressione e le tensioni nell'armatura. La distribuzione più dettagliata delle tensioni nel calcestruzzo e nell'armatura è poi riportata nelle Figure 8b e 8c. L'armatura trasversale è appena al di sotto della tensione di snervamento e anche le tensioni nel calcestruzzo (e le relative deformazioni) sono soddisfacenti allo SLU. Tuttavia, il risultato del calcolo dell'ampiezza delle fessure (Fig. 8d) mostra che il progetto non è verificato allo SLE: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Per rispettare l'ampiezza limite delle fessure è necessario aumentare l'armatura del traverso a 20xϕ32+20xϕ28. Nel caso di wlim = 0,2 mm (ad esempio una pila in prossimità di una strada soggetta a nebbia salina, livello di influenza ambientale XF2), l'armatura del traverso dovrebbe essere aumentata addirittura a 24xϕ32+24xϕ28.
Conclusione
Il CSFM è adatto alla pratica professionale perché utilizza semplici modelli di materiale definiti nelle normative di progetto. Oltre agli stati limite ultimi, consente anche il progetto degli stati limite di esercizio, la cui verifica era in precedenza difficilmente ipotizzabile con i modelli P&T. Grazie all'implementazione del metodo in IDEA StatiCa Detail, è possibile cogliere in modo realistico la risposta della struttura e progettare e verificare in modo efficiente e sicuro le regioni di discontinuità e gli insiemi strutturali di maggiori dimensioni.
Il CSFM è stato sviluppato principalmente grazie al lavoro del Professor Walter Kaufmann, responsabile della cattedra di Structural Engineering presso il Politecnico federale di Zurigo (ETH). Insieme al suo gruppo di ricerca ha inoltre verificato il metodo e la sua implementazione nel software.
Bibliografia
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autore
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
