실무에서는 철근 콘크리트 및 프리스트레스트 콘크리트 구조의 불연속 영역을 설계할 때 스트럿-타이 모델(S&T)과 응력장 방법을 표준적으로 사용합니다. 적합 응력장 방법(CSFM)은 이러한 고전 이론을 확장하여 개발되었으며, 높은 수준의 자동화가 가능하고 설계 기준에 부합합니다. 이 방법은 단순함에도 불구하고 극한 한계 상태(ULS)와 사용 한계 상태(SLS) 모두에서 콘크리트 구조의 거동을 매우 현실적으로 묘사합니다. CSFM(적합 응력장 방법)은 IDEA StatiCa 상세 모듈에 구현되어 있습니다.
그림 1 a) 개구부가 있는 벽체 b) 전단벽 c) 단부 절단과 개구부가 있는 보 d) 교각 e) 교량 격벽
콘크리트 구조의 단면을 설계하는 표준 절차는 평면 변형률 분포에 대한 베르누이-나비에 가설이 적용되는 부분(B영역)에서 사용할 수 있습니다. 이 가설이 적용되지 않는 부분을 불연속 영역(D영역(불연속 영역))이라고 합니다. 여기에는 집중 하중이 작용하거나 단면이 급격하게 변하는 구조 부분이 포함되며, 예를 들어 단부 절단(그림 1c), 딥 빔, 개구부가 있는 벽체(그림 1a, 1b), 코벨, 파일 캡 등이 있습니다. 교량 분야에서는 교각 캡(그림 1d), 격벽(그림 1e), 편향부 등이 이에 해당합니다.
1. 스트럿-타이 모델
S&T 모델을 정의할 때의 기본 가정은 콘크리트의 인장 강도를 무시한다는 것입니다. 단순 트러스 모델은 압축과 인장을 받는 요소로 구성되며 ULS 거동을 나타냅니다. 일반적으로 이는 복잡한 문제가 아니며, 숙련된 엔지니어라면 기본 S&T 모델(그림 2a)을 정의하는 데 어려움이 없어야 합니다. 그러나 이 기본적인 작업에서도 설계 기준에 따라 모델을 올바르게 평가하는 일은 번거롭고 수작업이 필요한 반복 과정이 될 수 있습니다.
그림 2 a) S&T 모델 옵션 1 b) S&T 모델 옵션 2 c) S&T 모델 옵션
타이, 노드 영역, 그리고 스트럿의 횡방향 인장 변형률을 검토해야 합니다. 모델이 검토를 통과하지 못하면 S&T 형상을 조정하거나 다른 S&T 모델을 선택해야 합니다(그림 2b, 2c). 이로 인해 구조 엔지니어가 S&T 모델 형상을 한 번만 선택하고 철근만 검토하는 경우가 많으며, 이는 상당한 오류로 이어질 수 있습니다. 모델의 선택은 언제나 경험에 좌우됩니다. 더 복잡한 구조 상세의 경우, 구조의 실제 거동과 충분히 일치하는 S&T를 선택하는 일은 위의 경우처럼 쉽지 않을 수 있습니다. 또한 S&T는 극한 한계 상태 설계에만 사용하는 방법입니다. 사용 한계 상태(변형, 균열)는 구조물의 사용 수명에 직접 영향을 미치기 때문에, 특히 중요도가 높은 구조물에서 핵심적인 기준이지만 S&T로는 설계할 수 없습니다.
2. 적합 응력장 방법 - CSFM
CSFM(적합 응력장 방법)은 D영역(불연속 영역)과 거동을 평면 응력, 즉 2D 모델로 단순화할 수 있는 요소를 해석하기 위한 현대적인 비선형 방법입니다. 그러나 이 방법은 여전히 설계 기준의 기본적이고 안전한 가정에 근거합니다. 콘크리트는 인장에 저항하지 않으며, 모든 인장은 철근이 부담해야 합니다. 적합 응력장 방법(CSFM)은 S&T 및 응력장 방법을 발전시킨 방법으로, 위에서 언급한 이들의 주요 단점인 모델 선택의 불확실성, 자동화의 어려움, 사용 한계 상태를 검토할 수 없다는 점을 해소합니다.
그림 3 a) 평면 변형률 b) 주 응력 c) CSFM(적합 응력장 방법)
CSFM(적합 응력장 방법)의 원리는 철근 콘크리트 구조의 기본 평면 요소의 평면 응력을 통해 설명할 수 있습니다. 그림 3a는 탄성 및 강도 관련 모든 교재에서 볼 수 있는 평면 응력 상태의 기본 2D 요소를 보여줍니다. 이는 구조의 한 점에서의 응력이며, 예를 들어 유한요소법(FEM)을 이용한 선형 탄성 해석으로 얻을 수 있습니다. 이 요소에는 수평 수직응력 σx, 수직 방향 수직응력 σz, 전단 응력 τxz가 작용합니다. 이 응력들로부터 이른바 주 응력과 각도 θ로 정의되는 그 방향을 구할 수 있습니다(그림 3b). 그러면 요소에는 주 인장 응력 σ1과 주 압축 응력 σ2가 작용하게 됩니다.
동일한 요소를 CSFM(적합 응력장 방법)으로 해석하면 변형률은 어떻게 나타날까요? 변형률은 그림 3c에 나와 있습니다. 압축 콘크리트는 주 압축 응력 σ2 방향으로 나타나며, 응력 σc2를 갖는 응력장이 생성됩니다. 앞서 언급했듯이 기본 가정은 콘크리트가 인장에 저항하지 않는다는 것입니다. 따라서 횡방향 주 인장 응력 σ1은 콘크리트가 전달하지 않으며, 그 방향에 수직으로 균열이 발생합니다. 그러므로 응력 σc1r은 0이어야 합니다. 2D 요소의 파괴를 방지하려면 모든 인장 응력을 철근(그림 3c에서 파란색으로 표시)이 부담해야 하며, 철근은 해석 모델에 포함되어야 합니다.
이러한 응력 해석을 해석 대상인 2D 영역 전체에 걸쳐 연속적으로 CSFM(적합 응력장 방법)으로 수행하면, 콘크리트의 연속적인 압축장과 철근의 인장 및 압축 응력이 결과로 얻어집니다. CSFM(적합 응력장 방법) 응력장을 단순화한 그래픽 표현은 그림 4에 나와 있습니다. 이 그림에는 콘크리트와 철근의 이용률뿐 아니라, 각 영역에 따라 달라지는 계산된 응력 σc2의 방향도 함께 표시되어 있습니다.
그림 4 IDEA StatiCa 상세 모듈의 전체 결과
상세 또는 구조를 해석할 때 CSFM(적합 응력장 방법)은 유한요소법에 기반합니다. 콘크리트는 2D 벽 요소로, 철근은 1D 부재 요소로 모델링합니다(그림 7). 이는 비선형 문제이므로 해석을 한 단계로 수행하지 않습니다. 계산 중 하중을 증분으로 가하며, 비선형 연립방정식의 해는 뉴턴-랩슨 방법으로 구합니다.
가상의 분산 균열(ε1은 평균값)은 주 응력 방향에 수직으로 "형성"되며, 이 방향은 요소가 각 하중 증분에 따라 "점진적으로 균열"되면서 비선형 계산 중에 변할 수 있습니다. 요약하면, 응력이 없는 가상의 회전 균열을 가정합니다.
CSFM(적합 응력장 방법)을 이용한 FEM 해석의 결과는 적합 응력장(즉, 모델에서 콘크리트가 독립적으로 작용하는 개별 스트럿으로 분리되지 않음)과 변형률 상태이며, 이들은 해석 대상인 2D 영역 전체에 걸쳐 연속적입니다. 이는 기존 S&T 방식에 비해 큰 장점이며, 이어지는 단락에서 설명하듯이 해석 모델의 자동화와 정교화를 가능하게 합니다.
그림 5 콘크리트 연화의 원리
CSFM(적합 응력장 방법)은 공식이 단순하여, 설계 기준에 따른 압축을 받는 콘크리트의 표준 단축 포물선-직사각형 응력-변형률 선도를 사용할 수 있습니다. 잘 알려져 있듯이, 콘크리트가 횡방향 균열로 손상되면 압축 강도가 감소합니다(그림 5). 이른바 압축 연화 효과는 콘크리트의 유효 압축 강도를 자동으로 반영하여 이 방법에 포함됩니다.
횡방향 인장 변형률 ε1의 수준에 따라 감소 계수 kc가 결정되고 콘크리트의 응력-변형률 선도가 조정됩니다(그림 5). 구조 전체의 변형률장을 알고 있으므로, 콘크리트의 유효 압축 강도는 횡방향 인장 변형률 ε1의 국부적인 수준에 따라 개별 단면에서 자동으로 계산할 수 있습니다.
그림 6 인장 강성 효과의 원리
또한 CSFM(적합 응력장 방법)은 균열 사이의 인장 콘크리트가 철근에 미치는 강성 증대 효과, 즉 인장 강성 효과를 고려합니다. 해석 모델에서는 평균 철근비 εm을 사용하며, 이에 따라 철근의 응력-변형률 선도가 수정됩니다(그림 6). 이를 통해 균열로 손상된 철근 콘크리트 구조의 강성을 현실적으로 표현할 수 있습니다. 다만 콘크리트의 인장 강도는 여전히 극한 내력에 기여하지 않습니다. 설계에서는 균열 위치의 철근 최대 응력 σsr이 결정적입니다(그림 6).
CSFM(적합 응력장 방법)은 설계 기준에 정의된 일반적인 단축 재료 모델(응력-변형률 선도)을 사용합니다. ULS 검토에는 표준 방식인 부분 안전계수법을 적용합니다. 이 방법은 단순하여 실무에 적합하며 설계 기준에 부합합니다.
비선형 FEA 해석임에도 불구하고, 구조 엔지니어는 설계 단계에서는 확보하기 어려울 수 있는 추가 재료 특성과 콘크리트 특성을 계산에 입력할 필요가 없습니다. 이러한 입력값은 예를 들어 파괴역학에 기반한 FEA 비선형 해석에서 필요합니다. 앞서 언급했듯이 CSFM(적합 응력장 방법) 해석의 큰 장점은 극한 한계 상태뿐 아니라 사용 한계 상태인 처짐, 응력 제한, 특히 균열 폭을 검토할 수 있다는 점입니다.
그림 7 IDEA StatiCa 상세 모듈의 유한요소 모델 표현 예시
(그림 7) CSFM(적합 응력장 방법)의 FEM 모델은 여러 종류의 유한요소로 구성됩니다.
- 철근을 위한 축강성을 가진 1D 요소
- 콘크리트를 위한 2D 등매개 요소
- 단부 처리를 포함한 철근 정착 모델을 위한 단부 스프링
- 철근과 콘크리트 사이의 부착을 모델링하는 특수 2D 요소
- 부착 요소와 콘크리트 사이의 강체 및 보간 구속(다점 구속, MPC)
설계된 철근이 요소의 취성 파괴를 방지하는 경우, 이 공식이 단순함에도 CSFM(적합 응력장 방법)은 구조의 거동과 극한 내력을 매우 정확하게 예측하는 것으로 입증되었습니다. 다시 말해, 이 방법은 예를 들어 잠재적으로 취성 거동을 보이는 횡방향 전단 철근이 없는 보의 설계에는 적합하지 않습니다. 실험을 포함한 이 방법의 검증은 [1]에 수록되어 있습니다. 이 방법에 대한 더 자세한 설명은 이 글의 범위를 벗어나며, 이론적 배경에서도 확인할 수 있습니다.
CSFM(적합 응력장 방법)의 원리는 일반적이므로 적용 대상이 D영역(불연속 영역)에 한정되지 않음이 분명합니다. 예를 들어 프리캐스트 거더와 같은 전체 부재를 모델링하는 데에도 사용할 수 있으며, 요소를 평면 2D 모델로 단순화할 수 있는 경우에 적용할 수 있습니다. 이 방법과 소프트웨어(IDEA StatiCa 상세 모듈)의 구현은 프리스트레스트 철근 및 후장 긴장 철근을 지정할 수 있도록 확장되었습니다.
3. 교각 캡 설계 예시
CSFM(적합 응력장 방법)의 실제 적용 사례는 그림 8의 교각 캡 설계에서 볼 수 있습니다. 이 교각은 경간이 30.0 m, 42.0 m, 30.0 m인 3경간 연속교의 두 번째 교각입니다. 철근 콘크리트 교각 상부는 C40/50 콘크리트로 설계되었으며, 두께(교량 길이 방향)는 2.0 m입니다.
그림 8 교각 캡: a) 설계 요약 b) ULS에서 콘크리트의 압축 응력 c) ULS에서 철근의 인장 응력 d) SLS에서 균열 폭
교각 캡 상부에는 먼저 B500 철근 20xϕ28+20xϕ25로 이루어진 횡방향 보(상부 4개 층)를 설계했습니다. 그림 8a는 극한 한계 상태의 설계 요약으로, 콘크리트의 압축 응력, 압축 응력의 방향, 철근의 응력을 보여줍니다. 콘크리트와 철근의 상세한 응력 분포는 그림 8b와 8c에 나타나 있습니다. 횡방향 철근은 항복 강도 바로 아래에 있으며, 콘크리트의 응력(및 상대 변형률)도 ULS에서 만족스럽습니다. 그러나 균열 폭 계산 결과(그림 8d)는 이 설계가 SLS를 만족하지 않음을 보여줍니다. wmax = 0.36 mm > wlim = 0.3 mm입니다. 제한 균열 폭을 만족하려면 횡방향 부재의 철근을 증가시켜야 하며, 20xϕ32+20xϕ28이 필요합니다. wlim = 0.2 mm인 경우(예: 염수 분무가 발생하는 도로 인근 교각, 환경 영향 등급 XF2), 횡방향 부재의 철근은 24xϕ32+24xϕ28까지 증가시켜야 합니다.
결론
CSFM(적합 응력장 방법)은 설계 기준에 정의된 단순한 재료 모델을 사용하므로 실무에 적합합니다. 극한 한계 상태뿐 아니라 사용 한계 상태의 설계도 가능합니다. 사용 한계 상태의 검토는 S&T 모델을 사용할 때는 이전에 상상하기 어려웠습니다. 이 방법을 IDEA StatiCa 상세 모듈에 구현함으로써 구조의 거동을 현실적으로 파악할 수 있으며, 불연속 영역과 대규모 조립체를 효율적이고 안전하게 설계하고 검토할 수 있습니다.
CSFM(적합 응력장 방법)은 주로 취리히 연방공과대학교(ETH Zurich) 구조공학 연구실 책임자인 Walter Kaufmann 교수의 연구를 통해 개발되었습니다. 그와 연구팀은 이 방법과 소프트웨어 구현을 검증하기도 했습니다.
참고 문헌
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
저자
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
