采用标准的完整牛顿-拉夫森(Newton-Raphson,NR)算法求解非线性有限元问题。
一般情况下,若将全部荷载一次施加,NR 算法往往难以收敛。常用的做法(此处亦采用)是分多个增量依次施加荷载,并以上一个荷载增量的结果作为下一个增量牛顿求解的起点。为此,在牛顿-拉夫森算法的基础上实现了荷载控制算法。如果 NR 迭代不收敛,则将当前荷载增量减半,并重新进行 NR 迭代。
荷载控制算法的第二个目的,是找出对应于特定“终止准则”的临界荷载,这些准则包括混凝土的最大应变、粘结单元的最大滑移、锚固单元的最大位移以及钢筋的最大应变。临界荷载采用二分法求得。如果模型中任何位置超出终止准则,则舍弃最后一个荷载增量的结果,并计算大小为前一增量一半的新增量。重复此过程,直至在一定的误差容限内求得临界荷载。
对于混凝土,在壳单元的积分点处,终止准则设定为压力下 5% 的应变(即比混凝土的实际破坏应变大约高出一个数量级),拉力下为 7%。在拉力下,该值的设定是为了让钢筋先达到其极限应变(不考虑拉力刚化时通常约为 5%)。在压力下,该值是从若干备选值中选定的:它足够大,能使压碎的影响在结果中显现出来,同时又足够小,不会引起过多的数值稳定性问题。
Fig. 17Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:
(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.
对于钢筋,终止准则以应力来定义。由于对裂缝处的应力进行了建模,拉力下的准则对应于考虑安全系数后的钢筋抗拉强度。压力下的准则采用相同的值。
粘结单元和锚固弹簧的终止准则为 α·δumax,其中 δumax 为规范校核中采用的最大滑移,α = 10。