Návrh a posouzení betonových prvků se obvykle provádí na úrovni průřezu (1D prvek) nebo bodu (2D prvek). Tento postup je popsán ve všech normách pro navrhování konstrukcí, např. v (EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19) a používá se v každodenní praxi stavebního inženýrství. Není však vždy známo ani respektováno, že tento postup je přijatelný pouze v oblastech, kde platí Bernoulliho-Navierova hypotéza o rovinném rozdělení přetvoření (tzv. B-oblasti). Místa, kde tato hypotéza neplatí, se nazývají oblasti diskontinuity nebo narušené oblasti (D-oblasti). Příklady B-oblastí a D-oblastí u 1D prvků jsou uvedeny na (obr. 1). Jedná se např. o oblasti uložení, místa působení soustředěných zatížení, místa náhlé změny průřezu, otvory apod. Při navrhování betonových konstrukcí se setkáváme s mnoha dalšími D-oblastmi, jako jsou stěny, mostní příčníky, krátké konzoly apod. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

V minulosti se pro dimenzování oblastí diskontinuity používala poloempirická návrhová pravidla. Naštěstí byla tato pravidla v posledních desetiletích z velké části nahrazena modely vzpěra-táhlo (Schlaich et al., 1987) a poli napětí (Marti 1985), která jsou zahrnuta v současných návrhových normách a projektanti je dnes často používají. Tyto modely jsou mechanicky konzistentní a představují výkonné nástroje. Je třeba poznamenat, že pole napětí mohou být obecně spojitá nebo nespojitá a že modely vzpěra-táhlo jsou zvláštním případem nespojitých polí napětí.

Navzdory vývoji výpočetních nástrojů v posledních desetiletích se modely vzpěra-táhlo stále používají v podstatě jako ruční výpočty. Jejich aplikace na reálné konstrukce je zdlouhavá a časově náročná, protože jsou nutné iterace a je třeba uvažovat několik zatěžovacích stavů. Kromě toho tato metoda není vhodná pro ověřování kritérií použitelnosti (deformace, šířky trhlin apod.).

Zájem stavebních inženýrů o spolehlivý a rychlý nástroj pro návrh D-oblastí vedl k rozhodnutí vyvinout novou Compatible Stress Field Method, metodu pro počítačově podporovaný návrh pomocí polí napětí, která umožňuje automatický návrh a posouzení betonových prvků namáhaných rovinným zatížením.

Compatible Stress Field Method (CSFM) je spojitá metoda analýzy polí napětí založená na metodě konečných prvků, v níž jsou klasická řešení polí napětí doplněna o kinematické úvahy, tj. stav přetvoření je vyhodnocován v celé konstrukci. Efektivní pevnost betonu v tlaku tak lze automaticky vypočítat na základě stavu příčného přetvoření obdobným způsobem jako při analýzách tlakových polí zohledňujících tlakové změkčení  (Vecchio a Collins 1986; Kaufmann a Marti 1998) a v metodě EPSF (Fernández Ruiz a Muttoni 2007). Metoda CSFM navíc uvažuje tahové zpevnění, které poskytuje prvkům realistické tuhosti, a pokrývá všechna ustanovení návrhových norem (včetně aspektů použitelnosti a deformační kapacity), která předchozí přístupy neřešily konzistentně. Metoda CSFM používá běžné jednoosé konstitutivní zákony poskytované návrhovými normami pro beton a vyztužení. Ty jsou známy již ve fázi návrhu, což umožňuje použít metodu dílčích součinitelů. Projektanti tak nemusí zadávat dodatečné, často libovolné materiálové vlastnosti, které jsou typicky vyžadovány u nelineárních analýz metodou konečných prvků, díky čemuž je metoda dokonale vhodná pro inženýrskou praxi.

Aby se podpořilo používání počítačově podporovaných polí napětí mezi stavebními inženýry, měly by být tyto metody implementovány v uživatelsky přívětivých softwarových prostředích. Za tímto účelem byla metoda CSFM implementována v IDEA StatiCa Detail; novém uživatelsky přívětivém komerčním softwaru vyvinutém společně ETH Zurich a softwarovou společností IDEA StatiCa v rámci projektu DR-Design Eurostars-10571.

CSFM uvažuje maximální hlavní napětí v betonu v tlaku (σ_c2r) a napětí ve vyztužení (σ_sr) v trhlinách, přičemž zanedbává tahovou pevnost betonu (σ_c1r = 0), s výjimkou jejího ztužujícího vlivu na vyztužení. Zohlednění tahového zpevnění umožňuje simulovat průměrná přetvoření vyztužení (ε_m). Uvažují se fiktivní rotující trhliny bez napětí, které se otevírají bez prokluzu (obr. 2a), a zohledňuje se rovnováha v trhlinách společně s průměrným přetvořením vyztužení. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

I přes svou jednoduchost se podobné předpoklady ukázaly jako přesné pro předpověď chování vyztužených prvků zatížených v rovině (Kaufmann 1998; Kaufmann a Marti 1998), pokud navržené vyztužení zabraňuje křehkému porušení při vzniku trhlin. Zanedbání jakéhokoli příspěvku tahové pevnosti betonu k mezní únosnosti je navíc v souladu se zásadami moderních návrhových norem, které jsou většinou založeny na teorii plasticity.

CSFM však není vhodná pro štíhlé prvky bez příčného vyztužení, protože se u takových prvků zanedbávají významné mechanismy, jako je zaklínění kameniva, zbytková tahová napětí ve vrcholu trhliny a účinek hmoždinky – všechny přímo či nepřímo závisející na tahové pevnosti betonu. Ačkoli některé návrhové normy umožňují navrhovat takové prvky na základě poloempirických ustanovení, CSFM není určena pro tento typ potenciálně křehkých konstrukcí.

Beton

Model betonu implementovaný v CSFM vychází z jednoosých konstitučních zákonů pro tlak předepsaných návrhovými normami pro návrh průřezů, které závisejí pouze na pevnosti v tlaku. V CSFM se ve výchozím nastavení používá diagram parabola-obdélník (obr. 2c), projektanti však mohou zvolit také zjednodušený pružně-ideálně plastický vztah. Při posouzení podle normy ACI lze použít pouze pracovní diagram betonu parabola-obdélník. Jak bylo uvedeno výše, tahová pevnost se zanedbává, stejně jako v klasickém návrhu železobetonu.

Účinná tlaková pevnost se automaticky stanoví pro popraskaný beton na základě hlavního tahového přetvoření (ε₁) pomocí redukčního součinitele k_c2, jak ukazují obr. 2c a e. Implementovaný redukční vztah (obr. 2e) je zobecněním návrhu z fib Model Code 2010 pro posouzení na smyk, který obsahuje limitní hodnotu 0,65 pro maximální poměr účinné pevnosti betonu k pevnosti betonu v tlaku; ta není použitelná pro jiné případy zatížení.

CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení betonu v tlaku z hlediska přetvoření (tzn. uvažuje nekonečně plastickou větev po dosažení špičkového napětí). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí, které selhávají v tlaku. Jejich mezní únosnost je však správně předpovězena, pokud se kromě součinitele popraskaného betonu (k_c2) definovaného na (obr. 2e) zohlední i nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 takto:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

k_c je celkový redukční součinitel pevnosti v tlaku

k_c2 je redukční součinitel zohledňující přítomnost příčných trhlin

f_c je charakteristická válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

Z důvodu stability výpočtu dochází také ke snížení součinitele k_c2. Tato redukce neovlivňuje celkovou únosnost prvků. Při označení hodnoty f_cd jako návrhové pevnosti betonu (návrhová hodnota) se hodnota k_c2 snižuje podle následujících pravidel.

σ_c2r < 0,11f_cd                                           k_c2=1,0
0,11f_cd < σ_c2r < 0,37f_cd                          k_c2 je lineární interpolace mezi 1,0 a hodnotou odečtenou z
                                                              grafu na obr. 2f
σ_c2r > 0,37f_cd                                            k_c2 se odečítá přímo z grafu na obr. 2f

Vyztužení

Uvažuje se idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření pro holé výztužné pruty, který běžně definují návrhové normy (obr. 2d). Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze znalost základních vlastností vyztužení ve fázi návrhu (pevnost a třída tažnosti). Lze definovat také uživatelský vztah napětí-přetvoření.

Tahové zpevnění se zohledňuje úpravou vstupního vztahu napětí-přetvoření holého výztužného prutu tak, aby zachytil průměrnou tuhost prutů uložených v betonu (ε_m).

Model soudržnosti

Prokluz soudržnosti mezi vyztužením a betonem je zaveden do modelu metody konečných prvků uvažováním zjednodušeného tuhého ideálně plastického konstitučního vztahu uvedeného na obr. 2f, kde f_bd je návrhová hodnota (součinitelem upravená hodnota) mezního napětí v soudržnosti stanovená návrhovou normou pro konkrétní podmínky soudržnosti.

Jde o zjednodušený model, jehož jediným účelem je ověření ustanovení o soudržnosti podle návrhových norem (tj. kotvení vyztužení). Zkrácení kotevní délky při použití háků, smyček a podobných tvarů prutů lze zohlednit definováním určité únosnosti na konci vyztužení, jak bude popsáno dále. 

Postup a cíle

Cílem nástrojů pro návrh vyztužení v CSFM je pomoci projektantům efektivně určit polohu a potřebné množství výztužných prutů. K tomu jsou uživateli k dispozici tyto nástroje: lineární výpočet a topologická optimalizace.

Nástroje pro návrh vyztužení používají zjednodušenější konstitutivní modely než modely použité pro závěrečné posouzení konstrukce. Definici vyztužení v tomto kroku je proto třeba považovat za předběžný návrh, který bude potvrzen či upřesněn v kroku závěrečného posouzení. Použití jednotlivých nástrojů pro návrh vyztužení je ukázáno na modelu na obr. 3. Model představuje jeden konec prostého nosníku s proměnnou výškou, zatíženého rovnoměrným spojitým zatížením.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

Lineární analýza

Lineární analýza uvažuje lineárně elastické vlastnosti materiálu a zanedbává výztuž v betonové oblasti. Jde proto o velmi rychlý výpočet, který poskytuje první představu o poloze tažených a tlačených oblastí. Příklad takového výpočtu je na obr. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Topologická optimalizace

Topologická optimalizace je metoda, která hledá optimální rozložení materiálu v daném objemu pro určité uspořádání zatížení. Topologická optimalizace implementovaná v Idea StatiCa Detail používá lineární model metody konečných prvků. Každý konečný prvek může mít relativní hustotu od 0 do 100 %, která vyjadřuje relativní množství použitého materiálu. Tyto hustoty prvků jsou optimalizačními parametry v optimalizační úloze. Výsledné rozložení materiálu se pro danou sadu zatížení považuje za optimální, pokud minimalizuje celkovou energii přetvoření systému. Z definice je optimální rozložení také geometrií s největší možnou tuhostí pro dané zatížení.

Iterativní optimalizační proces začíná s homogenním rozložením hustoty. Výpočet se provádí pro několik celkových objemových podílů (20 %, 40 %, 60 % a 80 %), což uživateli umožňuje vybrat nejpraktičtější výsledek. Výsledný tvar tvoří příhradoviny se vzpěrami a táhly a představuje optimální tvar pro dané zatěžovací stavy (obr. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

CSFM uvažuje spojitá pole napětí v betonu (2D konečné prvky), doplněná diskrétními „prutovými“ prvky představujícími vyztužení (1D konečné prvky). Vyztužení tedy není difúzně zabudováno do 2D konečných prvků betonu, ale je explicitně modelováno a s nimi propojeno. Ve výpočetním modelu se uvažuje rovinná napjatost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Lze modelovat celé stěny i nosníky, stejně jako detaily (části) nosníků (izolovaná oblast diskontinuity, nazývaná také oříznutý konec). V případě stěn a celých nosníků je nutné definovat podpory tak, aby vznikla (zevně) staticky určitá (izostatická) nebo staticky neurčitá (hyperstatická) konstrukce. Přenos zatížení na oříznutých koncích nosníků je zajištěn speciální Saint-Venantovou přenosovou zónou, která zajišťuje realistické rozdělení napětí v analyzované oblasti detailu.

Pro modelování většiny situací během procesu výstavby je v CSFM k dispozici mnoho typů podpor (obr. 7) a komponent používaných pro přenos zatížení (obr. 8).

Podpory

Bodovou podporu lze modelovat několika způsoby tak, aby napětí nebyla soustředěna v jednom bodě, ale rozložena na větší plochu. První možností je rozložená bodová podpora (obr. 7a), která rovnoměrně rozděluje zatížení na hraně prvku po zadané šířce.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

Plošná podpora (obr. 7d) naproti tomu může být umístěna pouze uvnitř objemu betonu s definovaným efektivním poloměrem. Je pak propojena tuhými prvky s uzly sítě výztuže v rámci tohoto poloměru. Proto je nutné kolem plošné podpory definovat výztužnou klec.

Pro přesnější modelování některých reálných situací existují dvě další možnosti bodové podpory. První z nich je bodová podpora s nosným plechem definované šířky a tloušťky (obr. 7b). Lze zadat materiál nosného plechu a celý nosný plech je modelován vlastní sítí konečných prvků. Druhou možností je závěsná podpora (obr. 7e), kterou lze použít pro modelování zvedacích kotev nebo zvedacích trnů.

Liniovou podporu (obr. 7c) lze definovat na hraně (zadáním její délky) nebo uvnitř prvku (pomocí lomené čáry). Lze také zadat její tuhost a/nebo nelineární chování (podpora v tlaku/tahu nebo pouze v tlaku).

• Podrobný popis najdete v článku Typy podpor v IDEA StatiCa Detail

Komponenty přenášející zatížení

Zavedení zatížení do konstrukce lze rovněž modelovat několika způsoby. Pro bodová zatížení lze použít nosný plech (obr. 8a) podobně jako u bodové podpory, který rozděluje soustředěné zatížení na větší plochu díky ocelovému plechu s definovanou šířkou a tloušťkou. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

Bodové zatížení lze aplikovat buď přímo na povrch konstrukce s definovaným poloměrem působení (zatížení je aplikováno na betonové prvky), nebo prostřednictvím speciálního přenosového zařízení nazvaného plošné zatížení (obr. 8b a obr. 9). Plošné zatížení umožňuje přenášet zatížení přímo do definované výztuže umístěné v oblasti efektivního poloměru. Pro zajištění správné funkce plošného zatížení je nutné definovat (ve vlastnostech výztuže) skupinu prutů výztuže, které budou se zatížením propojeny. Pokud propojená výztuž není definována, je mechanismus přenosu zatížení stejný jako u bodového zatížení umístěného na povrchu prvku a zatížení je přenášeno vazbami do betonových prvků, nikoli přímo do výztuže. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

Zvedací kotvy nebo zvedací trny lze modelovat závěsným zatížením (obr. 8c). Uživatel může použít částečně zatíženou plochu (obr. 8d), která umožňuje zvýšit únosnost betonu v tlaku podle Eurokódu (tento typ komponenty přenášející zatížení nelze použít, pokud je nastavena norma ACI). Konstrukci lze také zatížit liniovým zatížením na hranách, obecnou lomenou čárou nebo plošným zatížením. Aplikace Detail je schopna automaticky uvažovat vlastní tíhu v analýze.

V mnoha případech potřebujeme modelovat pouze určitý detail (část) konstrukčního prvku, například uložení nosníku, otvor uprostřed nosníku apod. Tento přístup může vést ke konfiguracím podpor, které jsou nestabilní, ale v IDEA StatiCa Detail přípustné (včetně případu bez podpor). V takových případech je však nutné modelovat také průřez představující napojení na sousední B-oblast, včetně vnitřních sil v tomto průřezu, které splňují podmínky rovnováhy. V určitých případech (např. při modelování uložení nosníku) mohou být tyto vnitřní síly určeny programem automaticky.

Mezi B-oblastí a analyzovanou oblastí diskontinuity se automaticky vytvoří Saint-Venantova přechodová zóna, která zajišťuje realistické rozdělení napětí v analyzované oblasti. Šířka přechodové zóny se určí jako polovina výšky průřezu. Jediným účelem Saint-Venantovy zóny je dosáhnout správného rozdělení napětí ve zbývající části modelu. Proto se výsledky z této oblasti v posouzení nezobrazují a neuplatňují se zde žádná zastavovací kritéria.

Hrana Saint-Venantovy zóny, která představuje seříznutý konec nosníku, je modelována jako tuhá, tj. může se natáčet, ale musí zůstat rovinná. Toho se dosáhne připojením všech uzlů MKP na hraně k samostatnému uzlu v těžišti průřezu pomocí prvku tuhého tělesa (RBE2). Vnitřní síly prvku pak mohou být zatíženy v tomto uzlu, jak je znázorněno na obr. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

Redukce průřezu se provádí automaticky u konstrukcí definovaných jako nosník nebo rámový styčník (definovaných osou x a průřezem). Tato úprava se automaticky aplikuje na průřezy s velmi širokými pásnicemi (obr. 11) a vychází z předpokladu, že se tlakové pole napětí šíří od stěny pod úhlem 45°, takže zmíněná redukovaná šířka je maximální šířka schopná přenášet zatížení

Upozorňujeme, že způsob určení účinné šířky pásnice implementovaný v CSFM se liší od způsobu uvedeného v čl. 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) nebo v čl. 9.2.4.4 ACI 318-19. Účinná šířka pásnice podle Eurokódu je kromě geometrie výslovně ovlivněna také rozpětím a okrajovými podmínkami konstrukce.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

V případě náběhů ležících ve vodorovné rovině (obr. 12) je každý náběh po délce rozdělen na pět úseků. Každý z těchto úseků je poté modelován jako stěna s konstantní tloušťkou, která odpovídá skutečné tloušťce uprostřed příslušného úseku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Model nelineární (neelastické) analýzy metodou konečných prvků je vytvořen z několika typů konečných prvků, které slouží k modelování betonu, výztuže a soudržnosti mezi nimi. Prvky betonu a výztuže se nejprve nezávisle generují do sítě a poté se vzájemně propojí pomocí vazeb více bodů (prvky MPC). Výztuž tak může mít vůči betonu libovolnou relativní polohu. Pokud se má vypočítat posouzení kotevní délky, vloží se mezi výztuž a prvky MPC prvky soudržnosti a pružiny kotevních konců.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton je modelován čtyřúhelníkovými a trojúhelníkovými skořepinovými prvky CQUAD4 a CTRIA3. Ty jsou definovány čtyřmi, respektive třemi uzly. V těchto prvcích se předpokládá pouze rovinná napjatost, tj. napětí nebo přetvoření ve směru z se neuvažují.

Každý prvek má čtyři nebo tři integrační body, které jsou umístěny přibližně v 1/4 jeho velikosti. V každém integračním bodě každého prvku se vypočítají směry hlavních přetvoření α₁, α₂. V obou těchto směrech se vyhodnotí hlavní napětí σ_c1, σ_c2 a tuhosti E₁, E₂ podle zadaného pracovního diagramu betonu (napětí-přetvoření) dle obr. 2. Je třeba zdůraznit, že vlivem tlakového změkčení závisí chování v hlavním tlakovém směru na aktuálním stavu v druhém hlavním směru.

Vyztužení

Pruty výztuže jsou modelovány dvouuzlovými 1D prvky typu „rod“ (CROD), které mají pouze osovou tuhost. Tyto prvky jsou připojeny ke speciálním prvkům soudržnosti („bond“), které byly vyvinuty pro modelování prokluzu mezi prutem výztuže a okolním betonem. Prvky soudržnosti jsou následně propojeny prvky MPC (vazba více bodů) se sítí představující beton. Tento přístup umožňuje nezávislé generování sítě výztuže a betonu, přičemž jejich propojení je zajištěno dodatečně.

Prvky soudržnosti

Kotevní délka se posuzuje zavedením smykových napětí soudržnosti mezi prvky betonu (2D) a prvky prutů výztuže (1D) v modelu metodou konečných prvků. Za tímto účelem byl vyvinut typ konečného prvku „bond“.

Definice prvku soudržnosti je podobná definici skořepinového prvku (CQUAD4). Je rovněž definován čtyřmi uzly, ale na rozdíl od skořepiny má nenulovou tuhost pouze ve smyku mezi dvěma horními a dvěma dolními uzly. V modelu jsou horní uzly připojeny k prvkům představujícím výztuž a dolní uzly k prvkům představujícím beton. Chování tohoto prvku je popsáno napětím soudržnosti τ_b jako bilineární funkcí prokluzu mezi horními a dolními uzly δ_u, viz obr. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Modul pružnosti ve smyku vztahu soudržnost-prokluz, G_b, je definován takto:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

kde:

k_g            součinitel závisející na povrchu prutu výztuže (ve výchozím nastavení k_g = 0,2)

E_c            modul pružnosti betonu (u EN se uvažuje E_cm)

Ø             průměr prutu výztuže

Pro posouzení kotevní délky se používají návrhové hodnoty (součinitelem upravené hodnoty) mezního smykového napětí soudržnosti f_bd, uvedené ve zvolených návrhových normách EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19. Zpevnění plastické větve se ve výchozím nastavení počítá jako G_b/10⁵.

Kotevní pružina

Zajištění kotevních konců prutů výztuže (tj. ohyby, háky, smyčky…), které splňuje požadavky návrhových norem, umožňuje snížit základní kotevní délku prutů (l_b,net) o určitý součinitel β (dále označovaný jako „součinitel kotvení“). Návrhová hodnota kotevní délky (l_b) se potom vypočítá takto:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Zamýšlené snížení l_b,net odpovídá aktivaci prutu výztuže na jeho konci při procentu jeho maximální únosnosti daném redukčním součinitelem kotvení, jak ukazuje obr. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Snížení kotevní délky je v modelu metodou konečných prvků zahrnuto pomocí pružiny na konci prutu (obr. 15), která je definována konstitutivním modelem na obr. 15b. Maximální síla přenášená touto pružinou (F_au) je:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

kde :

β             součinitel kotvení podle typu kotvení,

A_s            průřezová plocha prutu výztuže,

f_yd           návrhová hodnota (součinitelem upravená hodnota) meze kluzu výztuže.

Konečné prvky jsou implementovány interně a výpočtový model se generuje automaticky bez nutnosti zásahu zkušeného uživatele. Důležitou součástí tohoto procesu je generování sítě konečných prvků.

Beton

Všechny betonové prvky se generují společně v jedné síti. Doporučenou velikost prvku automaticky vypočte aplikace na základě velikosti a tvaru konstrukce, přičemž zohlední průměr největšího prutu výztuže. Doporučená velikost prvku navíc zaručuje, že v tenkých částech konstrukce, jako jsou štíhlé sloupy nebo tenké desky, vzniknou nejméně 4 prvky, aby byly v těchto oblastech zajištěny spolehlivé výsledky. Maximální počet betonových prvků je omezen na 5000, tato hodnota však u většiny konstrukcí postačuje pro doporučenou velikost prvku. Projektant může vždy zvolit vlastní velikost betonových prvků úpravou násobitele výchozí velikosti sítě.

Vyztužení

Vyztužení se rozdělí na prvky o přibližně stejné délce, jakou má velikost betonových prvků. Po vygenerování sítě vyztužení a betonu se tyto sítě propojí prvky soudržnosti, jak je znázorněno na obr. 13.

Nosné plechy

Pomocné konstrukční části, jako jsou nosné plechy, se generují samostatně. Velikost těchto prvků se vypočte jako 2/3 velikosti betonových prvků v oblasti přípoje. Uzly sítě nosného plechu se poté připojí k okrajovým uzlům sítě betonu pomocí interpolačních vazbových prvků (RBE3).

Zatížení a podpory

Plošná zatížení a plošné podpory jsou připojeny pouze k vyztužení, jak je znázorněno na obr. 16. Proto je nutné vyztužení v jejich okolí nadefinovat. Připojení ke všem uzlům vyztužení v rámci účinného poloměru zajišťují prvky RBE3 se stejnou váhou.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Liniové podpory a liniová zatížení jsou připojeny k uzlům sítě betonu pomocí prvků RBE3 na základě zadané šířky nebo účinného poloměru. Váha připojení je nepřímo úměrná vzdálenosti od podpory nebo od působiště zatížení.

• Více informací o propojení jednotlivých zatížení se sítí naleznete v Obecný popis zatěžovacích impulzů v aplikaci Detail

K nalezení řešení nelineární úlohy metodou konečných prvků (MKP) se používá standardní úplný Newtonův-Raphsonův (NR) algoritmus. 

Algoritmus NR obvykle nekonverguje, pokud je plné zatížení aplikováno v jediném kroku. Obvyklým postupem, který se používá i zde, je aplikovat zatížení postupně v několika přírůstcích a výsledek z předchozího přírůstku zatížení použít jako výchozí bod Newtonova řešení následujícího přírůstku. Pro tento účel byl nad metodou Newton-Raphson implementován algoritmus řízení zatížení. Pokud iterace NR nekonvergují, aktuální přírůstek zatížení se zmenší na polovinu své hodnoty a iterace NR se opakují.

Druhým účelem algoritmu řízení zatížení je nalezení kritického zatížení, které odpovídá určitým „zastavovacím kritériím“ – konkrétně maximálnímu přetvoření betonu, maximálnímu prokluzu v prvcích soudržnosti, maximálnímu posunu v kotevních prvcích a maximálnímu přetvoření výztužných prutů. Kritické zatížení se hledá metodou půlení intervalu. Pokud je zastavovací kritérium překročeno kdekoli v modelu, výsledky posledního přírůstku zatížení se zahodí a vypočítá se nový přírůstek o poloviční velikosti oproti předchozímu. Tento postup se opakuje, dokud není kritické zatížení nalezeno s danou tolerancí chyby.

Pro beton bylo zastavovací kritérium nastaveno na přetvoření 5 % v tlaku (tj. přibližně o řád větší než skutečné mezní přetvoření betonu) a 7 % v tahu, a to v integračních bodech skořepinových prvků. V tahu byla hodnota nastavena tak, aby mohlo být nejdříve dosaženo mezního přetvoření výztuže, které je bez zohlednění tahového zpevnění obvykle kolem 5 %. V tlaku byla hodnota vybrána z několika alternativ jako taková, která je dostatečně velká na to, aby byly ve výsledcích patrné účinky drcení, ale zároveň dostatečně malá, aby nezpůsobovala příliš mnoho problémů s numerickou stabilitou.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

U výztuže je zastavovací kritérium definováno pomocí napětí. Protože se modeluje napětí v trhlině, odpovídá kritérium v tahu pevnosti výztuže v tahu zohledňující součinitel spolehlivosti. Stejná hodnota se používá i pro kritérium v tlaku.

Zastavovací kritérium v prvcích soudržnosti a kotevních pružinách je α·δu_max, kde δu_max je maximální prokluz používaný v normových posouzeních a α = 10.

Výsledky jsou prezentovány samostatně pro beton a pro prvky vyztužení. Hodnoty napětí a přetvoření v betonu se počítají v integračních bodech skořepinových prvků. Protože však není praktické prezentovat data tímto způsobem, výsledky se standardně zobrazují v uzlech, jako maximální hodnota tlakového napětí z přilehlých Gaussových integračních bodů v připojených prvcích (obr. 18). Je třeba poznamenat, že toto zobrazení může lokálně podhodnotit výsledky na tlačených okrajích prvků v případě, že velikost konečného prvku je podobná výšce tlačené oblasti.

Obr. 18 - Konečný prvek betonu s integračními body a uzly: prezentace výsledků pro beton v uzlech a v konečných prvcích.

Výsledky pro konečné prvky vyztužení jsou buď konstantní pro každý prvek (jedna hodnota – např. pro napětí v oceli), nebo lineární (dvě hodnoty – pro výsledky soudržnosti). U pomocných prvků, jako jsou prvky nosných plechů, se zobrazují pouze deformace.

Posouzení konstrukce metodou CSFM se provádí dvěma různými analýzami: jednou pro kombinace zatížení v mezním stavu použitelnosti a jednou pro kombinace zatížení v mezním stavu únosnosti. Analýza mezního stavu použitelnosti předpokládá, že mezní chování prvku je vyhovující a že podmínky plasticity materiálu nebudou při úrovních zatížení v mezním stavu použitelnosti dosaženy. Tento přístup umožňuje použít pro analýzu mezního stavu použitelnosti zjednodušené konstitutivní modely (s lineární větví pracovního diagramu betonu), což zvyšuje numerickou stabilitu a rychlost výpočtu. Proto se doporučuje použít níže uvedený postup, ve kterém se jako první krok provádí analýza mezního stavu únosnosti.

Analýza mezního stavu únosnosti

Jednotlivá posouzení vyžadovaná konkrétními návrhovými normami se vyhodnocují na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení MSÚ se provádí pro pevnost betonu, pevnost výztuže a kotvení (smyková napětí v soudržnosti).

Aby byl návrh konstrukčního prvku efektivní, je vysoce doporučeno provést předběžnou analýzu, která zahrnuje následující kroky:

• Vyberte nejkritičtější kombinace zatížení.
• Počítejte pouze kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti (MSÚ).
• Použijte hrubou síť (zvýšením násobitele výchozí velikosti sítě v Nastavení (obr. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Takový model se počítá velmi rychle, což projektantům umožňuje efektivně zkontrolovat vyztužení konstrukčního prvku a opakovat analýzu, dokud nejsou splněny všechny požadavky posouzení pro nejkritičtější kombinace zatížení. Jakmile jsou všechny požadavky posouzení této předběžné analýzy splněny, doporučuje se zahrnout úplné kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti a použít jemnou síť (velikost sítě doporučenou programem). Uživatel může velikost sítě měnit pomocí násobitele, který může nabývat hodnot od 0,5 do 5 (obr. 19).

Základní výsledky a posouzení (napětí, přetvoření a využití (tj. vypočtená hodnota/mezní hodnota podle normy), jakož i směr hlavních napětí u betonových prvků) se zobrazují pomocí různých grafů, ve kterých je tlak obvykle znázorněn červeně a tah modře. Lze zvýraznit globální minimální a maximální hodnoty pro celou konstrukci i minimální a maximální hodnoty pro každou uživatelsky definovanou část. Na samostatné záložce programu lze zobrazit pokročilé výsledky, například hodnoty tenzorů, přetvoření konstrukce a stupně vyztužení (efektivní a geometrický) používané pro výpočet tahového zpevnění výztužných prutů. Dále lze zobrazit zatížení a reakce pro vybrané kombinace nebo zatěžovací stavy.

Analýza mezního stavu použitelnosti

Posouzení MSP se provádí pro omezení napětí, šířku trhlin a limity průhybu. Napětí se kontrolují v betonu a ve výztuži podle příslušné normy obdobným způsobem, jako je stanoveno pro MSÚ.

Analýza mezního stavu použitelnosti obsahuje určitá zjednodušení konstitutivních modelů, které se používají pro analýzu mezního stavu únosnosti. Předpokládá se dokonalá soudržnost, tj. kotevní délka se v mezním stavu použitelnosti neověřuje. Dále se zanedbává plastická větev pracovního diagramu betonu v tlaku, zatímco pružná větev je lineární a neomezená. Tato zjednodušení zvyšují numerickou stabilitu a rychlost výpočtu a nesnižují obecnost řešení, pokud jsou výsledná napětí v materiálu v mezním stavu použitelnosti zřetelně pod jejich mezí kluzu (jak požadují normy). Zjednodušené modely používané pro mezní stav použitelnosti jsou proto platné pouze tehdy, jsou-li splněny všechny požadavky posouzení.

Výpočet šířky trhlin a tahové zpevnění

Výpočet šířky trhlin

Šířku trhlin lze vypočítat dvěma způsoby: pro stabilizované a pro nestabilizované trhliny. Podle geometrického stupně vyztužení v každé části konstrukce se rozhoduje, který model výpočtu trhlin bude použit (TCM pro stabilizované trhliny a POM pro model nestabilizovaných trhlin).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Zatímco CSFM poskytuje přímý výsledek pro většinu posouzení (např. únosnost prvku, průhyby…), šířky trhlin se vypočítají z přetvoření vyztužení, která přímo poskytuje analýza metodou konečných prvků, podle postupu popsaného na Obr. 20. Uvažuje se kinematika trhliny bez prokluzu (čisté otevření trhliny) (Obr. 20a), což je v souladu s hlavními předpoklady modelu. Hlavní směry napětí a přetvoření určují sklon trhlin (θ_r = θ_s= θ_e). Podle (Obr. 20b) lze šířku trhliny (w) promítnout do směru výztužného prutu (w_b), což vede k výrazu:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

kde θ_b je sklon výztužného prutu.

Upozorňujeme, že program zobrazuje hodnoty θ_r a θ_b < π/2. To znamená, že předchozí rovnice platí pro případy, kdy vyztužení a trhlina procházejí různými kvadranty kartézské soustavy souřadnic, jak je znázorněno na Obr. 20, kde vyztužení prochází I. a III. kvadrantem a trhlina II. a IV. kvadrantem. Pro případy, kdy vyztužení a trhlina procházejí stejnými kvadranty, je nutné rovnici upravit takto:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Složka w_b se konzistentně vypočítá na základě modelů tahového zpevnění integrací přetvoření vyztužení. Pro oblasti s plně vyvinutým obrazem trhlin se vypočtená průměrná přetvoření (e_m) podél výztužných prutů přímo integrují po délce rozteče trhlin (s_r), jak je uvedeno na (Obr. 20c). Ačkoli tento přístup k výpočtu směrů trhlin neodpovídá skutečné poloze trhlin, poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin srovnatelným s hodnotami šířky trhlin požadovanými normou v místě výztužného prutu.

Zvláštní situace nastávají v konkávních rozích počítané konstrukce. V tomto případě roh předurčuje polohu jediné trhliny, která se chová nestabilizovaně, než se vytvoří další sousední trhliny. Tyto další trhliny se obecně vytvářejí až po překročení rozsahu použitelnosti (Mata-Falcón 2015), což ospravedlňuje výpočet šířek trhlin v takové oblasti, jako by byly nestabilizované (Obr. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tahové zpevnění

Implementace tahového zpevnění rozlišuje mezi případy stabilizovaného a nestabilizovaného obrazu trhlin. V obou případech se beton ve výchozím nastavení považuje před zatížením za plně porušený trhlinami.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Stabilizované trhliny

U plně vyvinutého obrazu trhlin se tahové zpevnění zavádí pomocí modelu tahového pasu (Tension Chord Model, TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Obr. 22a – který poskytuje vynikající predikce odezvy navzdory své jednoduchosti (Burns 2012). Model TCM předpokládá stupňovitý, tuhoplastický vztah mezi smykovým napětím v soudržnosti a prokluzem s τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pro σ_s ≤ f_y a τ_b =τ_b1 = f_ctm pro σ_s > f_y. Pokud se každý výztužný prut posuzuje jako tahový pas ­– Obr. 22b a Obr. 22a – lze určit rozložení smyku v soudržnosti, napětí v oceli a betonu, a tedy i rozložení přetvoření mezi dvěma trhlinami, pro libovolnou hodnotu maximálního napětí (nebo přetvoření) v oceli v místě trhlin.

Pro s_r = s_r0 může nebo nemusí vzniknout nová trhlina, protože uprostřed mezi dvěma trhlinami je σ_c1 = f_ct. Rozteč trhlin se proto může lišit až dvojnásobně, tj. s_r = λs_r0, kde l = 0.5…1.0. Při zvolené hodnotě λ lze průměrné přetvoření pasu (ε_m) vyjádřit jako funkci maximálního napětí ve vyztužení (tj. napětí v místě trhlin, σ_sr). Pro idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření holých výztužných prutů, který se v CSFM uvažuje ve výchozím nastavení, se získají následující analytické vztahy v uzavřeném tvaru (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

kde:
E_sh           modul zpevnění oceli E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modul pružnosti vyztužení,

Ø            průměr výztužného prutu,

s_r                 rozteč trhlin,

σ_sr           napětí ve vyztužení v místě trhlin,

σ_s            skutečné napětí ve vyztužení,

f_y                mez kluzu vyztužení.

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail ve výchozím nastavení uvažuje při počítačově podporované analýze napjatosti metodou napěťových polí průměrnou rozteč trhlin. Průměrná rozteč trhlin se uvažuje jako 2/3 maximální rozteče trhlin (λ = 0.67), což odpovídá doporučením vycházejícím ze zkoušek v ohybu a tahu (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Je třeba poznamenat, že při výpočtu šířky trhlin se uvažuje maximální rozteč trhlin (λ = 1.0), aby se získaly konzervativní hodnoty.

Použití modelu TCM závisí na stupni vyztužení, a proto je zásadní přiřadit každému výztužnému prutu vhodnou plochu betonu působící v tahu mezi trhlinami. Byl vyvinut automatický numerický postup pro stanovení odpovídajícího efektivního stupně vyztužení (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pro libovolnou konfiguraci, včetně šikmé výztuže (Obr. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Nestabilizované trhliny

Trhliny existující v oblastech s geometrickým stupněm vyztužení nižším než ρ_cr, tj. minimálním množstvím výztuže, při kterém je výztuž schopna přenést zatížení způsobující vznik trhlin bez dosažení meze kluzu, vznikají buď nemechanickými účinky (např. smršťováním), nebo postupem trhlin řízených jinou výztuží. Hodnota tohoto minimálního vyztužení se stanoví takto:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

kde:

f_y              mez kluzu vyztužení,

f_ct             pevnost betonu v tahu,

n              poměr modulů pružnosti, n = E_s / E_c .

Pro běžný beton a betonářskou výztuž činí ρ_cr přibližně 0,6 %.

U třmínků se stupněm vyztužení nižším než ρ_cr se trhliny považují za nestabilizované a tahové zpevnění se zavádí pomocí modelu vytažení (Pull-Out Model, POM) popsaného na Obr. 22b. Tento model analyzuje chování jediné trhliny bez uvažování mechanické interakce mezi jednotlivými trhlinami, zanedbává přetvárnost betonu v tahu a předpokládá stejný stupňovitý, tuhoplastický vztah mezi smykovým napětím v soudržnosti a prokluzem, jaký používá model TCM. Díky tomu lze rozložení přetvoření ve vyztužení (ε_s) v okolí trhliny pro libovolné maximální napětí v oceli v místě trhliny (σ_sr) získat přímo z podmínek rovnováhy. Vzhledem k tomu, že rozteč trhlin je u neúplně vyvinutého obrazu trhlin neznámá, vypočte se průměrné přetvoření (ε_m) pro libovolnou úroveň zatížení na vzdálenosti mezi body s nulovým prokluzem v okamžiku, kdy výztužný prut v místě trhliny dosáhne své pevnosti v tahu (f_t) (l_ε,avg na Obr. 22b), což vede k následujícím vztahům:

Navržené modely umožňují výpočet chování soudržné výztuže, které se nakonec uvažuje v analýze. Toto chování (včetně tahového zpevnění) pro nejběžnější evropskou betonářskou výztuž (B500B, s f_t / f_y = 1,08 a ε_u = 5 %) je znázorněno na Obr. 22c-d.

Beton - MSÚ

Model betonu implementovaný v CSFM vychází z jednoosých konstitučních vztahů pro tlak předepsaných v EN 1992-1-1 pro návrh průřezů, které závisejí pouze na pevnosti v tlaku. V CSFM se standardně používá parabolicko-obdélníkový diagram podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (1) (obr. 24a), projektant však může zvolit také zjednodušený pružně-ideálně plastický vztah podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (2) (obr. 24b). Pevnost v tahu se zanedbává, stejně jako při klasickém návrhu železobetonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení betonu v tlaku z hlediska přetvoření (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_cu2 (ε_cu3) o hodnotě 5 %, zatímco EN 1992-1-1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,35 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí, u nichž dochází k porušení tlakem. Jejich mezní únosnost f_cd podle EN 1992-1-1 3.1.3 je však predikována správně, pokud se kromě součinitele zohledňujícího trhliny v betonu (k_c2, definovaného na (obr. 25)) uvažuje také nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností, a to pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 takto:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α_cc je součinitel zohledňující dlouhodobé účinky na pevnost v tlaku a nepříznivé účinky vyplývající ze způsobu působení zatížení. Určuje se podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.6 (1). Výchozí hodnota je 1,0.

k_c je celkový redukční součinitel pevnosti v tlaku

k_c2 je redukční součinitel zohledňující výskyt příčných trhlin

f_ck je charakteristická válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Beton - MSP

Analýza mezního stavu použitelnosti obsahuje určitá zjednodušení konstitučních modelů, které se používají pro analýzu mezního stavu únosnosti. Plastická větev pracovního diagramu betonu v tlaku se zanedbává, zatímco pružná větev je lineární a neomezená. Tlakové změkčení se neuvažuje. Tato zjednodušení zvyšují numerickou stabilitu a rychlost výpočtu a nesnižují obecnost řešení, pokud jsou výsledná mezní napětí materiálů v mezním stavu použitelnosti jasně pod jejich mezí kluzu (jak požaduje Eurokód). Zjednodušené modely používané pro mezní stav použitelnosti jsou proto platné pouze tehdy, jsou-li splněny všechny požadavky posouzení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Dlouhodobé účinky

Při analýze mezního stavu použitelnosti se dlouhodobé účinky betonu zohledňují pomocí efektivního konečného součinitele dotvarování ($\varphi$, ve výchozím nastavení s hodnotou 2,5), který upravuje sečnový modul pružnosti betonu (E_cm) podle EN 1992-1-1, část 3.1.4 (3), resp. 7.4.3 (5), takto:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Při uvažování dlouhodobých účinků se nejprve vypočítá zatěžovací krok se všemi stálými zatíženími se zohledněním součinitele dotvarování (tj. s použitím efektivního modulu pružnosti betonu E_c,eff) a poté se vypočtou přídavná zatížení bez součinitele dotvarování (tj. s použitím E_cm). Pro krátkodobá posouzení se navíc provede další výpočet, ve kterém se všechna zatížení počítají bez součinitele dotvarování. Oba výpočty pro dlouhodobá i krátkodobá posouzení jsou znázorněny na obr. 26.

Součinitele dotvarování definuje uživatel ve vlastnostech materiálu a určují se podle EN 1992-1-1, obr. 3.1.

Vyztužení

Ve výchozím nastavení se uvažuje idealizovaný bilineární pracovní diagram holé betonářské výztuže definovaný v EN 1992-1-1, část 3.2.7 (obr. 27). Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze znalost základních vlastností vyztužení ve fázi návrhu (pevnost a třída tažnosti). Je-li skutečný pracovní diagram vyztužení znám (válcované za tepla, tvářené za studena, kalené a samopopouštěné, …), lze jej uvažovat. Pracovní diagram vyztužení může definovat uživatel, v takovém případě však nelze uvažovat tahové zpevnění (nelze vypočítat šířku trhlin). Použití pracovního diagramu s vodorovnou horní větví neumožňuje ověření trvanlivosti konstrukce. Proto je nutné ruční ověření standardních požadavků na tažnost.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Tahové zpevnění (obr. 28)  se zohledňuje automaticky úpravou vstupního pracovního diagramu holé betonářské výztuže tak, aby zachycoval průměrnou tuhost prutů zabetonovaných v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhovými normami. Protože výpočetní modely používají pouze standardní materiálové vlastnosti, lze formát dílčích součinitelů spolehlivosti předepsaný v návrhových normách použít bez jakýchkoli úprav. Vstupní zatížení se tak násobí součiniteli a charakteristické materiálové vlastnosti se snižují příslušnými součiniteli spolehlivosti předepsanými v návrhových normách, přesně jako při konvenční analýze betonových konstrukcí. Hodnoty materiálových součinitelů spolehlivosti předepsané v EN 1992-1-1, kap. 2.4.2.4, jsou nastaveny jako výchozí, uživatel je však může změnit v Nastavení normy a výpočtu (obr. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele spolehlivosti zatížení musí uživatel definovat v Pravidlech kombinací pro každou nelineární kombinaci zatěžovacích stavů (obr. 30). Pro všechny šablony implementované v Idea StatiCa Detail jsou dílčí součinitele spolehlivosti již předdefinovány.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Použitím vhodných uživatelsky definovaných kombinací dílčích součinitelů spolehlivosti mohou uživatelé počítat pomocí CSFM také metodou globálního součinitele únosnosti (Navrátil a kol. 2017), tento přístup se však v návrhové praxi používá jen zřídka. Některé směrnice doporučují používat metodu globálního součinitele únosnosti pro nelineární analýzu. U zjednodušených nelineárních analýz (například CSFM), které vyžadují pouze ty materiálové vlastnosti, jež se používají v konvenčních ručních výpočtech, je však stále vhodnější použít formát dílčích součinitelů.

Různá posouzení požadovaná normou EN 1992-1-1 se vyhodnocují na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení v MSÚ se provádějí pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smyková napětí v soudržnosti).

Pevnost betonu v tlaku se vyhodnocuje jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím σ_c = σ_c2 získaným z analýzy metodou konečných prvků a mezní hodnotou σ_c,lim = f_cd. 

Pevnost vyztužení se vyhodnocuje v tahu i v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v místě trhlin σ_sr a stanovenou mezní hodnotou σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

kde:

f_yk        je mez kluzu vyztužení podle EN 1992-1-1, čl. 3.2.3,

k          je poměr pevnosti v tahu f_tk k mezi kluzu,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             je dílčí součinitel spolehlivosti pro vyztužení

Smykové napětí v soudržnosti se vyhodnocuje samostatně jako poměr mezi napětím soudržnosti τ_b vypočteným analýzou MKP a mezní pevností soudržnosti f_bd, podle EN 1992-1-1, kap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

kde:

f_ctd      je návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu podle EN 1992-1-1, čl. 3.1.6 (2). Vzhledem ke zvyšující se křehkosti betonů vyšších pevností je f_ctk,0.05 omezena na hodnotu pro C60/75 podle EN 1992-1-1, čl. 8.4.2 (2)

η₁       je součinitel související s kvalitou podmínek soudržnosti a polohou prutu při betonování (obr. 31).

η₁ = 1,0 při „dobrých“ podmínkách a

η₁ = 0,7 ve všech ostatních případech a pro pruty v konstrukčních prvcích betonovaných do posuvného bednění, pokud nelze prokázat, že existují „dobré“ podmínky soudržnosti

η₂        souvisí s průměrem prutu:

            η₂ = 1,0 pro Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 pro Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

V IDEA StatiCa Detail se podmínky soudržnosti zohledňují podle obr. 31 c) a d). Směr betonování lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně.

Tato posouzení se provádějí vzhledem k příslušným mezním hodnotám pro dané části konstrukce (tj. přestože je pro beton i pro materiál vyztužení zadána jediná třída, výsledné diagramy napětí-přetvoření se v jednotlivých částech konstrukce liší v důsledku tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Existuje také možnost modelovat hladké pruty. Více informací naleznete zde: Hladké pruty v aplikaci Detail

Celková síla F_tot a mezní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

kde A_s je plocha výztužného prutu a σ_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly v soudržnosti F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla v soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí soudržnosti τ_b po délce výztužného prutu l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s je obvod výztužného prutu.

Mezní síla F_lim je maximální síla v prvku prutu s ohledem na mezní pevnost prutu a také na podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a vyztužením a kotevní háky, smyčky apod.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

kde C_s je obvod výztužného prutu a l je vzdálenost od začátku prutu do uvažovaného místa.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

kde F_lim,add je přídavná síla vypočtená z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Dostupné typy kotvení v CSFM zahrnují přímý prut (tj. bez redukce kotvení na konci), ohyb, hák, smyčku, přivařený příčný prut, dokonalou soudržnost a průběžný prut. Všechny tyto typy spolu s příslušnými součiniteli kotvení β jsou uvedeny na obr. 32 pro podélnou výztuž a na obr. 33 pro třmínky. Hodnoty použitých součinitelů kotvení odpovídají EN 1992-1-1, kap. 8.4.4, tab. 8.2. Je třeba poznamenat, že přes různé dostupné možnosti rozlišuje CSFM tři typy konců kotvení: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce kotevní délky o 30 % v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalá soudržnost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Pro splnění požadavků EN 1992-1-1 je nutné ve výpočtu použít kotevní pružinu. Kotevní pružina se upravuje součinitelem β, a proto musí uživatel při definici podmínek na začátku a konci vyztužení použít jeden z dostupných typů kotvení. 

Při návrhu betonových konstrukcí se setkáváme se dvěma velkými skupinami částečně zatížených ploch (PLA) – první z nich zahrnuje uložení, zatímco druhou tvoří kotevní oblasti. Podle aktuálně platných norem pro navrhování železobetonových konstrukcí EN 1992-1-1, kap. 6.7 (obr. 34), je třeba u částečně zatížených ploch uvažovat místní drcení betonu a příčné tahové síly. Při rovnoměrně rozloženém zatížení plochy A_c0 lze tlakovou únosnost betonu zvýšit až na trojnásobek v závislosti na návrhové rozdělovací ploše A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

Částečně zatížená plocha musí být dostatečně vyztužena příčnou výztuží navrženou tak, aby přenesla síly od odštěpování, které v této oblasti vznikají. Pro návrh příčné výztuže v částečně zatížených plochách se podle Eurokódu používá metoda vzpěra-táhlo. Bez požadované příčné výztuže nelze uvažovat zvýšení tlakové únosnosti betonu.

Částečně zatížené plochy v CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Pomocí CSFM lze navrhovat a posuzovat železobetonové konstrukce se zohledněním vlivu zvýšené tlakové odolnosti betonu v částečně zatížených plochách. Protože CSFM je stěnový (2D) model a částečně zatížené plochy představují prostorovou (3D) úlohu, bylo nutné nalézt řešení, které tyto dva odlišné typy úloh propojí (obr. 35). Pokud je aktivována funkce „částečně zatížené plochy“, vytvoří se podle Eurokódu geometrie přípustného kužele (obr. 34). Všechny geometrické kolize se řeší plně ve 3D pro zadanou geometrii betonového prvku a rozměry každé PLA. Následně se vytvoří výpočetní model částečně zatížené plochy.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Úprava materiálového modelu se ukázala jako nevhodný přístup, zejména proto, že přenos vlastností na síť konečných prvků je problematický. Bylo zjištěno, že vhodnějším řešením je přístup nezávislý na síti konečných prvků. Pro známou geometrii tlakového kužele se vytvoří zcela souvislé fiktivní vzpěry (obr. 35 a obr. 37). Tyto vzpěry mají stejné materiálové vlastnosti jako beton použitý v modelu, včetně pracovního diagramu napětí-přetvoření. Tvar kužele určuje směr vzpěr, které postupně rozdělují zatížení z PLA na návrhovou rozdělovací plochu. Plošná hustota fiktivních vzpěr je v každé části kužele proměnná a přidává fiktivní plochu betonu ve směru zatížení. V úrovni zatížené plochy (A_c0) se přidá fiktivní plocha betonu podle poměru $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (kde A_real je plocha podpory uvažovaná ve 2D výpočetním modelu) a tato plocha se směrem k návrhové rozdělovací ploše (A_c1) lineárně zmenšuje na nulu. Toto řešení zajišťuje, že tlakové napětí v betonu je konstantní v celém objemu kužele.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Odolnost částečně zatížené plochy se zvyšuje podle poměru návrhové rozdělovací plochy a zatížené plochy uvedeného v EN 1992-1-1  (6.7).  Je třeba mít na paměti, že se jedná o návrhový model, který nemůže přesně popsat stav napětí v částečně zatížené ploše, jejíž skutečný průběh je mnohem složitější. Toto řešení však umožňuje správné rozdělení zatížení do celého modelu při respektování zvýšené únosnosti částečně zatížené plochy. Navíc správně zavádí příčná napětí v této oblasti.

Při použití funkce částečně zatížených ploch pro simulaci zvýšení tlakové únosnosti betonu je nutné provést normové posouzení samostatně podle EN 1992-1-1, kap. 6.7 (2). Příčné tahové síly (rozštěpující síly) přenášené výztuží se kontrolují automaticky.

Posouzení MSP se provádí pro omezení napětí, šířku trhlin a limity průhybu. Napětí se kontrolují v betonu a ve vyztužení podle EN 1992-1-1 podobným způsobem, jaký je specifikován pro MSÚ.

Omezení napětí

Tlakové napětí v betonu musí být omezeno, aby nevznikaly podélné trhliny. Podle EN 1992-1-1, kap. 7.2 (2) mohou podélné trhliny vzniknout, pokud úroveň napětí při charakteristické kombinaci zatížení překročí hodnotu k₁f_ck. Tlakové napětí v betonu se vyhodnocuje jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím σ_c = σ_c2 získaným z analýzy MKP pro mezní stavy použitelnosti a mezní hodnotou σ_c,lim. Pak platí:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

kde:

f_ck        je charakteristická válcová pevnost betonu,

k₁         =0,6.

Pokud je napětí v betonu při kvazistálém zatížení menší než k₂f_ck podle EN 1992-1-1, čl. 7.2(3), lze předpokládat lineární dotvarování. Pokud napětí v betonu překročí k₂f_ck, je nutné uvažovat nelineární dotvarování (viz EN 1992-1-1, čl. 3.1.4). V IDEA StatiCa Detail lze předpokládat pouze lineární dotvarování podle EN 1992-1-1, čl. 3.1.4 (3) (viz Materiálové modely (EN)).

Lze předpokládat, že nepřijatelnému vzniku trhlin nebo přetvoření je zabráněno, pokud tahové napětí ve vyztužení při charakteristické kombinaci zatížení nepřekročí k₃f_yk (EN 1992-1-1, kap. 7.2 (5)). Využití vyztužení se vyhodnocuje jako poměr mezi napětím ve vyztužení v místě trhlin σ_s = σ_sr a stanovenou mezní hodnotou σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

kde:

f_yk        je mez kluzu vyztužení,

k₃        =0,8.

Průhyb

Průhyby lze posuzovat pouze u stěn nebo u staticky určitých (izostatických) či staticky neurčitých (hyperstatických) nosníků. V těchto případech se uvažuje absolutní hodnota průhybů (vzhledem k počátečnímu stavu před zatížením) a maximální přípustnou hodnotu průhybů musí nastavit uživatel. Průhyby na oříznutých koncích nelze kontrolovat, protože se v podstatě jedná o nestabilní konstrukce, u nichž je rovnováha zajištěna přidáním koncových sil, a průhyby proto nejsou reálné. Krátkodobý průhyb u_z,st nebo dlouhodobý průhyb u_z,lt lze vypočítat a porovnat s uživatelem definovanými mezními hodnotami:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

kde:

u_z         je krátkodobý nebo dlouhodobý průhyb vypočtený analýzou MKP,

u_z,lim    je mezní hodnota průhybu definovaná uživatelem.

Šířka trhlin

Šířky a orientace trhlin se počítají pouze pro dlouhodobé účinky (s použitím E_c,eff) u kombinací, pro které je zapnuto vyhodnocení šířky trhlin. Posouzení na základě uživatelem zadaných mezních hodnot v souladu s Eurokódem jsou uvedena takto:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

kde:

w         je šířka trhliny vypočtená analýzou MKP,

w_lim     je mezní hodnota šířky trhliny definovaná uživatelem.

Šířky trhlin lze vypočítat dvěma způsoby (stabilizované a nestabilizované trhlinování). V obecném případě (stabilizované trhlinování) se šířka trhliny vypočítá integrací přetvoření na 1D prvcích výztužných prutů. Směr trhliny se poté určí ze tří nejbližších integračních bodů 2D prvků betonu (vzhledem ke středu daného 1D konečného prvku vyztužení). Tento přístup k výpočtu směrů trhlin sice neodpovídá skutečné poloze trhlin, přesto poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin srovnatelným s hodnotami šířky trhlin požadovanými normou v místě výztužného prutu.

Beton - Únosnost

Model betonu implementovaný pro výpočty únosnosti v CSFM vychází z parabolicko-plastické pracovní křivky napětí-přetvoření betonu podle parabolické křivky napětí-přetvoření Portland Cement Association, popsané v PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. Pevnost v tahu je zanedbána, stejně jako v klasickém návrhu železobetonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení betonu v tlaku z hlediska přetvoření (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_c0 s maximální hodnotou 5 %, zatímco ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí, které selhávají v tlaku. Únosnost je však předpovídána správně, pokud se kromě součinitele popraskaného betonu (k_c2 definovaného na (Fig. 39)) zohlední také zvýšení křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 takto:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α₁ je redukční součinitel pevnosti betonu v tlaku definovaný v ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Při použití pracovního diagramu napětí-přetvoření typu parabola-obdélník je nutné tímto součinitelem snížit maximální tlakové napětí. Tím se zprůměruje rozdělení napětí v tlačené oblasti tak, že výsledná pevnost v tlaku je menší nebo rovna pevnosti v tlaku vypočtené pomocí diagramu napětí-přetvoření s klesající plastickou větví.

Φ_c je redukční součinitel únosnosti pro beton. Výchozí hodnota je nastavena podle ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

k_c2 je redukční součinitel zohledňující přítomnost příčných trhlin.

f'_c je válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 je redukční součinitel založený na stejných předpokladech jako součinitel uzlové oblasti β_n uvedený v ACI 318-19 Table 23.9.2, s tím rozdílem, že v CSFM se přítomnost hlavního tahového napětí kolmého na hlavní tlakové napětí kontroluje pro každý konečný prvek (nejen pro uzly modelu vzpěra-táhlo).

Beton – Použitelnost

Analýza použitelnosti obsahuje určitá zjednodušení konstitutivních modelů, které se používají pro analýzu únosnosti. Plastická větev pracovního diagramu betonu v tlaku je zanedbána, zatímco elastická větev je lineární a neomezená. Zákon tlakového změkčení se neuvažuje. Tato zjednodušení zlepšují numerickou stabilitu a rychlost výpočtu a nesnižují obecnost řešení, pokud jsou výsledné limity napětí materiálu v použitelnosti jasně pod jejich mezí kluzu (jak vyžaduje ACI). Zjednodušené modely používané pro použitelnost jsou proto platné pouze tehdy, jsou-li splněny všechny požadavky na posouzení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Dlouhodobé účinky

Dlouhodobé chování konstrukce, například dlouhodobé průhyby nebo výpočet šířky trhlin způsobených trvalým zatížením, je ovlivněno dotvarováním betonu. ACI 318-19 v odstavci 24.2.4.1.3 definuje časově závislý součinitel pro trvalé zatížení – ξ, který vyjadřuje vliv dotvarování pro stanovenou dobu trvání trvalého zatížení.

V aplikaci Detail je modul pružnosti E_c upraven pomocí součinitele ξ tak, aby zohlednil dlouhodobé chování konstrukce. Upravený modul pružnosti se označuje jako E_c,eff – viz Figure 40.

Za předpokladu, že deformace prvku je vyjádřena přetvořením, lze psát:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

kde:

ε₀ je krátkodobé přetvoření (bez vlivu dotvarování) a ε_creep je přetvoření způsobené dotvarováním.

Pomocí Hookova zákona můžeme psát:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Dosazením za $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ a $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ získáme:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

Dobu trvání trvalého zatížení pro stanovení součinitele ξ lze nastavit individuálně pro každou dlouhodobou kombinaci v použitelnosti.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

Časově závislé průhyby, napětí a šířky trhlin se poté vypočítají s upraveným materiálovým modelem, ve kterém je vliv zpřesnění tlaku zohledněn automaticky povahou MKP analýzy. Není proto nutné je dále násobit součinitelem definovaným v 24.2.4.1.1.

Krátkodobé účinky

Pro provedení krátkodobých posouzení se provede další výpočet, ve kterém se všechna zatížení počítají bez časově závislého součinitele pro trvalé zatížení. Oba výpočty, pro dlouhodobá i krátkodobá posouzení, jsou znázorněny na Fig. 40.

Vyztužení

Pro nepředpjaté vyztužení se uvažuje ideálně pružno-plastický diagram napětí-přetvoření s definovanou mezí kluzu, viz ACI 319-19 CL. 20.2.1. Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze znalost základních vlastností vyztužení – pevnosti a modulu pružnosti.

Diagram napětí-přetvoření vyztužení může definovat také uživatel, ale v tomto případě není možné uvažovat vliv tahového zpevnění (není možné vypočítat šířku trhlin). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

kde:

Φ_s je redukční součinitel únosnosti pro vyztužení. Výchozí hodnota je nastavena podle ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y je mez kluzu vyztužení

E_s je modul pružnosti vyztužení

Jako mezní přetvoření, při kterém se výpočet zastaví, je zvoleno 10 %. To je považováno za bezpečné na základě ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Tahové zpevnění (Fig. 43)  je zohledněno automaticky úpravou vstupního vztahu napětí-přetvoření holé výztužné vložky tak, aby zachytil průměrnou tuhost vložek uložených v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhovými normami. Protože výpočetní modely využívají pouze standardní materiálové vlastnosti, lze formát dílčích součinitelů spolehlivosti předepsaný návrhovými normami použít bez jakýchkoli úprav. Vstupní zatížení se tak násobí součiniteli zatížení a charakteristické materiálové vlastnosti se redukují příslušnými součiniteli redukce pevnosti, přesně jako při běžném návrhu betonových konstrukcí.

Hodnoty součinitelů redukce pevnosti jsou předepsány v ACI 318-19 Cl. 21.2. Výchozí hodnoty pro beton a vyztužení jsou zvoleny s předpokladem, že typický příklad řešený v aplikaci je řízený smykem (podle Tabulky 21.2.1 (b), (f), (g)). Lze však modelovat jakýkoli typ prvku. Pokud se tedy posuzuje prvek řízený tlakem nebo tahem, má uživatel možnost změnit hodnotu součinitele redukce pevnosti v Předvolbách.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele zatížení pro kombinace pro mezní stav únosnosti se definují podle ACI 318-19 Table 5.3.1.

Kromě případů uvedených v Chapter 34 nejsou v ACI 318-19 definovány kombinace zatížení pro provozní úroveň. Doporučuje se použít pravidla pro kombinace založená na Appendix C normy ASCE/SEI 7-16. Pro všechny šablony jsou součinitele zatížení již předdefinovány.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Jednotlivá posouzení požadovaná normou ACI 318-19 se vyhodnocují na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení se provádějí pro únosnost betonu, únosnost vyztužení a kotvení (smyková napětí soudržnosti).

Únosnost betonu v tlaku se vyhodnotí jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím f_c (také σ₂ v Pomocných výsledcích) získaným z analýzy MKP a mezní hodnotou f'_c,lim.

Únosnost vyztužení se vyhodnocuje v tahu i v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v trhlinách f_s a stanovenou mezní hodnotou f_y,lim.

Smykové napětí soudržnosti se vyhodnocuje samostatně jako poměr mezi napětím soudržnosti τ_b vypočteným analýzou MKP a pevností soudržnosti f_bu.

Norma ACI však pevnost soudržnosti výslovně neuvádí, místo toho pracuje s výpočtem tzv. kotevní délky, který je popsán v kapitole 25.4.2. Protože je pevnost soudržnosti základním vstupním parametrem pro stanovení kotevní délky (viz R25.4.1.1 a ACI Committee 408 1966), lze ji vypočítat následovně:

Předpokládejme, že pokud prut vyztužení zakotvíme do betonového bloku na kotevní délku l_d nebo delší, povede vytažení vyztužení k přetržení vyztužení, a nikoli k vytažení z betonu. To lze zapsat následujícím vztahem.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

kde:

d_b je průměr prutu vyztužení, l_d je kotevní délka, f_bu je pevnost soudržnosti, f_y je mez kluzu vyztužení a A_s je plocha prutu vyztužení.

Z předchozího vztahu lze snadno odvodit vzorec pro výpočet pevnosti soudržnosti:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Kotevní délka l_d se poté stanoví podle tabulky 25.4.2.3 v ACI 318-19 takto:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

kde:

C = 25 (2,1 pro metrické jednotky) pro pruty č. 6 a menší a profilované dráty, C = 20 (1,7 pro metrické jednotky) pro pruty č. 7 a větší, λ = 1,0 pro beton běžné objemové hmotnosti, ψ_t, ψ_e, ψ_g se stanoví podle tabulky 25.4.2.3 v ACI 318-19. 

Podporováno je pouze vyztužení bez povrchové úpravy nebo pozinkované, proto ψ_e = 1,0. Hodnota ψ_g se určí automaticky z třídy vyztužení a ψ_t se automaticky odvodí z polohy vyztužení v modelu a ze směru betonování, který lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Tato posouzení se provádějí s ohledem na příslušné mezní hodnoty pro jednotlivé části konstrukce (tj. přestože je pro beton i pro vyztužení zadána jediná třída materiálu, výsledné diagramy napětí-přetvoření se budou v jednotlivých částech konstrukce lišit v důsledku účinků tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Existuje také možnost modelovat hladkou výztuž. Další informace naleznete zde: Hladká výztuž v Detail

Celková síla F_tot a mezní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

kde A_s je plocha prutu vyztužení a f_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly soudržnosti F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí soudržnosti τ_b po délce prutu vyztužení l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s je obvod prutu vyztužení.

Mezní síla F_lim je maximální síla v prvku prutu vyztužení s ohledem na únosnost prutu a také na podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a vyztužením a kotevní háky, smyčky atd.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

kde C_s je obvod prutu vyztužení a l je vzdálenost od začátku prutu do uvažovaného bodu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

kde F_lim,add je přídavná síla vypočtená z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Dostupné typy kotvení v CSFM zahrnují přímý prut (tj. bez redukce kotevního zakončení), háček 90°, háček 180°, dokonalou soudržnost a průběžný prut. Všechny tyto typy spolu s příslušnými součiniteli kotvení β jsou uvedeny na obr. 48 pro podélné vyztužení. Hodnoty použitých součinitelů kotvení jsou odvozeny porovnáním rovnice z kapitoly 25.4.3.1 normy ACI 318-19 a rovnic převzatých z kapitoly 25.4.2.3 normy ACI 318-19. Je třeba poznamenat, že přes různé dostupné možnosti rozlišuje CSFM tři typy kotevního zakončení: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce kotevní délky o 30 % v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalou soudržnost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Součinitel kotvení pro třmínky je vždy β = 1,0.

Aby byl výpočet v souladu s ACI, musí se použít kotevní pružina. Kotevní pružina je upravena součinitelem β, a proto musí uživatel při definování podmínek začátku a konce vyztužení použít jeden z dostupných typů kotvení. 

Při návrhu betonových konstrukcí se setkáváme se dvěma velkými skupinami částečně zatížených ploch (PLA). První z nich zahrnuje uložení, druhou tvoří kotevní oblasti. 

Podle aktuálně platných norem pro navrhování železobetonových konstrukcí ACI 318-19, kap. 22.8, je u uložení třeba uvažovat místní drcení betonu a příčné tahové síly. Při rovnoměrně rozloženém zatížení na ploše A_c1 lze tlakovou únosnost betonu zvýšit až dvojnásobně, podle návrhové roznášecí plochy A_c2. Viz tabulka 22.8.3.2 v ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Pro dodatečně předpjaté kotevní oblasti je třeba postupovat podle ACI 318-19, kap. 25.9.

Částečně zatížená plocha musí být dostatečně vyztužena příčnou výztuží navrženou tak, aby přenesla odštěpující síly vznikající v této oblasti. Bez požadované příčné výztuže nelze uvažovat zvýšení tlakové únosnosti betonu.

Částečně zatížené plochy v CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Pomocí CSFM je možné navrhovat a posuzovat železobetonové konstrukce se zohledněním vlivu zvýšené tlakové únosnosti betonu v částečně zatížených plochách. CSFM je model stěny (2D), zatímco částečně zatížené plochy jsou prostorovou (3D) úlohou. Bylo proto nutné najít řešení, které tyto dva odlišné typy úloh spojuje (Fig. 50). Pokud je aktivována funkce „částečně zatížené plochy“, vytvoří se geometrie přípustného kužele podle ACI (Fig. 49). Všechny geometrické kolize se řeší plně ve 3D pro zadanou geometrii betonového prvku a rozměry jednotlivých PLA. Následně se vytvoří výpočetní model částečně zatížené plochy.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Úprava materiálového modelu se ukázala jako nevhodný přístup, zejména proto, že přenos vlastností na síť konečných prvků je problematický. Jako vhodnější řešení byl určen přístup nezávislý na síti konečných prvků. Pro známou geometrii tlakového kužele se vytvoří zcela souvislé fiktivní vzpěry (Fig. 51 and Fig. 52). Tyto vzpěry mají stejné materiálové vlastnosti jako beton použitý v modelu, včetně diagramu napětí-přetvoření. Tvar kužele určuje směr vzpěr, které postupně roznášejí zatížení z PLA do návrhové roznášecí plochy. Plošná hustota fiktivních vzpěr se v jednotlivých částech kužele mění a přidává fiktivní plochu betonu ve směru zatížení. V úrovni zatížené plochy (A_c1) se přidá fiktivní plocha betonu podle poměru $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (kde A_real je plocha podpory uvažovaná ve 2D výpočetním modelu). Tato plocha se směrem k návrhové roznášecí ploše (A_c2) lineárně zmenšuje k nule. Toto řešení zajišťuje, že tlakové napětí v betonu je konstantní v celém objemu kužele.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Únosnost částečně zatížené plochy se zvyšuje podle poměru návrhové roznášecí plochy a zatížené plochy uvedeného v ACI 318-19, kap. 22.8.  Je třeba mít na paměti, že jde o návrhový model, který nemůže přesně popsat stav napětí v částečně zatížené ploše, jehož skutečný průběh je mnohem složitější. Toto řešení však umožňuje správný přenos zatížení do celého modelu při respektování zvýšené únosnosti částečně zatížené plochy. Navíc v této oblasti správně zavádí příčná napětí, takže lze správně navrhnout vyztužení na odštěpující síly.

Přípustné napětí v uložení 0.85f_c' je uvedeno v tabulce 22.8.3.2. Hustota je omezena tak, aby nebyla překročena maximální dvojnásobná únosnost daná vzorcem v tabulce 22.8.3.2(b).  

Pro kotevní oblasti se PLA v aplikaci používá stejným způsobem jako pro uložení. Proto je nutné místní oblasti definované v ACI 318-19, kap. 25.9, posoudit ručně podle ACI 318-19, čl. 25.9.3. PLA se tedy používá pouze k tomu, aby nebylo překročeno kritérium přetvoření v místní oblasti a výpočet se tak předčasně nezastavil. Naproti tomu výztuž přenášející rovinná napětí od roztržení a odlupování lze podle ACI 318-19, čl. 25.9.4.3.1 (b) přímo a výhodně ověřit v aplikaci.

Posouzení použitelnosti se provádí pro omezení napětí, šířku trhlin a limity průhybu. Napětí v betonu a ve vyztužení se kontrolují podle ACI 318-19 obdobně jako při posouzení únosnosti.

Omezení napětí

U předpjatých prvků třídy U a T se ověřují přípustná tlaková napětí v betonu při provozním zatížení. Podle tabulky R24.5.2.1 se u betonu, který se považuje za porušený trhlinami, kontrola omezení napětí nevyžaduje. Uživatel musí nastavit třídu předpjatého prvku v nastavení navrhovaného prvku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

Přípustné tlakové napětí pro prvky vystavené přechodnému zatížení stanovuje ACI 318-19 24.5.4.1 jako 0.6f_c'. Mez tlakového napětí 0.45f_c' byla stanovena ke snížení pravděpodobnosti porušení předpjatých betonových prvků v důsledku opakovaného zatížení. Tento limit se rovněž jevil jako rozumný pro vyloučení nadměrných deformací od dotvarování. Při vyšších hodnotách napětí mají přetvoření od dotvarování tendenci s rostoucím napětím narůstat rychleji.

Tlakové napětí v betonu se vyhodnocuje jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím f_c = σ_c2 získaným z analýzy metodou konečných prvků pro mezní stav použitelnosti a limitní hodnotou, která je stanovena na základě tabulky 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

V aplikaci je Předpětí plus trvalé zatížení považováno za dlouhodobou kombinaci a Předpětí plus celkové zatížení za krátkodobou kombinaci.

Průhyb

Podle zvoleného typu kombinace (dlouhodobá nebo krátkodobá) se vyhodnocuje dlouhodobý nebo krátkodobý průhyb. Maximální přípustnou hodnotu průhybu stanovuje uživatel a musí ji zvolit v souladu s ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

V aplikaci lze zobrazit průhyby od stálého zatížení Δ_DL a užitného zatížení Δ_LL samostatně, stejně jako celkový průhyb Δ_Tot (stálé + užitné), a to vše při zobrazení deformovaného tvaru.

Průhyby na oříznutých koncích nelze posoudit.

Šířka trhlin

Šířky trhlin a orientace trhlin se počítají pro krátkodobé nebo dlouhodobé kombinace pro mezní stav použitelnosti. Protože ACI přímo nepředepisuje limitní šířky trhlin, musí uživatel zadat limitní šířku trhliny w_lim.

Posouzení se uvádí takto:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

kde:

w         krátkodobá nebo dlouhodobá šířka trhliny vypočtená analýzou metodou konečných prvků,

w_lim     limitní hodnota šířky trhliny definovaná uživatelem.

Metoda výpočtu šířek trhlin používaná v aplikaci, podrobněji popsaná také v tomto dokumentu, je v souladu s ACI 224R-01. Pro stanovení limitních hodnot šířky trhlin je proto možné použít tabulku 4.1 z ACI 224R-01.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Šířky trhlin lze vypočítat dvěma způsoby (stabilizované a nestabilizované trhliny). V obecném případě (stabilizované trhliny) se šířka trhliny vypočítá integrací přetvoření na 1D prvcích výztužných prutů. Směr trhliny se poté vypočítá ze tří nejbližších integračních bodů (od středu daného 1D konečného prvku vyztužení) 2D prvků betonu. Přestože tento přístup k výpočtu směrů trhlin neodpovídá skutečné poloze trhlin, poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin srovnatelným s hodnotami šířky trhlin požadovanými normou v místě výztužného prutu.

Beton - pevnost

Model betonu implementovaný pro výpočty pevnosti v CSFM vychází z předpokladů rovnováhy a slučitelnosti přetvoření, které jsou základem návrhu podle pevnosti v AASHTO LRFD. V souladu s článkem 5.6.2.1 normy AASHTO LRFD (2024) se tahová pevnost betonu zanedbává.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení betonu v tlaku vyjádřené pomocí přetvoření (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_c0 s maximální hodnotou 5 %, zatímco AASHTO LRFD (2024) v článku 5.6.2.1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí, které se porušují tlakem. Pevnost je však predikována správně, pokud se kromě součinitele popraskaného betonu (k_c2 definovaného na (Fig. 57)) zohlední také nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α₁ je redukční součinitel pevnosti betonu v tlaku definovaný v článku 5.6.2.2 normy AASHTO LRFD (2024). Při použití pracovního diagramu napětí-přetvoření typu parabola-obdélník je nutné maximální tlakové napětí tímto součinitelem snížit. Tím se zprůměruje rozdělení napětí v tlačené oblasti tak, že výsledná tlaková pevnost je menší nebo rovna tlakové pevnosti vypočtené pomocí pracovního diagramu napětí-přetvoření s klesající plastickou větví.

Φ_c je součinitel spolehlivosti pro beton. Výchozí hodnota je nastavena podle článku 5.5.4.2 normy AASHTO LRFD (2024).

k_c2 je redukční součinitel zohledňující výskyt příčných trhlin.

f'_c je válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 je redukční součinitel vycházející ze stejných předpokladů jako součinitel účinnosti betonu ν uvedený v AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a a v tabulce 5.8.2.5.3a-1, s tím rozdílem, že v CSFM se přítomnost hlavního tahového napětí kolmého na hlavní tlakové napětí kontroluje pro každý konečný prvek (nikoli pouze pro uzly modelu vzpěra-táhlo).

Beton – použitelnost

Analýza použitelnosti obsahuje určitá zjednodušení konstitutivních modelů, které se používají pro analýzu pevnosti. Plastická větev pracovního diagramu betonu v tlaku se zanedbává, přičemž elastická větev je lineární a neomezená. Zákon tlakového změkčení se neuvažuje. Tato zjednodušení zvyšují numerickou stabilitu a rychlost výpočtu a nesnižují obecnost řešení, pokud jsou výsledná mezní napětí materiálů v mezním stavu použitelnosti jednoznačně pod jejich mezí kluzu (v souladu s přístupem AASHTO LRFD pro mezní stav použitelnosti). Zjednodušené modely používané pro použitelnost jsou proto platné pouze tehdy, jsou-li splněny všechny požadavky na posouzení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Dlouhodobé účinky

Dlouhodobý konstitutivní zákon (červená křivka na Fig. 59) se používá pro výpočet šířky trhlin, celkového průhybu a omezení napětí u předpjatých prvků, pokud je v horní liště vybrán dlouhodobý účinek. V aplikaci IDEA StatiCa Detail se pro ověření dlouhodobých účinků používá efektivní modul pružnosti, jak je uvedeno v AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

kde:
E_c je modul pružnosti definovaný v článku 5.4.2.4 normy AASHTO LRFD (2024)
ψ je součinitel dotvarování definovaný v článku 5.4.2.3.2 normy AASHTO LRFD (2024)

Součinitele dotvarování definuje uživatel ve vlastnostech materiálu.

Krátkodobé účinky

Pro provedení krátkodobých ověření se provede další výpočet, ve kterém jsou všechna zatížení počítána bez součinitele dotvarování. Oba výpočty, pro dlouhodobá i krátkodobá ověření, jsou znázorněny na Fig. 59.

Vyztužení

Pro nepředpjatou výztuž se uvažuje ideálně pružně-plastický pracovní diagram napětí-přetvoření s definovanou mezí kluzu, viz článek 5.4.3 normy AASHTO LRFD (2024). Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze znalost základních vlastností výztuže – pevnosti a modulu pružnosti.

Pracovní diagram napětí-přetvoření výztuže může definovat také uživatel, v tom případě však není možné uvažovat tahové zpevnění (není možné vypočítat šířku trhlin). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

kde:

Φ_s je součinitel spolehlivosti pro výztuž. Výchozí hodnota je nastavena podle článku 5.5.4.2 normy AASHTO LRFD (2024).

f_y je mez kluzu výztuže

E_s je modul pružnosti výztuže

Jako mezní přetvoření, při kterém se výpočet zastaví, je zvoleno 10 %. To se na základě článku 7 normy ASTM A955/A955M-20c považuje za bezpečné.

Tahové zpevnění (Fig. 61)  se zohledňuje automaticky úpravou vstupního vztahu napětí-přetvoření holého betonářského prutu tak, aby zachytilo průměrnou tuhost prutů uložených v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method vyhovuje moderním návrhovým normám. Výpočetní modely používají pouze standardní vlastnosti materiálů, proto lze formát dílčích součinitelů spolehlivosti předepsaný normami použít bez jakýchkoli úprav. Vstupní zatížení se tedy násobí součiniteli zatížení a charakteristické vlastnosti materiálů se snižují příslušnými součiniteli únosnosti, přesně jako v konvenčním posouzení betonových konstrukcí.

Hodnoty součinitelů únosnosti jsou předepsány v AASHTO LRFD (2024), článek 5.5.4. Výchozí hodnoty pro beton a vyztužení jsou zvoleny konzervativně, a to za předpokladu, že typickým řešeným příkladem je D-oblast, tedy typický případ pro metodu SaT. Lze však modelovat jakýkoli typ prvku. Pokud se tedy posuzuje prvek řízený tlakem nebo tahem, má uživatel možnost změnit hodnotu redukčního součinitele pevnosti v nabídce Preferences.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele zatížení a kombinace zatížení se definují podle AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), článek 3.4.1 a tabulky 3.4.1-1 až 3.4.1-6. Norma AASHTO LRFD výslovně stanovuje kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti (Strength I až Strength V) i kombinace zatížení pro mezní stav použitelnosti (Service I až Service IV), včetně odpovídajících součinitelů zatížení pro každý případ.

Pro každou šablonu obsahuje program předdefinované základní kombinace, které je nutné doplnit podle zpracovávaného prvku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Jednotlivá posouzení požadovaná normou AASHTO se vyhodnocují na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení se provádějí pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smyková napětí v soudržnosti).

Pevnost betonu v tlaku se vyhodnocuje jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím f_c (v Pomocných výsledcích také σ₂) získaným z MKP analýzy a mezní hodnotou f'_c,lim.

Pevnost vyztužení se vyhodnocuje v tahu i v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v trhlinách f_s a stanovenou mezní hodnotou f_y,lim.

Smykové napětí v soudržnosti se vyhodnocuje samostatně jako poměr mezi napětím v soudržnosti τ_b vypočteným MKP analýzou a pevností soudržnosti f_bu.

Protože však pevnost soudržnosti není v normě AASHTO explicitně definována, musí se její hodnota určit z rovnic, které definují kotevní délku. Pevnost soudržnosti je totiž primárním vstupem pro určení kotevní délky; viz například AASHTO LRFD (2024), článek C5.10.8.2, nebo NCHRP Report 733, příloha E, strana E-9.

Výpočet popsaný v AASHTO LRFD (2024), články 5.10.8.2.1 a 5.10.8.2.2, vyžaduje znalost maximální osové vzdálenosti příčného vyztužení v rámci l_d, počtu prutů nebo drátů kotvených v rovině odštěpení, celkové plochy průřezu veškerého příčného vyztužení a dalších geometrických veličin, které nelze v modelu aplikace Detail pro obecné zadání spolehlivě určit. Proto byl převzat postup z AASHTO LRFD (2014), článek 5.11.2.1.1, a to následujícím způsobem:

Předpokládejme, že pokud výztužný prut zakotvíme do betonového bloku na kotevní délku l_d nebo větší, povede vytahování vyztužení k přetržení vyztužení, nikoli k vytažení z betonu. To lze zapsat následujícím vztahem.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

kde:

• d_b je průměr výztužného prutu
• l_d je kotevní délka
• f_bu je pevnost soudržnosti
• f_y je mez kluzu vyztužení
• A_b je plocha výztužného prutu

Z předchozího lze snadno odvodit vztah pro výpočet pevnosti soudržnosti.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Základní kotevní délka v tahu l_db je v AASHTO LRFD (2014), článek 5.11.2.1.1, určena takto:

Pro prut č. 11 a menší:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Pro prut č. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Pro prut č. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

kde:

• A_b je plocha výztužného prutu (in²)
• f_y je stanovená mez kluzu vyztužení (ksi)
• f'_c je stanovená pevnost betonu v tlaku po 28 dnech, pokud není stanoveno stáří jiné (ksi)
• d_b je průměr výztužného prutu (in)

Vynásobením základní kotevní délky l_db součiniteli popsanými v AASHTO LRFD (2014), články 5.11.2.1.2 a 5.11.2.1.3, se pak určí kotevní délka l_d jako vstupní hodnota.

Opravné součinitele snižující kotevní délku podle 5.11.2.1.3 jsou v aplikaci vždy rovny 1,0. Opravný součinitel pro horní vodorovné nebo téměř vodorovné vyztužení je roven 1,4 pro „špatné“ podmínky soudržnosti podle následujícího obrázku:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

Směr betonáže lze nastavit v aplikaci.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Všechny ostatní součinitele určené v 5.11.2.1.2 jsou rovny 1,0, protože je podporován pouze beton běžné objemové hmotnosti a pouze vyztužení bez povrchové úpravy.

Smykové napětí v soudržnosti a pevnost soudržnosti tlačených prutů se počítají obdobně jako u tažených prutů, ale používají se rovnice z AASHTO LRFD (2014), článek 5.11.2.2.

Je také možné modelovat hladké výztužné pruty. Více informací naleznete zde: Hladké výztužné pruty v Detail

Celková síla F_tot a mezní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

kde A_b je plocha výztužného prutu a f_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly v soudržnosti F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla v soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí v soudržnosti τ_b po délce výztužného prutu l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s je obvod výztužného prutu.

Mezní síla F_lim je maximální síla v prvku výztužného prutu s ohledem na pevnost prutu a také na podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a vyztužením a kotevní háky, smyčky apod.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

kde C_s je obvod výztužného prutu a l je vzdálenost od začátku výztužného prutu do sledovaného bodu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

kde F_lim,add je dodatečná síla vypočtená z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Dostupné typy kotvení v CSFM zahrnují přímý prut (tj. bez redukce kotevního konce), 90° hák, 180° hák, dokonalou soudržnost a spojitý prut. Všechny tyto typy spolu s příslušnými součiniteli kotvení β jsou pro podélné vyztužení uvedeny na obr. 67. Hodnoty přijatých součinitelů kotvení jsou odvozeny porovnáním rovnice z AASHTO LRFD (2014), článek 5.11.2.1, a rovnic převzatých z AASHTO LRFD (2014), článek 5.11.2.4.1. Je třeba poznamenat, že navzdory různým dostupným možnostem rozlišuje CSFM tři typy kotevních konců: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce kotevní délky o 30 % v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalou soudržnost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Součinitel kotvení pro třmínky (dostupný pro prvek Beam) je vždy β = 1,0.

Aby byly splněny požadavky normy AASHTO, je třeba při výpočtu použít kotevní pružinu. Kotevní pružina je upravena součinitelem β, takže uživatel musí při definování počátečních a koncových podmínek vyztužení použít jeden z dostupných typů kotvení. 

Při návrhu betonových konstrukcí se setkáváme se dvěma velkými skupinami částečně zatížených ploch (PLA). První z nich tvoří uložení, druhou kotevní oblasti. 

Podle aktuálně platných norem pro navrhování železobetonových konstrukcí je u uložení nutné uvažovat místní drcení betonu a příčné tahové síly. Pro rovnoměrné zatížení plochy A₁ lze tlakovou únosnost betonu zvýšit až na dvojnásobek v závislosti na návrhové roznášecí ploše A₂. Viz AASHTO LRFD (2024), článek 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Pro kotevní oblasti dodatečně předpjatých prvků je třeba postupovat podle AASHTO LRFD (2024), článek 5.8.4.4.

Částečně zatížená plocha musí být dostatečně vyztužena příčným vyztužením navrženým tak, aby přenášelo odštěpující síly, které v oblasti vznikají. Bez požadovaného příčného vyztužení nelze uvažovat zvýšení tlakové únosnosti betonu.

Částečně zatížené plochy v CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Pomocí CSFM lze navrhovat a posuzovat železobetonové konstrukce se zahrnutím vlivu zvyšující se tlakové únosnosti betonu v částečně zatížených plochách. CSFM je model stěny (2D), zatímco částečně zatížené plochy představují prostorovou (3D) úlohu. Bylo proto nutné najít řešení, které tyto dva odlišné typy úloh propojí (Obr. 69). Pokud je aktivována funkce „částečně zatížené plochy“, vytvoří se podle ACI přípustná geometrie kužele (Obr. 68). Všechny geometrické kolize se řeší plně ve 3D pro zadanou geometrii betonového prvku a rozměry jednotlivých PLA. Následně se vytvoří výpočetní model částečně zatížené plochy.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Úprava materiálového modelu se ukázala jako nevhodný přístup, zejména proto, že přenos vlastností na síť konečných prvků je problematický. Bylo zjištěno, že vhodnějším řešením je přístup nezávislý na síti konečných prvků. Pro známou geometrii tlakového kužele se vytvoří zcela souvislé fiktivní vzpěry (Obr. 70 a obr. 71). Tyto vzpěry mají stejné materiálové vlastnosti jako beton použitý v modelu, včetně diagramu napětí-přetvoření. Tvar kužele určuje směr vzpěr, které postupně roznášejí zatížení z PLA do návrhové roznášecí plochy. Plošná hustota fiktivních vzpěr se v jednotlivých částech kužele mění a přidává fiktivní plochu betonu ve směru zatížení. Na úrovni zatížené plochy (A₁) se přidá fiktivní plocha betonu podle poměru $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  (kde A_real je plocha podpory uvažovaná ve 2D výpočetním modelu). Tato plocha se směrem k návrhové roznášecí ploše (A₂) lineárně snižuje až na nulu. Toto řešení zajišťuje, že tlakové napětí v betonu je konstantní v celém objemu kužele.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Únosnost částečně zatížené plochy se zvyšuje podle poměru návrhové roznášecí plochy a zatížené plochy uvedeného v AASHTO LRFD (2024), článek 5.6.5.  Je třeba mít na paměti, že jde o návrhový model, který nemůže přesně popsat stav napjatosti v částečně zatížené ploše, jejíž skutečný průběh je mnohem složitější. Toto řešení však umožňuje správné rozdělení zatížení do celého modelu při respektování zvýšené únosnosti částečně zatížené plochy. Navíc správně zavádí příčná napětí v této oblasti, a umožňuje tak správně navrhnout vyztužení na odštěpující síly.

Přípustné napětí v uložení 0.85f_c' je uvedeno v AASHTO LRFD (2024), článek 5.8.4.4. Hustota je omezena tak, aby nebyla překročena maximální dvojnásobná únosnost uvedená ve vztahu 5.6.5-3.  

Pro kotevní oblasti se v aplikaci PLA používá stejným způsobem jako pro uložení. Proto je nutné tlaková napětí v lokálních a globálních oblastech definovaná v článcích 5.8.4.4 a 5.8.4.5 kontrolovat ručně. PLA se tedy používá pouze k tomu, aby nebylo překročeno kritérium přetvoření v lokální oblasti, a výpočet se tak předčasně nezastavil. Naproti tomu vyztužení odolávající tahovým napětím od roztržení, odštěpování v rovině a na okraji v obecných oblastech (definovaných v článku 5.8.4.5) lze přímo a s výhodou ověřit v aplikaci.

Posouzení použitelnosti se provádí pro omezení napětí, šířku trhlin a limity průhybu. Napětí se kontrolují v betonu a ve vyztužení podle AASHTO LRFD obdobným způsobem, jaký je stanoven pro mezní stav únosnosti.

Omezení napětí

Tlakové napětí v betonu se vyhodnocuje pouze pro předpjaté prvky (pokud je v modelu přítomen zatěžovací stav předpětí) jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím f_c = σ_c2 získaným z analýzy metodou konečných prvků pro použitelnost a limitními hodnotami, které jsou stanoveny na základě tabulky 5.9.2.3.2a-1 AASHTO LRFD.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

V aplikaci se předpětí plus stálé zatížení posuzuje jako zatížení Sustain a předpětí, stálé a nahodilé zatížení jako zatížení Total.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

Navíc je vždy možné provést analýzu krátkodobých i dlouhodobých účinků, a to s použitím materiálových modelů, které zohledňují nebo nezohledňují součinitel dotvarování – viz část „Materiálové modely (AASHTO)“.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Průhyb

Okamžité a celkové průhyby se vyhodnocují pro každou kombinaci, ve které je vyhodnocení průhybu povoleno. 

• Pro okamžité průhyby se používá modul pružnosti E_c podle článku 5.4.2.4 AASHTO LRFD (2024). 
• Pro celkové průhyby se používá efektivní modul pružnosti E_c,eff podle článku C5.12.5.3.6 AASHTO LRFD (2024). 

Viz kapitola „Materiálové modely (AASHTO) – Beton – Použitelnost“ v tomto dokumentu.

Samotné posouzení průhybu se zapíná v horním pásu karet. Uživatel zadává limitní hodnoty průhybu podle článku 2.5.2.6.2 AASHTO LRFD (2024) v závislosti na typu posuzovaného prvku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Průhyby na oříznutých koncích nelze posoudit.

Šířka trhlin

Šířky a směry trhlin se počítají pouze pro dlouhodobé účinky (s použitím E_c,eff podle článku C5.12.5.3.6 AASHTO LRFD (2024)) pro kombinace, ve kterých je vyhodnocení šířky trhlin povoleno. Posouzení na základě limitních hodnot zadaných uživatelem je následující:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

kde:

w         je šířka trhliny vypočtená analýzou metodou konečných prvků,

w_lim     je limitní hodnota šířky trhliny definovaná uživatelem.

Limitní hodnota w_lim se stanoví na základě typu prvku a stupně vlivu prostředí v souladu s článkem 5.6.7 AASHTO LRFD (2024) a jeho komentářem. 

Šířky trhlin lze vypočítat dvěma způsoby (stabilizované a nestabilizované trhliny). V obecném případě (stabilizované trhliny) se šířka trhliny vypočítá integrací přetvoření na 1D prvcích výztužných prutů. Směr trhliny se poté vypočítá ze tří nejbližších integračních bodů 2D betonových prvků (od středu daného 1D konečného prvku vyztužení). Tento postup výpočtu směrů trhlin sice neodpovídá skutečné poloze trhlin, přesto poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin srovnatelným s hodnotami šířky trhlin požadovanými normou v místě výztužného prutu.

Beton – únosnost

Model betonu implementovaný pro výpočty únosnosti v CSFM vychází z parabolicko-plastické křivky napětí-přetvoření. Tahová pevnost se zanedbává, stejně jako v klasickém návrhu železobetonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření betonu v tlaku (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_c0 s maximální hodnotou 5 %, zatímco AS 3600 čl. 8.3.1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí, které selhávají v tlaku. Únosnost je však předpovězena správně, pokud se kromě součinitele betonu s trhlinami (k_c2 definovaného na (Fig. 77)) zohlední také zvýšení křehkosti betonu s rostoucí pevností, a to pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 takto:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α₂ je redukční součinitel tlakové pevnosti betonu definovaný v AS 3600 čl. 8.3.1
Při použití diagramu napětí-přetvoření typu parabola-obdélník je nutné maximální tlakové napětí tímto součinitelem snížit. Tím se zprůměruje rozdělení napětí v tlačené oblasti tak, aby výsledná tlaková únosnost byla menší nebo rovna tlakové únosnosti vypočtené pomocí diagramu napětí-přetvoření s klesající plastickou větví. Obdobný postup je definován pro obdélníkový rozdělení napětí v kapitole 8.1.3.

Φ_s je redukční součinitel napětí pro beton. Výchozí hodnota je nastavena podle AS 3600 Table 2.2.3.