W praktyce metody Strut-and-Tie (S&T) oraz metody pól naprężeń są standardowo stosowane do projektowania stref nieciągłości w konstrukcjach żelbetowych i sprężonych. Compatible Stress Field Method (CSFM) powstała w wyniku rozszerzenia tych klasycznych teorii. Umożliwia wysoki stopień automatyzacji i jest zgodna z normą projektową. Pomimo swojej prostoty metoda bardzo realistycznie opisuje zachowanie konstrukcji betonowej zarówno w stanie granicznym nośności (SGN), jak i w stanie granicznym użytkowalności (SGU). CSFM jest zaimplementowana w programie IDEA StatiCa Detail.
Rys. 1 a) Ściana z otworami b) Ściana ścinana c) Belka z podcięciami na końcach i otworami d) Filar mostowy e) Przepona mostowa
Standardowe procedury projektowania przekrojów poprzecznych konstrukcji betonowych mają zastosowanie w obszarach, w których obowiązuje hipoteza Bernoulliego-Naviera o płaskim rozkładzie odkształceń (strefa B). Miejsca, w których ta hipoteza nie obowiązuje, nazywamy strefami nieciągłości (D-Regions). Należą do nich części konstrukcji, w których występują obciążenia skupione lub gdzie następuje nagła zmiana przekroju poprzecznego, takie jak podcięcia (rys. 1c), belki wysokie, ściany z otworami (rys. 1a, 1b), wsporniki czy oczepy pali. W mostownictwie są to np. głowice filarów (rys. 1d), przepony (rys. 1e), dewiatory itp.
1. Strut and Tie Method
Podstawowym założeniem przy definiowaniu modelu S&T jest pominięcie wytrzymałości betonu na rozciąganie. Prosty model kratownicowy składa się z elementów ściskanych i rozciąganych, które odzwierciedlają zachowanie w SGN. Zazwyczaj nie jest to złożone zagadnienie, a zdefiniowanie podstawowego modelu S&T (rys. 2a) nie powinno sprawiać problemu doświadczonemu inżynierowi. Jednak nawet w przypadku tego podstawowego zadania poprawna weryfikacja modelu zgodnie z normą projektową może być żmudnym, ręcznym i iteracyjnym procesem.
Rys. 2 a) Model S&T – wariant 1 b) Model S&T – wariant 2 c) Model S&T – wariant
Należy sprawdzić ściągi, strefy węzłowe oraz poprzeczne odkształcenie rozciągające w krzyżulcach ściskanych. Jeśli model nie spełnia warunków sprawdzenia, trzeba skorygować geometrię S&T lub wybrać inny model S&T (rys. 2b, 2c). Często prowadzi to do tego, że inżynier konstruktor wybiera geometrię modelu S&T tylko raz i sprawdza wyłącznie zbrojenie. Może to skutkować znacznym błędem. Wybór modelu zawsze zależy od doświadczenia. W przypadku bardziej złożonych detali konstrukcyjnych dobór modelu S&T, który będzie wystarczająco dobrze odpowiadał rzeczywistemu zachowaniu konstrukcji, może nie być tak prosty jak w powyższym przykładzie. Ponadto S&T jest metodą przeznaczoną wyłącznie do projektowania w stanach granicznych nośności. Nie pozwala na projektowanie w stanach granicznych użytkowalności (odkształcenia, zarysowanie), które są kluczowymi kryteriami, zwłaszcza w konstrukcjach o istotnym znaczeniu, ponieważ bezpośrednio wpływają na trwałość konstrukcji.
2. Compatible Stress Field Method - CSFM
CSFM jest nowoczesną metodą nieliniową do analizy stref nieciągłości i elementów, których zachowanie można uprościć do płaskiego stanu naprężenia, czyli modelu 2D. Mimo to nadal opiera się na podstawowym i bezpiecznym założeniu norm: beton nie przenosi rozciągania, a całe rozciąganie musi zostać przejęte przez zbrojenie. Compatible Stress Field Method (CSFM) jest rozwinięciem metod S&T i pól naprężeń. Eliminuje ich główne wady wspomniane powyżej: niepewność przy wyborze modelu, trudność w automatyzacji oraz brak możliwości sprawdzenia stanów granicznych użytkowalności.
Rys. 3 a) Płaski stan odkształcenia b) Naprężenia główne c) CSFM
Zasadę CSFM można wyjaśnić na przykładzie płaskiego stanu naprężenia podstawowego elementu płaskiego konstrukcji żelbetowej. Rys. 3a przedstawia podstawowy element 2D w płaskim stanie naprężenia, tak jak znamy go ze wszystkich podręczników z zakresu teorii sprężystości i wytrzymałości materiałów. Jest to naprężenie w jednym punkcie konstrukcji, uzyskane na przykład w liniowo-sprężystej analizie metodą elementów skończonych (MES). Element jest poddany poziomemu naprężeniu normalnemu σx, pionowemu naprężeniu normalnemu σz oraz naprężeniu ścinającemu τxz. Na podstawie tych naprężeń można wyznaczyć tzw. naprężenia główne oraz ich kierunek określony kątem θ (rys. 3b). Element jest wówczas poddany głównemu naprężeniu rozciągającemu σ1 oraz głównemu naprężeniu ściskającemu σ2.
Jak będzie wyglądać odkształcenie tego samego elementu analizowanego metodą CSFM? Odkształcenie pokazano na rysunku 3c. Ściskany beton pojawia się w kierunku głównego naprężenia ściskającego σ2. Powstaje wtedy pole naprężeń o naprężeniu σc2. Jak wspomniano powyżej, podstawowym założeniem jest to, że beton nie przenosi rozciągania. Dlatego poprzeczne główne naprężenie rozciągające σ1 nie zostanie przeniesione przez beton, a rysa powstanie prostopadle do tego kierunku. Naprężenie σc1r musi więc wynosić zero. Aby uniknąć zniszczenia naszego elementu 2D, całe naprężenie rozciągające musi zostać przeniesione przez zbrojenie (oznaczone na niebiesko na rys. 3c), które musi być częścią modelu obliczeniowego.
Jeśli taka analiza naprężeń zostanie wykonana metodą CSFM w sposób ciągły w całym analizowanym obszarze 2D, wynikiem jest ciągłe pole ściskania w betonie oraz naprężenia rozciągające i ściskające w zbrojeniu. Uproszczone graficzne przedstawienie pola naprężeń CSFM pokazano na rysunku 4. Oprócz stopni wykorzystania betonu i zbrojenia rysunek wskazuje również zmienne kierunki obliczonych naprężeń σc2 w poszczególnych obszarach.
Rys. 4 Wyniki ogólne z programu IDEA StatiCa Detail
Analiza detalu lub konstrukcji z zastosowaniem CSFM opiera się na Metodzie Elementów Skończonych. Beton jest modelowany za pomocą elementów tarczowych 2D, a zbrojenie za pomocą elementów prętowych 1D (rys. 7). Analiza nie jest wykonywana w jednym kroku, ponieważ jest to zagadnienie nieliniowe. Obciążenia są przykładane w przyrostach podczas obliczeń, a rozwiązanie nieliniowego układu równań wyznacza się za pomocą metody Newtona-Raphsona.
Fikcyjne rozmyte rysy (ε1 jest wartością średnią) „powstają" prostopadle do kierunku naprężeń głównych, który może się zmieniać w trakcie obliczeń nieliniowych, ponieważ element „stopniowo ulega zarysowaniu" w kolejnych przyrostach obciążenia. Podsumowując, przyjmuje się fikcyjną, wolną od naprężeń, obracającą się rysę.
Wynikiem rozwiązania MES z zastosowaniem CSFM jest zgodne pole naprężeń (tzn. beton w modelu nie rozpada się na pojedyncze, niezależnie działające krzyżulce) oraz stan odkształcenia, które są ciągłe w całym rozwiązywanym obszarze 2D. Jest to istotna zaleta w porównaniu z klasycznymi podejściami S&T i pozwala na automatyzację oraz doprecyzowanie modelu obliczeniowego, jak opisano w kolejnych akapitach.
Rys. 5 Zasada mięknięcia betonu
Prosta formuła CSFM pozwala na zastosowanie standardowego jednoosiowego paraboliczno-prostokątnego wykresu naprężenie-odkształcenie dla betonu ściskanego zgodnie z normą projektową. Jak powszechnie wiadomo, wytrzymałość betonu na ściskanie maleje, gdy beton ulega uszkodzeniu przez poprzeczne rysy (rys. 5). Ten tzw. efekt compression softening jest uwzględniany w metodzie poprzez automatyczne uwzględnienie efektywnej wytrzymałości betonu na ściskanie.
Na podstawie poziomu poprzecznych odkształceń rozciągających ε1 wyznacza się współczynnik redukcyjny kc i korygowany jest wykres naprężenie-odkształcenie betonu (rys. 5). Ponieważ pole odkształceń w całej konstrukcji jest znane, efektywną wytrzymałość betonu na ściskanie można obliczyć automatycznie w poszczególnych przekrojach, w zależności od lokalnego poziomu poprzecznych odkształceń rozciągających ε1.
Rys. 6 Zasada tension stiffening
Ponadto CSFM uwzględnia efekt usztywnienia zbrojenia przez beton rozciągany pomiędzy rysami, tzw. tension stiffening. W modelu obliczeniowym stosuje się średni stopień zbrojenia εm. Następnie modyfikowany jest wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia (rys. 6). Pozwala to na realistyczne odwzorowanie sztywności konstrukcji żelbetowej uszkodzonej przez rysy. Nadal jednak obowiązuje zasada, że wytrzymałość betonu na rozciąganie nie wpływa na nośność graniczną. Dla projektowania decydujące jest maksymalne naprężenie w zbrojeniu σsr w rysach (rys. 6).
CSFM wykorzystuje powszechnie stosowane jednoosiowe modele materiałowe (wykresy naprężenie-odkształcenie) zdefiniowane w normach projektowych. Do sprawdzenia SGN stosuje się następnie standardowe podejście, czyli metodę częściowych współczynników bezpieczeństwa. Prostota metody sprawia, że nadaje się ona do praktyki inżynierskiej i jest zgodna z normami projektowymi.
Mimo że jest to nieliniowa analiza MES, inżynier konstruktor nie musi wprowadzać do obliczeń dodatkowych właściwości materiałowych i charakterystyk betonu, które mogą nie być dostępne na etapie projektowania, a które są niezbędne np. w nieliniowych analizach MES opartych na mechanice pękania. Jak już wspomniano, główną zaletą analizy CSFM, oprócz stanów granicznych nośności, jest możliwość sprawdzenia stanów granicznych użytkowalności: ugięć, ograniczeń naprężeń, a w szczególności szerokości rys.
Rys. 7 Przykład odwzorowania modelu elementów skończonych w programie IDEA StatiCa Detail
(Rys. 7) Model MES w CSFM składa się z kilku typów elementów skończonych:
- element 1D o sztywności osiowej dla zbrojenia
- element izoparametryczny 2D dla betonu
- sprężyny końcowe dla modelu zakotwienia zbrojenia z zakończeniem prętów
- specjalny element 2D do modelowania przyczepności pomiędzy zbrojeniem a betonem
- sztywne i interpolujące więzy (Multi-Point Constraints, MPC) pomiędzy elementami przyczepności a betonem
Jeżeli zaprojektowane zbrojenie zapobiega kruchemu zniszczeniu elementu, CSFM, mimo prostoty sformułowania, daje bardzo dobre prognozy zachowania i nośności granicznej konstrukcji. Innymi słowy, metoda nie nadaje się na przykład do projektowania belek bez poprzecznego zbrojenia na ścinanie, które wykazują potencjalnie kruche zachowanie. Weryfikacje metody, w tym badania doświadczalne, przedstawiono w [1]. Bardziej szczegółowy opis metody wykracza poza zakres tego artykułu i można go również znaleźć w Theoretical Background.
Zasady CSFM mają charakter ogólny, a zatem jej zastosowanie nie ogranicza się do stref nieciągłości. Można ją wykorzystać do modelowania całych elementów, np. prefabrykowanych dźwigarów, o ile element można uprościć do płaskiego modelu 2D. Metoda i jej implementacja w oprogramowaniu (IDEA StatiCa Detail) zostały również rozszerzone o możliwość definiowania zbrojenia sprężonego i sprężania kablami.
3. Przykład projektowania głowicy filara
Praktyczne zastosowanie CSFM pokazano na przykładzie projektu głowicy filara mostowego na rysunku 8. Jest to drugi filar mostu ciągłego o trzech przęsłach o długościach 30,0 m, 42,0 m i 30,0 m. Głowica żelbetowego filara jest zaprojektowana z betonu C40/50, a jej grubość (w kierunku podłużnym mostu) wynosi 2,0 m.
Rys. 8 Głowica filara: a) Podsumowanie projektu; b) Naprężenia ściskające w betonie w SGN; c) Naprężenia rozciągające w zbrojeniu w SGN; d) Szerokość rys w SGU
W górnej części głowicy filara zaprojektowano najpierw rygiel poprzeczny ze zbrojeniem B500 20xϕ28+20xϕ25 – w czterech górnych warstwach. Rysunek 8a przedstawia podsumowanie projektu w stanie granicznym nośności, ze wskazaniem naprężeń ściskających w betonie, kierunków naprężeń ściskających oraz naprężeń w zbrojeniu. Dokładniejszy rozkład naprężeń w betonie i zbrojeniu pokazano na rysunkach 8b i 8c. Zbrojenie poprzeczne jest tuż poniżej granicy plastyczności, a naprężenia w betonie (i odpowiadające im odkształcenia) są w SGN zadowalające. Jednak wynik obliczenia szerokości rys (rys. 8d) pokazuje, że projekt nie spełnia wymagań w SGU: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Aby spełnić ograniczenie szerokości rys, należy zwiększyć zbrojenie rygla poprzecznego do 20xϕ32+20xϕ28. W przypadku wlim = 0,2 mm (np. filar w pobliżu drogi, na którą oddziałuje mgła solna, klasa oddziaływania środowiska XF2) zbrojenie rygla poprzecznego należałoby zwiększyć nawet do 24xϕ32+24xϕ28.
Podsumowanie
CSFM jest dobrze dostosowana do praktyki inżynierskiej, ponieważ wykorzystuje proste modele materiałowe zdefiniowane w normie projektowej. Oprócz stanów granicznych nośności umożliwia również projektowanie w stanach granicznych użytkowalności. Ich sprawdzenie było wcześniej trudne do wyobrażenia przy zastosowaniu modeli S&T. Dzięki implementacji metody w programie IDEA StatiCa Detail można realistycznie odwzorować zachowanie konstrukcji oraz efektywnie i bezpiecznie projektować i sprawdzać strefy nieciągłości oraz większe zespoły konstrukcyjne.
CSFM została opracowana głównie dzięki pracy profesora Waltera Kaufmanna, kierownika Katedry Inżynierii Konstrukcji (Chair of Structural Engineering) w Szwajcarskim Federalnym Instytucie Technologii (ETH) w Zurychu. Wraz ze swoim zespołem zweryfikował on również metodę i jej implementację w oprogramowaniu.
Literatura
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
