Projektowanie i ocena elementów betonowych są zwykle wykonywane na poziomie przekroju (element 1D) lub punktu (element 2D). Procedura ta jest opisana we wszystkich normach projektowania konstrukcji, np. w (EN 1992-1-1 lub ACI 318-19) i jest stosowana w codziennej praktyce inżynierskiej. Nie zawsze jednak wiadomo lub przestrzega się tego, że procedura ta jest dopuszczalna tylko w obszarach, w których obowiązuje hipoteza Bernoulliego-Naviera o płaskim rozkładzie odkształceń (tzw. strefy B). Miejsca, w których hipoteza ta nie obowiązuje, nazywane są strefami nieciągłości lub strefami zaburzonymi (strefy D). Przykłady stref B i D elementów 1D przedstawiono na (Rys. 1). Są to np. obszary podparcia, miejsca przyłożenia obciążeń skupionych, miejsca nagłej zmiany przekroju, otwory itp. Podczas projektowania konstrukcji betonowych spotykamy wiele innych stref nieciągłości, takich jak ściany, przepony mostowe, wsporniki itp. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

W przeszłości do wymiarowania stref nieciągłości stosowano półempiryczne reguły projektowe. Na szczęście w ciągu ostatnich dziesięcioleci reguły te zostały w dużej mierze zastąpione modelami Strut-and-tie (Schlaich et al., 1987) oraz polami naprężeń (Marti 1985), które są ujęte w obowiązujących normach projektowych i często stosowane przez projektantów. Modele te są spójne mechanicznie i stanowią skuteczne narzędzia. Należy zauważyć, że pola naprężeń mogą być ogólnie ciągłe lub nieciągłe, a modele Strut-and-tie są szczególnym przypadkiem nieciągłych pól naprężeń.

Pomimo rozwoju narzędzi obliczeniowych w ostatnich dziesięcioleciach modele Strut-and-tie są nadal w zasadzie stosowane jako obliczenia ręczne. Ich zastosowanie w rzeczywistych konstrukcjach jest żmudne i czasochłonne, ponieważ wymaga iteracji oraz uwzględnienia kilku przypadków obciążenia. Ponadto metoda ta nie nadaje się do weryfikacji kryteriów stanu granicznego użytkowalności (odkształcenia, szerokości rys itp.).

Zainteresowanie inżynierów konstruktorów niezawodnym i szybkim narzędziem do projektowania stref nieciągłości doprowadziło do decyzji o opracowaniu nowej Compatible Stress Field Method, czyli metody komputerowo wspomaganego projektowania z wykorzystaniem pól naprężeń, która umożliwia automatyczne projektowanie i ocenę betonowych elementów konstrukcyjnych poddanych obciążeniu w płaszczyźnie.

Compatible Stress Field Method (CSFM) jest ciągłą metodą analizy pól naprężeń opartą na MES, w której klasyczne rozwiązania pól naprężeń są uzupełnione o rozważania kinematyczne, tzn. stan odkształcenia jest oceniany w całej konstrukcji. Dzięki temu efektywna wytrzymałość betonu na ściskanie może być obliczana automatycznie na podstawie stanu odkształcenia poprzecznego, w sposób podobny do analiz pól ściskania uwzględniających compression softening  (Vecchio i Collins 1986; Kaufmann i Marti 1998) oraz metody EPSF (Fernández Ruiz i Muttoni 2007). Ponadto CSFM uwzględnia tension stiffening, zapewniając elementom realistyczne sztywności, i obejmuje wszystkie zalecenia norm projektowych (w tym aspekty stanu granicznego użytkowalności i zdolności do odkształceń), które nie były konsekwentnie uwzględniane we wcześniejszych podejściach. CSFM wykorzystuje powszechne jednoosiowe prawa konstytutywne podane w normach projektowych dla betonu i zbrojenia. Są one znane na etapie projektowania, co pozwala na zastosowanie metody częściowych współczynników bezpieczeństwa. Dzięki temu projektanci nie muszą podawać dodatkowych, często arbitralnych właściwości materiałowych, które są zazwyczaj wymagane w nieliniowych analizach MES, co czyni tę metodę doskonale przydatną w praktyce inżynierskiej.

Aby promować stosowanie komputerowo wspomaganych pól naprężeń przez inżynierów konstruktorów, metody te powinny być wdrażane w przyjaznych dla użytkownika środowiskach programowych. W tym celu CSFM zostało zaimplementowane w IDEA StatiCa Detail; nowym, przyjaznym dla użytkownika oprogramowaniu komercyjnym opracowanym wspólnie przez ETH Zurich oraz firmę programistyczną IDEA StatiCa w ramach projektu DR-Design Eurostars-10571.

CSFM uwzględnia maksymalne główne naprężenie ściskające w betonie (σ_c2r) oraz naprężenia w zbrojeniu (σ_sr) w rysach, pomijając wytrzymałość betonu na rozciąganie (σ_c1r = 0), z wyjątkiem jego efektu usztywnienia zbrojenia. Uwzględnienie tension stiffening pozwala symulować średnie odkształcenia zbrojenia (ε_m). Przyjmuje się fikcyjne, obracające się rysy wolne od naprężeń, które rozwierają się bez poślizgu (rys. 2a). Uwzględnia się również równowagę w rysach wraz ze średnimi odkształceniami zbrojenia. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Mimo swojej prostoty podobne założenia okazały się dawać dokładne przewidywania dla elementów żelbetowych obciążonych w płaszczyźnie (Kaufmann 1998; Kaufmann i Marti 1998), o ile zastosowane zbrojenie zapobiega kruchemu zniszczeniu w momencie zarysowania. Ponadto pominięcie wpływu wytrzymałości betonu na rozciąganie na nośność graniczną jest zgodne z zasadami współczesnych norm projektowych, które w większości opierają się na teorii plastyczności.

Jednak CSFM nie nadaje się do elementów smukłych bez zbrojenia poprzecznego, ponieważ pomija mechanizmy istotne dla takich elementów, takie jak zazębienie kruszywa, resztkowe naprężenia rozciągające w wierzchołku rysy oraz efekt klockowy. Wszystkie one zależą bezpośrednio lub pośrednio od wytrzymałości betonu na rozciąganie. Chociaż niektóre normy projektowe dopuszczają wymiarowanie takich elementów na podstawie zależności półempirycznych, CSFM nie jest przeznaczony dla tego typu konstrukcji o potencjalnie kruchym zniszczeniu.

Beton

Model betonu zaimplementowany w CSFM opiera się na jednoosiowych prawach konstytutywnych dla ściskania, określonych w normach projektowych do wymiarowania przekrojów, które zależą wyłącznie od wytrzymałości na ściskanie. W CSFM domyślnie stosuje się wykres parabola-prostokąt (rys. 2c), ale projektanci mogą również wybrać prostszą zależność sprężysto-idealnie plastyczną. W przypadku sprawdzenia według normy ACI można użyć wyłącznie wykresu naprężenie-odkształcenie typu parabola-prostokąt. Jak wspomniano wcześniej, wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, tak jak w klasycznym projektowaniu konstrukcji żelbetowych.

Efektywna wytrzymałość na ściskanie jest automatycznie wyznaczana dla betonu zarysowanego na podstawie głównego odkształcenia rozciągającego (ε₁) za pomocą współczynnika redukcyjnego k_c2, jak pokazano na rys. 2c i e. Zaimplementowana zależność redukcyjna (rys. 2e) jest uogólnieniem propozycji z fib Model Code 2010 dla sprawdzenia na ścinanie, która zawiera graniczną wartość 0,65 dla maksymalnego stosunku efektywnej wytrzymałości betonu do wytrzymałości betonu na ściskanie. Wartość ta nie ma zastosowania w innych przypadkach obciążenia.

CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w odniesieniu do odkształceń dla betonu ściskanego (tzn. przyjmuje nieskończenie długą gałąź plastyczną po osiągnięciu naprężenia szczytowego). To uproszczenie nie pozwala zweryfikować zdolności do odkształceń konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Ich nośność graniczna jest jednak prawidłowo przewidywana, gdy oprócz współczynnika dla betonu zarysowanego (k_c2) określonego na (rys. 2e) uwzględni się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

k_c jest globalnym współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości na ściskanie

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym uwzględniającym występowanie rys poprzecznych

f_c jest charakterystyczną wytrzymałością walcową betonu (w MPa przy definicji $\eta_{fc}$).

Współczynnik k_c2 jest również redukowany ze względu na stabilność obliczeń. Ta redukcja nie wpływa na całkowitą nośność elementów. Przyjmując wartość f_cd jako wytrzymałość obliczeniową betonu (wartość obliczeniowa), wartość k_c2 jest redukowana zgodnie z poniższymi zasadami.

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 jest interpolacją liniową między 1,0 a wartością odczytaną z
                                                              wykresu przedstawionego na rys. 2f
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 jest odczytywana bezpośrednio z wykresu na rys. 2f

Zbrojenie

Przyjmuje się wyidealizowany bilinearny wykres naprężenie-odkształcenie dla prętów zbrojeniowych bez uwzględnienia współpracy z betonem, zwykle definiowany w normach projektowych (rys. 2d). Definicja tego wykresu wymaga znajomości jedynie podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania (wytrzymałość i klasa ciągliwości). Można również zdefiniować własną zależność naprężenie-odkształcenie.

Tension stiffening uwzględnia się poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie dla pręta zbrojeniowego bez uwzględnienia współpracy z betonem, tak aby odwzorować średnią sztywność prętów zakotwionych w betonie (ε_m).

Model przyczepności

Poślizg w warunkach przyczepności między zbrojeniem a betonem wprowadza się do modelu MES, przyjmując uproszczoną sztywno-idealnie plastyczną zależność konstytutywną przedstawioną na rys. 2f, gdzie f_bd jest wartością obliczeniową (wartością z uwzględnieniem współczynników częściowych) granicznego naprężenia przyczepności określonego w normie projektowej dla danych warunków przyczepności.

Jest to model uproszczony, służący wyłącznie do weryfikacji wymagań normowych dotyczących przyczepności (tzn. zakotwienia zbrojenia). Skrócenie długości zakotwienia przy zastosowaniu haków, pętli i podobnych kształtów prętów można uwzględnić poprzez zdefiniowanie określonej nośności na końcu zbrojenia, jak zostanie opisane dalej. 

Przebieg prac i cele

Celem narzędzi do projektowania zbrojenia w CSFM jest wsparcie projektantów w efektywnym określaniu rozmieszczenia i wymaganej ilości prętów zbrojeniowych. W tym procesie użytkownik może skorzystać z następujących narzędzi: obliczeń liniowych oraz optymalizacji topologii.

Narzędzia do projektowania zbrojenia uwzględniają bardziej uproszczone modele konstytutywne niż modele stosowane przy końcowej weryfikacji konstrukcji. Dlatego zdefiniowane na tym etapie zbrojenie należy traktować jako wstępny projekt, który zostanie potwierdzony lub doprecyzowany podczas końcowej weryfikacji. Zastosowanie poszczególnych narzędzi do projektowania zbrojenia zostanie przedstawione na modelu pokazanym na rys. 3. Model przedstawia jeden koniec swobodnie podpartej belki o zmiennej wysokości, obciążonej obciążeniem równomiernie rozłożonym.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

Analiza liniowa

Analiza liniowa przyjmuje liniowo sprężyste właściwości materiału i pomija zbrojenie w obszarze betonu. Jest to zatem bardzo szybkie obliczenie, które daje pierwszy wgląd w rozmieszczenie stref rozciąganych i ściskanych. Przykład takiego obliczenia pokazano na rys. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Optymalizacja topologii

Optymalizacja topologii to metoda, której celem jest znalezienie optymalnego rozkładu materiału w zadanej objętości dla określonej konfiguracji obciążeń. Optymalizacja topologii zaimplementowana w Idea StatiCa Detail wykorzystuje liniowy model oparty na Metodzie Elementów Skończonych. Każdy element skończony może mieć gęstość względną od 0 do 100 %, odpowiadającą względnej ilości użytego materiału. Gęstości elementów są parametrami optymalizacji w zadaniu optymalizacyjnym. Uzyskany rozkład materiału uznaje się za optymalny dla danego zestawu obciążeń, jeśli minimalizuje całkowitą energię odkształcenia układu. Z definicji jest to również geometria o największej możliwej sztywności dla zadanych obciążeń.

Iteracyjny proces optymalizacji rozpoczyna się od jednorodnego rozkładu gęstości. Obliczenia są wykonywane dla kilku całkowitych udziałów objętościowych (20%, 40%, 60% i 80%), co pozwala użytkownikowi wybrać najbardziej praktyczny wynik. Otrzymany kształt składa się z kratownic z krzyżulcami ściskanymi i ściągami i stanowi optymalny kształt dla zadanych przypadków obciążenia (rys. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

CSFM uwzględnia ciągłe pola naprężeń w betonie (elementy skończone 2D), uzupełnione o dyskretne elementy prętowe reprezentujące zbrojenie (elementy skończone 1D). Zbrojenie nie jest zatem rozmyte w elementach skończonych 2D betonu, lecz modelowane jawnie i połączone z nimi. W modelu obliczeniowym przyjmuje się płaski stan naprężenia.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Modelować można zarówno całe tarcze i belki, jak i detale (części) belek (wydzielona strefa nieciągłości, nazywana również końcem przyciętym). W przypadku tarcz i całych belek podpory należy zdefiniować w taki sposób, aby powstała konstrukcja (zewnętrznie) izostatyczna (statycznie wyznaczalna) lub hiperstatyczna (statycznie niewyznaczalna). Przekazanie obciążenia na przyciętych końcach belek odbywa się za pomocą specjalnej strefy przekazania obciążenia Saint-Venanta, która zapewnia realistyczny rozkład naprężeń w analizowanym obszarze detalu.

Do modelowania większości sytuacji występujących w trakcie budowy dostępne są w CSFM liczne typy podpór (rys. 7) oraz elementów służących do przenoszenia obciążenia (rys. 8).

Podpory

Podporę punktową można zamodelować na kilka sposobów, tak aby naprężenia nie były skupione w jednym punkcie, lecz rozłożone na większym obszarze. Pierwszą opcją jest rozłożona podpora punktowa (rys. 7a), która równomiernie rozkłada obciążenie na krawędzi elementu na zadanej szerokości.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

Podpora typu patch (rys. 7d) może natomiast być umieszczona wyłącznie wewnątrz objętości betonu o zdefiniowanym promieniu efektywnym. Jest ona następnie połączona sztywnymi elementami z węzłami siatki zbrojenia znajdującymi się w obrębie tego promienia. Dlatego wymagane jest zdefiniowanie szkieletu zbrojeniowego wokół podpory typu patch.

Do dokładniejszego modelowania niektórych rzeczywistych sytuacji dostępne są dwie inne opcje podpory punktowej. Po pierwsze, jest to podpora punktowa z płytą podporową o zdefiniowanej szerokości i grubości (rys. 7b). Można określić materiał płyty podporowej, a cała płyta podporowa jest dzielona na siatkę niezależnie. Po drugie, dostępna jest podpora wisząca (rys. 7e), która może służyć do modelowania kotew transportowych lub trzpieni transportowych.

Podporę liniową (rys. 7c) można zdefiniować na krawędzi (podając jej długość) lub wewnątrz elementu (za pomocą polilinii). Można również określić jej sztywność i/lub zachowanie nieliniowe (podpora działająca na ściskanie/rozciąganie lub tylko na ściskanie).

• Szczegółowe opisy znajdziesz w artykule Rodzaje podpór w IDEA StatiCa Detail

Elementy przenoszące obciążenie

Wprowadzenie obciążeń do konstrukcji można również zamodelować na kilka sposobów. W przypadku obciążeń skupionych można zastosować płytę podporową (rys. 8a) w podobny sposób jak w przypadku podpory punktowej. Rozkłada ona obciążenie skupione na większy obszar dzięki stalowej płycie o zdefiniowanej szerokości i grubości. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

Obciążenie skupione można przyłożyć bezpośrednio do powierzchni konstrukcji w obrębie zdefiniowanego promienia oddziaływania (obciążenie jest przykładane do elementów betonowych) albo za pośrednictwem specjalnego elementu przenoszącego, zwanego obciążeniem typu patch (rys. 8b i rys. 9). Obciążenie typu patch umożliwia przekazanie obciążenia bezpośrednio na zdefiniowane zbrojenie znajdujące się w obrębie promienia efektywnego. Aby zapewnić prawidłowe działanie obciążenia typu patch, należy zdefiniować (we właściwościach zbrojenia) grupę prętów zbrojeniowych, które będą połączone z obciążeniem. Jeżeli zbrojenie połączone nie zostanie zdefiniowane, mechanizm przenoszenia obciążenia jest taki sam jak w przypadku obciążenia skupionego przyłożonego do powierzchni elementu, a obciążenie jest przekazywane przez więzy na elementy betonowe, a nie bezpośrednio na zbrojenie. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

Kotwy transportowe lub trzpienie transportowe można zamodelować za pomocą obciążenia wiszącego (rys. 8c). Użytkownik może zastosować powierzchnię częściowo obciążoną (rys. 8d), co pozwala zwiększyć nośność betonu na ściskanie zgodnie z Eurokodem (nie można stosować tego typu elementu przenoszącego obciążenie, gdy ustawiona jest norma ACI). Konstrukcję można także obciążyć obciążeniami liniowymi na krawędziach, za pomocą dowolnej polilinii lub obciążeniami powierzchniowymi. Detail application umożliwia automatyczne uwzględnienie ciężaru własnego w analizie.

W wielu przypadkach wystarczy zamodelować tylko wybrany fragment (część) elementu konstrukcyjnego, np. podparcie belki lub otwór w środku belki. Takie podejście może prowadzić do konfiguracji podparcia, które są niestabilne, ale dopuszczalne w IDEA StatiCa Detail (w tym do przypadku braku podpór). W takich sytuacjach należy jednak zamodelować również przekrój odpowiadający połączeniu z sąsiednią strefą ciągłości (strefą B) wraz z siłami wewnętrznymi w tym przekroju, które spełniają warunki równowagi. W niektórych przypadkach (np. przy modelowaniu podparcia belki) program może wyznaczyć te siły wewnętrzne automatycznie.

Między strefą ciągłości (strefą B) a analizowaną strefą nieciągłości automatycznie tworzona jest strefa przekazania obciążenia Saint-Venanta. Zapewnia ona realistyczny rozkład naprężeń w analizowanej strefie. Szerokość strefy przekazania wynosi połowę wysokości przekroju. Strefa Saint-Venanta służy wyłącznie do uzyskania prawidłowego rozkładu naprężeń w pozostałej części modelu. Dlatego wyniki z tego obszaru nie są wyświetlane w weryfikacji i nie uwzględnia się tu kryteriów zatrzymania.

Krawędź strefy Saint-Venanta, która odpowiada przyciętemu końcowi belki, jest modelowana jako sztywna, tzn. może się obracać, ale musi pozostać płaska. Osiąga się to przez połączenie wszystkich węzłów MES tej krawędzi z osobnym węzłem w środku ciężkości przekroju za pomocą elementu sztywnego (RBE2). Siły wewnętrzne elementu można następnie przyłożyć w tym węźle, jak pokazano na rys. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

Redukcja przekroju poprzecznego jest wykonywana automatycznie dla konstrukcji zdefiniowanych jako belka lub złącze ramowe (zdefiniowane przez oś x i przekrój poprzeczny). Ta modyfikacja jest automatycznie stosowana dla przekrojów o bardzo szerokich półkach (rys. 11). Opiera się na założeniu, że pole naprężeń ściskających rozchodzi się od ściany pod kątem 45°. Wspomniana zredukowana szerokość jest więc maksymalną szerokością zdolną do przeniesienia obciążeń

Należy pamiętać, że metoda wyznaczania szerokości współpracującej półki zastosowana w CSFM różni się od metody podanej w 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) lub w 9.2.4.4 ACI 318-19. Poza geometrią, na szerokość współpracującą półki według Eurokodu wpływają bezpośrednio rozpiętości oraz warunki brzegowe konstrukcji.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

W przypadku skosów leżących w płaszczyźnie poziomej (rys. 12) każdy skos jest dzielony wzdłuż swojej długości na pięć odcinków. Każdy z tych odcinków jest następnie modelowany jako ściana o stałej grubości, równej rzeczywistej grubości w połowie danego odcinka.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Nieliniowy (niesprężysty) model analizy metodą elementów skończonych składa się z kilku typów elementów skończonych służących do modelowania betonu, zbrojenia oraz przyczepności między nimi. Elementy betonu i zbrojenia są najpierw dzielone na siatki niezależnie, a następnie łączone ze sobą za pomocą więzów wielopunktowych (elementy MPC). Pozwala to na dowolne, względne położenie zbrojenia w stosunku do betonu. Jeśli ma być obliczona weryfikacja długości zakotwienia, między zbrojeniem a elementami MPC wprowadza się elementy przyczepności oraz elementy sprężyny zakotwienia na końcu pręta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton jest modelowany za pomocą czworokątnych i trójkątnych elementów powłokowych, CQUAD4 i CTRIA3. Mogą one być zdefiniowane odpowiednio przez cztery lub trzy węzły. W tych elementach zakłada się wyłącznie płaski stan naprężenia, tzn. naprężenia lub odkształcenia w kierunku z nie są uwzględniane.

Każdy element ma cztery lub trzy punkty całkowania, rozmieszczone w przybliżeniu na 1/4 jego wielkości. W każdym punkcie całkowania w każdym elemencie obliczane są kierunki odkształceń głównych α₁, α₂. W obu tych kierunkach wyznaczane są naprężenia główne σ_c1, σ_c2 oraz sztywności E₁, E₂ zgodnie z przyjętym wykresem naprężenie-odkształcenie betonu, jak na rys. 2. Należy zauważyć, że wpływ efektu compression softening wiąże zachowanie w głównym kierunku ściskania z rzeczywistym stanem w drugim kierunku głównym.

Zbrojenie

Pręty zbrojeniowe są modelowane za pomocą dwuwęzłowych elementów prętowych 1D („rod”) (CROD), które mają wyłącznie sztywność osiową. Elementy te są połączone ze specjalnymi elementami przyczepności, opracowanymi w celu modelowania poślizgu między prętem zbrojeniowym a otaczającym go betonem. Elementy przyczepności są następnie łączone elementami MPC (więzy wielopunktowe) z siatką reprezentującą beton. Takie podejście umożliwia niezależne generowanie siatek zbrojenia i betonu, a ich wzajemne połączenie jest zapewniane w dalszej kolejności.

Elementy przyczepności

Długość zakotwienia jest weryfikowana poprzez uwzględnienie w modelu elementów skończonych naprężeń ścinających przyczepności między elementami betonu (2D) a elementami prętów zbrojeniowych (1D). W tym celu opracowano typ elementu skończonego „przyczepność”.

Definicja elementu przyczepności jest podobna do definicji elementu powłokowego (CQUAD4). Jest on również zdefiniowany przez 4 węzły, ale w przeciwieństwie do powłoki ma niezerową sztywność wyłącznie na ścinanie między dwoma górnymi i dwoma dolnymi węzłami. W modelu górne węzły są połączone z elementami reprezentującymi zbrojenie, a dolne z elementami reprezentującymi beton. Zachowanie tego elementu opisuje naprężenie przyczepności τ_b jako funkcja dwuliniowa poślizgu między górnymi i dolnymi węzłami δ_u, patrz rys. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Sprężysty moduł sztywności zależności przyczepność-poślizg, G_b, definiuje się następująco:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

gdzie:

k_g            współczynnik zależny od powierzchni pręta zbrojeniowego (domyślnie k_g = 0,2)

E_c            moduł sprężystości betonu (w przypadku EN przyjmowany jako E_cm)

Ø             średnica pręta zbrojeniowego

Do weryfikacji długości zakotwienia wykorzystuje się wartości obliczeniowe (wartości z uwzględnieniem współczynników częściowych) granicznego naprężenia ścinającego przyczepności, f_bd, podane w wybranych normach projektowych EN 1992-1-1 lub ACI 318-19. Umocnienie gałęzi plastycznej jest domyślnie obliczane jako G_b/10⁵.

Sprężyna zakotwienia

Zastosowanie zakończeń zakotwienia prętów zbrojeniowych (tzn. odgięć, haków, pętli…), spełniających wymagania norm projektowych, pozwala zmniejszyć podstawową długość zakotwienia prętów (l_b,net) o pewien współczynnik β (zwany dalej „współczynnikiem zakotwienia”). Wartość obliczeniowa długości zakotwienia (l_b) jest wtedy obliczana w następujący sposób:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Zamierzona redukcja l_b,net jest równoważna aktywacji pręta zbrojeniowego na jego końcu przy procentowej części jego maksymalnej nośności, określonej przez współczynnik redukcji zakotwienia, jak pokazano na rys. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Redukcja długości zakotwienia jest uwzględniana w modelu elementów skończonych za pomocą elementu sprężyny na końcu pręta (rys. 15), który jest zdefiniowany przez model konstytutywny pokazany na rys. 15b. Maksymalna siła przenoszona przez tę sprężynę (F_au) wynosi:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

gdzie:

β             współczynnik zakotwienia zależny od typu zakotwienia,

A_s            pole przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego,

f_yd           wartość obliczeniowa (wartość z uwzględnieniem współczynników częściowych) granicy plastyczności zbrojenia.

Elementy skończone są zaimplementowane wewnętrznie, a model obliczeniowy jest generowany automatycznie, bez konieczności ingerencji doświadczonego użytkownika. Ważnym elementem tego procesu jest siatkowanie.

Beton

Wszystkie elementy betonowe są siatkowane łącznie. Zalecany rozmiar elementu skończonego jest obliczany automatycznie przez aplikację na podstawie wielkości i kształtu konstrukcji, z uwzględnieniem średnicy największego pręta zbrojeniowego. Ponadto zalecany rozmiar elementu gwarantuje wygenerowanie co najmniej 4 elementów w cienkich częściach konstrukcji, takich jak smukłe słupy lub cienkie płyty, co zapewnia wiarygodne wyniki w tych obszarach. Maksymalna liczba elementów betonowych jest ograniczona do 5000, jednak wartość ta wystarcza, aby zachować zalecany rozmiar elementu w przypadku większości konstrukcji. Projektant może zawsze wybrać własny rozmiar elementu betonowego, modyfikując mnożnik domyślnego rozmiaru siatki.

Zbrojenie

Zbrojenie jest dzielone na elementy o długości zbliżonej do rozmiaru elementów betonowych. Po wygenerowaniu siatek zbrojenia i betonu są one połączone ze sobą elementami przyczepności, jak pokazano na rys. 13.

Płyty podporowe

Pomocnicze części konstrukcyjne, takie jak płyty podporowe, są siatkowane niezależnie. Rozmiar tych elementów jest obliczany jako 2/3 rozmiaru elementów betonowych w obszarze połączenia. Węzły siatki płyty podporowej są następnie łączone z węzłami brzegowymi siatki betonu za pomocą interpolacyjnych elementów więzów (RBE3).

Obciążenia i podpory

Obciążenia powierzchniowe (patch) i podpory powierzchniowe (patch) są połączone wyłącznie ze zbrojeniem, jak pokazano na rys. 16. Dlatego konieczne jest zdefiniowanie zbrojenia wokół nich. Połączenie ze wszystkimi węzłami zbrojenia w obrębie promienia efektywnego zapewniają elementy RBE3 o jednakowej wadze.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Podpory liniowe i obciążenia liniowe są połączone z węzłami siatki betonu za pomocą elementów RBE3, na podstawie określonej szerokości lub promienia efektywnego. Waga połączeń jest odwrotnie proporcjonalna do odległości od podpory lub impulsu obciążenia.

• Więcej informacji o powiązaniu poszczególnych obciążeń z siatką znajdziesz w Ogólnym opisie impulsów obciążenia w Detail application

Do rozwiązania nieliniowego zagadnienia MES stosuje się standardowy pełny algorytm Newtona-Raphsona (NR). 

Algorytm NR zwykle nie jest zbieżny, gdy pełne obciążenie przyłożono w jednym kroku. Typowym podejściem, stosowanym również tutaj, jest przykładanie obciążenia sekwencyjnie w kilku przyrostach i wykorzystanie wyniku z poprzedniego przyrostu obciążenia jako punktu startowego rozwiązania Newtona dla kolejnego. W tym celu na bazie algorytmu Newtona-Raphsona zaimplementowano algorytm sterowania obciążeniem. Jeżeli iteracje NR nie są zbieżne, bieżący przyrost obciążenia zmniejsza się o połowę i iteracje NR są ponawiane.

Drugim zadaniem algorytmu sterowania obciążeniem jest wyznaczenie obciążenia krytycznego, odpowiadającego określonym „kryteriom zatrzymania”. Są to: maksymalne odkształcenie betonu, maksymalny poślizg w elementach przyczepności, maksymalne przemieszczenie w elementach zakotwienia oraz maksymalne odkształcenie prętów zbrojeniowych. Obciążenie krytyczne wyznacza się metodą bisekcji. Jeżeli kryterium zatrzymania zostanie przekroczone w dowolnym miejscu modelu, wyniki ostatniego przyrostu obciążenia są odrzucane i obliczany jest nowy przyrost o połowę mniejszy od poprzedniego. Proces ten powtarza się, aż obciążenie krytyczne zostanie wyznaczone z zadaną tolerancją błędu.

Dla betonu kryterium zatrzymania przyjęto jako odkształcenie 5% przy ściskaniu (tj. około rząd wielkości więcej niż rzeczywiste odkształcenie graniczne betonu) oraz 7% przy rozciąganiu w punktach całkowania elementów powłokowych. W przypadku rozciągania wartość ustalono tak, aby w pierwszej kolejności mogło zostać osiągnięte graniczne odkształcenie zbrojenia, które bez uwzględnienia tension stiffening wynosi zwykle około 5%. W przypadku ściskania wartość wybrano spośród kilku wariantów jako na tyle dużą, aby skutki miażdżenia były widoczne w wynikach, a jednocześnie na tyle małą, aby nie powodować zbyt wielu problemów ze stabilnością numeryczną.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Dla zbrojenia kryterium zatrzymania zdefiniowano w odniesieniu do naprężeń. Ponieważ modeluje się naprężenia w rysie, kryterium przy rozciąganiu odpowiada wytrzymałości zbrojenia na rozciąganie z uwzględnieniem współczynnika bezpieczeństwa. Tę samą wartość przyjmuje się dla kryterium przy ściskaniu.

Kryterium zatrzymania w elementach przyczepności i sprężynach zakotwienia wynosi α·δu_max, gdzie δu_max jest maksymalnym poślizgiem stosowanym w sprawdzeniach normowych, a α = 10.

Wyniki są prezentowane niezależnie dla betonu i dla elementów zbrojenia. Wartości naprężeń i odkształceń w betonie są obliczane w punktach całkowania elementów powłokowych. Prezentacja danych w takiej postaci nie jest jednak praktyczna, dlatego domyślnie wyniki są przedstawiane w węzłach, jako maksymalna wartość naprężenia ściskającego z sąsiednich punktów całkowania Gaussa w połączonych elementach (rys. 18). Należy zauważyć, że taka prezentacja może lokalnie zaniżać wyniki na ściskanych krawędziach elementów, jeżeli rozmiar elementu skończonego jest zbliżony do wysokości strefy ściskanej.

Rys. 18 - Element skończony betonu z punktami całkowania i węzłami: prezentacja wyników dla betonu w węzłach i w elementach skończonych.

Wyniki dla elementów skończonych zbrojenia są albo stałe w obrębie każdego elementu (jedna wartość – np. dla naprężeń w stali), albo liniowe (dwie wartości – dla wyników dotyczących przyczepności). Dla elementów pomocniczych, takich jak elementy płyt podporowych, prezentowane są tylko przemieszczenia.

Ocena konstrukcji za pomocą CSFM jest przeprowadzana w dwóch różnych analizach: jednej dla kombinacji obciążeń w stanie granicznym użytkowalności i drugiej dla kombinacji obciążeń w stanie granicznym nośności. Analiza w stanie granicznym użytkowalności zakłada, że zachowanie graniczne elementu jest zadowalające, a warunki uplastycznienia materiału nie zostaną osiągnięte na poziomach obciążeń użytkowych. Takie podejście umożliwia zastosowanie uproszczonych modeli konstytutywnych (z liniową gałęzią wykresu naprężenie-odkształcenie betonu) w analizie użytkowalności, co poprawia stabilność numeryczną i skraca czas obliczeń. Dlatego zaleca się stosowanie przedstawionego poniżej schematu postępowania, w którym analiza w stanie granicznym nośności jest wykonywana jako pierwszy krok.

Analiza w stanie granicznym nośności

Poszczególne sprawdzenia wymagane przez konkretne normy projektowe są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Sprawdzenia SGN są wykonywane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia ścinające przyczepności).

Aby zapewnić efektywne zaprojektowanie elementu konstrukcyjnego, zdecydowanie zaleca się wykonanie analizy wstępnej, która uwzględnia następujące kroki:

• Wybierz zestaw najbardziej niekorzystnych kombinacji obciążeń.
• Oblicz tylko kombinacje obciążeń w stanie granicznym nośności (SGN).
• Użyj rzadkiej siatki (zwiększając mnożnik domyślnego rozmiaru siatki w Setup (rys. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Taki model oblicza się bardzo szybko, co pozwala projektantom sprawnie przeglądać zbrojenie elementu konstrukcyjnego i ponawiać analizę, aż wszystkie wymagania weryfikacyjne zostaną spełnione dla najbardziej niekorzystnych kombinacji obciążeń. Po spełnieniu wszystkich wymagań weryfikacyjnych w tej analizie wstępnej zaleca się uwzględnienie pełnego zestawu kombinacji obciążeń granicznych oraz zastosowanie gęstej siatki (o rozmiarze zalecanym przez program). Użytkownik może zmienić rozmiar siatki za pomocą mnożnika, który przyjmuje wartości od 0,5 do 5 (rys. 19).

Podstawowe wyniki i sprawdzenia (naprężenie, odkształcenie i stopień wykorzystania (tj. wartość obliczona/wartość graniczna wynikająca z normy), a także kierunek naprężeń głównych w przypadku elementów betonowych) są wyświetlane na różnych wykresach, na których ściskanie jest zazwyczaj przedstawiane kolorem czerwonym, a rozciąganie niebieskim. Można wyróżnić globalne wartości minimalne i maksymalne dla całej konstrukcji, a także wartości minimalne i maksymalne dla każdej części zdefiniowanej przez użytkownika. W oddzielnej karcie programu można wyświetlić wyniki zaawansowane, takie jak wartości tensorowe, deformacje konstrukcji oraz stopnie zbrojenia (efektywne i geometryczne) używane do obliczania tension stiffening prętów zbrojeniowych. Ponadto można zaprezentować obciążenia i reakcje dla wybranych kombinacji lub przypadków obciążeń.

Analiza w stanie granicznym użytkowalności

Sprawdzenia SGU są wykonywane dla ograniczenia naprężeń, szerokości rys i granicznych wartości ugięć. Naprężenia w betonie i zbrojeniu są sprawdzane zgodnie z obowiązującą normą w sposób podobny do określonego dla SGN.

Analiza użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie w stanie granicznym nośności. Zakłada się idealną przyczepność, tzn. długość zakotwienia nie jest sprawdzana w stanie użytkowalności. Ponadto pomijana jest gałąź plastyczna krzywej naprężenie-odkształcenie betonu przy ściskaniu, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieograniczona. Uproszczenia te poprawiają stabilność numeryczną i skracają czas obliczeń, a jednocześnie nie zmniejszają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe graniczne naprężenia w materiale w stanie użytkowalności są wyraźnie poniżej granicy plastyczności (zgodnie z wymaganiami norm). Dlatego uproszczone modele stosowane w analizie użytkowalności są poprawne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

Obliczenie szerokości rys i tension stiffening

Obliczenie szerokości rys

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys - zarysowanie ustabilizowane i nieustabilizowane. Na podstawie geometrycznego stopnia zbrojenia w każdej części konstrukcji określa się, który model obliczeniowy rys zostanie zastosowany (TCM dla zarysowania ustabilizowanego i POM dla modelu zarysowania nieustabilizowanego).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Podczas gdy CSFM daje bezpośredni wynik dla większości weryfikacji (np. nośność elementu, ugięcia…), wyniki szerokości rys są obliczane na podstawie wyników odkształceń zbrojenia dostarczanych bezpośrednio przez analizę MES, zgodnie z metodologią opisaną na Rys. 20. Rozważana jest kinematyka rysy bez poślizgu (czyste rozwarcie rysy) (Rys. 20a), co jest zgodne z głównymi założeniami modelu. Kierunki główne naprężeń i odkształceń definiują nachylenie rys (θ_r = θ_s= θ_e). Zgodnie z (Rys. 20b), szerokość rysy (w) można rzutować na kierunek pręta zbrojeniowego (w_b), co prowadzi do:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

gdzie θ_b jest nachyleniem pręta.

Należy zauważyć, że program wyświetla wartości θ_r i θ_b < π/2. Oznacza to, że powyższe równanie działa dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez różne ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich, jak pokazano na Rys. 20, gdzie zbrojenie przechodzi przez I. i III. ćwiartkę, a rysa przez II. i IV. Dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez te same ćwiartki, równanie należy zmodyfikować w następujący sposób:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Składowa w_b jest konsekwentnie obliczana na podstawie modeli tension stiffening poprzez całkowanie odkształceń zbrojenia. Dla tych obszarów w pełni rozwiniętego rozkładu rys, obliczone odkształcenia średnie (e_m) wzdłuż prętów zbrojeniowych są bezpośrednio całkowane wzdłuż rozstawu rys (s_r), jak wskazano na (Rys. 20c). Choć takie podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normę w miejscu pręta zbrojeniowego.

Szczególne sytuacje obserwuje się w narożnikach wklęsłych obliczanej konstrukcji. W tym przypadku narożnik z góry określa położenie pojedynczej rysy, która zachowuje się w sposób nieustabilizowany, zanim rozwiną się dodatkowe sąsiednie rysy. Te dodatkowe rysy zazwyczaj rozwijają się po przekroczeniu zakresu użytkowalności (Mata-Falcón 2015), co uzasadnia obliczanie szerokości rys w takim obszarze tak, jakby były nieustabilizowane (Rys. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tension stiffening

Implementacja tension stiffening rozróżnia przypadki ustabilizowanych i nieustabilizowanych rozkładów rys. W obu przypadkach domyślnie przyjmuje się, że beton jest w pełni zarysowany przed obciążeniem.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Zarysowanie ustabilizowane

W przypadku w pełni rozwiniętego rozkładu rys, tension stiffening jest wprowadzany za pomocą modelu Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Rys. 22a – który, jak wykazano, daje doskonałe przewidywania odpowiedzi pomimo swojej prostoty (Burns 2012). TCM zakłada schodkową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężenia przyczepności od poślizgu, z τ_b = τ_b0 =2 f_ctm dla σ_s ≤ f_y oraz τ_b =τ_b1 = f_ctm dla σ_s > f_y. Traktując każdy pręt zbrojeniowy jako cięgno rozciągane – Rys. 22b i Rys. 22a – rozkład naprężeń przyczepności, stali i betonu, a tym samym rozkład odkształceń między dwiema rysami, można wyznaczyć dla dowolnej wartości maksymalnych naprężeń (lub odkształceń) stali w rysach.

Dla s_r = s_r0, nowa rysa może się utworzyć lub nie, ponieważ w środku między dwiema rysami σ_c1 = f_ct. W konsekwencji rozstaw rys może się różnić o czynnik dwa, tj. s_r = λs_r0, przy l = 0,5…1,0. Zakładając określoną wartość λ, średnie odkształcenie cięgna (ε_m) można wyrazić jako funkcję maksymalnych naprężeń zbrojenia (tj. naprężeń w rysach, σ_sr). Dla wyidealizowanego bilinowego wykresu naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych, przyjętego domyślnie w CSFM, otrzymuje się następujące zamknięte wyrażenia analityczne (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

gdzie:
E_sh           moduł umocnienia stali E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            moduł sprężystości zbrojenia,

Ø            średnica pręta zbrojeniowego,

s_r                rozstaw rys,

σ_sr           naprężenia zbrojenia w rysach,

σ_s            rzeczywiste naprężenia zbrojenia,

f_y                granica plastyczności zbrojenia.

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail domyślnie uwzględnia średni rozstaw rys podczas przeprowadzania komputerowo wspomaganej analizy pól naprężeń. Średni rozstaw rys przyjmuje się jako 2/3 maksymalnego rozstawu rys (λ = 0,67), co jest zgodne z zaleceniami sformułowanymi na podstawie badań zginania i rozciągania (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Należy zauważyć, że przy obliczaniu szerokości rys przyjmuje się maksymalny rozstaw rys (λ = 1,0) w celu uzyskania wartości bezpiecznych (konserwatywnych).

Zastosowanie TCM zależy od stopnia zbrojenia, dlatego kluczowe znaczenie ma przypisanie odpowiedniego pola przekroju betonu działającego na rozciąganie między rysami do każdego pręta zbrojeniowego. Opracowano automatyczną procedurę numeryczną w celu zdefiniowania odpowiadającego jej efektywnego stopnia zbrojenia (ρ_eff = A_s/A_c,eff) dla dowolnej konfiguracji, w tym zbrojenia skośnego (Rys. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Zarysowanie nieustabilizowane

Rysy występujące w obszarach o geometrycznym stopniu zbrojenia niższym niż ρ_cr, tj. minimalnej ilości zbrojenia, przy której zbrojenie jest w stanie przenieść obciążenie rysujące bez uplastycznienia, powstają w wyniku działań niemechanicznych (np. skurczu) lub propagacji rys kontrolowanej przez inne zbrojenie. Wartość tego minimalnego zbrojenia otrzymuje się w następujący sposób:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

gdzie:

f_y              granica plastyczności zbrojenia,

f_ct             wytrzymałość betonu na rozciąganie,

n              stosunek modułów sprężystości, n = E_s / E_c .

Dla konwencjonalnego betonu i stali zbrojeniowej, ρ_cr wynosi w przybliżeniu 0,6%.

Dla strzemion o stopniu zbrojenia poniżej ρ_cr, zarysowanie uznaje się za nieustabilizowane, a tension stiffening jest wdrażany za pomocą modelu Pull-Out Model (POM) opisanego na Rys. 22b. Model ten analizuje zachowanie pojedynczej rysy, nie uwzględniając mechanicznego oddziaływania między poszczególnymi rysami, pomijając odkształcalność betonu przy rozciąganiu i zakładając tę samą schodkową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężenia przyczepności od poślizgu, jaka jest stosowana w TCM. Pozwala to na wyznaczenie rozkładu odkształceń zbrojenia (ε_s) w pobliżu rysy dla dowolnego maksymalnego naprężenia stali w rysie (σ_sr) bezpośrednio z warunków równowagi. Ze względu na fakt, że rozstaw rys jest nieznany dla nie w pełni rozwiniętego rozkładu rys, odkształcenie średnie (ε_m) jest obliczane dla dowolnego poziomu obciążenia na odcinku między punktami zerowego poślizgu, gdy pręt zbrojeniowy osiąga swoją wytrzymałość na rozciąganie (f_t) w rysie (l_ε,avg na Rys. 22b), co prowadzi do następujących zależności:

Proponowane modele umożliwiają obliczenie zachowania zbrojenia z przyczepnością, które ostatecznie jest uwzględniane w analizie. Zachowanie to (z uwzględnieniem tension stiffening) dla najbardziej powszechnej europejskiej stali zbrojeniowej (B500B, z f_t / f_y = 1,08 i ε_u = 5%) jest przedstawione na Rys. 22c-d.

Beton – SGN

Model betonu zastosowany w CSFM opiera się na jednoosiowych prawach konstytutywnych dla ściskania, określonych w EN 1992-1-1 dla wymiarowania przekrojów poprzecznych, które zależą wyłącznie od wytrzymałości na ściskanie. W CSFM domyślnie stosuje się wykres paraboliczno-prostokątny określony w EN 1992-1-1 pkt 3.1.7 (1) (Fig. 24a), ale projektant może również wybrać bardziej uproszczony sprężysto-idealnie plastyczny model zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 3.1.7 (2) (Fig. 24b). Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, tak jak w klasycznym projektowaniu konstrukcji żelbetowych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia betonu ściskanego wyrażonego w odkształceniach (tzn. po osiągnięciu naprężenia maksymalnego przyjmuje gałąź plastyczną z ε_cu2 (ε_cu3) o wartości 5%, podczas gdy EN 1992-1-1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,35%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności do odkształceń konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Jednak ich nośność graniczną f_cd zgodnie z EN 1992-1-1 3.1.3 przewiduje się prawidłowo, gdy oprócz współczynnika uwzględniającego zarysowanie betonu (k_c2 zdefiniowanego na (Fig. 25)) uwzględni się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α_cc jest współczynnikiem uwzględniającym efekty długotrwałe w wytrzymałości na ściskanie oraz niekorzystne skutki sposobu przyłożenia obciążenia. Przyjmuje się go zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 3.1.6 (1). Wartość domyślna wynosi 1,0.

k_c jest globalnym współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości na ściskanie

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym wynikającym z obecności zarysowania poprzecznego

f_ck jest charakterystyczną wytrzymałością walcową betonu (w MPa w definicji $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Beton – SGU

Analiza stanów granicznych użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie stanu granicznego nośności. Gałąź plastyczna krzywej naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, a gałąź sprężysta jest liniowa i nieograniczona. Prawo compression softening nie jest uwzględniane. Te uproszczenia poprawiają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń oraz nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wypadkowe graniczne naprężenia w materiale w stanie granicznym użytkowalności pozostają wyraźnie poniżej granic plastyczności (jak wymaga Eurokod). Dlatego uproszczone modele stosowane w SGU są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efekty długotrwałe

W analizie SGU efekty długotrwałe w betonie uwzględnia się za pomocą efektywnego, końcowego współczynnika pełzania ($\varphi$, domyślnie przyjmowanego jako 2,5), który modyfikuje sieczny moduł sprężystości betonu (E_cm) zgodnie z EN 1992-1-1, punkt 3.1.4 (3) odpowiednio 7.4.3 (5) w następujący sposób:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Przy uwzględnianiu efektów długotrwałych najpierw obliczany jest krok obciążenia ze wszystkimi obciążeniami stałymi z uwzględnieniem współczynnika pełzania (tzn. przy użyciu efektywnego modułu sprężystości betonu, E_c,eff), a następnie obliczane są obciążenia dodatkowe bez współczynnika pełzania (tzn. przy użyciu E_cm). Ponadto, aby przeprowadzić weryfikacje krótkotrwałe, wykonywane jest kolejne obliczenie, w którym wszystkie obciążenia są obliczane bez współczynnika pełzania. Oba obliczenia dla weryfikacji długo- i krótkotrwałych przedstawiono na Fig. 26.

Współczynniki pełzania są definiowane przez użytkownika we właściwościach materiału i należy je obliczać zgodnie z EN 1992-1-1, Fig 3.1.

Zbrojenie

Domyślnie przyjmuje się wyidealizowany bilinearny wykres naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych, zdefiniowany w EN 1992-1-1, punkt 3.2.7 (Fig. 27). Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania (wytrzymałość i klasa ciągliwości). Jeżeli są znane, można uwzględnić rzeczywistą zależność naprężenie-odkształcenie zbrojenia (walcowanego na gorąco, obrabianego na zimno, hartowanego i samoodpuszczanego, …). Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może zostać zdefiniowany przez użytkownika, ale w takim przypadku nie można uwzględnić efektu tension stiffening (nie jest możliwe obliczenie szerokości rys). Zastosowanie wykresu naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią górną nie pozwala na weryfikację trwałości konstrukcji. Dlatego konieczna jest ręczna weryfikacja standardowych wymagań dotyczących ciągliwości.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Tension stiffening (Fig. 28)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu odwzorowania średniej sztywności prętów zatopionych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałów, dlatego format częściowych współczynników bezpieczeństwa przewidziany w normach projektowych można stosować bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałów są redukowane za pomocą odpowiednich współczynników bezpieczeństwa przewidzianych w normach projektowych, dokładnie tak jak w konwencjonalnych obliczeniach konstrukcji żelbetowych. Domyślnie ustawione są wartości współczynników bezpieczeństwa materiałów podane w EN 1992-1-1, rozdz. 2.4.2.4, ale użytkownik może je zmienić w ustawieniach normy i obliczeń (rys. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki bezpieczeństwa obciążeń użytkownik musi zdefiniować w regułach kombinacji dla każdej nieliniowej kombinacji przypadków obciążenia (rys. 30). Dla wszystkich szablonów zaimplementowanych w Idea StatiCa Detail częściowe współczynniki bezpieczeństwa są już predefiniowane.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Stosując odpowiednie, zdefiniowane przez użytkownika kombinacje częściowych współczynników bezpieczeństwa, można również prowadzić obliczenia metodą CSFM z wykorzystaniem metody globalnego współczynnika nośności (Navrátil i in. 2017), jednak takie podejście jest rzadko stosowane w praktyce projektowej. Niektóre wytyczne zalecają stosowanie metody globalnego współczynnika nośności w analizie nieliniowej. Jednak w uproszczonych analizach nieliniowych (takich jak CSFM), które wymagają wyłącznie tych właściwości materiałów, które są używane w konwencjonalnych obliczeniach ręcznych, nadal korzystniejsze jest stosowanie formatu częściowych współczynników bezpieczeństwa.

Różne weryfikacje wymagane przez EN 1992-1-1 są oceniane na podstawie wyników uzyskanych bezpośrednio z modelu. Weryfikacje SGN przeprowadza się dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia styczne przyczepności).

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego σ_c = σ_c2, uzyskanego z analizy MES, do wartości granicznej σ_c,lim = f_cd. 

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno przy rozciąganiu, jak i przy ściskaniu, jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach σ_sr do przyjętej wartości granicznej σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

gdzie:

f_yk        granica plastyczności zbrojenia zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 3.2.3,

k          stosunek wytrzymałości na rozciąganie f_tk do granicy plastyczności,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             jest częściowym współczynnikiem bezpieczeństwa dla zbrojenia

Naprężenie styczne przyczepności jest oceniane niezależnie, jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b, obliczonego w analizie MES, do granicznej wytrzymałości przyczepności f_bd, zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

gdzie:

f_ctd      jest wartością obliczeniową wytrzymałości betonu na rozciąganie zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 3.1.6 (2). Ze względu na rosnącą kruchość betonów o wyższej wytrzymałości, f_ctk,0.05 jest ograniczona do wartości dla klasy C60/75 zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 8.4.2 (2)

η₁       jest współczynnikiem związanym z jakością warunków przyczepności i położeniem pręta podczas betonowania (rys. 31).

η₁ = 1,0 gdy uzyskuje się „dobre” warunki oraz

η₁ = 0,7 we wszystkich pozostałych przypadkach oraz dla prętów w elementach konstrukcyjnych wykonywanych w deskowaniu ślizgowym, o ile nie można wykazać, że występują „dobre” warunki przyczepności

η₂        jest związany ze średnicą pręta:

            η₂ = 1,0 dla Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 dla Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

W IDEA StatiCa Detail warunki przyczepności są uwzględniane zgodnie z rys. 31 c) i d). Kierunek betonowania można ustawić w aplikacji dla każdego elementu projektu w następujący sposób.

Weryfikacje te są przeprowadzane względem odpowiednich wartości granicznych dla poszczególnych części konstrukcji (tzn. mimo że dla betonu i zbrojenia przyjmuje się jedną klasę materiału, końcowe wykresy naprężenie-odkształcenie będą się różnić w poszczególnych częściach konstrukcji ze względu na efekty tension stiffening i compression softening).

Istnieje również możliwość modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Pręty gładkie w Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i można ją zdefiniować na dwa sposoby.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

gdzie A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego, a σ_s jest naprężeniem w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_a i siły przyczepności F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

gdzie F_a jest rzeczywistą siłą w sprężynie zakotwienia, a F_bond jest siłą przyczepności, którą można otrzymać przez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b wzdłuż długości pręta zbrojeniowego l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim jest maksymalną siłą w elemencie pręta, uwzględniającą wytrzymałość graniczną pręta oraz warunki zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki, pętle zakotwienia itp.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

gdzie C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego, a l jest odległością od początku pręta do rozpatrywanego punktu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

gdzie F_lim,add jest dodatkową siłą obliczaną na podstawie wartości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Dostępne typy zakotwienia w CSFM obejmują pręt prosty (tzn. bez redukcji długości zakotwienia na końcu), odgięcie, hak, pętlę, pręt poprzeczny przyspawany, idealną przyczepność oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β przedstawiono na rys. 32 dla zbrojenia podłużnego oraz na rys. 33 dla strzemion. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia są zgodne z EN 1992-1-1 pkt 8.4.4 tab. 8.2. Należy zauważyć, że mimo różnych dostępnych opcji CSFM rozróżnia trzy typy zakończeń zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja długości zakotwienia o 30 % w przypadku zakotwienia znormalizowanego oraz (iii) idealna przyczepność.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Aby spełnić wymagania EN 1992-1-1, w obliczeniach należy zastosować sprężynę zakotwienia. Sprężyna zakotwienia jest modyfikowana współczynnikiem β, dlatego użytkownik musi wybrać jeden z dostępnych typów zakotwienia podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia. 

Przy projektowaniu konstrukcji betonowych występują dwie duże grupy obszarów częściowo obciążonych (PLA). Pierwsza z nich obejmuje podpory, a druga strefy zakotwień. Zgodnie z obowiązującymi normami projektowania konstrukcji żelbetowych EN 1992-1-1, rozdz. 6.7 (Rys. 34), w obszarach częściowo obciążonych należy uwzględnić miejscowe miażdżenie betonu oraz poprzeczne siły rozciągające. Przy równomiernie rozłożonym obciążeniu na polu A_c0 nośność betonu na ściskanie może zostać zwiększona nawet trzykrotnie, w zależności od obliczeniowego pola rozdziału obciążenia A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

Obszar częściowo obciążony musi być odpowiednio zazbrojony zbrojeniem poprzecznym, zaprojektowanym do przeniesienia sił rozsadzających występujących w tym obszarze. Do projektowania zbrojenia poprzecznego w obszarach częściowo obciążonych według Eurokodu stosuje się metodę Strut-and-tie. Bez wymaganego zbrojenia poprzecznego nie można uwzględniać zwiększenia nośności betonu na ściskanie.

Obszary częściowo obciążone w CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Za pomocą CSFM można projektować i oceniać konstrukcje żelbetowe, uwzględniając wpływ zwiększonej wytrzymałości betonu na ściskanie w obszarach częściowo obciążonych. CSFM jest modelem tarczowym (2D), a obszary częściowo obciążone stanowią zadanie przestrzenne (3D). Konieczne było więc znalezienie rozwiązania łączącego te dwa różne typy zadań (Rys. 35). Po aktywacji funkcji „obszary częściowo obciążone” tworzona jest dopuszczalna geometria stożka zgodnie z Eurokodem (Rys. 34). Wszystkie kolizje geometryczne są rozwiązywane w pełni w 3D dla zadanej geometrii elementu betonowego i wymiarów każdego PLA. Następnie tworzony jest model obliczeniowy obszaru częściowo obciążonego.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Modyfikacja modelu materiałowego okazała się podejściem nieodpowiednim, głównie ze względu na problematyczne odwzorowanie właściwości na siatce elementów skończonych. Ustalono, że bardziej odpowiednim rozwiązaniem jest podejście niezależne od siatki elementów skończonych. Dla znanej geometrii stożka ściskania tworzone są w pełni spójne fikcyjne krzyżulce (Rys. 35 i Rys. 37). Mają one takie same właściwości materiałowe jak beton zastosowany w modelu, w tym identyczny wykres naprężenie-odkształcenie. Kształt stożka określa kierunek krzyżulców, które stopniowo rozdzielają obciążenie z PLA na obliczeniowe pole rozdziału. Gęstość powierzchniowa fikcyjnych krzyżulców zmienia się w każdej części stożka i dodaje fikcyjne pole betonu w kierunku obciążenia. Na poziomie pola obciążonego (A_c0) dodawane jest fikcyjne pole betonu według zależności $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (gdzie A_real jest polem podpory przyjętym w modelu obliczeniowym 2D). Pole to maleje liniowo do zera w kierunku obliczeniowego pola rozdziału (A_c1). Takie rozwiązanie zapewnia stałe naprężenie ściskające w betonie w całej objętości stożka.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Nośność obszaru częściowo obciążonego jest zwiększana zgodnie ze stosunkiem obliczeniowego pola rozdziału do pola obciążonego, określonym w EN 1992-1-1  (6.7).  Należy pamiętać, że jest to model obliczeniowy, który nie może dokładnie opisać stanu naprężenia w obszarze częściowo obciążonym, w którym rzeczywisty przepływ sił jest znacznie bardziej złożony. Rozwiązanie to pozwala jednak na prawidłowe rozdzielenie obciążenia na cały model przy uwzględnieniu zwiększonej nośności obszaru częściowo obciążonego. Ponadto prawidłowo wprowadza ono naprężenia poprzeczne w tym obszarze.

Podczas korzystania z funkcji obszarów częściowo obciążonych do symulacji zwiększenia nośności betonu na ściskanie należy wykonać odrębne sprawdzenie normowe zgodnie z EN 1992-1-1, p. 6.7 (2). Poprzeczne siły rozciągające (siły rozłupujące) przenoszone przez zbrojenie są sprawdzane automatycznie.

Sprawdzenia SGU przeprowadza się dla ograniczenia naprężeń, szerokości rys i granicznych wartości ugięć. Naprężenia w betonie i elementach zbrojenia sprawdza się zgodnie z EN 1992-1-1 w sposób zbliżony do określonego dla SGN.

Ograniczenie naprężeń

Naprężenie ściskające w betonie należy ograniczyć, aby uniknąć rys podłużnych. Zgodnie z EN 1992-1-1 rozdz. 7.2 (2) rysy podłużne mogą wystąpić, jeżeli poziom naprężeń w charakterystycznej kombinacji obciążeń przekracza wartość k₁f_ck. Naprężenie ściskające w betonie oblicza się jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego σ_c = σ_c2 uzyskanego z analizy MES dla stanów granicznych użytkowalności do wartości granicznej σ_c,lim. Wówczas:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

gdzie:

f_ck        charakterystyczna wytrzymałość walcowa betonu,

k₁         =0.6.

Jeżeli naprężenie w betonie w quasi-stałej kombinacji obciążeń jest mniejsze niż k₂f_ck zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 7.2(3), można przyjąć pełzanie liniowe. Jeżeli naprężenie w betonie przekracza k₂f_ck, należy uwzględnić pełzanie nieliniowe (zob. EN 1992-1-1 pkt 3.1.4). W IDEA StatiCa Detail można przyjąć wyłącznie pełzanie liniowe zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 3.1.4 (3) (zob. Modele materiałowe (EN)).

Można przyjąć, że niedopuszczalnego zarysowania lub odkształcenia uniknięto, jeżeli w charakterystycznej kombinacji obciążeń naprężenie rozciągające w zbrojeniu nie przekracza k₃f_yk (EN 1992-1-1 rozdz. 7.2 (5)). Stopień wykorzystania zbrojenia oblicza się jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach σ_s = σ_sr do przyjętej wartości granicznej σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

gdzie:

f_yk        granica plastyczności zbrojenia,

k₃        =0.8.

Ugięcie

Ugięcia można oceniać wyłącznie dla tarcz lub belek statycznie wyznaczalnych (izostatycznych) albo statycznie niewyznaczalnych (hiperstatycznych). W takich przypadkach uwzględnia się bezwzględną wartość ugięć (w porównaniu ze stanem początkowym przed przyłożeniem obciążenia), a maksymalną dopuszczalną wartość ugięć musi zadać użytkownik. Ugięć na obciętych końcach nie można sprawdzać, ponieważ są to w istocie konstrukcje niestateczne, w których równowagę uzyskuje się przez dodanie sił na końcach, a zatem ugięcia są nierealistyczne. Ugięcie krótkotrwałe u_z,st lub długotrwałe u_z,lt można obliczyć i porównać z wartościami granicznymi zadanymi przez użytkownika:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

gdzie:

u_z         ugięcie krótkotrwałe lub długotrwałe obliczone w analizie MES,

u_z,lim    graniczna wartość ugięcia zadana przez użytkownika.

Szerokość rys

Szerokości i kierunki rys oblicza się wyłącznie dla oddziaływań długotrwałych (z zastosowaniem E_c,eff) dla kombinacji, w których włączono ocenę szerokości rys. Weryfikacje oparte na wartościach granicznych zadanych przez użytkownika zgodnie z Eurokodem przedstawia się następująco:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

gdzie:

w         szerokość rys obliczona w analizie MES,

w_lim     graniczna wartość szerokości rys zadana przez użytkownika.

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys (zarysowanie ustabilizowane i nieustabilizowane). W przypadku ogólnym (zarysowanie ustabilizowane) szerokość rysy oblicza się przez całkowanie odkształceń na elementach jednowymiarowych (1D) prętów zbrojenia. Kierunek rysy oblicza się następnie na podstawie trzech najbliższych (od środka danego jednowymiarowego elementu skończonego zbrojenia) punktów całkowania dwuwymiarowych (2D) elementów betonowych. Choć takie podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal daje ono reprezentatywne wartości, które prowadzą do wyników szerokości rys porównywalnych z wartościami wymaganymi przez normę w miejscu położenia pręta zbrojeniowego.

Beton - Nośność

Model betonu zastosowany w CSFM do obliczeń nośności opiera się na paraboliczno-plastycznej krzywej naprężenie-odkształcenie dla betonu, wywodzącej się z krzywej parabolicznej Portland Cement Association opisanej w PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, rys. 6-8. Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, tak jak w klasycznym projektowaniu konstrukcji żelbetowych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia betonu ściskanego wyrażonego w odkształceniach (tzn. po osiągnięciu naprężenia maksymalnego przyjmuje gałąź plastyczną z ε_c0 o wartości maksymalnej 5%, podczas gdy ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 zakłada odkształcenie graniczne poniżej 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności do odkształceń konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Nośność jest jednak prawidłowo przewidywana, gdy oprócz współczynnika uwzględniającego zarysowanie betonu (k_c2 zdefiniowanego na (rys. 39)) uwzględni się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₁ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie, zdefiniowanym w ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Przy stosowaniu wykresu naprężenie-odkształcenie typu parabola-prostokąt konieczne jest zredukowanie maksymalnego naprężenia ściskającego o ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej przy użyciu wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną.

Φ_c jest współczynnikiem redukcji nośności dla betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym uwzględniającym występowanie zarysowania poprzecznego.

f'_c jest wytrzymałością betonu na ściskanie określoną na próbkach walcowych (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym opartym na tych samych założeniach co współczynnik strefy węzłowej β_n podany w ACI 318-19 Table 23.9.2, z tą różnicą, że w CSFM obecność naprężenia głównego rozciągającego prostopadłego do naprężenia głównego ściskającego jest sprawdzana dla każdego elementu skończonego (a nie tylko dla węzłów modelu Strut and tie).

Beton – stan graniczny użytkowalności

Analiza w stanie granicznym użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie nośności. Gałąź plastyczna krzywej naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, a gałąź sprężysta jest liniowa i nieograniczona. Nie uwzględnia się prawa compression softening. Uproszczenia te zwiększają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń oraz nie zmniejszają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe naprężenia graniczne materiałów w stanie granicznym użytkowalności są wyraźnie poniżej ich granicy plastyczności (zgodnie z wymaganiami ACI). Uproszczone modele stosowane w analizie użytkowalności są zatem ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efekty długotrwałe

Na zachowanie konstrukcji w czasie, takie jak ugięcia długotrwałe lub obliczanie szerokości rys wywołanych obciążeniami długotrwałymi, wpływa pełzanie betonu. ACI 318-19 w punkcie 24.2.4.1.3 definiuje współczynnik zależny od czasu dla obciążeń długotrwałych – ξ, reprezentujący efekt pełzania dla określonego czasu trwania obciążenia długotrwałego.

W Detail application moduł sprężystości E_c jest korygowany za pomocą współczynnika ξ w celu określenia zachowania konstrukcji w czasie. Skorygowany moduł sprężystości oznaczany jest jako E_c,eff – patrz rysunek 40.

Zakładając, że odkształcenie elementu jest wyrażone za pomocą odkształcenia, można zapisać, że:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

gdzie:

ε₀ jest odkształceniem krótkotrwałym (bez wpływu pełzania), a ε_creep jest odkształceniem wywołanym pełzaniem.

Korzystając z prawa Hooke'a, możemy zapisać:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Podstawiając $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ oraz $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$, otrzymujemy:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

Czas trwania obciążenia długotrwałego do określenia współczynnika ξ można ustawić indywidualnie dla każdej kombinacji długotrwałej w stanie granicznym użytkowalności.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

Ugięcia, naprężenia i szerokości rys zależne od czasu są następnie obliczane za pomocą zmodyfikowanego modelu materiału, w którym efekt uwzględnienia ściskania jest brany pod uwagę automatycznie ze względu na naturę analizy MES. Nie jest zatem konieczne dodatkowe mnożenie ich przez współczynnik zdefiniowany w 24.2.4.1.1.

Efekty krótkotrwałe

Aby przeprowadzić weryfikacje krótkotrwałe, wykonywane jest kolejne obliczenie, w którym wszystkie obciążenia są obliczane bez współczynnika zależnego od czasu dla obciążeń długotrwałych. Oba obliczenia, dla weryfikacji długotrwałych i krótkotrwałych, przedstawiono na rys. 40.

Zbrojenie

Dla zbrojenia niesprężającego przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie ze zdefiniowaną granicą plastyczności, patrz ACI 319-19 CL. 20.2.1. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia – wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, jednak w takim przypadku nie jest możliwe uwzględnienie efektu tension stiffening (nie jest możliwe obliczenie szerokości rys). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

gdzie:

Φ_s jest współczynnikiem redukcji nośności dla zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y jest granicą plastyczności zbrojenia

E_s jest modułem sprężystości zbrojenia

Jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są zatrzymywane, przyjęto 10%. Jest to uznawane za bezpieczne na podstawie ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Tension stiffening (rys. 43)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie dla gołego pręta zbrojeniowego, tak aby oddać średnią sztywność prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe parametry materiałowe, format częściowych współczynników bezpieczeństwa określony w normach można zastosować bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez współczynniki, a charakterystyczne parametry materiałowe są redukowane za pomocą odpowiednich współczynników redukcji nośności, dokładnie tak jak w konwencjonalnej analizie konstrukcji z betonu.

Wartości współczynników redukcji nośności są podane w ACI 318-19 Cl. 21.2. Wartości domyślne dla betonu i zbrojenia przyjęto przy założeniu, że typowy przykład rozwiązywany w aplikacji jest sterowany ścinaniem (na podstawie Table 21.2.1 (b), (f), (g)). Możliwe jest jednak modelowanie dowolnego typu elementu. Dlatego jeśli sprawdzany jest element sterowany ściskaniem lub rozciąganiem, użytkownik ma możliwość zmiany wartości współczynnika redukcji nośności w Preferencjach.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki obciążenia dla kombinacji w stanie granicznym nośności należy przyjmować zgodnie z ACI 318-19 Table 5.3.1.

Poza przypadkami określonymi w Chapter 34, kombinacje obciążeń na poziomie użytkowalności nie są zdefiniowane w ACI 318-19. Zaleca się stosowanie reguł kombinacji opartych na Appendix C normy ASCE/SEI 7-16. We wszystkich szablonach współczynniki obciążenia są już wstępnie zdefiniowane.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Różne weryfikacje wymagane przez ACI 318-19 są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Weryfikacje przeprowadza się dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia styczne przyczepności).

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego f_c (również σ₂ w wynikach pomocniczych), uzyskanego z analizy MES, do wartości granicznej f'_c,lim.

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno przy rozciąganiu, jak i przy ściskaniu, jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach f_s do przyjętej wartości granicznej f_y,lim.

Naprężenie styczne przyczepności jest oceniane niezależnie, jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b, obliczonego w analizie MES, do wytrzymałości przyczepności f_bu.

Norma ACI nie podaje jednak wprost wytrzymałości przyczepności, lecz operuje obliczaniem tzw. długości zakotwienia, opisanej w rozdziale 25.4.2. Ponieważ wytrzymałość przyczepności jest podstawowym parametrem wejściowym do wyznaczania długości zakotwienia (zob. R25.4.1.1 oraz ACI Committee 408 1966), można ją obliczyć w następujący sposób:

Załóżmy, że jeśli pręt zbrojeniowy zostanie zakotwiony w bloku betonowym na długość zakotwienia l_d lub większą, to wyrywanie zbrojenia doprowadzi do zerwania pręta, a nie do wyrwania go z betonu. Można to zapisać za pomocą następującego wzoru.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

gdzie:

d_b jest średnicą pręta zbrojeniowego, l_d jest długością zakotwienia, f_bu jest wytrzymałością przyczepności, f_y jest granicą plastyczności zbrojenia, a A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego.

Z powyższego łatwo wyprowadzić wzór na obliczanie wytrzymałości przyczepności:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Długość zakotwienia l_d jest następnie wyznaczana zgodnie z tabelą 25.4.2.3 w ACI 318-19 w następujący sposób:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

gdzie:

C = 25 (2,1 dla jednostek metrycznych) dla prętów nr 6 i mniejszych oraz drutów żebrowanych, C = 20 (1,7 dla jednostek metrycznych) dla prętów nr 7 i większych, λ = 1,0 dla betonu zwykłego, ψ_t, ψ_e, ψ_g są wyznaczane zgodnie z tabelą 25.4.2.3 w ACI 318-19. 

Obsługiwane jest wyłącznie zbrojenie niepowlekane lub ocynkowane, zatem ψ_e = 1,0. Wartość ψ_g jest wyznaczana automatycznie na podstawie klasy zbrojenia, a ψ_t jest wyznaczane automatycznie na podstawie położenia zbrojenia w modelu oraz kierunku betonowania, który można ustawić w aplikacji dla każdego elementu projektu w następujący sposób.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Weryfikacje te są przeprowadzane w odniesieniu do odpowiednich wartości granicznych dla poszczególnych części konstrukcji (tzn. mimo że dla betonu i zbrojenia przyjęto jedną klasę materiału, końcowe wykresy naprężenie-odkształcenie będą się różnić w poszczególnych częściach konstrukcji ze względu na efekty tension stiffening i compression softening).

Dostępna jest również opcja modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Pręty gładkie w Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i można ją zdefiniować na dwa sposoby.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

gdzie A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego, a f_s jest naprężeniem w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_a i siły przyczepności F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

gdzie F_a jest rzeczywistą siłą w sprężynie zakotwienia, a F_bond jest siłą przyczepności, którą można uzyskać przez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b na długości pręta zbrojeniowego l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim jest maksymalną siłą w elemencie pręta zbrojeniowego, z uwzględnieniem wytrzymałości pręta, a także warunków zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki, pętle zakotwienia itp.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

gdzie C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego, a l jest długością od początku pręta zbrojeniowego do rozpatrywanego punktu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

gdzie F_lim,add jest siłą dodatkową obliczaną na podstawie wartości kąta między sąsiednimi elementami. Wartość F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Dostępne typy zakotwienia w CSFM obejmują pręt prosty (tzn. bez redukcji z tytułu zakończenia zakotwienia), hak 90-stopniowy, hak 180-stopniowy, idealną przyczepność oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β przedstawiono na rys. 48 dla zbrojenia podłużnego. Przyjęte wartości współczynników zakotwienia wyprowadzono na podstawie porównania równania z rozdziału ACI 318-19 25.4.3.1 oraz równań z rozdziału ACI 318-19 25.4.2.3. Należy zauważyć, że mimo różnych dostępnych opcji CSFM rozróżnia trzy typy zakończeń zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcję długości zakotwienia o 30% w przypadku zakotwienia znormalizowanego oraz (iii) idealną przyczepność.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Współczynnik zakotwienia dla strzemion wynosi zawsze β = 1,0.

Aby spełnić wymagania ACI, w obliczeniach należy uwzględnić sprężynę zakotwienia. Sprężyna zakotwienia jest modyfikowana współczynnikiem β, dlatego użytkownik musi wybrać jeden z dostępnych typów zakotwienia podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia. 

Podczas projektowania konstrukcji betonowych spotykamy się z dwiema dużymi grupami obszarów częściowo obciążonych (PLA). Pierwsza z nich obejmuje strefy podporowe, a druga strefy zakotwienia. 

Zgodnie z obowiązującą normą do projektowania konstrukcji żelbetowych ACI 318-19, rozdz. 22.8, w przypadku stref podporowych należy uwzględnić lokalne miażdżenie betonu oraz poprzeczne siły rozciągające. Dla obciążenia równomiernie rozłożonego na polu A_c1 nośność betonu na ściskanie można zwiększyć nawet dwukrotnie, w zależności od obliczeniowego pola rozdziału obciążenia A_c2. Zobacz tabelę 22.8.3.2 w ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Dla stref zakotwienia w elementach sprężanych kablami należy stosować ACI 318-19, rozdz. 25.9.

Obszar częściowo obciążony musi być odpowiednio zbrojony zbrojeniem poprzecznym, zaprojektowanym do przeniesienia sił rozszczepiających występujących w tym obszarze. Bez wymaganego zbrojenia poprzecznego nie można uwzględnić zwiększenia nośności betonu na ściskanie.

Obszary częściowo obciążone w CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Za pomocą CSFM można projektować i oceniać konstrukcje żelbetowe, uwzględniając wpływ zwiększonej nośności betonu na ściskanie w obszarach częściowo obciążonych. CSFM jest modelem tarczowym (2D), natomiast obszary częściowo obciążone stanowią zagadnienie przestrzenne (3D). Dlatego konieczne było znalezienie rozwiązania łączącego te dwa różne typy zadań (Fig. 50). Po włączeniu funkcji „obszary częściowo obciążone” generowana jest dopuszczalna geometria stożka zgodnie z ACI (Fig. 49). Wszystkie kolizje geometryczne są rozwiązywane w pełni w 3D dla zadanej geometrii elementu betonowego i wymiarów każdego PLA. Następnie tworzony jest model obliczeniowy obszaru częściowo obciążonego.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Modyfikacja modelu materiałowego okazała się podejściem nieodpowiednim, głównie ze względu na problematyczne odwzorowanie właściwości na siatce elementów skończonych. Ustalono, że bardziej właściwym rozwiązaniem jest podejście niezależne od siatki elementów skończonych. Dla znanej geometrii stożka ściskanego tworzone są w pełni spójne fikcyjne krzyżulce (Fig. 51 and Fig. 52). Krzyżulce te mają właściwości materiałowe identyczne jak beton użyty w modelu, w tym wykres naprężenie-odkształcenie. Kształt stożka określa kierunek krzyżulców, które stopniowo rozprowadzają obciążenie z PLA na obliczeniowe pole rozdziału obciążenia. Gęstość powierzchniowa fikcyjnych krzyżulców zmienia się w każdej części stożka i dodaje fikcyjne pole betonu w kierunku obciążenia. Na poziomie pola obciążonego (A_c1) dodawane jest fikcyjne pole betonu zgodnie ze stosunkiem $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (gdzie A_real jest polem podparcia przyjętym w modelu obliczeniowym 2D), a pole to maleje liniowo do zera w kierunku obliczeniowego pola rozdziału obciążenia (A_c2). Takie rozwiązanie zapewnia stałe naprężenie ściskające w betonie w całej objętości stożka.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Nośność obszaru częściowo obciążonego jest zwiększana zgodnie ze stosunkiem obliczeniowego pola rozdziału obciążenia do pola obciążonego, określonym w ACI 318-19, rozdz. 22.8.  Należy pamiętać, że jest to model obliczeniowy, który nie może dokładnie opisać stanu naprężenia w obszarze częściowo obciążonym, gdzie rzeczywisty przepływ sił jest znacznie bardziej złożony. Rozwiązanie to pozwala jednak na prawidłowy rozdział obciążenia na cały model z uwzględnieniem zwiększonej nośności obszaru częściowo obciążonego. Ponadto prawidłowo wprowadza naprężenia poprzeczne w tym obszarze, co umożliwia właściwe zaprojektowanie zbrojenia na siły rozszczepiające.

Dopuszczalne naprężenie docisku wynoszące 0.85f_c' podano w tabeli 22.8.3.2. Gęstość jest ograniczona w taki sposób, aby nie przekroczyć maksymalnej dwukrotnej nośności określonej wzorem w tabeli 22.8.3.2(b).  

Dla stref zakotwienia PLA jest stosowane w aplikacji w taki sam sposób jak dla stref podporowych. Dlatego strefy lokalne zdefiniowane w ACI 318-19, rozdz. 25.9, należy sprawdzić ręcznie zgodnie z ACI 318-19, pkt 25.9.3. PLA służy zatem wyłącznie do uniknięcia przekroczenia kryterium odkształcenia w strefie lokalnej i tym samym przedwczesnego zatrzymania obliczeń. Natomiast zgodnie z ACI 318-19, pkt 25.9.4.3.1 (b), zbrojenie przenoszące naprężenia w płaszczyźnie wywołujące rozrywanie i odspajanie betonu można zweryfikować bezpośrednio w aplikacji, co jest korzystne.

Weryfikacje w stanie granicznym użytkowalności przeprowadza się dla ograniczenia naprężeń, szerokości rys oraz granicznych ugięć. Naprężenia w betonie i elementach zbrojenia sprawdza się zgodnie z ACI 318-19 w sposób podobny do określonego dla nośności.

Ograniczenie naprężeń

Dopuszczalne naprężenia ściskające w betonie przy obciążeniu eksploatacyjnym należy zweryfikować dla elementów sprężonych klasy U i T. Zgodnie z Tabelą R24.5.2.1 dla betonu, który zakłada się jako zarysowany, nie jest wymagane sprawdzenie ograniczenia naprężeń. Użytkownik musi ustawić klasę elementu sprężonego w ustawieniach elementu obliczeniowego.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

Dopuszczalne naprężenie ściskające dla elementów poddanych obciążeniom przejściowym jest określone w ACI 318-19 24.5.4.1 jako 0.6f_c'. Graniczną wartość naprężenia ściskającego 0.45f_c' ustalono w celu zmniejszenia prawdopodobieństwa zniszczenia sprężonych elementów betonowych wskutek obciążeń powtarzalnych. Limit ten wydawał się również uzasadniony ze względu na wykluczenie nadmiernych odkształceń wynikających z pełzania. Przy wyższych wartościach naprężeń odkształcenia od pełzania zwiększają się szybciej wraz ze wzrostem przyłożonego naprężenia.

Naprężenie ściskające w betonie wyznacza się jako stosunek maksymalnego naprężenia głównego ściskającego f_c = σ_c2 uzyskanego z analizy MES dla stanu granicznego użytkowalności do wartości granicznej, którą ustala się na podstawie Tabeli 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

W aplikacji Prestress plus sustained load jest traktowane jako kombinacja długotrwała, a Prestress plus total load jako kombinacja krótkotrwała.

Ugięcie

W zależności od wybranego typu kombinacji (długotrwała lub krótkotrwała) wyznaczane jest ugięcie długotrwałe lub krótkotrwałe. Maksymalną dopuszczalną wartość ugięcia określa użytkownik i należy ją przyjąć zgodnie z ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

W aplikacji można wyświetlić oddzielnie ugięcia od obciążenia stałego Δ_DL i obciążenia użytkowego Δ_LL, a także ugięcie całkowite Δ_Tot (stałe + użytkowe), przy jednoczesnym wyświetlaniu zdeformowanego kształtu.

Ugięć na przyciętych końcach nie można sprawdzić.

Szerokość rys

Szerokości i kierunki rys oblicza się dla krótkotrwałych lub długotrwałych kombinacji w stanie granicznym użytkowalności. Ponieważ ACI nie określa bezpośrednio granicznych szerokości rys, użytkownik musi podać graniczną szerokość rysy w_lim.

Weryfikacje przedstawiono w następujący sposób:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

gdzie:

w         krótkotrwała lub długotrwała szerokość rysy obliczona w analizie MES,

w_lim     wartość graniczna szerokości rysy określona przez użytkownika.

Metoda obliczania szerokości rys stosowana w aplikacji, opisana również bardziej szczegółowo w tym dokumencie, jest zgodna z ACI 224R-01. Do określenia granicznej wartości szerokości rys można zatem wykorzystać Tabelę 4.1 z ACI 224R-01.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys (zarysowanie ustabilizowane i nieustabilizowane). W przypadku ogólnym (zarysowanie ustabilizowane) szerokość rysy oblicza się przez całkowanie odkształceń w elementach 1D prętów zbrojeniowych. Kierunek rysy jest następnie wyznaczany na podstawie trzech najbliższych (od środka danego elementu skończonego 1D zbrojenia) punktów całkowania elementów betonowych 2D. Chociaż takie podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości, które prowadzą do wyników szerokości rys porównywalnych z wartościami wymaganymi przez normę w miejscu położenia pręta zbrojeniowego.

Beton – wytrzymałość

Model betonu zaimplementowany do obliczeń wytrzymałościowych w CSFM opiera się na założeniach równowagi i zgodności odkształceń, przyjętych w projektowaniu wytrzymałościowym według AASHTO LRFD. Zgodnie z AASHTO LRFD (2024), art. 5.6.2.1, wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia betonu ściskanego wyrażonego w odkształceniach (tzn. po osiągnięciu maksymalnego naprężenia przyjmowana jest gałąź plastyczna z ε_c0 o wartości maksymalnej 5%, podczas gdy AASHTO LRFD (2024), art. 5.6.2.1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności do odkształceń konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Wytrzymałość jest jednak prawidłowo przewidywana, gdy oprócz współczynnika dla betonu zarysowanego (k_c2 zdefiniowanego na (Fig. 57)) uwzględni się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₁ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie, zdefiniowanym w AASHTO LRFD (2024), art. 5.6.2.2. Przy stosowaniu wykresu naprężenie-odkształcenie typu parabola-prostokąt należy zmniejszyć maksymalne naprężenie ściskające o ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej za pomocą wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną.

Φ_c jest współczynnikiem nośności dla betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AASHTO LRFD (2024), art. 5.5.4.2.

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym uwzględniającym występowanie zarysowania poprzecznego.

f'_c jest wytrzymałością walcową betonu (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym opartym na tych samych założeniach co współczynnik efektywności betonu ν podany w AASHTO LRFD (2024), pkt 5.8.2.5.3a oraz w tabeli 5.8.2.5.3a-1, z tą różnicą, że w CSFM występowanie naprężenia głównego rozciągającego prostopadłego do naprężenia głównego ściskającego jest sprawdzane dla każdego elementu skończonego (a nie tylko dla węzłów modelu Strut and tie).

Beton – stany graniczne użytkowalności

Analiza stanu granicznego użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie wytrzymałościowej. Gałąź plastyczna wykresu naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, a gałąź sprężysta jest liniowa i nieograniczona. Prawo compression softening nie jest uwzględniane. Uproszczenia te poprawiają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń oraz nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe naprężenia graniczne materiałów w stanie granicznym użytkowalności są wyraźnie poniżej ich granic plastyczności (zgodnie z podejściem AASHTO LRFD do stanu granicznego użytkowalności). Dlatego uproszczone modele stosowane w analizie użytkowalności są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efekty długotrwałe

Długotrwałe prawo konstytutywne (czerwona krzywa na Fig. 59) jest stosowane do obliczania szerokości rys, całkowitego ugięcia oraz ograniczenia naprężeń w elementach sprężonych, gdy w górnej wstążce wybrano efekt długotrwały. W aplikacji IDEA StatiCa Detail do weryfikacji efektów długotrwałych stosowany jest efektywny moduł sprężystości, zgodnie z AASHTO LRFD (2024), C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

gdzie:
E_c jest modułem sprężystości zdefiniowanym w AASHTO LRFD (2024), art. 5.4.2.4
ψ jest współczynnikiem pełzania zdefiniowanym w AASHTO LRFD (2024), art. 5.4.2.3.2

Współczynniki pełzania są definiowane przez użytkownika we właściwościach materiału.

Efekty krótkotrwałe

Aby przeprowadzić weryfikacje krótkotrwałe, wykonywane są kolejne obliczenia, w których wszystkie obciążenia są obliczane bez uwzględnienia współczynnika pełzania. Oba obliczenia, dla weryfikacji długotrwałych i krótkotrwałych, przedstawiono na Fig. 59.

Zbrojenie

Dla zbrojenia niesprężonego przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie ze zdefiniowaną granicą plastyczności, zobacz AASHTO LRFD (2024), art. 5.4.3. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia – wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, jednak w takim przypadku nie można uwzględnić efektu tension stiffening (nie można obliczyć szerokości rys). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

gdzie:

Φ_s jest współczynnikiem nośności dla zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AASHTO LRFD (2024), art. 5.5.4.2.

f_y jest granicą plastyczności zbrojenia

E_s jest modułem sprężystości zbrojenia

Jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są zatrzymywane, przyjęto 10%. Jest to uznawane za bezpieczne na podstawie ASTM A955/A955M-20c, art. 7.

Tension stiffening (Fig. 61)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie dla gołego pręta zbrojeniowego, aby oddać średnią sztywność prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałów, format częściowych współczynników bezpieczeństwa przewidziany w normach można zastosować bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałów są redukowane odpowiednimi współczynnikami nośności, dokładnie tak jak w konwencjonalnej analizie konstrukcji betonowych.

Wartości współczynników nośności podano w AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.5.4. Wartości domyślne dla betonu i zbrojenia przyjęto zachowawczo, zakładając, że typowy rozwiązywany przykład stanowi strefę nieciągłości, czyli typowy przypadek zastosowania metody SaT. Możliwe jest jednak modelowanie dowolnego typu elementu. Dlatego przy sprawdzaniu elementu o zachowaniu kontrolowanym przez ściskanie lub rozciąganie użytkownik może zmienić wartość współczynnika redukcji nośności w Preferences.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki obciążenia i kombinacje obciążeń należy definiować zgodnie z AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), artykuł 3.4.1 oraz tabele 3.4.1-1 do 3.4.1-6. AASHTO LRFD jednoznacznie określa kombinacje obciążeń dla stanu granicznego nośności (Strength I do Strength V) oraz kombinacje obciążeń dla stanu użytkowalności (Service I do Service IV), wraz z odpowiednimi współczynnikami obciążenia dla każdego przypadku.

Dla każdego szablonu program zawiera predefiniowane kombinacje podstawowe, które wymagają uzupełnienia w zależności od analizowanego elementu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Różne sprawdzenia wymagane przez AASHTO są wykonywane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Sprawdzenia obejmują wytrzymałość betonu, wytrzymałość zbrojenia oraz zakotwienie (naprężenia ścinające przyczepności).

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest wyznaczana jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego f_c (oznaczanego także σ₂ w wynikach pomocniczych), uzyskanego z analizy MES, do wartości granicznej f'_c,lim.

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno przy rozciąganiu, jak i przy ściskaniu, jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach f_s do przyjętej wartości granicznej f_y,lim.

Naprężenie ścinające przyczepności jest oceniane niezależnie, jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b, obliczonego w analizie MES, do wytrzymałości przyczepności f_bu.

Ponieważ jednak wytrzymałość przyczepności nie jest jawnie zdefiniowana w AASHTO, jej wartość należy wyznaczyć z równań określających długość zakotwienia. Wytrzymałość przyczepności jest w istocie podstawową daną wejściową do wyznaczenia długości zakotwienia; zob. np. AASHTO LRFD (2024) art. C5.10.8.2 lub NCHRP Report 733, Attachment E, str. E-9.

Obliczenia opisane w AASHTO LRFD (2024) art. 5.10.8.2.1 i 5.10.8.2.2 wymagają znajomości maksymalnego rozstawu osiowego zbrojenia poprzecznego w obrębie l_d, liczby prętów lub drutów zakotwionych wzdłuż płaszczyzny rozłupania, całkowitego pola przekroju poprzecznego całego zbrojenia poprzecznego oraz innych wielkości geometrycznych. Nie można ich wiarygodnie określić w modelu Detail application dla ogólnych danych wejściowych. Dlatego przyjęto podejście z AASHTO LRFD (2014) art. 5.11.2.1.1 w następujący sposób:

Załóżmy, że jeśli pręt zbrojeniowy zakotwimy w bloku betonowym na długość zakotwienia l_d lub większą, to wyrywanie zbrojenia doprowadzi do zerwania zbrojenia, a nie do wyrwania go z betonu. Można to zapisać następującym wzorem.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

gdzie:

• d_b to średnica pręta zbrojeniowego
• l_d to długość zakotwienia
• f_bu to wytrzymałość przyczepności
• f_y to granica plastyczności zbrojenia
• A_b to pole przekroju pręta zbrojeniowego

Z powyższego można łatwo wyprowadzić wzór na wytrzymałość przyczepności.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Podstawowa długość zakotwienia przy rozciąganiu l_db jest określona w AASHTO LRFD (2014) art. 5.11.2.1.1 w następujący sposób:

Dla prętów No. 11 i mniejszych:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Dla prętów No. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Dla prętów No. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

gdzie:

• A_b to pole przekroju pręta zbrojeniowego (in²)
• f_y to przyjęta granica plastyczności zbrojenia (ksi)
• f'_c to przyjęta wytrzymałość betonu na ściskanie po 28 dniach, o ile nie określono innego wieku betonu (ksi)
• d_b to średnica pręta zbrojeniowego (in)

Następnie, mnożąc podstawową długość zakotwienia l_db przez współczynniki opisane w AASHTO LRFD (2014) art. 5.11.2.1.2 i 5.11.2.1.3, wyznacza się długość zakotwienia l_d jako daną wejściową.

Współczynniki modyfikujące zmniejszające długość zakotwienia, podane w 5.11.2.1.3, są w aplikacji zawsze równe 1,0. Współczynnik modyfikujący dla zbrojenia górnego, poziomego lub prawie poziomego, jest równy 1,4 dla „złych” warunków przyczepności, zgodnie z poniższym rysunkiem:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

Kierunek betonowania można ustawić w aplikacji.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Wszystkie pozostałe współczynniki określone w 5.11.2.1.2 są równe 1,0, ponieważ obsługiwany jest wyłącznie beton zwykły oraz wyłącznie zbrojenie niepowlekane.

Naprężenie ścinające przyczepności i wytrzymałość przyczepności prętów ściskanych oblicza się analogicznie jak dla prętów rozciąganych, jednak stosuje się równania z AASHTO LRFD (2014) art. 5.11.2.2.

Istnieje również możliwość modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Pręty gładkie w Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i może być zdefiniowana na dwa sposoby.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

gdzie A_b to pole przekroju pręta zbrojeniowego, a f_s to naprężenie w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_a i siły przyczepności F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

gdzie F_a to rzeczywista siła w sprężynie zakotwienia, a F_bond to siła przyczepności, którą można uzyskać przez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b na długości pręta zbrojeniowego l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s to obwód pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim to maksymalna siła w elemencie pręta zbrojeniowego, uwzględniająca wytrzymałość pręta oraz warunki zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki zakotwienia, pętle itp.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

gdzie C_s to obwód pręta zbrojeniowego, a l to długość od początku pręta zbrojeniowego do rozpatrywanego punktu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

gdzie F_lim,add to dodatkowa siła obliczona na podstawie wartości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Dostępne w CSFM typy zakotwienia obejmują pręt prosty (tj. bez redukcji z tytułu zakończenia zakotwienia), hak 90°, hak 180°, przyczepność doskonałą i pręt ciągły. Wszystkie te typy wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β przedstawiono na rys. 67 dla zbrojenia podłużnego. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia wynikają z porównania równania z AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 z równaniami z AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Należy zauważyć, że mimo różnych dostępnych opcji CSFM rozróżnia trzy rodzaje zakończeń zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcję długości zakotwienia o 30% w przypadku zakotwienia znormalizowanego oraz (iii) przyczepność doskonałą.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnote{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Współczynnik zakotwienia dla strzemion (dostępny dla elementu typu belka) jest zawsze równy β = 1,0.

Aby spełnić wymagania AASHTO, w obliczeniach należy zastosować sprężynę zakotwienia. Sprężyna zakotwienia jest modyfikowana współczynnikiem β, dlatego podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia użytkownik musi wybrać jeden z dostępnych typów zakotwienia. 

Przy projektowaniu konstrukcji betonowych spotykamy dwie duże grupy obszarów obciążonych częściowo (PLA) – pierwszą z nich stanowią strefy podporowe, a drugą strefy zakotwienia. 

Zgodnie z obecnie obowiązującymi normami dotyczącymi projektowania konstrukcji żelbetowych, w przypadku stref podporowych należy uwzględnić miejscowe miażdżenie betonu oraz poprzeczne siły rozciągające. Dla obciążenia równomiernie rozłożonego na powierzchni A₁ nośność betonu na ściskanie może zostać zwiększona nawet dwukrotnie, w zależności od obliczeniowej powierzchni rozdziału A₂. Patrz AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Dla stref zakotwienia w elementach sprężonych kablami należy stosować AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.8.4.4.

Obszar obciążony częściowo musi być odpowiednio zazbrojony zbrojeniem poprzecznym, zaprojektowanym do przeniesienia sił rozłupujących występujących w tym obszarze. Bez wymaganego zbrojenia poprzecznego nie można uwzględniać zwiększenia nośności betonu na ściskanie.

Obszary obciążone częściowo w CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Za pomocą CSFM można projektować i oceniać konstrukcje żelbetowe z uwzględnieniem wpływu zwiększonej nośności betonu na ściskanie w obszarach obciążonych częściowo. Ponieważ CSFM jest modelem tarczowym (2D), a obszary obciążone częściowo stanowią zagadnienie przestrzenne (3D), konieczne było znalezienie rozwiązania łączącego te dwa różne typy zagadnień (Rys. 69). Jeśli funkcja „obszary obciążone częściowo” jest aktywowana, dopuszczalna geometria stożka jest tworzona zgodnie z ACI (Rys. 68). Wszystkie kolizje geometryczne są rozwiązywane w pełni w 3D dla zadanej geometrii elementu betonowego i wymiarów każdego PLA. Następnie tworzony jest model obliczeniowy obszaru obciążonego częściowo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Modyfikacja modelu materiałowego okazała się podejściem nieodpowiednim, głównie ze względu na problematyczne odwzorowanie właściwości na siatce elementów skończonych. Stwierdzono, że bardziej odpowiednim rozwiązaniem jest podejście niezależne od siatki elementów skończonych. Dla znanej geometrii stożka ściskanego tworzone są w pełni spójne fikcyjne krzyżulce (Rys. 70 i Rys. 71). Krzyżulce te mają właściwości materiałowe identyczne z betonem użytym w modelu, w tym wykres naprężenie-odkształcenie. Kształt stożka determinuje kierunek krzyżulców, które stopniowo rozprowadzają obciążenie z PLA na obliczeniową powierzchnię rozdziału. Gęstość powierzchniowa fikcyjnych krzyżulców jest zmienna w każdej części stożka i dodaje fikcyjną powierzchnię betonu w kierunku obciążenia. Na poziomie obszaru obciążonego (A₁) dodawana jest fikcyjna powierzchnia betonu zgodnie ze wzorem $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  (gdzie A_real jest powierzchnią podparcia przyjętą w modelu obliczeniowym 2D), a powierzchnia ta maleje liniowo do zera w kierunku obliczeniowej powierzchni rozdziału (A₂). To rozwiązanie zapewnia stałe naprężenie ściskające w betonie w całej objętości stożka.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Nośność obszaru obciążonego częściowo jest zwiększana zgodnie ze stosunkiem obliczeniowej powierzchni rozdziału do powierzchni obciążonej, określonym w AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.6.5.  Należy pamiętać, że jest to model obliczeniowy, który nie może dokładnie opisać stanu naprężenia w obszarze obciążonym częściowo, w którym rzeczywisty przepływ sił jest znacznie bardziej skomplikowany. Rozwiązanie to pozwala jednak na prawidłowe rozdzielenie obciążenia na cały model, przy jednoczesnym uwzględnieniu zwiększonej nośności obszaru obciążonego częściowo. Ponadto prawidłowo wprowadza ono naprężenia poprzeczne w tym obszarze, co umożliwia poprawne zaprojektowanie zbrojenia na siły rozłupujące.

Dopuszczalne naprężenie docisku wynoszące 0.85f_c' jest podane w AASHTO LRFD (2024), artykuł 5.8.4.4. Gęstość jest ograniczona tak, aby nie przekroczyć maksymalnej dwukrotnej nośności podanej we wzorze 5.6.5-3.  

Dla stref zakotwienia PLA jest stosowane w aplikacji w taki sam sposób jak dla stref podporowych. Dlatego naprężenia ściskające w strefach lokalnych i globalnych, zdefiniowane w artykułach 5.8.4.4 i 5.8.4.5, muszą być sprawdzane ręcznie. PLA służy zatem wyłącznie do uniknięcia przekroczenia kryterium odkształcenia w strefie lokalnej, a tym samym przedwczesnego zatrzymania obliczeń. Natomiast zbrojenie przenoszące naprężenia rozrywające, odspajające w płaszczyźnie oraz naprężenia rozciągające przy krawędzi w strefach ogólnych (zdefiniowanych w artykule 5.8.4.5) można weryfikować bezpośrednio i z korzyścią w aplikacji.

Sprawdzenia stanów granicznych użytkowalności obejmują ograniczenie naprężeń, szerokość rys oraz graniczne wartości ugięć. Naprężenia w betonie i elementach zbrojenia są sprawdzane zgodnie z AASHTO LRFD w sposób zbliżony do określonego dla nośności (Strength).

Ograniczenie naprężeń

Naprężenie ściskające w betonie jest oceniane wyłącznie dla elementów sprężonych (gdy w modelu występuje przypadek obciążenia sprężeniem) jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego f_c = σ_c2 uzyskanego z analizy MES dla stanu granicznego użytkowalności do wartości granicznych, które przyjmuje się na podstawie tabeli 5.9.2.3.2a-1 w AASHTO LRFD.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

W aplikacji sprężenie wraz z obciążeniem stałym jest traktowane jako obciążenie długotrwałe (Sustain), a sprężenie, obciążenie stałe i obciążenie zmienne jako obciążenie całkowite (Total).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

Dodatkowo zawsze można wykonać analizę zarówno dla efektów krótkotrwałych, jak i długotrwałych, stosując modele materiałowe, które uwzględniają lub nie uwzględniają współczynnika pełzania — zob. sekcja „Modele materiałowe (AASHTO)”.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Ugięcie

Ugięcia chwilowe i ugięcia całkowite są obliczane dla każdej kombinacji, dla której włączono ocenę ugięć. 

• Dla ugięć chwilowych stosuje się moduł sprężystości E_c zgodnie z artykułem 5.4.2.4 AASHTO LRFD (2024). 
• Dla ugięć całkowitych stosuje się efektywny moduł sprężystości E_c,eff zgodnie z artykułem C5.12.5.3.6 AASHTO LRFD (2024). 

Zob. rozdział „Modele materiałowe (AASHTO) - Beton – Stan graniczny użytkowalności” w niniejszym dokumencie.

Samo sprawdzenie ugięć włącza się na górnej wstędze. Użytkownik ustala graniczne wartości ugięć zgodnie z artykułem 2.5.2.6.2 AASHTO LRFD (2024), w zależności od typu analizowanego elementu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Ugięć na obciętych końcach nie można sprawdzać.

Szerokość rys

Szerokości i kierunki rys są obliczane wyłącznie dla efektów długotrwałych (z zastosowaniem E_c,eff zgodnie z artykułem C5.12.5.3.6 AASHTO LRFD (2024)) dla kombinacji, dla których włączono ocenę szerokości rys. Sprawdzenia na podstawie wartości granicznych zadanych przez użytkownika wykonuje się następująco:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

gdzie:

w         szerokość rys obliczona w analizie MES,

w_lim     graniczna szerokość rys zadana przez użytkownika.

Wartość graniczną w_lim należy przyjąć na podstawie typu elementu i klasy ekspozycji zgodnie z artykułem 5.6.7 AASHTO LRFD (2024) oraz jego komentarzem. 

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys (rysy ustabilizowane i nieustabilizowane). W przypadku ogólnym (rysy ustabilizowane) szerokość rys oblicza się przez całkowanie odkształceń na elementach 1D prętów zbrojeniowych. Kierunek rysy jest następnie obliczany na podstawie trzech najbliższych (od środka danego elementu skończonego 1D zbrojenia) punktów całkowania elementów betonowych 2D. Choć takie podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal daje wartości reprezentatywne, prowadzące do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normę w miejscu położenia pręta zbrojeniowego.

Beton - wytrzymałość

Model betonu zaimplementowany do obliczeń wytrzymałościowych w CSFM opiera się na paraboliczno-plastycznej krzywej naprężenie-odkształcenie. Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, tak jak w klasycznym projektowaniu konstrukcji żelbetowych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia wyrażonego w odkształceniach dla betonu ściskanego (tzn. po osiągnięciu naprężenia szczytowego przyjmowana jest gałąź plastyczna z ε_c0 o wartości maksymalnej 5%, podczas gdy AS 3600 Cl. 8.3.1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności do odkształceń konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Wytrzymałość jest jednak przewidywana prawidłowo, gdy oprócz współczynnika dla betonu zarysowanego (k_c2 zdefiniowanego na (Fig. 77)) uwzględni się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₂ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie zdefiniowanym w AS 3600 Cl. 8.3.1
Przy stosowaniu wykresu naprężenie-odkształcenie typu parabola-prostokąt konieczne jest zmniejszenie maksymalnego naprężenia ściskającego o ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej na podstawie wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną. Analogiczne podejście zdefiniowano dla prostokątnego bloku naprężeń w rozdziale 8.1.3.

Φ_s jest współczynnikiem redukcyjnym naprężeń dla betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AS 3600 Table 2.2.3.