Na prática, os métodos de Escora-e-tirante (E&T) e de Campos de Tensões são utilizados de forma corrente para o dimensionamento de regiões de descontinuidade em estruturas de betão armado e pré-esforçado. O Método do Campo de Tensões Compatível (CSFM) foi desenvolvido através da extensão destas teorias clássicas, permite um elevado grau de automatização e é consistente com a norma de dimensionamento. Apesar da sua simplicidade, o método fornece uma descrição muito realista da resposta de uma estrutura de betão, tanto no estado limite último (ULS) como no estado limite de utilização (SLS). O CSFM está implementado no IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Parede com aberturas b) Parede de corte c) Viga com extremidades rebaixadas e aberturas d) Pilar de ponte e) Diafragma de ponte
Os procedimentos normalizados para o dimensionamento de secções transversais de estruturas de betão são aplicáveis nas zonas onde se verifica a hipótese de Bernoulli-Navier de distribuição plana das deformações (região B). Os locais onde esta hipótese não é válida designam-se por regiões de descontinuidade (regiões D). Incluem as partes das estruturas onde surgem cargas concentradas ou onde ocorre uma variação brusca da secção transversal, como extremidades rebaixadas (Fig. 1c), vigas-parede, paredes com aberturas (Figs. 1a, 1b), ou consolos e maciços de encabeçamento de estacas. No domínio da engenharia de pontes, estes são, por exemplo, os capitéis de pilares (Fig. 1d), os diafragmas (Fig. 1e), os desviadores, etc.
1. Método de Escora e tirante
O pressuposto básico na definição de um modelo de E&T é que a resistência à tração do betão é desprezada. Um modelo simples de treliça é composto por elementos sujeitos a compressão e a tração, que representam o comportamento em ULS. Em geral, não se trata de um problema complexo, e a definição de um modelo de E&T básico (Fig. 2a) não deverá constituir um problema para um engenheiro experiente. No entanto, mesmo para esta tarefa básica, a verificação correta do modelo de acordo com a norma de dimensionamento pode ser um processo moroso, manual e iterativo.
Fig. 2 a) Modelo de E&T, opção 1 b) Modelo de E&T, opção 2 c) Modelo de E&T, opção
Os tirantes, as zonas nodais e a deformação de tração transversal nas escoras têm de ser verificados. Se o modelo não satisfizer a verificação, a geometria do E&T tem de ser ajustada, ou tem de ser selecionado outro modelo de E&T (Fig. 2b, 2c). Isto leva frequentemente o engenheiro estrutural a escolher a geometria do modelo de E&T apenas uma vez e a verificar apenas a armadura. Tal pode conduzir a um erro substancial. A escolha do modelo é sempre uma questão de experiência. Para pormenores estruturais mais complexos, escolher um E&T que corresponda suficientemente ao comportamento real da estrutura pode não ser tão fácil como no caso anterior. Além disso, o E&T é um método para o dimensionamento apenas de estados limite últimos. Não permite o dimensionamento de estados limite de utilização (deformação, fendilhação), que são critérios fundamentais, especialmente em estruturas de grande importância, uma vez que têm impacto direto na vida útil da estrutura.
2. Método do Campo de Tensões Compatível - CSFM
O CSFM é um método não linear moderno para a análise de regiões D e de elementos cujo comportamento pode ser simplificado para um estado plano de tensão, ou seja, um modelo 2D. No entanto, continua a basear-se num pressuposto básico e seguro das normas: o betão não resiste à tração, e toda a tração tem de ser transferida pela armadura. O Método do Campo de Tensões Compatível (CSFM) é uma evolução dos métodos de E&T e de campos de tensões, eliminando as suas principais desvantagens acima mencionadas: incertezas na seleção do modelo, dificuldade de automatização e incapacidade de verificar estados limite de utilização.
Fig. 3 a) Estado plano de deformação b) Tensão principal c) CSFM
O princípio do CSFM pode ser explicado através do estado plano de tensão do elemento plano básico de uma estrutura de betão armado. A Fig. 3a mostra o elemento 2D básico em estado plano de tensão, tal como o conhecemos em todos os manuais de elasticidade e resistência de materiais. Esta é a tensão num ponto da estrutura, obtida, por exemplo, por análise linear elástica através do método dos elementos finitos (FEM). O elemento está sujeito a uma tensão normal horizontal σx, a uma tensão normal vertical σz e a uma tensão de corte τxz. A partir destas tensões, podem determinar-se as denominadas tensões principais e a sua direção, definida pelo ângulo θ (Fig. 3b). O elemento fica então sujeito à tensão principal de tração σ1 e à tensão principal de compressão σ2.
Qual será o aspeto da deformação do mesmo elemento analisado pelo CSFM? A deformação é apresentada na Figura 3c. O betão comprimido surge na direção da tensão principal de compressão σ2. E é gerado um campo de tensões com tensão σc2. Como referido acima, o pressuposto básico é que o betão não resiste à tração. Por conseguinte, a tensão principal de tração transversal σ1 não será transferida pelo betão, e formar-se-á uma fenda perpendicular a essa direção. A tensão σc1r tem, portanto, de ser nula. Para evitar a rotura do nosso elemento 2D, toda a tensão de tração tem de ser transferida pela armadura (indicada a azul na Fig. 3c), que tem de fazer parte do modelo de cálculo.
Se esta análise de tensões for realizada com o CSFM de forma contínua em toda a região 2D a resolver, o resultado é um campo de compressão contínuo no betão, acrescido de tensões de tração e de compressão na armadura. Uma representação gráfica simplificada do campo de tensões do CSFM é apresentada na Figura 4. Para além das taxas de utilização do betão e da armadura, a figura indica também as direções variáveis das tensões σc2 calculadas ao longo das regiões.
Fig. 4 Resultados globais do IDEA StatiCa Detail
A análise de um pormenor ou de uma estrutura através do CSFM baseia-se no método dos elementos finitos. O betão é modelado com elementos de parede 2D, e a armadura com elementos 1D (Fig. 7). A análise não é realizada num único passo, uma vez que se trata de um problema não linear. As cargas são aplicadas por incrementos durante o cálculo, e a solução do sistema de equações não lineares é obtida através do método de Newton-Raphson.
As fendas fictícias distribuídas (ε1 é o valor médio) "formam-se" perpendicularmente à direção das tensões principais, as quais podem variar durante o cálculo não linear à medida que o elemento "fendilha progressivamente" a cada incremento de carga. Em resumo, considera-se uma fenda rotativa fictícia livre de tensões.
O resultado da solução por FEM com o CSFM é um campo de tensões compatível (ou seja, o betão não se divide no modelo em escoras individuais que atuam de forma independente) e o estado de deformação, ambos contínuos em todo o domínio 2D a resolver. Esta é uma grande vantagem em relação às abordagens clássicas de E&T e permite automatizar e refinar o modelo de cálculo, como descrito nos parágrafos seguintes.
Fig. 5 Princípio do amolecimento do betão
A formulação simples do CSFM permite utilizar o diagrama tensão-deformação uniaxial parábola-retângulo normalizado para o betão em compressão, de acordo com a norma de dimensionamento. Como é bem sabido, a resistência à compressão do betão diminui quando o betão é danificado por fendas transversais (Fig. 5). Este efeito, designado por amolecimento à compressão , é incluído no método através da consideração automática da resistência efetiva à compressão do betão.
Com base no nível das deformações de tração transversais ε1, determina-se o fator de redução kc e ajusta-se o diagrama tensão-deformação do betão (Fig. 5). Como o campo de deformações em toda a estrutura é conhecido, a resistência efetiva à compressão do betão pode ser calculada automaticamente em secções individuais, em função do nível local das deformações de tração transversais ε1.
Fig. 6 Princípio do enrijecimento à tração
Além disso, o CSFM considera o efeito de enrijecimento do betão tracionado entre as fendas sobre a armadura, designado por enrijecimento à tração. No modelo de cálculo, utiliza-se a taxa média de armadura εm. Depois, o diagrama tensão-deformação da armadura é modificado (Fig. 6). Isto permite uma representação realista da rigidez de uma estrutura de betão armado danificada por fendas. No entanto, continua a ser verdade que a resistência à tração do betão não contribui para a capacidade última. A tensão máxima na armadura σsr nas fendas é determinante para o dimensionamento (Fig. 6).
O CSFM utiliza modelos de materiais uniaxiais comuns (diagramas tensão-deformação) definidos nas normas de dimensionamento. A abordagem normalizada, o método dos coeficientes parciais de segurança, é depois utilizada para a verificação em ULS. A simplicidade do método torna-o adequado para a prática de engenharia e é consistente com as normas de dimensionamento.
Embora se trate de uma análise FEA não linear, o engenheiro estrutural não tem de introduzir no cálculo propriedades adicionais dos materiais e características do betão que podem nem estar disponíveis na fase de projeto e que são necessárias, por exemplo, em análises FEA não lineares baseadas na mecânica da fratura. Como já foi referido, uma grande vantagem da análise CSFM, além dos estados limite últimos, é a capacidade de verificar os estados limite de utilização: deslocamentos, limitações de tensões e, em particular, a abertura de fendas.
Fig. 7 Exemplo de representação do modelo de elementos finitos no IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) O modelo FEM no CSFM é composto por vários tipos de elementos finitos:
- Elemento 1D com rigidez axial para a armadura
- Elemento isoparamétrico 2D para o betão
- Molas de extremidade para o modelo de ancoragem da armadura com tratamento de extremidade
- Elemento 2D especial para modelar a aderência entre a armadura e o betão
- Restrições rígidas e de interpolação (Multi-Point Constraints, MPC) entre os elementos de aderência e o betão
Se a armadura dimensionada impedir a rotura frágil do elemento, o CSFM demonstrou fornecer muito boas previsões da resposta e da capacidade última da estrutura, apesar da simplicidade da formulação. Por outras palavras, o método não é adequado, por exemplo, para o dimensionamento de vigas sem armadura de corte transversal, que apresentam um comportamento potencialmente frágil. As Verificações do método, incluindo ensaios experimentais, são apresentadas em [1]. Uma descrição mais detalhada do método está fora do âmbito deste artigo e pode também ser consultada nos Fundamentos Teóricos.
É evidente que os princípios do CSFM são gerais e, por isso, a sua aplicação não se limita às regiões D, podendo ser utilizada para modelar elementos completos, por exemplo vigas pré-fabricadas, e nos casos em que o elemento possa ser simplificado para um modelo plano 2D. O método e a sua implementação em software (IDEA StatiCa Detail) foram também alargados, com a possibilidade de especificar armadura pré-esforçada e de pós-tensão.
3. Exemplo de dimensionamento de um capitel de pilar
A aplicação prática do CSFM é apresentada no dimensionamento do capitel de pilar de ponte da Figura 8. Trata-se do segundo pilar de uma ponte contínua com três vãos de 30,0 m, 42,0 m e 30,0 m. A cabeça do pilar de betão armado é dimensionada em betão C40/50 e a sua espessura (na direção longitudinal da ponte) é de 2,0 m.
Fig. 8 Capitel de pilar: a) Resumo do dimensionamento; b) Tensão de compressão no betão em ULS; c) Tensão de tração na armadura em ULS; d) Abertura de fendas em SLS
Na parte superior do capitel de pilar, foi inicialmente dimensionada uma viga transversal com armadura B500 20xϕ28+20xϕ25 - as quatro camadas superiores. A Figura 8a mostra um resumo do dimensionamento no estado limite último, apresentando as tensões de compressão no betão, as direções das tensões de compressão e as tensões na armadura. A distribuição mais detalhada das tensões no betão e na armadura é depois documentada nas Figuras 8b e 8c. A armadura transversal está ligeiramente abaixo da tensão de cedência e as tensões no betão (e as respetivas deformações relativas) são também satisfatórias em ULS. No entanto, o resultado do cálculo da abertura de fendas (Fig. 8d) mostra que o dimensionamento não é satisfatório em SLS: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Para cumprir a abertura de fendas limite, é necessário aumentar a armadura da travessa para 20xϕ32+20xϕ28. No caso de wlim = 0,2 mm (por exemplo, um pilar junto a uma estrada com salpicos de sais, classe de exposição XF2), a armadura da travessa teria de ser aumentada até 24xϕ32+24xϕ28.
Conclusão
O CSFM é adequado à prática de engenharia porque utiliza modelos de materiais simples definidos numa norma de dimensionamento. Além dos estados limite últimos, permite também o dimensionamento de estados limite de utilização, cuja verificação era anteriormente difícil de conceber com modelos de E&T. Com a implementação do método no IDEA StatiCa Detail, é possível captar de forma realista a resposta da estrutura e dimensionar e verificar regiões de descontinuidade e conjuntos de maior dimensão de forma eficiente e segura.
O CSFM foi desenvolvido principalmente através do trabalho do Professor Walter Kaufmann, Diretor da Cátedra de Engenharia Estrutural do Instituto Federal de Tecnologia da Suíça (ETH) de Zurique. Ele e a sua equipa também verificaram o método e a respetiva implementação em software.
Bibliografia
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
