O dimensionamento e a verificação de elementos de betão são normalmente realizados ao nível da secção (elemento 1D) ou do ponto (elemento 2D). Este procedimento está descrito em todas as normas de dimensionamento estrutural, por exemplo, em (EN 1992-1-1 ou ACI 318-19), e é utilizado na prática corrente da engenharia estrutural. No entanto, nem sempre é conhecido ou respeitado que o procedimento só é aceitável nas zonas em que se aplica a hipótese de Bernoulli-Navier de distribuição plana das deformações (designadas por regiões B). Os locais onde esta hipótese não se aplica designam-se por regiões de descontinuidade ou regiões perturbadas (regiões D). Na (Fig. 1) apresentam-se exemplos de regiões B e D de elementos 1D. Trata-se, por exemplo, de zonas de apoio, zonas de aplicação de cargas concentradas, locais onde ocorre uma variação brusca da secção transversal, aberturas, etc. No dimensionamento de estruturas de betão, encontramos muitas outras regiões D, como paredes, carlingas de pontes, consolos, etc. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

No passado, o dimensionamento das regiões de descontinuidade baseava-se em regras semiempíricas. Felizmente, ao longo das últimas décadas, essas regras foram em grande parte substituídas por modelos de escora-e-tirante (Schlaich et al., 1987) e por campos de tensões (Marti 1985), que constam das normas de cálculo atuais e são frequentemente utilizados pelos projetistas. Estes modelos são ferramentas poderosas e mecanicamente consistentes. Note-se que os campos de tensões podem ser, em geral, contínuos ou descontínuos, e que os modelos de escora-e-tirante são um caso particular de campos de tensões descontínuos.

Apesar da evolução das ferramentas computacionais nas últimas décadas, os modelos de Escora-e-tirante continuam, no essencial, a ser utilizados como cálculos manuais. A sua aplicação a estruturas reais é fastidiosa e demorada, uma vez que são necessárias iterações e é preciso considerar várias combinações de ações. Além disso, este método não é adequado para verificar critérios de utilização (deformações, larguras de fendas, etc.).

O interesse dos engenheiros estruturais numa ferramenta fiável e rápida para o dimensionamento de regiões D conduziu à decisão de desenvolver o novo Método do Campo de Tensões Compatível, um método de dimensionamento por campos de tensões assistido por computador, que permite o dimensionamento e a verificação automáticos de elementos de betão estrutural sujeitos a carregamento no plano.

O Método do Campo de Tensões Compatível (CSFM) é um método de análise de campos de tensões contínuo, baseado em elementos finitos, no qual as soluções clássicas de campos de tensões são complementadas com considerações cinemáticas, isto é, o estado de deformação é avaliado em toda a estrutura. Assim, a resistência efetiva à compressão do betão pode ser calculada automaticamente com base no estado de deformação transversal, de modo semelhante ao das análises de campos de compressão que consideram o amolecimento à compressão  (Vecchio and Collins 1986; Kaufmann and Marti 1998) e ao método EPSF (Fernández Ruiz and Muttoni 2007). Além disso, o CSFM considera o enrijecimento à tração, conferindo rigidezes realistas aos elementos, e abrange todas as prescrições normativas (incluindo os aspetos de utilização e de capacidade de deformação) que não eram tratadas de forma consistente pelas abordagens anteriores. O CSFM utiliza as leis constitutivas uniaxiais correntes, fornecidas pelas normas de dimensionamento para o betão e para a armadura. Estas leis são conhecidas na fase de projeto, o que permite utilizar o método dos coeficientes parciais de segurança. Deste modo, os projetistas não têm de fornecer propriedades adicionais dos materiais, muitas vezes arbitrárias, como as habitualmente exigidas nas análises não lineares por elementos finitos, o que torna o método perfeitamente adequado à prática da engenharia.

Para promover a utilização de campos de tensões assistidos por computador pelos engenheiros estruturais, estes métodos devem ser implementados em ambientes de software de fácil utilização. Para este fim, o CSFM foi implementado no IDEA StatiCa Detail, um novo software comercial de fácil utilização, desenvolvido em conjunto pela ETH Zurich e pela empresa de software IDEA StatiCa, no âmbito do projeto DR-Design Eurostars-10571.

O CSFM considera a tensão principal máxima de compressão no betão (σ_c2r) e as tensões na armadura (σ_sr) nas fendas, desprezando a resistência à tração do betão (σ_c1r = 0), exceto o seu efeito de enrijecimento na armadura. A consideração do enrijecimento à tração permite simular as deformações médias da armadura (ε_m). Consideram-se fendas fictícias, rotativas e livres de tensões, que se abrem sem escorregamento (Fig. 2a), e tem-se também em conta o equilíbrio nas fendas em conjunto com as deformações médias da armadura. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Apesar da sua simplicidade, demonstrou-se que pressupostos semelhantes permitem previsões rigorosas para elementos de betão armado sujeitos a carregamento no plano (Kaufmann 1998; Kaufmann and Marti 1998), desde que a armadura disposta evite roturas frágeis na fendilhação. Além disso, a não consideração de qualquer contribuição da resistência à tração do betão para a carga última é coerente com os princípios das normas de projeto modernas, que se baseiam maioritariamente na teoria da plasticidade.

No entanto, o CSFM não é adequado para elementos esbeltos sem armadura transversal, uma vez que mecanismos relevantes para esses elementos, como o engrenamento dos agregados, as tensões residuais de tração na ponta da fenda e o efeito de cavilha – todos dependentes, direta ou indiretamente, da resistência à tração do betão – são desprezados. Embora algumas normas de projeto permitam o dimensionamento desses elementos com base em disposições semiempíricas, o CSFM não se destina a este tipo de estrutura potencialmente frágil.

Betão

O modelo de betão implementado no CSFM baseia-se nas leis constitutivas de compressão uniaxial prescritas pelas normas de projeto para o dimensionamento de secções transversais, que dependem apenas da resistência à compressão. O diagrama parábola-retângulo (Fig. 2c) é utilizado por defeito no CSFM, mas os projetistas podem também escolher uma relação elástica-plástica ideal mais simplificada. Na verificação segundo a norma ACI, só é possível utilizar o diagrama tensão-deformação parábola-retângulo. Como referido anteriormente, a resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

A resistência efetiva à compressão é avaliada automaticamente para o betão fendilhado com base na deformação principal de tração (ε₁) por meio do fator de redução k_c2, como se mostra nas Fig. 2c e e. A relação de redução implementada (Fig. 2e) é uma generalização da proposta do fib Model Code 2010 para verificações ao corte, que contém um valor limite de 0,65 para a razão máxima entre a resistência efetiva do betão e a resistência à compressão do betão, o qual não é aplicável a outros casos de carga.

O CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão em compressão (i.e., considera um ramo plástico infinito após ser atingida a tensão de pico). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que rompem por compressão. No entanto, a sua capacidade última é corretamente prevista quando, além do fator do betão fendilhado (k_c2) definido na (Fig. 2e), se considera o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência por meio do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010, do seguinte modo:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

onde:

k_c é o fator de redução global da resistência à compressão

k_c2 é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal

f_c é a resistência característica do betão em cilindro (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

Existe também uma redução do fator k_c2 por razões de estabilidade do cálculo. Esta redução não influencia a resistência total dos elementos. Assumindo o valor f_cd como a resistência majorada do betão (valor de cálculo), o valor de k_c2 é reduzido de acordo com as regras seguintes.

σ_c2r < 0,11f_cd                                           k_c2=1,0
0,11f_cd < σ_c2r < 0,37f_cd                          k_c2 é uma interpolação linear entre 1,0 e o valor obtido do
                                                             gráfico apresentado na Fig. 2f
σ_c2r > 0,37f_cd                                            k_c2 é obtido diretamente do gráfico da Fig. 2f

Armadura

Considera-se o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para varões de armadura simples, tipicamente definido pelas normas de projeto (Fig. 2d). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura na fase de projeto (classe de resistência e de ductilidade). Pode também ser definida uma relação tensão-deformação definida pelo utilizador.

O enrijecimento à tração é considerado através da modificação da relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura simples, de modo a captar a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m).

Modelo de aderência

O escorregamento por aderência entre a armadura e o betão é introduzido no modelo de elementos finitos considerando a relação constitutiva simplificada rígida-perfeitamente plástica apresentada na Fig. 2f, sendo f_bd o valor de cálculo (valor majorado) da tensão de aderência última especificada pela norma de projeto para as condições de aderência específicas.

Trata-se de um modelo simplificado com o único objetivo de verificar as prescrições de aderência segundo as normas de projeto (i.e., ancoragem da armadura). A redução do comprimento de ancoragem na utilização de ganchos, laços e formas de varão semelhantes pode ser considerada através da definição de uma determinada capacidade na extremidade da armadura, como será descrito mais adiante. 

Fluxo de trabalho e objetivos

O objetivo das ferramentas de cálculo da armadura no CSFM é ajudar os projetistas a determinar, de forma eficiente, a localização e a quantidade necessária de varões de armadura. Estão disponíveis as seguintes ferramentas para apoiar e orientar o utilizador neste processo: cálculo linear e otimização topológica.

As ferramentas de cálculo da armadura consideram modelos constitutivos mais simplificados do que os utilizados na verificação final da estrutura. Por conseguinte, a definição da armadura nesta etapa deve ser considerada um pré-dimensionamento, a confirmar/refinar durante a etapa de verificação final. A utilização das diferentes ferramentas de cálculo da armadura será ilustrada no modelo apresentado na Fig. 3, que consiste numa extremidade de uma viga simplesmente apoiada de altura variável, sujeita a uma carga uniformemente distribuída.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

Análise linear

A análise linear considera propriedades de material elástico-lineares e despreza a armadura na região de betão. Trata-se, por isso, de um cálculo muito rápido, que fornece uma primeira perceção da localização das zonas de tração e de compressão. Na Fig. 4 apresenta-se um exemplo deste cálculo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Otimização topológica

A otimização topológica é um método que visa encontrar a distribuição ótima de material num dado volume para uma determinada configuração de cargas. A otimização topológica implementada no Idea StatiCa Detail utiliza um modelo de elementos finitos linear. Cada elemento finito pode ter uma densidade relativa de 0 a 100 %, que representa a quantidade relativa de material utilizado. Estas densidades dos elementos são os parâmetros de otimização no problema de otimização. A distribuição de material resultante é considerada ótima para o conjunto de cargas dado se minimizar a energia de deformação total do sistema. Por definição, a distribuição ótima é também a geometria que apresenta a maior rigidez possível para as cargas dadas.

O processo iterativo de otimização começa com uma distribuição de densidade homogénea. O cálculo é efetuado para várias frações de volume total (20 %, 40 %, 60 % e 80 %), o que permite ao utilizador selecionar o resultado mais prático. A forma resultante é constituída por treliças com escoras e tirantes e representa a forma ótima para os casos de carga dados (Fig. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

O CSFM considera campos de tensões contínuos no betão (elementos finitos 2D), complementados por elementos discretos de "barra" que representam a armadura (elementos finitos 1D). Assim, a armadura não está embebida de forma difusa nos elementos finitos 2D do betão, mas é modelada explicitamente e ligada a esses elementos. No modelo de cálculo, considera-se um estado plano de tensão.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Podem ser modeladas tanto paredes e vigas completas, como também detalhes (partes) de vigas (região de descontinuidade isolada, também designada por extremidade truncada). No caso de paredes e vigas completas, os apoios devem ser definidos de modo a que resulte uma estrutura (externamente) isostática (estaticamente determinada) ou hiperestática (estaticamente indeterminada). A transferência de carga nas extremidades truncadas das vigas é introduzida por meio de uma zona de transferência de Saint-Venant especial, que assegura uma distribuição de tensões realista na região de detalhe analisada.

Para modelar a maioria das situações durante o processo de construção, estão disponíveis no CSFM muitos tipos de apoios (Fig. 7) e de componentes utilizados para a transmissão de carga (Fig. 8).

Apoios

O apoio pontual pode ser modelado de várias formas, de modo a garantir que as tensões não ficam localizadas num único ponto, mas distribuídas por uma área maior. A primeira opção é um apoio pontual distribuído (Fig. 7a), que distribui uniformemente a carga na extremidade do elemento ao longo da largura especificada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

O apoio localizado (Fig. 7d), por outro lado, só pode ser colocado no interior de um volume de betão com um raio efetivo definido. Fica depois ligado por elementos rígidos aos nós da malha de armadura situados dentro desse raio. Por conseguinte, é necessário definir uma gaiola de armadura em torno do apoio localizado.

Para uma modelação mais precisa de alguns cenários reais, existem outras duas opções para o apoio pontual. Em primeiro lugar, o apoio pontual com placa de apoio de largura e espessura definidas (Fig. 7b). O material da placa de apoio pode ser especificado e toda a placa de apoio é discretizada em malha de forma independente. Em segundo lugar, está disponível o apoio suspenso (Fig. 7e), que pode ser utilizado para modelar âncoras de elevação ou pernos de elevação.

O apoio linear (Fig. 7c) pode ser definido numa extremidade (especificando o seu comprimento) ou no interior de um elemento (através de uma polilinha). É também possível especificar a sua rigidez e/ou o comportamento não linear (apoio à compressão/tração ou apenas à compressão).

• Consulte as descrições detalhadas em Tipos de apoios no IDEA StatiCa Detail

Componentes de transmissão de carga

A introdução de cargas na estrutura também pode ser modelada de várias formas. No caso de cargas pontuais, pode utilizar-se uma placa de apoio (Fig. 8a), de modo semelhante ao apoio pontual, distribuindo a carga concentrada por uma área maior graças a uma placa de aço com largura e espessura definidas. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

A carga pontual pode ser aplicada diretamente na superfície da estrutura com um raio de ação definido (a carga é aplicada aos elementos de betão) ou através de um dispositivo de transmissão especial designado carga localizada (Fig. 8b e Fig. 9). A carga localizada permite transmitir a carga diretamente à armadura definida que se encontra na área do raio efetivo. Para garantir o correto funcionamento da carga localizada, é necessário definir (nas propriedades da armadura) um grupo de varões que ficará interligado com a carga. Quando a armadura interligada não está definida, o mecanismo de transferência de carga é igual ao de uma carga pontual colocada na superfície de um elemento, sendo a carga transferida pelas restrições para os elementos de betão e não diretamente para a armadura. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

As âncoras de elevação ou os pernos de elevação podem ser modelados por uma carga suspensa (Fig. 8c). O utilizador pode recorrer a uma área parcialmente carregada (Fig. 8d), que permite aumentar a capacidade resistente do betão à compressão de acordo com o Eurocódigo (não é possível utilizar este tipo de componente de transmissão de carga quando está definida a norma ACI). A estrutura pode também ser carregada com cargas lineares nas extremidades, por uma polilinha geral ou por cargas de superfície. A aplicação Detail consegue considerar automaticamente o peso próprio na análise.

Em muitos casos, é necessário modelar apenas algum detalhe (parte) de um elemento estrutural, como o apoio de uma viga, uma abertura a meio da viga, etc. Esta abordagem pode conduzir a configurações de apoio que são instáveis, mas admissíveis no IDEA StatiCa Detail (incluindo o caso de ausência de apoios). No entanto, nestes casos, é também necessário modelar a secção que representa a ligação à região B adjacente, incluindo os esforços internos nesta secção que satisfazem o equilíbrio. Em certos casos (por exemplo, na modelação do apoio de uma viga), estes esforços internos podem ser determinados automaticamente pelo programa.

Entre a região B e a região de descontinuidade analisada, é criada automaticamente uma zona de transferência de Saint-Venant, para garantir uma distribuição realista de tensões na região analisada. A largura da zona de transferência é determinada como metade da altura da secção. Como a única finalidade da zona de Saint-Venant é obter uma distribuição de tensões adequada no restante modelo, não são apresentados resultados desta zona na verificação e não são considerados aqui critérios de paragem.

O bordo da zona de Saint-Venant que representa a extremidade aparada da viga é modelado como rígido, ou seja, pode rodar, mas deve permanecer plano. Isto é feito ligando todos os nós de elementos finitos do bordo a um nó independente situado no centro de gravidade da secção, através de um elemento de corpo rígido (RBE2). Os esforços internos do elemento podem então ser aplicados neste nó, como se mostra na Fig. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

A redução da secção transversal é efetuada automaticamente para estruturas definidas como uma viga ou uma ligação de pórtico (definidas pelo eixo x e por uma secção transversal). Esta modificação é aplicada automaticamente a secções transversais com banzos muito largos (Fig. 11) e baseia-se na hipótese de que um campo de tensões de compressão se expandiria a partir da parede segundo um ângulo de 45°, pelo que a largura reduzida acima referida seria a largura máxima capaz de transferir cargas

Note-se que o método de determinação da largura efetiva do banzo implementado no CSFM é diferente do indicado em 5.3.2.1 da EN 1992-1-1 (2015) ou em 9.2.4.4 da ACI 318-19. Além da geometria, a largura efetiva do banzo baseada no Eurocódigo é explicitamente afetada pelos comprimentos dos vãos e pelas condições de fronteira de uma estrutura.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

No caso de mísulas situadas no plano horizontal (Fig. 12), cada mísula é dividida em cinco secções ao longo do seu comprimento. Cada uma destas secções é depois modelada como uma parede de espessura constante, igual à espessura real a meio da respetiva secção.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

O modelo de análise não linear (inelástica) por elementos finitos é criado a partir de vários tipos de elementos finitos, utilizados para modelar o betão, a armadura e a aderência entre ambos. Os elementos de betão e de armadura são primeiro discretizados em malha de forma independente e depois ligados entre si através de restrições multipontos (elementos MPC). Isto permite que a armadura ocupe uma posição relativa arbitrária em relação ao betão. Se for necessário calcular a verificação do comprimento de ancoragem, inserem-se elementos de aderência e de mola de extremidade de ancoragem entre a armadura e os elementos MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Betão

O betão é modelado com elementos de casca quadrilaterais e triangulares, CQUAD4 e CTRIA3. Estes podem ser definidos por quatro ou três nós, respetivamente. Considera-se que nestes elementos existe apenas um estado plano de tensão, ou seja, não são consideradas as tensões ou deformações na direção z.

Cada elemento tem quatro ou três pontos de integração, colocados aproximadamente a 1/4 da sua dimensão. Em cada ponto de integração de cada elemento, são calculadas as direções das deformações principais α₁, α₂. Em ambas as direções, as tensões principais σ_c1, σ_c2 e as rigidezes E₁, E₂ são avaliadas de acordo com o diagrama tensão-deformação do betão especificado, conforme a Fig. 2. Deve notar-se que o efeito do amolecimento à compressão acopla o comportamento da direção principal de compressão ao estado real da outra direção principal.

Armadura

Os varões são modelados por elementos 1D de dois nós do tipo “barra” (CROD), que têm apenas rigidez axial. Estes elementos são ligados a elementos especiais de “aderência”, desenvolvidos para modelar o comportamento de escorregamento entre um varão de armadura e o betão envolvente. Estes elementos de aderência são, por sua vez, ligados por elementos MPC (restrição multipontos) à malha que representa o betão. Esta abordagem permite a discretização em malha independente da armadura e do betão, ficando a sua interligação assegurada posteriormente.

Elementos de aderência

O comprimento de ancoragem é verificado através da introdução, no modelo de elementos finitos, das tensões de corte de aderência entre os elementos de betão (2D) e os elementos de varão de armadura (1D). Para este efeito, foi desenvolvido um tipo de elemento finito de “aderência”.

A definição do elemento de aderência é semelhante à de um elemento de casca (CQUAD4). Também é definido por 4 nós, mas, ao contrário de uma casca, apenas tem rigidez de corte não nula entre os dois nós superiores e os dois nós inferiores. No modelo, os nós superiores são ligados aos elementos que representam a armadura e os nós inferiores aos que representam o betão. O comportamento deste elemento é descrito pela tensão de aderência, τ_b, como uma função bilinear do escorregamento entre os nós superiores e inferiores, δ_u, ver Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

O módulo de rigidez elástica da relação aderência-escorregamento, G_b, é definido da seguinte forma:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

onde:

k_g            coeficiente dependente da superfície do varão de armadura (por defeito k_g = 0,2)

E_c            módulo de elasticidade do betão (considerado como E_cm no caso da EN)

Ø             o diâmetro do varão de armadura

Os valores de cálculo (valores majorados) da tensão de corte de aderência última, f_bd, fornecidos nas normas de cálculo selecionadas, EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, são utilizados para verificar o comprimento de ancoragem. O endurecimento do ramo plástico é calculado por defeito como G_b/10⁵.

Mola de ancoragem

A existência de extremidades de ancoragem nos varões de armadura (isto é, dobras, ganchos, laços…), que cumpram as prescrições das normas de cálculo, permite reduzir o comprimento de ancoragem básico dos varões (l_b,net) por um determinado fator β (designado abaixo como “coeficiente de ancoragem”). O valor de cálculo do comprimento de ancoragem (l_b) é então calculado da seguinte forma:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

A redução pretendida de l_b,net é equivalente à ativação do varão de armadura na sua extremidade a uma percentagem da sua capacidade máxima, dada pelo coeficiente de redução de ancoragem, como se mostra na Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

A redução do comprimento de ancoragem é incluída no modelo de elementos finitos por meio de um elemento de mola na extremidade do varão (Fig. 15), definido pelo modelo constitutivo apresentado na Fig. 15b. A força máxima transmitida por esta mola (F_au) é:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

onde :

β             o coeficiente de ancoragem em função do tipo de ancoragem,

A_s            a secção transversal do varão de armadura,

f_yd           o valor de cálculo (valor majorado) da tensão de cedência da armadura.

Os elementos finitos são implementados internamente e o modelo de análise é gerado automaticamente, sem necessidade de intervenção especializada do utilizador. A geração da malha é uma parte importante deste processo.

Betão

Todos os elementos de betão são discretizados em conjunto. A aplicação calcula automaticamente a dimensão recomendada dos elementos finitos, com base na dimensão e na forma da estrutura, tendo em conta o diâmetro da maior barra de armadura. Além disso, a dimensão recomendada garante a geração de, no mínimo, 4 elementos finitos nas partes esbeltas da estrutura, como pilares esbeltos ou lajes finas, de modo a assegurar resultados fiáveis nestas zonas. O número máximo de elementos finitos de betão está limitado a 5000, mas este valor é suficiente para obter a dimensão recomendada na maioria das estruturas. O projetista pode sempre definir uma dimensão dos elementos de betão personalizada, modificando o multiplicador da dimensão predefinida da malha.

Armadura

A armadura é dividida em elementos com um comprimento aproximadamente igual à dimensão dos elementos de betão. Depois de geradas as malhas da armadura e do betão, estas são interligadas por elementos de aderência, conforme apresentado na Fig. 13.

Placas de apoio

As partes estruturais auxiliares, como as placas de apoio, são discretizadas de forma independente. A dimensão destes elementos é calculada como 2/3 da dimensão dos elementos de betão na zona da ligação. Os nós da malha da placa de apoio são depois ligados aos nós de bordo da malha de betão através de elementos de restrição de interpolação (RBE3).

Cargas e apoios

As cargas localizadas e os apoios localizados são ligados apenas à armadura, conforme apresentado na Fig. 16. Por isso, é necessário definir armadura na sua envolvente. A ligação a todos os nós da armadura dentro do raio efetivo é assegurada por elementos RBE3 com peso igual.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Os apoios lineares e as cargas lineares são ligados aos nós da malha de betão através de elementos RBE3, com base na largura especificada ou no raio efetivo. O peso das ligações é inversamente proporcional à distância ao apoio ou ao ponto de aplicação da carga.

• Saiba mais sobre a interligação entre as cargas individuais e a malha em Descrição geral dos impulsos de carga na aplicação Detail

Utiliza-se um algoritmo padrão de Newton-Raphson (NR) completo para obter a solução de um problema não linear do Método dos Elementos Finitos. 

Em geral, o algoritmo NR não converge com frequência quando a carga total é aplicada num único passo. Uma abordagem habitual, que é também a utilizada neste caso, consiste em aplicar a carga sequencialmente em vários incrementos e utilizar o resultado do incremento de carga anterior como ponto de partida da solução de Newton do incremento seguinte. Para este fim, foi implementado um algoritmo de controlo de carga sobre o Newton-Raphson. Caso as iterações NR não convirjam, o incremento de carga atual é reduzido para metade do seu valor e as iterações NR são repetidas.

Um segundo objetivo do algoritmo de controlo de carga é determinar a carga crítica, que corresponde a determinados "critérios de paragem" – nomeadamente a deformação máxima no betão, o deslizamento máximo nos elementos de aderência, o deslocamento máximo nos elementos de ancoragem e a deformação máxima nas barras de armadura. A carga crítica é determinada através do método da bissecção. Caso o critério de paragem seja excedido em qualquer ponto do modelo, os resultados do último incremento de carga são descartados e é calculado um novo incremento com metade da dimensão do anterior. Este processo é repetido até que a carga crítica seja determinada com uma determinada tolerância de erro.

Para o betão, o critério de paragem foi definido como uma deformação de 5% à compressão (ou seja, cerca de uma ordem de grandeza superior à deformação de rotura real do betão) e de 7% à tração nos pontos de integração dos elementos de casca. À tração, o valor foi definido de modo a permitir que a deformação limite da armadura, que é normalmente de cerca de 5% sem considerar o enrijecimento à tração, seja atingida primeiro. À compressão, o valor foi escolhido de entre várias alternativas por ser suficientemente elevado para que os efeitos do esmagamento sejam visíveis nos resultados, mas suficientemente reduzido para não causar demasiados problemas de estabilidade numérica.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Para a armadura, o critério de paragem é definido em termos de tensões. Uma vez que as tensões são modeladas na fenda, o critério à tração corresponde à resistência à tração da armadura, tendo em conta o coeficiente de segurança. O mesmo valor é utilizado para o critério à compressão.

O critério de paragem nos elementos de aderência e nas molas de ancoragem é α·δu_max, em que δu_max é o deslizamento máximo utilizado nas verificações normativas e α = 10.

Os resultados são apresentados de forma independente para o betão e para os elementos de armadura. Os valores de tensão e deformação no betão são calculados nos pontos de integração dos elementos de casca. No entanto, como não é prático apresentar os dados dessa forma, os resultados são apresentados por defeito nos nós, como o valor máximo da tensão de compressão dos pontos de integração de Gauss adjacentes nos elementos ligados (Fig. 18). Note-se que esta representação pode subestimar localmente os resultados nos bordos comprimidos dos elementos, caso a dimensão do elemento finito seja semelhante à altura da zona comprimida.

Fig. 18 - Elemento finito de betão com pontos de integração e nós: apresentação dos resultados para o betão nos nós e nos elementos finitos.

Os resultados para os elementos finitos de armadura são constantes em cada elemento (um valor – por exemplo, para as tensões no aço) ou lineares (dois valores – para os resultados de aderência). Para elementos auxiliares, como os elementos das placas de apoio, apenas são apresentadas as deformações.

A avaliação da estrutura através do CSFM é realizada por duas análises distintas: uma para as combinações de ações em estado limite de utilização e outra para as combinações de ações em estado limite último. A análise em serviço pressupõe que o comportamento último do elemento é satisfatório e que as condições de cedência do material não serão atingidas aos níveis de carga de utilização. Esta abordagem permite utilizar modelos constitutivos simplificados (com um ramo linear no diagrama tensão-deformação do betão) na análise em serviço, para melhorar a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo. Por conseguinte, recomenda-se a utilização do fluxo de trabalho apresentado abaixo, no qual a análise em estado limite último é realizada como primeiro passo.

Análise em estado limite último

As diferentes verificações exigidas por cada norma de cálculo são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações ULS são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de corte de aderência).

Para garantir que um elemento estrutural tem um dimensionamento eficiente, recomenda-se vivamente realizar uma análise preliminar que considere os seguintes passos:

• Escolher uma seleção das combinações de ações mais críticas.
• Calcular apenas as combinações de ações em Estado Limite Último (ULS).
• Utilizar uma malha grosseira (aumentando o multiplicador da dimensão de malha predefinida em Setup (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Um modelo deste tipo é calculado muito rapidamente, permitindo aos projetistas rever eficientemente a pormenorização do elemento estrutural e repetir a análise até que todos os requisitos de verificação sejam cumpridos para as combinações de ações mais críticas. Uma vez cumpridos todos os requisitos de verificação desta análise preliminar, sugere-se incluir as combinações de ações últimas completas e utilizar uma dimensão de malha fina (a dimensão de malha recomendada pelo programa). O utilizador pode alterar a dimensão da malha através do multiplicador, que pode assumir valores entre 0,5 e 5 (Fig. 19).

Os resultados e verificações básicos (tensão, deformação e utilização (ou seja, o valor calculado/valor limite da norma), bem como a direção das tensões principais no caso de elementos de betão) são apresentados através de diferentes gráficos, nos quais a compressão é geralmente representada a vermelho e a tração a azul. Podem ser destacados os valores mínimos e máximos globais para toda a estrutura, bem como os valores mínimos e máximos para cada parte definida pelo utilizador. Num separador distinto do programa, podem ser apresentados resultados avançados, tais como valores tensoriais, deformadas da estrutura e taxas de armadura (efetivas e geométricas) utilizadas no cálculo do enrijecimento à tração dos varões de armadura. Além disso, podem ser apresentadas as cargas e as reações para combinações ou casos de carga selecionados.

Análise em estado limite de utilização

As verificações SLS são realizadas para a limitação de tensões, a largura de fendas e os limites de deslocamento. As tensões são verificadas nos elementos de betão e de armadura de acordo com a norma aplicável, de forma semelhante à especificada para o ULS.

A análise em serviço contém determinadas simplificações dos modelos constitutivos utilizados na análise em estado limite último. Assume-se aderência perfeita, ou seja, o comprimento de ancoragem não é verificado em serviço. Além disso, o ramo plástico da curva tensão-deformação do betão à compressão é desprezado, sendo o ramo elástico linear e infinito. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão resultantes nos materiais em serviço se situem claramente abaixo dos respetivos pontos de cedência (conforme exigido pelas normas). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados em serviço só são válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.

Cálculo da abertura de fendas e Enrijecimento à tração

Cálculo da abertura de fendas

Existem duas formas de calcular a abertura de fendas - fendilhação estabilizada e não estabilizada. De acordo com o rácio geométrico de armadura em cada parte da estrutura, é decidido qual o tipo de modelo de cálculo de fendas que será utilizado (TCM para fendilhação estabilizada e POM para modelo de fendilhação não estabilizada).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Embora o CSFM produza um resultado direto para a maioria das verificações (por exemplo, capacidade do elemento, deformações…), os resultados de abertura de fendas são calculados a partir dos resultados de deformação da armadura fornecidos diretamente pela análise de elementos finitos, seguindo a metodologia descrita na Fig. 20. É considerada uma cinemática de fenda sem escorregamento (abertura pura da fenda) (Fig. 20a), o que é consistente com as principais premissas do modelo. As direções principais das tensões e deformações definem a inclinação das fendas (θ_r = θ_s= θ_e). De acordo com a (Fig. 20b), a abertura de fenda (w) pode ser projetada na direção do varão de armadura (w_b), obtendo-se:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

onde θ_b é a inclinação do varão.

Note-se que o programa apresenta valores de θ_r e θ_b < π/2. Isto significa que a equação anterior é válida para os casos em que a armadura e a fenda atravessam quadrantes diferentes do sistema de coordenadas cartesianas, como mostrado na Fig. 20, onde a armadura atravessa os quadrantes I e III e a fenda os quadrantes II e IV. Para os casos em que a armadura e a fenda atravessam os mesmos quadrantes, a equação tem de ser modificada da seguinte forma:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

A componente w_b é calculada de forma consistente com base nos modelos de enrijecimento à tração, integrando as deformações da armadura. Nas regiões com padrões de fendilhação totalmente desenvolvidos, as deformações médias calculadas (e_m) ao longo dos varões de armadura são diretamente integradas ao longo do espaçamento entre fendas (s_r), como indicado na (Fig. 20c). Embora esta abordagem para calcular as direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, ela ainda assim fornece valores representativos que conduzem a resultados de abertura de fenda comparáveis aos valores de abertura de fenda exigidos pelas normas, na posição do varão de armadura.

São observadas situações especiais em cantos côncavos da estrutura calculada. Neste caso, o canto predefine a posição de uma única fenda que se comporta de forma não estabilizada antes de se desenvolverem fendas adjacentes adicionais. Estas fendas adicionais desenvolvem-se geralmente após o intervalo de serviço (Mata-Falcón 2015), o que justifica o cálculo das aberturas de fenda nessa região como se fossem não estabilizadas (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Enrijecimento à tração

A implementação do enrijecimento à tração distingue entre casos de padrões de fendilhação estabilizados e não estabilizados. Em ambos os casos, o betão é considerado totalmente fendilhado antes do carregamento, por defeito.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Fendilhação estabilizada

Em padrões de fendilhação totalmente desenvolvidos, o enrijecimento à tração é introduzido utilizando o Modelo de Tirante em Tração (Tension Chord Model, TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – que demonstrou fornecer excelentes previsões de resposta apesar da sua simplicidade (Burns 2012). O TCM assume uma relação de tensão de aderência-escorregamento em degraus, rígida-perfeitamente plástica, com τ_b = τ_b0 =2 f_ctm para σ_s ≤ f_y e τ_b =τ_b1 = f_ctm para σ_s > f_y. Tratando cada varão de armadura como um tirante em tração ­– Fig. 22b e Fig. 22a – a distribuição da tensão de aderência, das tensões no aço e no betão e, portanto, a distribuição de deformações entre duas fendas pode ser determinada para qualquer valor dado das tensões (ou deformações) máximas do aço nas fendas.

Para s_r = s_r0, uma nova fenda pode ou não formar-se, porque no centro entre duas fendas σ_c1 = f_ct. Consequentemente, o espaçamento entre fendas pode variar por um fator de dois, ou seja, s_r = λs_r0, com l = 0.5…1.0. Assumindo um determinado valor para λ, a deformação média do tirante (ε_m) pode ser expressa em função das tensões máximas na armadura (isto é, tensões nas fendas, σ_sr). Para o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para os varões de armadura considerado por defeito no CSFM, são obtidas as seguintes expressões analíticas fechadas (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

onde:
E_sh           o módulo de endurecimento do aço E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            módulo de elasticidade da armadura,

Ø            diâmetro do varão de armadura,

s_r                espaçamento entre fendas,

σ_sr           tensões na armadura nas fendas,

σ_s            tensões reais na armadura,

f_y                tensão de cedência da armadura.

A implementação do CSFM no Idea StatiCa Detail considera, por defeito, o espaçamento médio entre fendas ao realizar a análise de campo de tensões assistida por computador. O espaçamento médio entre fendas é considerado como 2/3 do espaçamento máximo entre fendas (λ = 0.67), o que segue as recomendações feitas com base em ensaios de flexão e tração (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Deve notar-se que os cálculos de abertura de fenda consideram um espaçamento máximo entre fendas (λ = 1.0), de modo a obter valores conservadores.

A aplicação do TCM depende do rácio de armadura e, por conseguinte, a atribuição de uma área de betão apropriada, atuando em tração entre as fendas, a cada varão de armadura é crucial. Foi desenvolvido um procedimento numérico automático para definir o rácio de armadura efetivo correspondente (ρ_eff = A_s/A_c,eff) para qualquer configuração, incluindo armadura inclinada (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Fendilhação não estabilizada

As fendas existentes em regiões com rácios geométricos de armadura inferiores a ρ_cr, ou seja, a quantidade mínima de armadura para a qual a armadura é capaz de suportar a carga de fendilhação sem ceder, são geradas por ações não mecânicas (por exemplo, retração) ou pela propagação de fendas controladas por outra armadura. O valor desta armadura mínima é obtido da seguinte forma:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

onde:

f_y              tensão de cedência da armadura,

f_ct             resistência à tração do betão,

n              coeficiente de homogeneização, n = E_s / E_c .

Para betão e aço de armadura convencionais, ρ_cr corresponde a aproximadamente 0,6%.

Para estribos com rácios de armadura abaixo de ρ_cr, a fendilhação é considerada não estabilizada e o enrijecimento à tração é implementado através do Modelo de Arrancamento (Pull-Out Model, POM) descrito na Fig. 22b. Este modelo analisa o comportamento de uma única fenda, considerando que não existe interação mecânica entre fendas separadas, desprezando a deformabilidade do betão à tração e assumindo a mesma relação de tensão de aderência-escorregamento em degraus, rígida-perfeitamente plástica, utilizada pelo TCM. Isto permite obter a distribuição de deformação da armadura (ε_s) na vizinhança da fenda para qualquer tensão máxima do aço na fenda (σ_sr) diretamente por equilíbrio. Dado que o espaçamento entre fendas é desconhecido para um padrão de fendilhação não totalmente desenvolvido, a deformação média (ε_m) é calculada, para qualquer nível de carga, sobre a distância entre pontos com escorregamento nulo quando o varão de armadura atinge a sua resistência à tração (f_t) na fenda (l_ε,avg na Fig. 22b), obtendo-se as seguintes relações:

Os modelos propostos permitem calcular o comportamento da armadura aderente, que é finalmente considerado na análise. Este comportamento (incluindo o enrijecimento à tração) para o aço de armadura europeu mais comum (B500B, com f_t / f_y = 1,08 e ε_u = 5%) está ilustrado na Fig. 22c-d.

Betão - ULS

O modelo de betão implementado no CSFM baseia-se nas leis constitutivas de compressão uniaxial prescritas na EN 1992-1-1 para o dimensionamento de secções transversais, que dependem apenas da resistência à compressão. O diagrama parábola-retângulo especificado na EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 24a) é utilizado por defeito no CSFM, mas os projetistas podem também escolher uma relação elástica-plástica perfeita mais simplificada, de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). A resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, depois de atingida a tensão máxima, considera um ramo plástico com ε_cu2 (ε_cu3) com valor de 5%, enquanto a EN 1992-1-1 assume uma deformação última inferior a 0,35%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que entram em rotura por compressão. No entanto, a sua capacidade última f_cd, de acordo com a EN 1992-1-1 3.1.3, é corretamente prevista quando, além do fator de betão fissurado (k_c2, definido na (Fig. 25)), se considera o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência, por meio do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010 do seguinte modo:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

em que:

α_cc é o coeficiente que tem em conta os efeitos de longo prazo na resistência à compressão e os efeitos desfavoráveis resultantes da forma de aplicação da carga. É definido de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). O valor por defeito é 1,0.

k_c é o fator de redução global da resistência à compressão

k_c2 é o fator de redução devido à presença de fissuração transversal

f_ck é a resistência característica do betão em cilindro (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Betão - SLS

A análise em estado limite de utilização contém algumas simplificações dos modelos constitutivos utilizados na análise em estado limite último. O ramo plástico da curva tensão-deformação do betão à compressão é desprezado, sendo o ramo elástico linear e infinito. A lei de amolecimento à compressão não é considerada. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão resultantes nos materiais em estado limite de utilização estejam claramente abaixo dos respetivos limites de cedência (conforme exigido pelo Eurocódigo). Assim, os modelos simplificados utilizados para o estado limite de utilização só são válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efeitos de longo prazo

Na análise em estado limite de utilização, os efeitos de longo prazo do betão são considerados através de um coeficiente de fluência efetivo infinito ($\varphi$, com o valor de 2,5 por defeito), que modifica o módulo de elasticidade secante do betão (E_cm) de acordo com a EN 1992-1-1, secção 3.1.4 (3) e 7.4.3 (5), respetivamente, do seguinte modo:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Ao considerar os efeitos de longo prazo, calcula-se primeiro um passo de carga com todas as ações permanentes considerando o coeficiente de fluência (ou seja, utilizando o módulo de elasticidade efetivo do betão, E_c,eff) e, em seguida, calculam-se as ações adicionais sem o coeficiente de fluência (ou seja, utilizando E_cm). Além disso, para realizar as verificações de curto prazo, efetua-se outro cálculo em que todas as ações são calculadas sem o coeficiente de fluência. Ambos os cálculos, para as verificações de longo e curto prazo, estão representados na Fig. 26.

Os coeficientes de fluência são definidos pelo utilizador nas propriedades do material e devem ser calculados de acordo com a EN 1992-1-1, Fig. 3.1.

Armadura

Por defeito, considera-se o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para os varões de armadura nus, definido na EN 1992-1-1, secção 3.2.7 (Fig. 27). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura na fase de dimensionamento (classe de resistência e de ductilidade). Sempre que conhecida, pode ser considerada a relação tensão-deformação real da armadura (laminada a quente, endurecida a frio, temperada e autorrevenida, …). O diagrama tensão-deformação da armadura pode ser definido pelo utilizador, mas, neste caso, não é possível considerar o efeito de enrijecimento à tração (não é possível calcular a largura de fendas). A utilização do diagrama tensão-deformação com um ramo superior horizontal não permite a verificação da durabilidade estrutural. Por isso, é necessária a verificação manual dos requisitos normativos de ductilidade.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

O enrijecimento à tração (Fig. 28)  é considerado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura nu, de forma a captar a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com as normas de projeto modernas. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades de materiais normalizadas, o formato dos coeficientes parciais de segurança prescrito nas normas de projeto pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as ações de entrada são majoradas e as propriedades características dos materiais são reduzidas através dos respetivos coeficientes de segurança prescritos nas normas, exatamente como na análise convencional de betão. Os valores dos coeficientes de segurança dos materiais prescritos na EN 1992-1-1, cap. 2.4.2.4, estão definidos por predefinição, mas o utilizador pode alterar os coeficientes de segurança nas Definições de norma e de cálculo (Fig. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Os coeficientes de segurança das ações têm de ser definidos pelo utilizador nas Regras de combinação para cada combinação não linear de casos de carga (Fig. 30). Para todos os modelos implementados no Idea StatiCa Detail, os coeficientes parciais de segurança já se encontram predefinidos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Utilizando combinações definidas pelo utilizador de coeficientes parciais de segurança adequados, os utilizadores podem também calcular com o CSFM recorrendo ao método do coeficiente global de resistência (Navrátil et al. 2017), mas esta abordagem raramente é utilizada na prática de projeto. Algumas diretrizes recomendam a utilização do método do coeficiente global de resistência para a análise não linear. No entanto, em análises não lineares simplificadas (como o CSFM), que requerem apenas as propriedades dos materiais utilizadas nos cálculos manuais convencionais, continua a ser preferível utilizar o formato dos coeficientes parciais de segurança.

As diferentes verificações exigidas pela EN 1992-1-1 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações ULS são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de corte de aderência).

A resistência do betão à compressão é avaliada como a razão entre a tensão principal de compressão máxima σ_c = σ_c2 obtida da análise por EF e o valor limite σ_c,lim = f_cd. 

A resistência da armadura é avaliada à tração e à compressão como a razão entre a tensão na armadura nas fendas σ_sr e o valor limite especificado σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

em que:

f_yk        tensão de cedência da armadura de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          a razão entre a resistência à tração f_tk e a tensão de cedência,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             é o coeficiente parcial de segurança para a armadura

A tensão de corte de aderência é avaliada de forma independente como a razão entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise por EF e a tensão resistente última de aderência f_bd, de acordo com a EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

em que:

f_ctd      é o valor de cálculo da resistência à tração do betão de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Devido à fragilidade crescente do betão de maior resistência, f_ctk,0.05 é limitado ao valor para C60/75 de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)

η₁       é um coeficiente relacionado com a qualidade das condições de aderência e com a posição do varão durante a betonagem (Fig. 31).

η₁ = 1,0 quando se obtêm condições de aderência ‘boas’ e

η₁ = 0,7 para todos os outros casos e para varões em elementos estruturais executados com cofragens deslizantes, a menos que se possa demonstrar que existem condições de aderência ‘boas’

η₂        está relacionado com o diâmetro do varão:

            η₂ = 1,0 para Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 para Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

No IDEA StatiCa Detail, as condições de aderência são consideradas de acordo com a Fig. 31 c) e d). A direção de betonagem pode ser definida na aplicação para cada item do projeto, da seguinte forma.

Estas verificações são realizadas tendo em conta os valores limite adequados para as respetivas partes da estrutura (ou seja, apesar de existir uma única classe tanto para o betão como para o material da armadura, os diagramas tensão-deformação finais diferem em cada parte da estrutura devido aos efeitos de enrijecimento à tração e de amolecimento à compressão).

Existe também a opção de modelar varões lisos. Pode encontrar mais informações aqui: Varões lisos em Detail

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise por elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

em que A_s é a área do varão de armadura e σ_s é a tensão no varão.

Ou como a soma da força de ancoragem F_a com a força de aderência F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

em que F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência que pode ser obtida integrando a tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento l do varão de armadura.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s é o perímetro do varão de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento do varão, considerando a resistência última do varão e também as condições de ancoragem (aderência entre o betão e a armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

em que C_s é o perímetro do varão de armadura e l é o comprimento desde o início do varão até ao ponto de interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

em que F_lim,add é a força adicional calculada a partir da amplitude do ângulo entre elementos vizinhos. F_lim,2 tem de ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem varão reto (ou seja, sem redução da extremidade de ancoragem), dobra, gancho, laço, varão transversal soldado, aderência perfeita e varão contínuo. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 32 para a armadura longitudinal e na Fig. 33 para os estribos. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados estão de acordo com a EN 1992-1-1 secção 8.4.4 Quadro 8.2. Importa referir que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução do comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30 % do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada e (iii) aderência perfeita.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook;bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Para cumprir a EN 1992-1-1, deve ser utilizada a mola de ancoragem no cálculo. A mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve selecionar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e de fim da armadura. 

No projeto de estruturas de betão, deparamo-nos com dois grandes grupos de áreas parcialmente carregadas (PLA): o primeiro inclui os apoios, enquanto o segundo é constituído pelas zonas de ancoragem. De acordo com as normas atualmente em vigor para o projeto de estruturas de betão armado, EN 1992-1-1, cap. 6.7 (Fig. 34), nas áreas parcialmente carregadas devem ser considerados o esmagamento local do betão e as forças de tração transversais. Para uma carga uniformemente distribuída sobre uma área A_c0, a capacidade resistente à compressão do betão pode ser aumentada até três vezes, em função da área de distribuição de cálculo A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

A área parcialmente carregada deve ser suficientemente reforçada com armadura transversal, dimensionada para absorver as forças de fendilhamento que ocorrem nessa área. Para o dimensionamento da armadura transversal em áreas parcialmente carregadas, utiliza-se o método Escora-e-tirante, de acordo com o Eurocódigo. Sem a armadura transversal necessária, não é possível considerar o aumento da capacidade resistente à compressão do betão.

Áreas parcialmente carregadas no CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Com o CSFM, é possível dimensionar e verificar estruturas de betão armado, incluindo a influência do aumento da resistência à compressão do betão em áreas parcialmente carregadas. Uma vez que o CSFM é um modelo de parede (2D) e as áreas parcialmente carregadas constituem um problema espacial (3D), foi necessário encontrar uma solução que combinasse estes dois tipos diferentes de problemas (Fig. 35). Se a função “áreas parcialmente carregadas” estiver ativada, a geometria admissível do cone é criada de acordo com o Eurocódigo (Fig. 34). Todas as colisões geométricas são resolvidas integralmente em 3D para a geometria especificada do elemento de betão e para as dimensões de cada PLA. Seguidamente, é criado um modelo de cálculo da área parcialmente carregada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

A modificação do modelo do material revelou-se uma abordagem inadequada, sobretudo porque o mapeamento das propriedades na malha de elementos finitos é problemático. Concluiu-se que uma abordagem independente da malha de elementos finitos constitui uma solução mais adequada. Para a geometria conhecida do cone de compressão, são criadas escoras fictícias absolutamente coerentes (Fig. 35 e Fig. 37). Estas escoras têm propriedades materiais idênticas às do betão utilizado no modelo, incluindo o diagrama tensão-deformação. A forma do cone determina a direção das escoras, que distribuem gradualmente a carga da PLA até à área de distribuição de cálculo. A densidade de área das escoras fictícias é variável em cada parte do cone e acrescenta uma área fictícia de betão na direção da carga. Ao nível da área carregada (A_c0), é acrescentada uma área fictícia de betão de acordo com a relação $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (em que A_real é a área do apoio assumida no modelo de cálculo 2D), e esta área diminui linearmente até zero em direção à área de distribuição de cálculo (A_c1). Esta solução garante que a tensão de compressão no betão é constante em todo o volume do cone.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

A resistência da área parcialmente carregada é aumentada de acordo com a relação entre a área de distribuição de cálculo e a área carregada, estabelecida na EN 1992-1-1  (6.7).  Deve ter-se presente que se trata de um modelo de cálculo que não consegue descrever com precisão o estado de tensão numa área parcialmente carregada, cujo fluxo real é muito mais complexo. No entanto, esta solução permite a correta distribuição da carga por todo o modelo, respeitando a capacidade resistente acrescida da área parcialmente carregada. Além disso, introduz corretamente as tensões transversais nesta área.

Ao utilizar a função de áreas parcialmente carregadas para simular o aumento da capacidade resistente à compressão do betão, é necessário efetuar a verificação normativa separadamente, de acordo com a EN 1992-1-1, secção 6.7 (2). As forças de tração transversais (forças de fendilhamento) absorvidas pela armadura são verificadas automaticamente.

As verificações SLS são realizadas para a limitação de tensões, a abertura de fendas e os limites de flecha. As tensões são verificadas nos elementos de betão e de armadura de acordo com a EN 1992-1-1, de forma semelhante à especificada para o ULS.

Limitação de tensões

A tensão de compressão no betão deve ser limitada para evitar fendas longitudinais. De acordo com a EN 1992-1-1, cap. 7.2 (2), podem ocorrer fendas longitudinais se o nível de tensão sob a combinação característica de ações exceder o valor k₁f_ck. A tensão de compressão no betão é avaliada como o quociente entre a tensão principal de compressão máxima σ_c = σ_c2 obtida da análise por elementos finitos para os estados limites de utilização e o valor limite σ_c,lim. Então:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

em que:

f_ck        resistência característica à compressão do betão em cilindros,

k₁         =0,6.

Se a tensão no betão sob as ações quase-permanentes for inferior a k₂f_ck, de acordo com a EN 1992-1-1, cl. 7.2(3), pode admitir-se fluência linear. Se a tensão no betão exceder k₂f_ck, deve ser considerada fluência não linear (ver EN 1992-1-1, cl. 3.1.4). No IDEA StatiCa Detail só pode ser admitida fluência linear de acordo com a EN 1992-1-1, cl. 3.1.4 (3) (ver Modelos de materiais (EN)).

Pode admitir-se que se evita fendilhação ou deformação inaceitável se, sob a combinação característica de ações, a tensão de tração na armadura não exceder k₃f_yk (EN 1992-1-1, cap. 7.2 (5)). A resistência da armadura é avaliada como o quociente entre a tensão na armadura nas fendas σ_s = σ_sr e o valor limite especificado σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

em que:

f_yk        tensão de cedência da armadura,

k₃        =0,8.

Flecha

As flechas só podem ser avaliadas para paredes ou para vigas isostáticas (estaticamente determinadas) ou hiperestáticas (estaticamente indeterminadas). Nestes casos, é considerado o valor absoluto das flechas (em comparação com o estado inicial antes do carregamento), e o valor máximo admissível das flechas tem de ser definido pelo utilizador. As flechas nas extremidades cortadas não podem ser verificadas, dado que se trata, na prática, de estruturas instáveis em que o equilíbrio é satisfeito pela adição de forças de extremidade e, por conseguinte, as flechas não são realistas. A flecha de curta duração u_z,st ou de longa duração u_z,lt pode ser calculada e verificada em relação a valores limite definidos pelo utilizador:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

em que:

u_z         flecha de curta ou longa duração calculada por análise por elementos finitos,

u_z,lim    valor limite da flecha definido pelo utilizador.

Abertura de fendas

A abertura e a orientação das fendas são calculadas apenas para efeitos de longa duração (utilizando E_c,eff) para as combinações em que a avaliação da abertura de fendas esteja ativada. As verificações baseadas em valores limite especificados pelo utilizador, de acordo com o Eurocódigo, são apresentadas da seguinte forma:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

em que:

w         abertura de fendas calculada por análise por elementos finitos,

w_lim     valor limite da abertura de fendas definido pelo utilizador.

Existem duas formas de calcular a abertura de fendas (fendilhação estabilizada e não estabilizada). No caso geral (fendilhação estabilizada), a abertura de fendas é calculada por integração das deformações nos elementos 1D das varões de armadura. A direção da fenda é então calculada a partir dos três pontos de integração mais próximos (do centro do elemento finito 1D de armadura considerado) dos elementos 2D de betão. Embora esta abordagem de cálculo das direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, fornece ainda valores representativos que conduzem a resultados de abertura de fendas comparáveis com os valores de abertura de fendas exigidos pela norma na posição do varão de armadura.

Betão - Resistência

O modelo de betão implementado para os cálculos de resistência no CSFM baseia-se na curva tensão-deformação parabólica-plástica para o betão, tendo como referência a curva tensão-deformação parabólica da Portland Cement Association descrita em PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. A resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, depois de atingida a tensão máxima, considera um ramo plástico com ε_c0 com valor máximo de 5%, enquanto o ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 assume uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que entram em rotura por compressão. No entanto, a resistência é corretamente prevista quando, além do fator de betão fendilhado (k_c2 definido na (Fig. 39)), se considera o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência, por meio do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010 do seguinte modo:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

em que:

α₁ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido no ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão máxima de compressão por este fator. Isto uniformiza a distribuição de tensões na zona comprimida de forma que a resistência à compressão resultante seja inferior ou igual à resistência à compressão calculada utilizando um diagrama tensão-deformação com um ramo plástico descendente.

Φ_c é o fator de redução de resistência para o betão. O valor por defeito é definido de acordo com o ACI 318-19 Tabela 24.2.1 (b)(f).

k_c2 é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal.

f'_c é a resistência do betão em provete cilíndrico (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 é um fator de redução baseado nos mesmos pressupostos do coeficiente da zona nodal β_n indicado no ACI 318-19 Tabela 23.9.2, exceto que, no CSFM, a presença de uma tensão principal de tração perpendicular à tensão principal de compressão é verificada para cada elemento finito (e não apenas para os nós do modelo de Escora e tirante).

Betão – Utilização

A análise de utilização contém algumas simplificações dos modelos constitutivos que são utilizados na análise de resistência. O ramo plástico da curva tensão-deformação do betão à compressão é desprezado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. A lei de amolecimento à compressão não é considerada. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão resultantes nos materiais em condições de utilização se situem claramente abaixo dos respetivos pontos de cedência (conforme exigido pelo ACI). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados para a utilização só são válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efeitos de longo prazo

O comportamento de longo prazo da estrutura, como as flechas de longo prazo ou o cálculo da largura de fendas causadas por cargas sustentadas, é influenciado pela fluência do betão. O ACI 318-19, no parágrafo 24.2.4.1.3, define o fator dependente do tempo para cargas sustentadas – ξ, que representa o efeito da fluência para uma duração especificada da carga sustentada.

Na aplicação Detail, o módulo de elasticidade E_c é ajustado para determinar o comportamento de longo prazo da estrutura através do fator ξ. O módulo de elasticidade ajustado é designado por E_c,eff – ver Figura 40.

Assumindo que a deformação do elemento é expressa em termos de deformação específica, pode escrever-se que:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

em que:

ε₀ é a deformação de curto prazo (sem influência da fluência) e ε_creep é a deformação causada pela fluência.

Utilizando a lei de Hooke, podemos escrever:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Substituindo $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ e $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$, obtemos:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

A duração da carga sustentada para a determinação do fator ξ pode ser definida individualmente para cada combinação de longo prazo em serviço.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

As flechas, tensões e larguras de fendas dependentes do tempo são então calculadas com um modelo de material modificado, no qual o efeito do refinamento da compressão é tido em conta automaticamente pela natureza da análise por elementos finitos. Por conseguinte, não é necessário multiplicá-los adicionalmente pelo fator definido em 24.2.4.1.1.

Efeitos de curto prazo

Para realizar as verificações de curto prazo, é efetuado outro cálculo no qual todas as cargas são calculadas sem o fator dependente do tempo para cargas sustentadas. Ambos os cálculos, para as verificações de longo e de curto prazo, estão representados na Fig. 40.

Armadura

Considera-se um diagrama tensão-deformação perfeitamente elastoplástico, com um ponto de cedência definido, para a armadura não pré-esforçada, ver ACI 319-19 CL. 20.2.1. A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura – a resistência e o módulo de elasticidade.

O diagrama tensão-deformação da armadura também pode ser definido pelo utilizador, mas, neste caso, não é possível considerar o efeito de enrijecimento à tração (não é possível calcular a largura de fendas). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

em que:

Φ_s é o fator de redução de resistência para a armadura. O valor por defeito é definido de acordo com o ACI 318-19 Tabela 24.2.1.

f_y é a tensão de cedência da armadura

E_s é o módulo de elasticidade da armadura

Seleciona-se 10% como a deformação limite à qual o cálculo é interrompido. Isto é considerado seguro com base na ASTM A955/A955M-20c Artigo 7.

O enrijecimento à tração (Fig. 43)  é considerado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação introduzida para a varão de armadura nu, de modo a captar a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com as normas de projeto modernas. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades de materiais normalizadas, o formato dos coeficientes parciais de segurança prescrito nas normas pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as ações de entrada são majoradas e as propriedades características dos materiais são reduzidas através dos respetivos coeficientes de redução da resistência, exatamente como na análise convencional de betão.

Os valores dos coeficientes de redução da resistência estão prescritos na ACI 318-19 Cl. 21.2. Os valores predefinidos para o betão e para a armadura foram escolhidos com base no pressuposto de que o exemplo típico resolvido na aplicação é condicionado pelo corte (com base na Tabela 21.2.1 (b), (f), (g)). No entanto, é possível modelar qualquer tipo de elemento. Assim, se for verificado um elemento condicionado pela compressão ou pela tração, o utilizador tem a opção de alterar o valor do coeficiente de redução da resistência nas Preferências.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Os coeficientes de majoração das ações para as combinações de resistência devem ser definidos de acordo com a ACI 318-19 Tabela 5.3.1.

Exceto quando indicado no Capítulo 34, as combinações de ações para o nível de serviço não estão definidas na ACI 318-19. Recomenda-se a utilização de regras de combinação baseadas no Apêndice C da ASCE/SEI 7-16. Para todos os modelos, os coeficientes de majoração das ações já se encontram predefinidos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

As diferentes verificações exigidas pelo ACI 318-19 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de corte de aderência).

A resistência do betão à compressão é avaliada como a relação entre a tensão principal de compressão máxima f_c (também σ₂ nos Resultados auxiliares), obtida pela análise por EF, e o valor limite f'_c,lim.

A resistência da armadura é avaliada à tração e à compressão como a relação entre a tensão na armadura nas fendas f_s e o valor limite especificado f_y,lim.

A tensão de corte de aderência é avaliada de forma independente como a relação entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise por EF e a resistência de aderência f_bu.

No entanto, a norma ACI não aborda explicitamente a resistência de aderência, trabalhando antes com o cálculo do chamado comprimento de desenvolvimento, descrito na Secção 25.4.2. Dado que a resistência de aderência é um parâmetro de entrada fundamental para determinar o comprimento de desenvolvimento, ver R25.4.1.1 e ACI Committee 408 1966, a resistência de aderência pode ser calculada da seguinte forma:

Admita-se que, se ancorarmos o varão de armadura num bloco de betão com um comprimento de desenvolvimento l_d ou superior, o arrancamento da armadura conduzirá à rotura da armadura e não ao arrancamento do betão. Isto pode ser escrito com a seguinte fórmula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

em que:

d_b é o diâmetro do varão de armadura, l_d é o comprimento de desenvolvimento, f_bu é a resistência de aderência, f_y é a tensão de cedência da armadura e A_s é a área do varão de armadura.

Do exposto, a fórmula para o cálculo da resistência de aderência pode ser facilmente deduzida:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

O comprimento de desenvolvimento l_d é então determinado de acordo com a Tabela 25.4.2.3 do ACI 318-19 da seguinte forma:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

em que:

C = 25 (2,1 para o sistema métrico) para varões n.º 6 e inferiores e fios nervurados, C = 20 (1,7 para o sistema métrico) para varões n.º 7 e superiores, λ = 1,0 para betão de peso normal, ψ_t, ψ_e, ψ_g são determinados de acordo com a Tabela 25.4.2.3 do ACI 318-19. 

Apenas é suportada armadura sem revestimento ou revestida a zinco (galvanizada), pelo que ψ_e = 1,0. O valor de ψ_g é determinado automaticamente a partir da classe da armadura, e ψ_t é obtido automaticamente a partir da posição da armadura no modelo e da direção de betonagem, que pode ser definida na aplicação para cada item do projeto, da seguinte forma.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Estas verificações são realizadas em relação aos valores limite adequados para as respetivas partes da estrutura (ou seja, apesar de existir uma única classe tanto para o betão como para o material da armadura, os diagramas tensão-deformação finais diferem em cada parte da estrutura devido aos efeitos de enrijecimento à tração e de amolecimento à compressão).

Existe também a opção de modelar varões lisos. Pode encontrar mais informações aqui: Varões lisos em Detail

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise por elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

em que A_s é a área do varão de armadura e f_s é a tensão no varão.

Ou como a soma da força de ancoragem F_a e da força de aderência F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

em que F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência, que pode ser obtida por integração da tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento do varão de armadura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s é o perímetro do varão de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento do varão, considerando a resistência do varão e também as condições de ancoragem (aderência entre o betão e a armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

em que C_s é o perímetro do varão de armadura e l é o comprimento desde o início do varão até ao ponto de interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

em que F_lim,add é a força adicional calculada a partir da magnitude do ângulo entre elementos vizinhos. F_lim,2 tem de ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem varão reto (ou seja, sem redução da extremidade de ancoragem), gancho a 90 graus, gancho a 180 graus, aderência perfeita e varão contínuo. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 48 para a armadura longitudinal. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados resultam da comparação da equação da secção 25.4.3.1 do ACI 318-19 com as equações retiradas da secção 25.4.2.3 do ACI 318-19. Note-se que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução do comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30 % do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada e (iii) aderência perfeita.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

O coeficiente de ancoragem para estribos é sempre β = 1,0.

Para cumprir o ACI, deve ser utilizada a mola de ancoragem no cálculo; a mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve utilizar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e de fim da armadura. 

No dimensionamento de estruturas de betão, deparamo-nos com dois grandes grupos de áreas parcialmente carregadas (PLA) – o primeiro compreende os apoios, enquanto o segundo é constituído pelas zonas de ancoragem. 

De acordo com as normas atualmente em vigor para o dimensionamento de estruturas de betão armado, ACI 318-19, cap. 22.8, devem ser considerados o esmagamento local do betão e as forças de tração transversais nos apoios. Para uma carga uniformemente distribuída numa área A_c1, a capacidade resistente à compressão do betão pode ser aumentada até duas vezes, em função da área de distribuição de cálculo A_c2. Ver a tabela 22.8.3.2 da ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Para as zonas de ancoragem de elementos em pós-tensão, deve ser seguido o disposto na ACI 318-19, cap. 25.9.

A área parcialmente carregada deve ser suficientemente reforçada com armadura transversal, dimensionada para transmitir as forças de fendilhação que ocorrem nessa área. Sem a armadura transversal necessária, não é possível considerar o aumento da capacidade resistente à compressão do betão.

Áreas parcialmente carregadas no CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Com o CSFM, é possível dimensionar e verificar estruturas de betão armado incluindo a influência do aumento da resistência à compressão do betão nas áreas parcialmente carregadas. Dado que o CSFM é um modelo de parede (2D) e as áreas parcialmente carregadas constituem um problema espacial (3D), foi necessário encontrar uma solução que combine estes dois tipos distintos de problemas (Fig. 50). Se a função de “áreas parcialmente carregadas” estiver ativada, a geometria admissível do cone é criada de acordo com a ACI (Fig. 49). Todas as colisões geométricas são resolvidas totalmente em 3D para a geometria especificada do elemento de betão e para as dimensões de cada PLA. Seguidamente, é criado um modelo de cálculo da área parcialmente carregada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

A modificação do modelo de material revelou-se uma abordagem inadequada, sobretudo porque o mapeamento das propriedades para a malha de elementos finitos é problemático. Concluiu-se que uma abordagem independente da malha de elementos finitos é uma solução mais adequada. Para a geometria conhecida do cone de compressão, são criadas escoras fictícias absolutamente coerentes (Fig. 51 e Fig. 52). Estas escoras têm propriedades de material idênticas às do betão utilizado no modelo, incluindo o diagrama tensão-deformação. A forma do cone determina a direção das escoras, que distribuem gradualmente a carga ao longo da PLA até à área de distribuição de cálculo. A densidade superficial das escoras fictícias é variável em cada parte do cone e acrescenta uma área fictícia de betão na direção da carga. Ao nível da área carregada (A_c1), é acrescentada uma área fictícia de betão de acordo com a razão $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (em que A_real é a área do apoio considerada no modelo de cálculo 2D), e esta área diminui linearmente até zero em direção à área de distribuição de cálculo (A_c2). Esta solução assegura que a tensão de compressão no betão é constante em todo o volume do cone.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

A resistência da área parcialmente carregada é aumentada de acordo com a razão entre a área de distribuição de cálculo e a área carregada, estabelecida na ACI 318-19, cap. 22.8.  Deve ter-se presente que se trata de um modelo de cálculo que não consegue descrever com exatidão o estado de tensão numa área parcialmente carregada, cujo fluxo real de tensões é muito mais complexo. No entanto, esta solução permite a correta distribuição da carga por todo o modelo, respeitando simultaneamente a capacidade resistente acrescida da área parcialmente carregada. Além disso, introduz corretamente as tensões transversais nesta área, de modo a dimensionar corretamente a armadura para as forças de fendilhação.

A tensão de apoio admissível de 0.85f_c' é indicada na Tabela 22.8.3.2. A densidade é limitada de forma a não ser excedida a capacidade máxima dupla dada pela expressão da Tabela 22.8.3.2(b).  

Para as zonas de ancoragem, a PLA é utilizada na aplicação da mesma forma que para os apoios. É por isso que as zonas locais definidas na ACI 318-19, capítulo 25.9, têm de ser verificadas manualmente de acordo com a ACI 318-19, 25.9.3. A PLA é, por conseguinte, utilizada apenas para evitar que o critério de deformação na zona local seja excedido, interrompendo prematuramente o cálculo. Por outro lado, de acordo com a ACI 318-19, Cl. 25.9.4.3.1 (b), a armadura que resiste às tensões no plano de fendilhação (bursting) e de destacamento (spalling) pode ser verificada diretamente, e de forma vantajosa, na aplicação.

As verificações de utilização são efetuadas para a limitação de tensões, a largura de fendas e os limites de flecha. As tensões são verificadas nos elementos de betão e de armadura de acordo com a ACI 318-19, de forma semelhante à especificada para a resistência.

Limitação de tensões

As tensões de compressão admissíveis no betão para cargas de serviço devem ser verificadas para elementos pré-esforçados das Classes U e T. De acordo com a Tabela R24.5.2.1, não é necessária verificação da limitação de tensões para o betão que se considera fendilhado. O utilizador deve definir a classe do elemento pré-esforçado nas definições do elemento de cálculo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

A tensão de compressão admissível para elementos sujeitos a cargas transitórias é especificada na ACI 318-19 24.5.4.1 como 0.6f_c'. O limite de tensão de compressão de 0.45f_c' foi estabelecido para diminuir a probabilidade de rotura de elementos de betão pré-esforçado devido a cargas repetidas. Este limite também pareceu razoável para evitar deformações excessivas por fluência. Para valores de tensão mais elevados, as deformações por fluência tendem a aumentar mais rapidamente à medida que a tensão aplicada aumenta.

A tensão no betão à compressão é avaliada como o quociente entre a tensão principal de compressão máxima f_c = σ_c2 obtida da análise por EF para o estado limite de utilização e o valor limite, que é definido com base na Tabela 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

Na aplicação, Pré-esforço mais carga permanente é tratado como uma combinação de longa duração, e Pré-esforço mais carga total como uma combinação de curta duração.

Flecha

Com base no tipo de combinação selecionado (longa ou curta duração), é avaliada a flecha de longa ou de curta duração. O valor máximo admissível da flecha deve ser determinado pelo utilizador e considerado de acordo com a ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Na aplicação, é possível apresentar separadamente as flechas devidas ao peso próprio Δ_DL e à sobrecarga Δ_LL, bem como a flecha total Δ_Tot (permanente+sobrecarga), apresentando em simultâneo a deformada.

As flechas em extremidades aparadas não podem ser verificadas.

Largura de fendas

As larguras e as orientações das fendas são calculadas para combinações de utilização de curta ou de longa duração. Uma vez que a ACI não prescreve diretamente larguras de fendas limite, o utilizador deve especificar uma largura de fenda limite w_lim.

As verificações são apresentadas da seguinte forma:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

onde:

w         largura de fenda de curta ou de longa duração calculada pela análise por EF,

w_lim     valor limite da largura de fenda definido pelo utilizador.

O método de cálculo das larguras de fendas utilizado na aplicação, também descrito mais detalhadamente neste documento, está de acordo com a ACI 224R-01. É, por isso, possível utilizar a Tabela 4.1 da ACI 224R-01 para determinar o valor limite das larguras de fendas.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Existem duas formas de calcular as larguras de fendas (fendilhação estabilizada e não estabilizada). No caso geral (fendilhação estabilizada), a largura de fenda é calculada integrando as deformações nos elementos 1D dos varões de armadura. A direção da fenda é depois calculada a partir dos três pontos de integração mais próximos (a partir do centro do elemento finito 1D de armadura considerado) dos elementos 2D de betão. Embora esta abordagem para o cálculo das direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, fornece ainda assim valores representativos que conduzem a resultados de largura de fenda que podem ser comparados com os valores de largura de fenda exigidos pela norma na posição do varão de armadura.

Betão - Resistência

O modelo de betão implementado para os cálculos de resistência no CSFM baseia-se nos pressupostos de dimensionamento à resistência da AASHTO LRFD, de equilíbrio e compatibilidade de deformações. De acordo com o Artigo 5.6.2.1 da AASHTO LRFD (2024), a resistência à tração do betão é desprezada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

A implementação do CSFM em IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão em compressão (ou seja, depois de atingida a tensão de pico, considera um ramo plástico com ε_c0 no valor máximo de 5%, enquanto o Artigo 5.6.2.1 da AASHTO LRFD (2024) assume uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que entram em rotura por compressão. No entanto, a resistência é prevista corretamente quando, além do fator de betão fendilhado (k_c2 definido em (Fig. 57)), se considera o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência, por meio do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010, do seguinte modo:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

em que:

α₁ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido no Artigo 5.6.2.2 da AASHTO LRFD (2024). Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão máxima de compressão por este fator. Isto uniformiza a distribuição de tensões na zona comprimida de modo que a resistência à compressão resultante seja inferior ou igual à resistência à compressão calculada com um diagrama tensão-deformação com ramo plástico decrescente.

Φ_c é o fator de resistência do betão. O valor por defeito é definido de acordo com o Artigo 5.5.4.2 da AASHTO LRFD (2024).

k_c2 é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal.

f'_c é a resistência do betão em provetes cilíndricos (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 é um fator de redução baseado nos mesmos pressupostos do fator de eficiência do betão ν indicado em AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a e na Tabela 5.8.2.5.3a-1, exceto que, no CSFM, a presença de uma tensão principal de tração perpendicular à tensão principal de compressão é verificada para cada elemento finito (e não apenas para os nós do modelo de Escora e tirante).

Betão – Estado limite de utilização

A análise de utilização contém certas simplificações dos modelos constitutivos que são utilizados na análise de resistência. O ramo plástico da curva tensão-deformação do betão em compressão é desprezado, sendo o ramo elástico linear e infinito. A lei de amolecimento à compressão não é considerada. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão resultantes dos materiais em utilização se situem claramente abaixo dos respetivos pontos de cedência (de acordo com a abordagem do estado limite de utilização da AASHTO LRFD). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados para a utilização só são válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efeitos de longo prazo

A lei constitutiva de longo prazo (a curva vermelha na Fig. 59) é utilizada para o cálculo da largura de fendas, da flecha total e da limitação de tensões de elementos pré-esforçados quando o efeito de longo prazo é selecionado na faixa de opções superior. Na aplicação IDEA StatiCa Detail, o módulo de elasticidade efetivo é utilizado para a verificação dos efeitos de longo prazo, conforme referido em AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

em que:
E_c é o módulo de elasticidade definido no artigo 5.4.2.4 da AASHTO LRFD (2024)
ψ é o coeficiente de fluência definido no artigo 5.4.2.3.2 da AASHTO LRFD (2024)

Os fatores de fluência são definidos pelo utilizador nas propriedades dos materiais.

Efeitos de curto prazo

Para realizar as verificações de curto prazo, é efetuado outro cálculo no qual todas as ações são calculadas sem o fator de fluência. Ambos os cálculos, para as verificações de longo e de curto prazo, estão representados na Fig. 59.

Armadura

Considera-se um diagrama tensão-deformação perfeitamente elastoplástico, com um ponto de cedência definido, para a armadura não pré-esforçada, ver Artigo 5.4.3 da AASHTO LRFD (2024). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura – a resistência e o módulo de elasticidade.

O diagrama tensão-deformação da armadura também pode ser definido pelo utilizador, mas, neste caso, não é possível considerar o efeito de enrijecimento à tração (não é possível calcular a largura de fendas). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

em que:

Φ_s é o fator de resistência da armadura. O valor por defeito é definido de acordo com o Artigo 5.5.4.2 da AASHTO LRFD (2024).

f_y é a tensão de cedência da armadura

E_s é o módulo de elasticidade da armadura

Seleciona-se 10% como a deformação limite à qual o cálculo é interrompido. Considera-se que este valor é seguro com base no Artigo 7 da ASTM A955/A955M-20c.

O enrijecimento à tração (Fig. 61)  é considerado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura isolado, de modo a captar a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com as normas de cálculo modernas. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades de materiais normalizadas, o formato dos coeficientes parciais de segurança prescrito nas normas de cálculo pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as ações de entrada são majoradas e as propriedades características dos materiais são reduzidas através dos respetivos coeficientes de resistência, exatamente como na análise convencional de betão.

Os valores dos coeficientes de resistência são prescritos no Artigo 5.5.4 da AASHTO LRFD (2024). Os valores por defeito para o betão e para a armadura são escolhidos de forma conservadora, com base no pressuposto de que o exemplo típico resolvido é uma região D, um caso típico para o método SaT. No entanto, é possível modelar qualquer tipo de elemento. Por conseguinte, se for avaliado um elemento controlado por compressão ou por tração, o utilizador tem a opção de alterar o valor do coeficiente de redução de resistência nas Preferências.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Os coeficientes de carga e as combinações de carga devem ser definidos de acordo com as AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artigo 3.4.1 e Quadros 3.4.1-1 a 3.4.1-6. A AASHTO LRFD especifica explicitamente as combinações de carga do estado limite de Strength (Strength I a Strength V), bem como as combinações de carga ao nível de serviço (Service I a Service IV), incluindo os coeficientes de carga correspondentes para cada caso.

Para cada modelo, o programa inclui combinações básicas predefinidas que necessitam de ser completadas em função do elemento em análise.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

As diferentes verificações exigidas pela AASHTO são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de corte de aderência).

A resistência do betão à compressão é avaliada como a razão entre a tensão principal de compressão máxima f_c (também σ₂ nos Resultados auxiliares), obtida na análise por EF, e o valor limite f'_c,lim.

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão, como a razão entre a tensão na armadura nas fendas f_s e o valor limite especificado f_y,lim.

A tensão de corte de aderência é avaliada de forma independente, como a razão entre a tensão de aderência τ_b, calculada pela análise por EF, e a resistência de aderência f_bu.

No entanto, uma vez que a resistência de aderência não está explicitamente definida na AASHTO, o seu valor tem de ser determinado através das equações que definem o comprimento de amarração. A resistência de aderência é, de facto, o dado de entrada principal para a determinação do comprimento de amarração; ver, por exemplo, o artigo AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 ou o NCHRP Report 733, Attachment E, página E-9.

O cálculo descrito na AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 e 5.10.8.2.2 requer o conhecimento do espaçamento máximo entre eixos da armadura transversal dentro de l_d, do número de varões ou fios amarrados ao longo do plano de fendilhamento, da área total da secção transversal de toda a armadura transversal e de outras grandezas geométricas que não podem ser determinadas de forma fiável no modelo da aplicação Detail para dados de entrada gerais. Por isso, foi adotada uma abordagem da AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1, da seguinte forma:

Admita-se que, se o varão de armadura for ancorado num bloco de betão com um comprimento de amarração l_d ou superior, o arrancamento da armadura conduz à rotura da armadura e não ao arrancamento do betão. Tal pode ser escrito com a seguinte fórmula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

onde:

• d_b é o diâmetro do varão de armadura
• l_d é o comprimento de amarração
• f_bu é a resistência de aderência
• f_y é a tensão de cedência da armadura
• A_b é a área do varão de armadura

Do exposto, pode deduzir-se facilmente a fórmula para o cálculo da resistência de aderência.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

O comprimento de amarração básico à tração l_db é determinado na AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 da seguinte forma:

Para varões n.º 11 e menores:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Para varões n.º 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Para varões n.º 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

onde:

• A_b é a área do varão de armadura (in²)
• f_y é a tensão de cedência especificada da armadura (ksi)
• f'_c é a resistência à compressão especificada do betão aos 28 dias, salvo indicação de outra idade (ksi)
• d_b é o diâmetro do varão de armadura (in)

Em seguida, multiplicando o comprimento de amarração básico l_db pelos fatores descritos na AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 e 5.11.2.1.3, determina-se o comprimento de amarração l_d utilizado como dado de entrada.

Os fatores de modificação que reduzem o comprimento de amarração, indicados em 5.11.2.1.3, são sempre iguais a 1,0 na aplicação. O fator de modificação para armadura superior horizontal ou quase horizontal é igual a 1,4 para condições de aderência «más», de acordo com a figura seguinte:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

A direção de betonagem pode ser definida na aplicação.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Todos os outros fatores determinados em 5.11.2.1.2 são iguais a 1,0, porque apenas é suportado betão de peso normal e apenas é suportada armadura sem revestimento.

A tensão de corte de aderência e a resistência de aderência dos varões à compressão são calculadas de forma análoga à dos varões à tração, mas utilizando as equações da AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2.

Existe também a opção de modelar varões lisos. Pode encontrar mais informações aqui: Varões lisos no Detail

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise pelo Método dos Elementos Finitos e pode ser definida de duas formas.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

onde A_b é a área do varão de armadura e f_s é a tensão no varão.

Ou como a soma da força de ancoragem F_a e da força de aderência F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

onde F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência, que pode ser obtida por integração da tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento do varão de armadura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s é o perímetro do varão de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento do varão, considerando a resistência do varão e também as condições de ancoragem (aderência entre o betão e a armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

onde C_s é o perímetro do varão de armadura e l é o comprimento desde o início do varão até ao ponto em análise.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

onde F_lim,add é a força adicional calculada a partir da magnitude do ângulo entre elementos vizinhos. F_lim,2 tem de ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem varão reto (ou seja, sem redução na extremidade de ancoragem), gancho a 90 graus, gancho a 180 graus, aderência perfeita e varão contínuo. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 67 para a armadura longitudinal. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados resultam da comparação da equação da secção AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 com as equações da secção AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Deve notar-se que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução do comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30 % do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada, e (iii) aderência perfeita.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

O coeficiente de ancoragem para estribos (disponível para elementos de viga) é sempre β = 1,0.

Para cumprir a AASHTO, a mola de ancoragem deve ser utilizada no cálculo. A mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador tem de utilizar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e fim da armadura. 

Ao projetar estruturas de betão, deparamo-nos com dois grandes grupos de áreas parcialmente carregadas (PLA) – o primeiro inclui os apoios, enquanto o outro é constituído pelas zonas de ancoragem. 

De acordo com as normas atualmente em vigor para o projeto de estruturas de betão armado, devem ser considerados o esmagamento local do betão e as forças de tração transversais nos apoios. Para uma carga uniformemente distribuída numa área, A₁, a capacidade resistente à compressão do betão pode ser aumentada até duas vezes, em função da área de distribuição de cálculo A₂. Ver AASHTO LRFD (2024), Artigo 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Para as zonas de ancoragem de pós-tensão, deve seguir-se o AASHTO LRFD (2024), Artigo 5.8.4.4.

A área parcialmente carregada deve ser adequadamente reforçada com armadura transversal dimensionada para transmitir as forças de fendilhamento que ocorrem nessa área. Sem a armadura transversal necessária, não é possível considerar o aumento da capacidade resistente à compressão do betão.

Áreas parcialmente carregadas no CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Utilizando o CSFM, é possível dimensionar e avaliar estruturas de betão armado, incluindo a influência do aumento da resistência à compressão do betão nas áreas parcialmente carregadas. Uma vez que o CSFM é um modelo de parede (2D) e as áreas parcialmente carregadas constituem um problema espacial (3D), foi necessário encontrar uma solução que combinasse estes dois tipos de problemas diferentes (Fig. 69). Se a função “áreas parcialmente carregadas” estiver ativada, a geometria admissível do cone é criada de acordo com o ACI (Fig. 68). Todas as colisões geométricas são resolvidas integralmente em 3D para a geometria especificada do elemento de betão e as dimensões de cada PLA. Posteriormente, é criado um modelo de cálculo da área parcialmente carregada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

A modificação do modelo de material revelou-se uma abordagem inadequada, principalmente porque o mapeamento das propriedades na malha de elementos finitos é problemático. Concluiu-se que uma abordagem independente da malha de elementos finitos é uma solução mais adequada. Para a geometria conhecida do cone de compressão, são criadas escoras fictícias absolutamente coerentes (Fig. 70 e Fig. 71). Estas escoras têm propriedades materiais idênticas às do betão utilizado no modelo, incluindo o diagrama tensão-deformação. A forma do cone determina a direção das escoras, que distribuem gradualmente a carga da PLA até à área de distribuição de cálculo. A densidade de área das escoras fictícias é variável em cada parte do cone e adiciona uma área fictícia de betão na direção da carga. Ao nível da área carregada (A₁), é adicionada uma área fictícia de betão de acordo com a relação $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  (em que A_real é a área do apoio considerada no modelo de cálculo 2D), e esta área diminui linearmente até zero em direção à área de distribuição de cálculo (A₂). Esta solução garante que a tensão de compressão no betão é constante em todo o volume do cone.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

A resistência da área parcialmente carregada é aumentada de acordo com a relação entre a área de distribuição de cálculo e a área carregada estabelecida no AASHTO LRFD (2024), Artigo 5.6.5.  Deve ter-se presente que este é um modelo de cálculo que não consegue descrever com precisão o estado de tensão numa área parcialmente carregada, cujo fluxo real é muito mais complexo. No entanto, esta solução permite a correta distribuição da carga por todo o modelo, respeitando a maior capacidade resistente da área parcialmente carregada. Além disso, introduz corretamente as tensões transversais nesta área, permitindo dimensionar corretamente a armadura para as forças de fendilhamento.

A tensão admissível de apoio de 0.85f_c' encontra-se indicada no AASHTO LRFD (2024), Artigo 5.8.4.4. A densidade é limitada de modo a não ser excedida a capacidade máxima dupla dada pela fórmula 5.6.5-3.  

Para as zonas de ancoragem, a PLA é utilizada na aplicação da mesma forma que nos apoios. Por esse motivo, as tensões de compressão nas zonas local e global definidas nos Artigos 5.8.4.4 e 5.8.4.5 têm de ser verificadas manualmente. A PLA é, portanto, utilizada apenas para evitar que o critério de deformação seja excedido na zona local, interrompendo prematuramente o cálculo. Por outro lado, a armadura que resiste às tensões de rebentamento, de lascagem no plano e de tração de bordo nas zonas gerais (definidas no Artigo 5.8.4.5) pode ser verificada diretamente e com vantagem na aplicação.

As verificações de serviço são realizadas para a limitação de tensões, a largura de fendas e os limites de flecha. As tensões são verificadas nos elementos de betão e de armadura de acordo com a AASHTO LRFD, de forma semelhante à especificada para a Resistência.

Limitação de tensões

A tensão de compressão no betão é avaliada apenas para elementos pré-esforçados (quando o caso de carga de pré-esforço está presente no modelo), como a razão entre a tensão principal de compressão máxima f_c = σ_c2 obtida da análise de EF para o estado limite de serviço e os valores limite, que são definidos com base na Tabela 5.9.2.3.2a-1 da AASHTO LRFD.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

Na aplicação, Pré-esforço mais ação permanente é tratado como uma ação sustentada, e Pré-esforço, ação permanente e ação variável como uma ação total.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

Além disso, é sempre possível realizar uma análise para efeitos de curta e de longa duração, utilizando modelos de material que consideram ou não o coeficiente de fluência — ver a secção "Modelos de material (AASHTO)".

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Flecha

As flechas instantâneas e as flechas totais são avaliadas para cada combinação em que a avaliação da flecha esteja ativada. 

• Para as flechas instantâneas, é utilizado o módulo de elasticidade E_c de acordo com o artigo 5.4.2.4 da AASHTO LRFD (2024). 
• Para as flechas totais, é utilizado o módulo de elasticidade efetivo E_c,eff de acordo com o artigo C5.12.5.3.6 da AASHTO LRFD (2024). 

Ver o capítulo 'Modelos de material (AASHTO) - Betão – Estado limite de serviço' neste documento.

A verificação da flecha propriamente dita é ativada na barra de ferramentas superior. O utilizador define os valores limite da flecha de acordo com o artigo 2.5.2.6.2 da AASHTO LRFD (2024), em função do tipo de elemento analisado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Não é possível verificar as flechas em extremidades aparadas.

Largura de fendas

As larguras e as orientações das fendas são calculadas apenas para efeitos de longa duração (utilizando E_c,eff de acordo com o artigo C5.12.5.3.6 da AASHTO LRFD (2024)) para as combinações em que a avaliação da largura de fendas esteja ativada. As verificações com base nos valores limite especificados pelo utilizador são as seguintes:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

em que:

w         largura de fenda calculada por análise de EF,

w_lim     valor limite da largura de fenda definido pelo utilizador.

O valor limite w_lim deve ser determinado com base no tipo de elemento e na classe de exposição, de acordo com o artigo 5.6.7 da AASHTO LRFD (2024) e respetivo comentário. 

Existem duas formas de calcular as larguras de fendas (fendilhação estabilizada e não estabilizada). No caso geral (fendilhação estabilizada), a largura de fenda é calculada integrando as deformações nos elementos 1D das varões de armadura. A direção da fenda é depois calculada a partir dos três pontos de integração mais próximos (a partir do centro do elemento finito 1D de armadura considerado) dos elementos 2D de betão. Embora esta abordagem para o cálculo das direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, fornece ainda assim valores representativos que conduzem a resultados de largura de fenda comparáveis com os valores de largura de fenda exigidos pela norma na posição do varão de armadura.

Betão – Resistência

O modelo de betão implementado para os cálculos de resistência no CSFM baseia-se na curva tensão-deformação parabólica-plástica. A resistência à tração é desprezada, tal como no cálculo clássico de betão armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão em compressão (ou seja, depois de atingida a tensão máxima, considera um ramo plástico com ε_c0 com valor máximo de 5%, enquanto a AS 3600 Cl. 8.3.1 admite uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que entram em rotura por compressão. No entanto, a resistência é corretamente prevista quando, além do fator do betão fendilhado (k_c2 definido na (Fig. 77)), se considera o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência, através do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010, do seguinte modo:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

em que:

α₂ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido na AS 3600 Cl. 8.3.1
Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão máxima de compressão por este fator. Isto uniformiza a distribuição de tensões na zona comprimida de modo que a resistência à compressão resultante seja inferior ou igual à resistência à compressão calculada com um diagrama tensão-deformação com ramo plástico descendente. É definida uma abordagem análoga para o bloco retangular de tensões no Capítulo 8.1.3.

Φ_s é o fator de redução da tensão para o betão. O valor por defeito é definido de acordo com a AS 3600 Tabela 2.2.3.

β é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal (também designado por k_c2 neste texto)