混凝土构件的设计与评估通常在截面（一维单元）或点（二维单元）层面进行。该方法在所有结构设计标准中均有描述，例如（EN 1992-1-1 或 ACI 318-19），并广泛应用于日常结构工程实践。然而，人们并不总是了解或遵守这样一点：该方法仅适用于满足平截面应变分布的 Bernoulli-Navier 假设的区域（称为 B 区）。不满足该假设的位置称为不连续区或扰动区（D 区）。一维单元的 B 区和 D 区示例见（图 1）。这些区域包括支承区、集中荷载作用部位、截面突变处、洞口等。在进行混凝土结构设计时，我们还会遇到许多其他 D 区，例如墙、桥梁横隔板、牛腿等。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

过去，不连续区的设计采用半经验设计规则。幸运的是，在过去几十年中，这些规则已在很大程度上被拉压杆模型（Schlaich 等，1987）和应力场（Marti 1985）所取代，二者已纳入现行设计规范，并被设计人员广泛使用。这些模型在力学上是自洽的，是功能强大的工具。需要注意的是，应力场通常可以是连续的或不连续的，而拉压杆模型是不连续应力场的一种特例。

尽管过去几十年来计算工具不断发展，拉压杆模型本质上仍以手算为主。由于需要迭代，并且需要考虑多个荷载工况，将其应用于实际结构既繁琐又耗时。此外，该方法不适用于验证正常使用准则（变形、裂缝宽度等）。

结构工程师对可靠、快速的 D 区设计工具的需求，促成了新的协调应力场法的开发。这是一种计算机辅助应力场设计方法，可对承受面内荷载的结构混凝土构件进行自动设计与评估。

协调应力场法（CSFM）是一种基于有限元的连续应力场分析方法，在经典应力场解的基础上补充了运动学考虑，即对整个结构的应变状态进行评估。因此，可以根据横向应变状态自动计算混凝土的有效抗压强度，其方式与考虑压力软化的压力场分析 （Vecchio 和 Collins 1986；Kaufmann 和 Marti 1998）以及 EPSF 方法（Fernández Ruiz 和 Muttoni 2007）类似。此外，CSFM 考虑了拉力刚化，为单元提供真实的刚度，并涵盖了以往方法未能一致处理的所有设计规范规定（包括正常使用和变形能力方面）。CSFM 采用设计标准中给出的混凝土和钢筋的常用单轴本构关系。这些关系在设计阶段是已知的，因此可以使用分项系数法。因此，设计人员无需提供非线性有限元分析通常所需的、往往带有任意性的额外材料特性，使该方法非常适用于工程实践。

为了促进结构工程师使用计算机辅助应力场，这些方法应在用户友好的软件环境中实现。为此，CSFM 已在 IDEA StatiCa Detail 中实现；这是一款新的用户友好型商业软件，由苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）与软件公司 IDEA StatiCa 在 DR-Design Eurostars-10571 项目框架内共同开发。

CSFM（协调应力场法） 考虑裂缝处混凝土的最大主压应力（σ_c2r）和钢筋应力（σ_sr），同时忽略混凝土的抗拉强度（σ_c1r = 0），但其对钢筋的刚化效应除外。考虑拉力刚化后，可以模拟钢筋的平均应变（ε_m）。该方法假定存在无滑移张开的、虚拟的、可旋转的无应力裂缝（图 2a），并同时考虑裂缝处的平衡条件和钢筋的平均应变。 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

尽管这些假定较为简单，但已有研究表明，只要所配置的钢筋能够避免开裂时发生脆性破坏，类似假定即可对承受面内荷载的钢筋混凝土构件给出准确的预测（Kaufmann 1998；Kaufmann and Marti 1998）。此外，不考虑混凝土抗拉强度对极限荷载的任何贡献，也符合现代设计规范的原则，这些规范大多基于塑性理论。

然而，CSFM（协调应力场法）不适用于细长构件（无横向钢筋时），因为对于此类构件起作用的机制，如骨料咬合、裂缝尖端的残余拉应力和销栓作用（它们都直接或间接依赖于混凝土的抗拉强度），均被忽略。虽然部分设计标准允许基于半经验规定来设计此类构件，但 CSFM（协调应力场法）并不适用于这类可能发生脆性破坏的结构。

混凝土

CSFM（协调应力场法）中采用的混凝土模型基于设计规范为截面设计规定的单轴受压本构关系，该关系仅取决于抗压强度。CSFM（协调应力场法）默认采用抛物线-矩形图（图 2c），但设计人员也可以选择更简化的理想弹塑性关系。按照 ACI 规范进行校核时，只能使用抛物线-矩形应力-应变图。如前所述，与经典钢筋混凝土设计一样，混凝土的抗拉强度被忽略。

有效抗压强度根据主拉应变（ε₁），通过折减系数 k_c2 对开裂混凝土自动计算，如图 2c 和 2e 所示。所采用的折减关系（图 2e）是对 fib Model Code 2010 中抗剪验算建议的推广。该建议规定混凝土有效强度与混凝土抗压强度之比的上限值为 0.65，而此限值不适用于其他荷载工况。

IDEA StatiCa Detail 中的 CSFM（协调应力场法）未针对受压混凝土考虑以应变表示的明确破坏准则（即在达到峰值应力后，假定存在无限延伸的塑性段）。这一简化不允许验算以受压方式破坏的结构的变形能力。然而，除了图 2e 中定义的开裂混凝土系数（k_c2）外，如果再通过 fib Model Code 2010 中定义的折减系数 $\eta_{fc}$ 考虑混凝土强度提高时脆性的增加，则可以正确预测其极限承载力，如下所示：

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

其中：

k_c 为抗压强度的整体折减系数

k_c2 为因存在横向裂缝而产生的折减系数

f_c 为混凝土圆柱体特征强度（计算 $\eta_{fc}$ 时单位为 MPa）。

出于计算稳定性的考虑，k_c2 系数还会有一定折减。该折减不影响构件的总承载力。假定 f_cd 为混凝土的折算强度（设计值），则 k_c2 值按以下规则折减。

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 为 1.0 与从
                                                              图 2f 所示曲线中取得的值之间的线性插值
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 直接取自图 2f 中的曲线

钢筋

采用设计规范通常规定的裸钢筋理想化双线性应力-应变图（图 2d）。该图的定义只需在设计阶段已知钢筋的基本特性（强度和延性等级）。也可以自定义应力-应变关系。

通过修正裸钢筋的输入应力-应变关系来考虑拉力刚化，以反映埋置于混凝土中钢筋的平均刚度（ε_m）。

粘结模型

钢筋与混凝土之间的粘结滑移通过图 2f 所示的简化刚性-理想塑性本构关系引入有限元模型，其中 f_bd 为设计规范针对具体粘结条件规定的极限粘结应力设计值（折算值）。

这是一个简化模型，其唯一目的是按照设计规范验算粘结规定（即钢筋的锚固）。采用弯钩、环形及类似钢筋形式时锚固长度的折减，可通过在钢筋端部定义一定的承载力来考虑，后文将对此进行说明。 

工作流程与目标

CSFM（协调应力场法）中钢筋设计工具的目标是帮助设计人员高效确定钢筋的位置和所需用量。以下工具可在此过程中为用户提供辅助和指导：线性计算和拓扑优化。

钢筋设计工具采用的本构模型比结构最终验算所用的模型更为简化。因此，此步骤中的钢筋定义应视为预设计，需在最终验算步骤中确认或调整。图 3 所示模型为一根变截面简支梁的一端，承受均布荷载，下文将以该模型说明各种钢筋设计工具的使用。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

线性分析

线性分析采用线弹性材料特性，并忽略混凝土区域内的钢筋。因此，该计算速度非常快，可初步判断拉力区和压力区的位置。此类计算的示例见图 4。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

拓扑优化

拓扑优化是一种方法，旨在针对特定荷载工况，在给定体积内寻找材料的最优分布。Idea StatiCa Detail 中实现的拓扑优化采用线性有限元模型。每个有限单元的相对密度可在 0 至 100 % 之间取值，表示所用材料的相对数量。这些单元密度即为优化问题中的优化参数。如果材料分布使系统的总应变能最小，则认为该分布对于给定荷载组合是最优的。根据定义，最优分布同时也是在给定荷载下刚度最大的几何形状。

迭代优化过程从均匀的密度分布开始。 计算针对多个总体积分数（20%、40%、60% 和 80%）进行，用户可据此选择最实用的结果。所得形状由包含压杆和拉杆的桁架组成，代表给定荷载工况下的最优形状（图 5）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

CSFM 考虑混凝土中的连续应力场（二维有限单元），并辅以代表钢筋的离散“杆”单元（一维有限单元）。因此，钢筋并非弥散嵌入混凝土二维有限单元中，而是被显式建模并与其连接。计算模型中采用平面应力状态。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

既可以对整片墙和整根梁进行建模，也可以对梁的局部细部（孤立的不连续区，也称为截断端）进行建模。对于墙和整根梁，必须以使结构（外部）静定（静定结构）或超静定（静不定结构）的方式定义支座。梁截断端处的荷载传递通过特殊的圣维南传递区引入，从而确保在所分析的细部区域内获得符合实际的应力分布。

为模拟施工过程中的大多数情况，CSFM 提供了多种支座类型（图 7）和用于传递荷载的构件（图 8）。

支座

点支座可以通过多种方式建模，以确保应力不会集中在一个点上，而是分布在更大的区域内。第一种方式是分布式点支座（图 7a），它将荷载沿构件边缘在指定宽度范围内均匀分布。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

另一方面，局部支座（图 7d）只能布置在具有指定有效半径的混凝土体内。该支座通过刚性单元与此半径范围内的钢筋网格节点相连。因此，需要在局部支座周围定义钢筋笼。

为了更精确地模拟某些实际情况，点支座还有另外两种选项。第一种是带有指定宽度和厚度承压板的点支座（图 7b）。可以指定承压板的材料，整个承压板独立划分网格。第二种是悬挂支座（图 7e），可用于模拟吊装锚栓或吊装栓钉。

线支座（图 7c）可以定义在边缘上（通过指定其长度），也可以定义在单元内部（通过折线）。还可以指定其刚度和/或非线性行为（仅受压或受拉/受压支座）。

• 详细说明请参阅 IDEA StatiCa Detail 中的支座类型

传力构件

向结构引入荷载同样可以通过多种方式建模。对于点荷载，可以采用与点支座类似的承压板（图 8a），借助具有指定宽度和厚度的钢板将集中荷载分散到更大的面积上。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

点荷载既可以直接作用于结构表面并指定作用半径（荷载施加于混凝土单元），也可以通过称为局部荷载的特殊传力装置施加（图 8b 和图 9）。局部荷载可将荷载直接传递至有效半径范围内指定的钢筋。为确保局部荷载正常发挥作用，需要（在钢筋属性中）定义一组与荷载相互连接的钢筋。如果未定义相互连接的钢筋，则荷载传递机制与作用于构件表面的点荷载相同，荷载通过约束传递至混凝土单元，而不是直接传递至钢筋。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

吊装锚栓或吊装栓钉可以通过悬挂荷载建模（图 8c）。用户可以使用部分受荷面积（图 8d），根据 Eurocode 可提高混凝土的受压承载力（设置为 ACI 时，无法使用这种传力构件）。结构还可以承受边缘上的线荷载、一般折线荷载或面荷载。Detail 软件能够在分析中自动考虑自重。

在许多情况下,我们只需对结构构件的某一局部(部分)建模,例如梁支座、梁中部的开洞等。这种做法可能产生在 IDEA StatiCa Detail 中不稳定但允许的支承配置(包括无支座的情况)。但是,在这类情况下,还需要建立表示与相邻 B 区连接的截面模型,并在该截面上施加满足平衡条件的内力。在某些情况下(例如对梁支座建模时),这些内力可由程序自动确定。

在 B 区与所分析的不连续区之间,程序会自动创建圣维南传递区,以保证被分析区域内的应力分布符合实际。传递区的宽度取为截面高度的一半。由于圣维南区的唯一作用是使模型其余部分获得合理的应力分布,因此校核中不显示该区域的结果,此处也不考虑停止准则。

圣维南区中代表梁切割端的边界被模拟为刚性,即该边界可以转动,但必须保持平面。具体做法是使用刚体单元 (RBE2)将该边界上的所有有限元节点与位于截面惯性中心的一个独立节点相连。随后可在该节点上施加该单元的内力,如图 10 所示。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

对于定义为梁或框架节点的结构(由 x 轴和横截面定义),系统会自动对横截面进行折减。该修改会自动应用于翼缘很宽的横截面(图 11),其依据的假设是:压力应力场将从墙体以 45° 角扩展,因此上述折减后的宽度即为能够传递荷载的最大宽度

请注意,CSFM 中采用的有效翼缘宽度确定方法不同于 EN 1992-1-1 (2015) 第 5.3.2.1 条或 ACI 318-19 第 9.2.4.4 条中规定的方法。除几何形状外,基于 Eurocode 的有效翼缘宽度还明确受结构的跨度和边界条件影响。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

对于位于水平面内的加腋(图 12),每个加腋沿其长度方向划分为五段。然后将每一段按等厚度墙体进行建模,其厚度等于该段中部的实际厚度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

非线性（非弹性）有限单元分析模型由多种有限单元类型构成，分别用于模拟混凝土、钢筋以及二者之间的粘结。混凝土单元和钢筋单元首先独立划分网格，然后通过多点约束（MPC 单元）相互连接。这使钢筋可以相对于混凝土处于任意位置。如需计算锚固长度验算，则在钢筋与 MPC 单元之间插入粘结单元和锚固端弹簧单元。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

混凝土

混凝土采用四边形和三角形壳单元 CQUAD4 和 CTRIA3 进行模拟，分别由四个或三个节点定义。这些单元仅假定存在平面应力，即不考虑 z 方向的应力或应变。

每个单元有四个或三个积分点，位于约 1/4 单元尺寸处。在每个单元的每个积分点处，计算主应变方向 α₁、α₂。在这两个方向上，根据所指定的混凝土应力-应变图（见图 2）评估主应力 σ_c1、σ_c2 以及刚度 E₁、E₂。需要注意的是，压力软化效应会使主压应力方向的性能与另一主方向的实际状态相互耦合。

钢筋

钢筋采用仅具有轴向刚度的两节点一维“杆”单元（CROD）进行模拟。这些单元与专门开发的“粘结”单元相连，用于模拟钢筋与周围混凝土之间的滑移行为。这些粘结单元随后通过 MPC（多点约束）单元与代表混凝土的网格相连。这种方法允许钢筋和混凝土独立划分网格，同时在后续保证二者之间的连接。

粘结单元

锚固长度通过在有限单元模型中引入混凝土单元（二维）与钢筋单元（一维）之间的粘结剪应力来验算。为此，开发了“粘结”有限单元类型。

粘结单元的定义与壳单元（CQUAD4）类似。它同样由 4 个节点定义，但与壳单元不同的是，它仅在上部两个节点与下部两个节点之间具有非零的剪切刚度。在模型中，上部节点与代表钢筋的单元相连，下部节点与代表混凝土的单元相连。该单元的性能由粘结应力 τ_b 描述，它是上、下节点之间滑移 δ_u 的双线性函数，见图 14。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

粘结-滑移关系的弹性刚度模量 G_b 定义如下：

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

其中：

k_g            取决于钢筋表面的系数（默认 k_g = 0.2）

E_c            混凝土弹性模量（按 EN 取 E_cm）

Ø             钢筋直径

锚固长度验算采用所选设计规范 EN 1992-1-1 或 ACI 318-19 中给出的极限粘结剪应力设计值（系数化取值）f_bd。塑性段的强化默认按 G_b/10⁵ 计算。

锚固弹簧

按照设计规范的规定为钢筋设置锚固端（即弯折、弯钩、环圈等），可使钢筋的基本锚固长度（l_b,net）按一定系数 β 折减（下文称为“锚固系数”）。锚固长度设计值（l_b）按下式计算：

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

l_b,net 的预期折减相当于钢筋端部按锚固折减系数所给定的最大承载力百分比被激活，如图 15a 所示。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

锚固长度的折减通过在钢筋端部设置弹簧单元（图 15）纳入有限单元模型，该弹簧单元由图 15b 所示的本构模型定义。该弹簧传递的最大力（F_au）为：

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

其中：

β             基于锚固类型的锚固系数，

A_s            钢筋的截面面积，

f_yd           钢筋屈服强度的设计值（系数化取值）。

有限单元在内部实现，分析模型自动生成，无需用户具备专业的操作经验。该过程的重要环节是网格划分。

混凝土

所有混凝土构件一并划分网格。软件根据结构的尺寸和形状，并考虑最大钢筋直径，自动计算推荐的单元尺寸。此外，推荐的单元尺寸可保证在结构的薄弱部位（如细长柱或薄板）至少生成 4 个单元，以确保这些区域的结果可靠。混凝土单元的最大数量限制为 5000 个，但该数值足以满足大多数结构的推荐单元尺寸要求。设计人员始终可以通过修改默认网格尺寸的倍数来选择用户自定义的混凝土单元尺寸。

钢筋

钢筋被划分为长度与混凝土单元尺寸大致相同的单元。钢筋网格和混凝土网格生成后，通过粘结单元将二者相互连接，如图 13 所示。

承压板

辅助结构部件（如承压板）单独划分网格。这些单元的尺寸取为节点区域内混凝土单元尺寸的 2/3。然后，使用插值约束单元（RBE3）将承压板网格的节点与混凝土网格的边缘节点相连。

荷载和支座

局部荷载和局部支座仅与钢筋连接，如图 16 所示。因此，必须在其周围定义钢筋。通过等权重的 RBE3 单元，实现与有效半径范围内所有钢筋节点的连接。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

线支座和线荷载根据指定的宽度或有效半径，通过 RBE3 单元与混凝土网格的节点连接。连接的权重与到支座或荷载作用点的距离成反比。

• 有关各荷载与网格之间连接关系的更多信息，请参阅Detail 软件中荷载脉冲的一般说明

采用标准的完整牛顿-拉夫森（Newton-Raphson，NR）算法求解非线性有限元问题。 

一般情况下，若将全部荷载一次施加，NR 算法往往难以收敛。常用的做法（此处亦采用）是分多个增量依次施加荷载，并以上一个荷载增量的结果作为下一个增量牛顿求解的起点。为此，在牛顿-拉夫森算法的基础上实现了荷载控制算法。如果 NR 迭代不收敛，则将当前荷载增量减半，并重新进行 NR 迭代。

荷载控制算法的第二个目的，是找出对应于特定“终止准则”的临界荷载，这些准则包括混凝土的最大应变、粘结单元的最大滑移、锚固单元的最大位移以及钢筋的最大应变。临界荷载采用二分法求得。如果模型中任何位置超出终止准则，则舍弃最后一个荷载增量的结果，并计算大小为前一增量一半的新增量。重复此过程，直至在一定的误差容限内求得临界荷载。

对于混凝土，在壳单元的积分点处，终止准则设定为压力下 5% 的应变（即比混凝土的实际破坏应变大约高出一个数量级），拉力下为 7%。在拉力下，该值的设定是为了让钢筋先达到其极限应变（不考虑拉力刚化时通常约为 5%）。在压力下，该值是从若干备选值中选定的：它足够大，能使压碎的影响在结果中显现出来，同时又足够小，不会引起过多的数值稳定性问题。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

对于钢筋，终止准则以应力来定义。由于对裂缝处的应力进行了建模，拉力下的准则对应于考虑安全系数后的钢筋抗拉强度。压力下的准则采用相同的值。

粘结单元和锚固弹簧的终止准则为 α·δu_max，其中 δu_max 为规范校核中采用的最大滑移，α = 10。

结果分别针对混凝土和钢筋单元给出。混凝土中的应力和应变值在壳单元的积分点处计算。然而,由于以这种方式展示数据并不实用,因此默认在节点处展示结果,即取相连单元中相邻高斯积分点的压应力最大值(图 18)。需要注意的是,当有限单元尺寸与受压区高度相近时,这种展示方式可能会在构件受压边缘处局部低估结果。

图 18 - 带积分点和节点的混凝土有限单元:混凝土结果在节点和有限单元中的展示。

钢筋有限单元的结果要么在每个单元内为常数(一个值,例如钢材应力),要么为线性分布(两个值,用于粘结结果)。对于辅助单元,例如承压板单元,仅给出变形结果。

使用 CSFM 对结构进行评估时,需进行两种不同的分析:一种针对正常使用极限状态荷载组合,另一种针对承载能力极限状态荷载组合。正常使用分析假定构件的极限性能满足要求,且在正常使用荷载水平下材料不会达到屈服条件。这种方法允许在正常使用分析中采用简化的本构模型(混凝土应力-应变曲线采用线性段),以提高数值稳定性和计算速度。因此,建议采用下文所述的工作流程,即首先进行承载能力极限状态分析。

承载能力极限状态分析

各设计规范要求的不同验算,均基于模型提供的直接结果进行评估。承载能力极限状态验算包括混凝土强度、钢筋强度和锚固(粘结剪应力)验算。

为确保结构构件的设计高效合理,强烈建议先进行初步分析,并考虑以下步骤:

• 选取若干最不利的荷载组合。
• 仅计算承载能力极限状态(ULS)荷载组合。
• 使用粗网格(在 Setup 中增大默认网格尺寸的倍数(图 19))。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

此类模型计算速度很快,设计人员可以高效地检查结构构件的构造细节,并重新运行分析,直至最不利荷载组合下的所有验算要求均得到满足。一旦该初步分析的所有验算要求均得到满足,建议纳入完整的承载能力极限状态荷载组合,并采用精细网格尺寸(即程序推荐的网格尺寸)。用户可通过倍数调整网格尺寸,倍数取值范围为 0.5 至 5(图 19)。

基本结果和验算(应力、应变和承载比(即计算值/规范限值),以及混凝土构件的主应力方向)通过不同的图形显示,其中压力通常以红色表示,拉力以蓝色表示。可以突出显示整个结构的全局最小值和最大值,以及每个用户自定义部分的最小值和最大值。在程序的单独选项卡中,可以显示高级结果,例如张量值、结构变形,以及用于计算钢筋拉力刚化的配筋率(有效配筋率和几何配筋率)。此外,还可以显示所选组合或荷载工况的荷载和反力。

正常使用极限状态分析

正常使用极限状态评估包括应力限值、裂缝宽度和挠度限值验算。混凝土和钢筋中的应力按照适用规范进行校核,方式与承载能力极限状态类似。

正常使用分析对承载能力极限状态分析所用的本构模型作了一定简化。分析假定为完全粘结,即在正常使用状态下不验算锚固长度。此外,混凝土受压应力-应变曲线的塑性段被忽略,而弹性段为线性且无限延伸。这些简化提高了数值稳定性和计算速度,并且只要正常使用状态下材料的合成应力限值明显低于其屈服点(如标准所要求),就不会降低解的通用性。因此,正常使用分析所采用的简化模型仅在所有验算要求均得到满足时才有效。

裂缝宽度计算与拉力刚化

裂缝宽度计算

裂缝宽度的计算有两种方式——稳定裂缝和非稳定裂缝。根据结构各部分的几何配筋率来决定采用哪种裂缝计算模型（稳定裂缝采用 TCM 模型，非稳定裂缝采用 POM 模型）。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

CSFM（协调应力场法）对大多数验证项目（如构件承载力、挠度等）可直接给出结果，而裂缝宽度结果则按照图 20 所述方法，由有限单元法分析直接提供的钢筋应变结果计算得出。模型采用无滑移的裂缝运动学（纯裂缝张开）（图 20a），这与模型的主要假设一致。应力和应变的主方向决定了裂缝的倾角（θ_r = θ_s= θ_e）。根据图 20b，裂缝宽度（w）可投影到钢筋方向（w_b），得到：

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

其中 θ_b 为钢筋倾角。

请注意，程序显示的 θ_r 和 θ_b 值均 < π/2。这意味着上述公式适用于钢筋与裂缝分别穿过笛卡尔坐标系不同象限的情况，如图 20 所示，钢筋穿过第 I、III 象限，裂缝穿过第 II、IV 象限。对于钢筋与裂缝穿过相同象限的情况，公式需修改如下：

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

分量 w_b 基于拉力刚化模型，通过对钢筋应变积分一致计算得出。对于裂缝形态已充分发展的区域，沿钢筋计算的平均应变（e_m）直接沿裂缝间距（s_r）积分，如图 20c 所示。虽然这种计算裂缝方向的方法与裂缝实际位置不完全对应，但仍能提供具有代表性的数值，所得裂缝宽度结果可与规范要求的钢筋位置处裂缝宽度限值进行比较。

在计算结构的凹角处会出现特殊情况。此时，凹角预先确定了单条裂缝的位置，在相邻裂缝进一步发展之前，该裂缝呈非稳定状态。这些相邻裂缝通常在正常使用范围之后才会发展（Mata-Falcón 2015），因此将该区域的裂缝宽度按非稳定裂缝计算是合理的（图 21）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

拉力刚化

拉力刚化的实现区分了稳定裂缝形态和非稳定裂缝形态两种情况。在两种情况下，默认均假设混凝土在加载前已完全开裂。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

稳定裂缝

对于充分发展的裂缝形态，拉力刚化采用拉力弦模型（TCM）（Marti et al. 1998；Alvarez 1998）引入——图 22a——该模型已被证明尽管简单，却能给出优异的响应预测（Burns 2012）。TCM 假设粘结剪应力-滑移关系为阶梯形刚性完全塑性，当 σ_s ≤ f_y 时 τ_b = τ_b0 =2 f_ctm，当 σ_s > f_y 时 τ_b =τ_b1 = f_ctm。将每根钢筋视为拉力弦——图 22b 和图 22a——对于任意给定的裂缝处最大钢筋应力（或应变）值，可确定两条裂缝之间的粘结剪力、钢筋和混凝土应力分布以及应变分布。

当 s_r = s_r0 时，由于两裂缝中间处 σ_c1 = f_ct，新裂缝可能形成也可能不形成。因此，裂缝间距可能相差两倍，即 s_r = λs_r0，其中 λ = 0.5…1.0。假定 λ 的某一值，弦的平均应变（ε_m）可表示为最大钢筋应力（即裂缝处应力 σ_sr）的函数。对于 CSFM（协调应力场法）默认采用的钢筋裸筋理想化双线性应力-应变图，可得到如下封闭解析表达式（Marti et al. 1998）：

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

其中：
E_sh           钢材硬化模量 E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ，

E_s            钢筋弹性模量，

Ø            钢筋直径，

s_r                裂缝间距，

σ_sr           裂缝处钢筋应力，

σ_s            实际钢筋应力，

f_y                钢筋屈服强度。

IDEA StatiCa Detail 中 CSFM（协调应力场法）的实现在进行计算机辅助应力场分析时，默认采用平均裂缝间距。平均裂缝间距取最大裂缝间距的 2/3（λ = 0.67），这遵循了基于弯曲和拉伸试验所提出的建议（Broms 1965；Beeby 1979；Meier 1983）。需要注意的是，裂缝宽度计算采用最大裂缝间距（λ = 1.0），以获得偏于保守的结果。

TCM 的应用取决于配筋率，因此为每根钢筋合理分配裂缝间受拉混凝土面积至关重要。已开发了一套自动数值程序，用于确定相应的有效配筋率（ρ_eff = A_s/A_c,eff），适用于任意配筋构型，包括斜向钢筋（图 23）。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

非稳定裂缝

几何配筋率低于 ρ_cr（即钢筋能够在不屈服的情况下承担开裂荷载所需的最小配筋率）的区域中存在的裂缝，由非力学作用（如收缩）或由其他钢筋控制的裂缝扩展所引起。该最小配筋率的值按如下公式计算：

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

其中：

f_y              钢筋屈服强度，

f_ct             混凝土抗拉强度，

n              弹性模量比，n = E_s / E_c 。

对于普通混凝土和钢筋，ρ_cr 约为 0.6%。

对于配筋率低于 ρ_cr 的箍筋，裂缝被视为非稳定裂缝，拉力刚化通过图 22b 所述的拔出模型（POM）实现。该模型分析单条裂缝的行为，不考虑独立裂缝之间的力学相互作用，忽略混凝土受拉变形，并采用与 TCM 相同的阶梯形刚性完全塑性粘结剪应力-滑移关系。这使得对于任意裂缝处最大钢筋应力（σ_sr），可直接由平衡条件得到裂缝附近的钢筋应变分布（ε_s）。由于非充分发展裂缝形态的裂缝间距未知，平均应变（ε_m）在任意荷载水平下，按钢筋在裂缝处达到抗拉强度（f_t）时零滑移点之间的距离计算（图 22b 中的 l_ε,avg），得到如下关系式：

所提出的模型可计算有粘结钢筋的行为，该行为最终在分析中加以考虑。图 22c-d 示出了最常用的欧洲钢筋（B500B，f_t / f_y = 1.08，ε_u = 5%）的该行为（包括拉力刚化）。

混凝土 - ULS

CSFM 中采用的混凝土模型基于 EN 1992-1-1 规定的用于截面设计的单轴受压本构关系，该关系仅取决于抗压强度。CSFM 默认采用 EN 1992-1-1 第 3.1.7 (1) 条（图 24a）规定的抛物线-矩形应力图，设计人员也可以根据 EN 1992-1-1 第 3.1.7 (2) 条（图 24b）选择更为简化的理想弹塑性关系。与经典钢筋混凝土设计一样，不考虑混凝土的抗拉强度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

IDEA StatiCa Detail 中的 CSFM 实现未针对受压混凝土考虑以应变表示的显式破坏准则（即达到峰值应力后，采用 ε_cu2（ε_cu3）取值为 5% 的塑性分支，而 EN 1992-1-1 假定极限应变小于 0.35%）。这一简化不允许对受压破坏结构的变形能力进行验证。但是，当除了考虑开裂混凝土系数（k_c2，见（图 25））之外，还通过 fib Model Code 2010 中定义的折减系数 $\eta_{fc}$ 来考虑混凝土强度提高时脆性的增大，就可以准确预测其按 EN 1992-1-1 第 3.1.3 条确定的极限承载力 f_cd，公式如下：

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

其中：

α_cc 为考虑长期效应对抗压强度的影响以及荷载施加方式产生的不利影响的系数，按 EN 1992-1-1 第 3.1.6 (1) 条取值。默认值为 1,0。

k_c 为抗压强度的整体折减系数

k_c2 为考虑横向裂缝影响的折减系数

f_ck 为混凝土圆柱体抗压强度特征值（在定义 $\eta_{fc}$ 时单位为 MPa）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

混凝土 - SLS

正常使用状态分析对承载能力极限状态分析所用的本构模型做了某些简化。不考虑受压混凝土应力-应变曲线的塑性分支，弹性分支为线性且无限延伸，也不考虑压力软化规律。只要正常使用状态下材料的合成应力限值明显低于其屈服点（如欧洲规范所要求），这些简化就能提高数值稳定性和计算速度，并且不会降低解的通用性。因此，用于正常使用状态的简化模型仅在满足所有验算要求时才有效。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

长期效应

在正常使用状态分析中，混凝土的长期效应通过有效无限徐变系数（$\varphi$，默认取值 2.5）来考虑，该系数按 EN 1992-1-1 第 3.1.4 (3) 条及第 7.4.3 (5) 条对混凝土的割线弹性模量（E_cm）进行修正，公式如下：

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

考虑长期效应时，首先计算包含全部永久荷载的荷载步，并考虑徐变系数（即采用混凝土有效弹性模量 E_c,eff），然后计算附加荷载，此时不考虑徐变系数（即采用 E_cm）。此外，为进行短期验算，还需另行进行一次计算，其中所有荷载均不考虑徐变系数。长期和短期验算的两次计算均如图 26 所示。

徐变系数由用户在材料属性中定义，并应按 EN 1992-1-1 图 3.1 计算。

钢筋

默认采用 EN 1992-1-1 第 3.2.7 条（图 27）中定义的裸钢筋理想化双线性应力-应变图。该图的定义只需在设计阶段已知钢筋的基本特性（强度和延性等级）。如已知钢筋的实际应力-应变关系（热轧、冷加工、淬火自回火等），也可以采用该关系。钢筋应力-应变图可由用户自行定义，但在这种情况下无法考虑拉力刚化效应（也就无法计算裂缝宽度）。采用顶部为水平分支的应力-应变图，则无法验证结构的耐久性。因此，需要对标准延性要求进行手动验算。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

拉力刚化（图 28） 通过修正裸钢筋的输入应力-应变关系自动考虑，以反映埋置于混凝土中的钢筋的平均刚度（ε_m）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

协调应力场法符合现代设计规范。由于计算模型仅使用标准材料特性，设计规范中规定的分项安全系数格式无需任何调整即可直接应用。这样，输入荷载乘以相应系数，材料特性标准值则按设计规范规定的相应安全系数折减，与常规混凝土分析完全一致。默认采用 EN 1992-1-1 第 2.4.2.4 节规定的材料安全系数值，但用户可以在规范与计算设置中修改安全系数（图 29）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

荷载安全系数需要由用户在组合规则中为每个荷载工况的非线性组合进行定义（图 30）。对于 Idea StatiCa Detail 中实现的所有模板，分项安全系数均已预先定义。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

通过使用适当的用户自定义分项安全系数组合，用户也可以采用整体抗力系数法（Navrátil, et al. 2017）进行 CSFM（协调应力场法）计算，但这种方法在设计实践中很少使用。一些指南建议在非线性分析中采用整体抗力系数法。然而，在简化的非线性分析（如 CSFM（协调应力场法））中，只需要常规手算所使用的那些材料特性，因此仍然更适合采用分项安全系数格式。

EN 1992-1-1 要求的各项验算，均基于模型给出的直接结果进行评估。承载能力极限状态验算包括混凝土强度、钢筋强度和锚固（粘结剪应力）。

受压混凝土强度按有限元分析得到的最大主压应力 σ_c = σ_c2 与极限值 σ_c,lim = f_cd 之比进行评估。 

钢筋强度在受拉和受压两种情况下，均按裂缝处钢筋应力 σ_sr 与规定极限值 σ_s,lim 之比进行评估：

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

其中：

f_yk        钢筋的屈服强度，依据 EN 1992-1-1 第 3.2.3 条，

k          抗拉强度 f_tk 与屈服应力之比，
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             为钢筋的分项安全系数

粘结剪应力单独评估，按有限元分析计算得到的粘结应力 τ_b 与极限粘结强度 f_bd, 之比确定，依据 EN 1992-1-1 第 8.4.2 节：

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

其中：

f_ctd      为混凝土抗拉强度的设计值，依据 EN 1992-1-1 第 3.1.6 (2) 条。由于较高强度混凝土的脆性增大，f_ctk,0.05 依据 EN 1992-1-1 第 8.4.2 (2) 条限制为 C60/75 的取值

η₁       为与粘结条件质量及浇筑混凝土时钢筋位置相关的系数（图 31）。

当获得“良好”条件时，η₁ = 1.0；

其他所有情况，以及采用滑模施工的结构构件中的钢筋，η₁ = 0.7，除非能够证明存在“良好”的粘结条件

η₂        与钢筋直径相关：

            当 Ø ≤ 32 mm 时，η₂ = 1.0

            当 Ø > 32 mm 时，η₂ = (132 - Ø)/100

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

在 IDEA StatiCa Detail 中，粘结条件按图 31 c) 和 d) 考虑。浇筑混凝土的方向可在软件中针对每个项目条目按如下方式设置。

这些验算针对结构各相应部分的适当极限值进行（即，尽管混凝土和钢筋材料各只有一个强度等级，但由于拉力刚化和压力软化效应，结构各部分最终的应力-应变曲线仍会有所不同）。

此外，还可以选择对光圆钢筋进行建模。更多信息请见：Detail 中的光圆钢筋

总力 F_tot 与极限力 F_lim

总力 F_tot 是有限元分析的结果，可以通过两种方式定义。

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

其中 A_s 为钢筋截面面积，σ_s 为钢筋应力。

或者定义为 锚固力 F_a 与 粘结力 F_bond 之和。

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

其中 F_a 为锚固弹簧中的实际力，F_bond 为粘结力，可沿钢筋长度 l 对粘结应力 τ_b 积分得到。

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s 为钢筋的周长。

极限力 F_lim 是钢筋单元中的最大力，同时考虑钢筋的极限强度和锚固条件（混凝土与钢筋之间的粘结，以及锚固弯钩、环形锚固等）。

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

其中 C_s 为钢筋的周长，l 为从钢筋起点到所考察点的长度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

其中 F_lim,add 为根据相邻单元之间的夹角大小计算得到的附加力。F_lim,2 必须始终小于 F_u。

CSFM（协调应力场法）中可用的锚固类型包括直钢筋（即不考虑锚固端折减）、弯折、弯钩、环形、焊接横向钢筋、完全粘结和连续钢筋。所有这些类型及其对应的锚固系数 β，纵向钢筋见图 32，箍筋见图 33。所采用的锚固系数取值符合 EN 1992-1-1 第 8.4.4 节表 8.2。需要注意的是，尽管有多种可选类型，CSFM（协调应力场法）实际上区分三种锚固端类型：(i) 锚固长度不折减，(ii) 标准锚固时锚固长度折减 30 %，以及 (iii) 完全粘结。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

为符合 EN 1992-1-1，计算中应使用锚固弹簧，且锚固弹簧由 β 系数修正，因此用户在定义钢筋的起始和终止条件时，必须选用其中一种可用的锚固类型。 

在设计混凝土结构时，我们会遇到两大类局部受压区域 (PLA)：第一类包括支座，第二类包括锚固区。根据现行钢筋混凝土结构设计标准 EN 1992-1-1 第 6.7 章（图 34），对于局部受压区域，应考虑混凝土的局部压碎和横向拉力。对于作用在面积 A_c0 上的均布荷载，混凝土的受压承载力可根据设计分布面积 A_c1. 提高至多三倍。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

局部受压区域必须配置足够的横向钢筋，其设计应能传递该区域内产生的劈裂力。对于局部受压区域横向钢筋的设计，按照 Eurocode 采用拉压杆法。如果没有所需的横向钢筋，则不能考虑提高混凝土的受压承载力。

CSFM 中的局部受压区域

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

利用 CSFM，可以在考虑局部受压区域内混凝土抗压承载力提高影响的情况下，对钢筋混凝土结构进行设计和评估。由于 CSFM 是墙（2D）模型，而局部受压区域属于空间（3D）问题，因此需要找到一种能够将这两种不同类型问题结合起来的解决方案（图 35）。如果启用“局部受压区域”功能，将按照 Eurocode 生成允许锥体几何形状（图 34）。对于指定的混凝土构件几何形状和每个 PLA 的尺寸，所有几何冲突均在 3D 中完全求解。随后，创建局部受压区域的计算模型。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

事实证明，修改材料模型并不是合适的方法，主要原因是将属性映射到有限元网格存在问题。经确定，与有限元网格无关的方法是更合适的解决方案。针对已知的压力锥体几何形状，创建完全协调的虚拟压杆（图 35 和图 37）。这些压杆具有与模型中所用混凝土相同的材料属性，包括应力-应变图。锥体的形状决定了压杆的方向，压杆将荷载沿 PLA 逐步分散到设计分布面积上。虚拟压杆的面积密度在锥体的每个部位都是变化的，并在荷载方向上增加了虚拟混凝土面积。在受荷面积 (A_c0) 处，按照比值 $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  增加虚拟混凝土面积（其中 A_real 为 2D 计算模型中假定的支座面积），该面积朝设计分布面积 (A_c1) 方向线性减小至零。该方案可确保整个锥体体积内混凝土的压应力保持恒定。

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

局部受压区域的承载力按照设计分布面积与受荷面积之比提高，该比值见 EN 1992-1-1  (6.7)。 需要注意的是，这是一种设计模型，无法精确描述局部受压区域的应力状态，其实际应力流要复杂得多。不过，该方案能够将荷载正确分布到整个模型，同时兼顾局部受压区域提高后的承载能力。此外，它还能正确引入该区域的横向应力。

在使用局部受压区域功能来模拟混凝土受压承载力提高时，需要根据 EN 1992-1-1 第 6.7 (2) 节单独进行规范校核。由钢筋承担的横向拉力（劈裂力）将自动校核。

正常使用极限状态评估包括应力限值、裂缝宽度和挠度限值。根据 EN 1992-1-1 对混凝土和钢筋单元进行应力校核，方式与承载能力极限状态类似。

应力限制

应限制混凝土中的压应力，以避免出现纵向裂缝。根据 EN 1992-1-1 第 7.2 (2) 条，如果特征荷载组合下的应力水平超过 k₁f_ck，则可能出现纵向裂缝。混凝土压应力以有限元分析在正常使用极限状态下得到的最大主压应力 σ_c = σ_c2 与限值 σ_c,lim 之比进行评估。即：

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

式中：

f_ck        混凝土特征圆柱体抗压强度，

k₁         =0.6。

根据 EN 1992-1-1 第 7.2(3) 条，如果准永久荷载下混凝土中的应力小于 k₂f_ck，则可假定为线性徐变。如果混凝土中的应力超过 k₂f_ck，则应考虑非线性徐变（参见 EN 1992-1-1 第 3.1.4 条）。在 IDEA StatiCa Detail 中，仅可假定为符合 EN 1992-1-1 第 3.1.4 (3) 条的线性徐变（参见材料模型 (EN)）。

如果在特征荷载组合下，钢筋中的拉应力不超过 k₃f_yk，则可认为避免了不可接受的开裂或变形（EN 1992-1-1 第 7.2 (5) 条）。钢筋强度以裂缝处钢筋中的应力 σ_s = σ_sr 与规定限值 σ_s,lim 之比进行评估：

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

式中：

f_yk        钢筋屈服强度，

k₃        =0.8。

挠度

挠度仅可针对墙或静定（静力确定）梁、超静定（静力不确定）梁进行评估。在这些情况下，考虑的是挠度的绝对值（与加载前的初始状态相比），且挠度的最大允许值必须由用户设定。截断端处的挠度无法校核，因为这类结构本质上是不稳定的，其平衡是通过附加端部力来满足的，因此挠度并不真实。可计算短期挠度 u_z,st 或长期挠度 u_z,lt，并与用户定义的限值进行校核：

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

式中：

u_z         由有限元分析计算得到的短期或长期挠度，

u_z,lim    用户定义的挠度限值。

裂缝宽度

裂缝宽度和方向仅针对启用了裂缝宽度评估的组合，按长期效应（使用 E_c,eff）进行计算。根据 Eurocode 基于用户指定限值的验算表示如下：

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

式中：

w         由有限元分析计算得到的裂缝宽度，

w_lim     用户定义的裂缝宽度限值。

裂缝宽度有两种计算方式（稳定裂缝和非稳定裂缝）。在一般情况下（稳定裂缝），裂缝宽度通过对钢筋一维单元上的应变进行积分来计算。然后，根据二维混凝土单元中最接近的三个积分点（距给定钢筋一维有限单元中心最近）计算裂缝方向。虽然这种计算裂缝方向的方法与裂缝的真实位置并不对应，但它仍能给出具有代表性的数值，由此得到的裂缝宽度结果可与规范要求的钢筋位置处的裂缝宽度值进行比较。

混凝土 - 承载力

CSFM 中用于承载力计算的混凝土模型，基于混凝土的抛物线-塑性应力-应变曲线，该曲线源自波特兰水泥协会（Portland Cement Association）的抛物线应力-应变曲线，见 PCA 的 Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete 图 6-8。与经典钢筋混凝土设计一样，忽略混凝土的抗拉强度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

IDEA StatiCa Detail 中 CSFM 的实现未考虑受压混凝土以应变表示的显式破坏准则（即达到峰值应力后，采用塑性分支，其中 ε_c0 的最大值为 5%，而 ACI 318-19 第 22.2.2.1 条假定极限应变小于 0.3%）。这一简化使得无法验证受压破坏结构的变形能力。然而，除了考虑开裂混凝土的系数（k_c2，定义见（图 39））之外，如果再通过 fib Model Code 2010 中定义的折减系数 $\eta_{fc}$ 来考虑混凝土强度提高时脆性增大的影响，则可以正确预测承载力，如下所示：

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

其中：

α₁ 为 ACI 318-19 第 22.2.2.4.1 条定义的混凝土抗压强度折减系数。采用抛物线-矩形应力-应变图时，需要用该系数折减最大压应力。这样可使受压区的应力分布取平均值，使所得抗压强度小于或等于采用带下降塑性分支的应力-应变图所计算的 抗压强度 。

Φ_c 为混凝土的强度折减系数。默认值按 ACI 318-19 表 24.2.1 (b)(f) 设定。

k_c2 为考虑横向裂缝影响的折减系数。

f'_c 为混凝土圆柱体抗压强度（定义 $\eta_{fc}$ 时单位为 MPa）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 是一个折减系数，其假定与 ACI 318-19 表 23.9.2 中给出的节点区系数 β_n 相同，不同之处在于，CSFM 对每个有限单元都校核是否存在垂直于主压应力的主拉应力（而不仅仅是拉压杆模型的节点）。

混凝土 – 正常使用

正常使用分析对承载力分析所用的本构模型做了一定简化。受压混凝土应力-应变曲线的塑性分支被忽略，而弹性分支为线性且无限延伸。不考虑压力软化规律。这些简化提高了数值稳定性和计算速度，并且只要正常使用状态下材料的最终应力限值明显低于其屈服点（如 ACI 所要求），就不会降低解的通用性。因此，正常使用分析所采用的简化模型仅在满足所有验算要求时才有效。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

长期效应

结构的长期性能，例如长期挠度或持续荷载引起的裂缝宽度计算，会受到混凝土徐变的影响。ACI 318-19 第 24.2.4.1.3 条定义了持续荷载的时间相关系数 ξ，用以表示在指定持续荷载作用时间下的徐变效应。

在 Detail 软件中，通过系数 ξ 调整弹性模量 E_c，以确定结构的长期性能。调整后的弹性模量称为 E_c,eff，见图 40。

假定单元的变形以应变表示，则可写为：

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

其中：

ε₀ 为短期应变（不含徐变影响），ε_creep 为徐变引起的应变。

根据胡克定律，可写出：

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

代入 $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ 和 $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$，得到：

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

用于确定系数 ξ 的持续荷载作用时间，可针对每个正常使用长期组合单独设定。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

随后采用修正后的材料模型计算随时间变化的挠度、应力和裂缝宽度，其中受压细化效应由有限元分析的特性自动考虑。因此，无需再将其乘以第 24.2.4.1.1 条中定义的系数。

短期效应

进行短期验算时，需另行进行一次计算，其中所有荷载均不乘以持续荷载的时间相关系数。长期和短期验算的两次计算均如图 40 所示。

钢筋

对于非预应力钢筋，采用具有明确屈服点的理想弹塑性应力-应变图，见 ACI 319-19 第 20.2.1 条。定义该图仅需已知钢筋的基本性能，即强度和弹性模量。

钢筋的应力-应变图也可由用户自行定义，但在这种情况下，无法考虑拉力刚化效应（无法计算裂缝宽度）。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

其中：

Φ_s 为钢筋的强度折减系数。默认值按 ACI 318-19 表 24.2.1 设定。

f_y 为钢筋的屈服强度

E_s 为钢筋的弹性模量

选取 10% 作为终止计算的极限应变。根据 ASTM A955/A955M-20c 第 7 条，这一取值被认为是安全的。

拉力刚化（图 43） 通过修正裸钢筋的输入应力-应变关系自动考虑，以反映埋置于混凝土中的钢筋的平均刚度（ε_m）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

协调应力场法符合现代设计规范。由于计算模型仅使用标准材料特性，设计规范中规定的分项安全系数格式无需任何调整即可直接应用。这样，输入荷载乘以荷载系数，材料特征值则使用相应的强度折减系数进行折减，与常规混凝土分析完全一致。

强度折减系数的取值见 ACI 318-19 第 21.2 条。混凝土和钢筋的默认值是按软件中求解的典型算例为剪力控制来选取的（依据表 21.2.1 (b)、(f)、(g)）。不过，软件可以对任意类型的构件建模。因此，若校核的是压力控制或拉力控制的构件，用户可以在首选项中修改强度折减系数的取值。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

强度组合的荷载系数应按照 ACI 318-19 表 5.3.1 定义。

除第 34 章另有规定外，ACI 318-19 未定义正常使用级荷载组合。建议采用基于 ASCE/SEI 7-16 附录 C 的组合规则。所有模板均已预定义荷载系数。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

ACI 318-19 要求的各项验算均基于模型给出的直接结果进行评估。验算内容包括混凝土强度、钢筋强度和锚固（粘结剪应力）。

受压混凝土强度按有限元分析得到的最大主压应力 f_c（即辅助结果中的 σ₂）与限值 f'_c,lim 之比进行评估。

钢筋强度同时按拉力和压力进行评估，取裂缝处钢筋应力 f_s 与规定限值 f_y,lim 之比。

粘结剪应力单独评估，取有限元分析计算得到的粘结应力 τ_b 与粘结强度 f_bu 之比。

然而，ACI 标准并未明确给出粘结强度，而是通过所谓锚固长度的计算来处理，相关内容见第 25.4.2 节。由于粘结强度是确定锚固长度的基本输入参数（见 R25.4.1.1 和 ACI Committee 408 1966），粘结强度可按如下方法计算：

假设将钢筋锚固到混凝土块中，锚固长度为 l_d 或更大，则拔出钢筋时将导致钢筋断裂，而不是从混凝土中被拔出。这可以用下式表示。

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

其中：

d_b 为钢筋直径，l_d 为锚固长度，f_bu 为粘结强度，f_y 为钢筋屈服强度，A_s 为钢筋截面面积。

由上式可以很容易地推导出粘结强度的计算公式：

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

锚固长度 l_d 随后按 ACI 318-19 表 25.4.2.3 确定如下：

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

其中：

对于 6 号及以下钢筋和变形钢丝，C = 25（公制为 2.1）；对于 7 号及以上钢筋，C = 20（公制为 1.7）；对于普通重量混凝土，λ = 1.0；ψ_t、ψ_e, ψ_g 按 ACI 318-19 表 25.4.2.3 确定。 

仅支持无涂层或镀锌钢筋，因此 ψ_e = 1.0。ψ_g 根据钢筋等级自动确定，ψ_t 则根据钢筋在模型中的位置以及混凝土浇筑方向自动得出，浇筑方向可在软件中为每个项目构件按如下方式设置。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

这些验算针对结构各部分相应的限值进行（即，尽管混凝土和钢筋材料各只有一个强度等级，但由于拉力刚化和压力软化效应，结构各部分最终的应力-应变图仍会有所不同）。

还可以对光圆钢筋进行建模。更多信息请见：Detail 中的光圆钢筋

总力 F_tot 和极限力 F_lim

总力 F_tot 是有限元分析的结果，可以通过两种方式定义。

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

其中 A_s 为钢筋截面面积，f_s 为钢筋应力。

或者定义为 锚固力 F_a 与 粘结力 F_bond 之和。

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

其中 F_a 为锚固弹簧中的实际力，F_bond 为粘结力，可沿钢筋长度 l 对粘结应力 τ_b 积分得到。

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s 为钢筋周长。

极限力 F_lim 是考虑钢筋强度以及锚固条件（混凝土与钢筋之间的粘结，以及锚固弯钩、环形钢筋等）后，钢筋单元中的最大力。

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

其中 C_s 为钢筋周长，l 为从钢筋起点到所考察点的长度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

其中 F_lim,add 为根据相邻单元之间的夹角大小计算得到的附加力。F_lim,2 必须始终小于 F_u。

CSFM 中可用的锚固类型包括直钢筋（即不折减锚固端）、90 度弯钩、180 度弯钩、完全粘结和连续钢筋。图 48 给出了纵向钢筋的所有这些类型及相应的锚固系数 β。所采用的锚固系数值，是通过比较 ACI 318-19 第 25.4.3.1 节的公式与 ACI 318-19 第 25.4.2.3 节的公式推导得出的。需要指出的是，尽管有多种可选项，CSFM 仅区分三种锚固端类型：(i) 锚固长度不折减；(ii) 标准化锚固情况下锚固长度折减 30%；(iii) 完全粘结。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

箍筋的锚固系数始终为 β = 1.0。

为符合 ACI 的要求，计算中应使用锚固弹簧。锚固弹簧由 β 系数修正，因此用户在定义钢筋的起点和终点条件时，必须选择其中一种可用的锚固类型。 

在混凝土结构设计中，我们会遇到两大类局部受压面积（PLA）：第一类是支承，第二类是锚固区。 

根据现行钢筋混凝土结构设计标准 ACI 318-19 第 22.8 节，支承应考虑混凝土局部压碎和横向拉力。对于作用在面积 A_c1 上的均布荷载，混凝土的抗压承载力可根据设计分布面积 A_c2 提高至最多 2 倍。见 ACI 318-19 表 22.8.3.2。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

对于后张锚固区，应遵循 ACI 318-19 第 25.9 节。

局部受压面积必须配置足够的横向钢筋，其设计应能传递该区域内产生的劈裂力。如果没有所需的横向钢筋，则不能考虑混凝土抗压承载力的提高。

CSFM（协调应力场法）中的局部受压面积

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

采用 CSFM（协调应力场法），可以在设计和评估钢筋混凝土结构时考虑局部受压面积中混凝土抗压承载力的提高。由于 CSFM（协调应力场法）是墙（2D）模型，而局部受压面积属于空间（3D）问题，因此需要找到一种方法将这两类不同的问题结合起来（Fig. 50）。启用“局部受压面积”功能后，将按照 ACI 创建允许的锥体几何形状（Fig. 49）。针对指定的混凝土构件几何形状和各 PLA 的尺寸，所有几何冲突均在 3D 中完整求解。随后，创建局部受压面积的计算模型。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

事实证明，修改材料模型并不是合适的方法，主要原因是将属性映射到有限元网格存在问题。研究确定，与有限元网格无关的方法是更合适的解决方案。针对已知的受压锥体几何形状，创建完全协调的虚拟压杆（Fig. 51 and Fig. 52）。这些压杆的材料属性与模型中所用混凝土相同，包括应力-应变图。锥体的形状决定了压杆的方向，压杆将荷载经由 PLA 逐步分布到设计分布面积上。虚拟压杆的面积密度在锥体的每个部位都是变化的，它在荷载方向上增加了虚拟的混凝土面积。在受荷面积（A_c1）处，按照比值 $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  增加虚拟混凝土面积（其中 A_real 为 2D 计算模型中假定的支座面积），该面积向设计分布面积（A_c2）方向线性减小至零。这种方法可确保整个锥体体积内混凝土的压应力保持恒定。

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

局部受压面积的承载力按照 ACI 318-19 第 22.8 节规定的设计分布面积与受荷面积之比提高。需要注意的是，这是一种设计模型，无法精确描述局部受压面积上的应力状态，其实际传力路径要复杂得多。然而，这种方法能够将荷载正确分布到整个模型，同时考虑局部受压面积承载力的提高。此外，它还能正确引入该区域的横向应力，从而针对劈裂力正确设计钢筋。

表 22.8.3.2 给出了承压应力的允许值 0.85f_c'。密度受到限制，以确保不超过表 22.8.3.2(b) 公式给出的最大 2 倍承载力。 

对于锚固区，软件中 PLA 的使用方式与支承相同。因此，ACI 318-19 第 25.9 节定义的局部区域必须按照 ACI 318-19 第 25.9.3 条手动校核。因此，PLA 仅用于避免在局部区域内超过应变准则而导致计算提前终止。另一方面，根据 ACI 318-19 第 25.9.4.3.1 (b) 条，抵抗面内崩裂和剥落应力的钢筋可以直接在软件中方便地验证。

正常使用评估包括应力限值、裂缝宽度和挠度限值。混凝土和钢筋单元的应力按照 ACI 318-19 进行校核，方式与承载力验算中的规定类似。

应力限值

对于 U 类和 T 类预应力构件，应验算正常使用荷载下混凝土的容许压应力。根据表 R24.5.2.1，对于假定已开裂的混凝土，无需进行应力限值校核。用户需要在设计构件设置中设定预应力构件的类别。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

ACI 318-19 第 24.5.4.1 条规定，承受瞬时荷载的构件，其容许压应力为 0.6f_c'. 设定压应力限值 0.45f_c' 是为了降低预应力混凝土构件在重复荷载作用下发生破坏的概率。该限值也有助于避免过大的徐变变形。应力水平较高时，徐变应变会随着外加应力的增加而更快增长。

混凝土压应力以正常使用极限状态有限元分析得到的最大主压应力 f_c = σ_c2 与限值之比来评估，该限值根据表 24.5.4.1 确定。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

在软件中，预应力加持续荷载按长期组合处理，预应力加总荷载按短期组合处理。

挠度

根据所选的组合类型（长期或短期），分别评估长期挠度或短期挠度。最大容许挠度值由用户确定，并应按照 ACI 138-19 第 24.2 条考虑。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

在软件中，可以在显示变形形状的同时，分别显示恒荷载挠度 Δ_DL、活荷载挠度 Δ_LL 以及总挠度 Δ_Tot （恒荷载+活荷载）。

截断端处的挠度无法校核。

裂缝宽度

裂缝宽度和裂缝方向按正常使用的短期或长期组合计算。由于 ACI 没有直接规定裂缝宽度限值，用户必须指定裂缝宽度限值 w_lim。

验算结果按如下形式给出：

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

式中：

w         由有限元分析计算得到的短期或长期裂缝宽度，

w_lim     用户定义的裂缝宽度限值。

软件中采用的裂缝宽度计算方法符合 ACI 224R-01，本文档中也对其作了更详细的说明。因此，可以使用 ACI 224R-01 表 4.1 来确定裂缝宽度限值。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

裂缝宽度有两种计算方式（稳定裂缝和非稳定裂缝）。在一般情况下（稳定裂缝），裂缝宽度通过对钢筋一维单元上的应变积分来计算。然后，根据二维混凝土单元中距离（从给定钢筋一维有限单元的中心起算）最近的三个积分点计算裂缝方向。虽然这种计算裂缝方向的方法与裂缝的实际位置并不一致，但它仍能给出具有代表性的数值，由此得到的裂缝宽度结果可以与规范要求的钢筋位置处的裂缝宽度限值进行比较。

混凝土 - 强度

CSFM 中用于强度计算的混凝土模型基于 AASHTO LRFD 强度设计中的平衡和应变协调假定。根据 AASHTO LRFD (2024) 第 5.6.2.1 条，忽略混凝土的抗拉强度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

IDEA StatiCa Detail 中的 CSFM 实现没有对承受压力的混凝土考虑以应变表示的显式破坏准则（即达到峰值应力后，采用塑性分支，其中 ε_c0 的最大值为 5%，而 AASHTO LRFD (2024) 第 5.6.2.1 条假定极限应变小于 0.3%）。这一简化无法验证发生受压破坏的结构的变形能力。然而，除开裂混凝土系数（k_c2，定义见 (Fig. 57)）外，若再通过 fib Model Code 2010 中定义的折减系数 $\eta_{fc}$ 考虑混凝土强度提高时脆性的增加，则可以正确预测强度，如下所示：

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

其中：

α₁ 为 AASHTO LRFD (2024) 第 5.6.2.2 条定义的混凝土抗压强度折减系数。采用抛物线-矩形 应力-应变图时，需要用该系数折减最大压应力。这样可使压区的应力分布取平均，使得到的抗压强度小于或等于采用带下降塑性分支的应力-应变图 计算得到的抗压强度。

Φ_c 为混凝土的抗力系数。默认值按 AASHTO LRFD (2024) 第 5.5.4.2 条设置。

k_c2 为考虑横向裂缝影响的折减系数。

f'_c 为混凝土圆柱体强度（在定义 $\eta_{fc}$ 时单位为 MPa）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 是一个折减系数，其假定与 AASHTO LRFD (2024) 第 5.8.2.5.3a 条及表 5.8.2.5.3a-1 中给出的混凝土效率系数 ν 相同，区别在于 CSFM 对每个有限单元（而不仅仅是拉压杆模型的节点）都检查是否存在垂直于主压应力的主拉应力。

混凝土 – 正常使用

正常使用分析对强度分析所用的本构模型做了一些简化。忽略承受压力的混凝土应力-应变曲线的塑性分支，而弹性分支为线性且无限延伸。不考虑压力软化规律。只要正常使用状态下材料的合成应力限值明显低于其屈服点（与 AASHTO LRFD 正常使用极限状态的方法一致），这些简化就能提高数值稳定性和计算速度，并且不会降低解的通用性。因此，只有满足所有验算要求时，正常使用分析所用的简化模型才有效。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

长期效应

在顶部功能区选择长期效应时，长期本构规律（Fig. 59 中的红色曲线）用于裂缝宽度计算、总挠度计算以及预应力构件的应力限值验算。在 IDEA StatiCa Detail 软件中，如 AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1 所述，长期效应验算采用有效弹性模量。

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

其中：
E_c 为 AASHTO LRFD (2024) 第 5.4.2.4 条定义的弹性模量
ψ 为 AASHTO LRFD (2024) 第 5.4.2.3.2 条定义的徐变系数

徐变系数由用户在材料属性中定义。

短期效应

进行短期验算时，需另行计算，所有荷载均不考虑徐变系数。长期和短期验算的两种计算结果见 Fig. 59。

钢筋

对非预应力钢筋采用具有明确屈服点的理想弹塑性应力-应变图，见 AASHTO LRFD (2024) 第 5.4.3 条。定义该图只需已知钢筋的基本性能，即强度和弹性模量。

钢筋的应力-应变图也可由用户定义，但在这种情况下，无法考虑拉力刚化效应（无法计算裂缝宽度）。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

其中：

Φ_s 为钢筋的抗力系数。默认值按 AASHTO LRFD (2024) 第 5.5.4.2 条设置。

f_y 为钢筋的屈服强度

E_s 为钢筋的弹性模量

选取 10% 作为终止计算的极限应变。根据 ASTM A955/A955M-20c 第 7 条，这一取值被认为是安全的。

拉力刚化 (Fig. 61)  通过修正裸钢筋的输入应力-应变关系自动考虑，以反映埋置于混凝土中的钢筋的平均刚度 (ε_m)。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

协调应力场法符合现代设计规范。由于计算模型仅使用标准材料特性，设计规范规定的分项安全系数格式无需任何调整即可直接应用。这样，输入荷载乘以系数，材料特征值则按相应的抗力系数折减，与常规混凝土分析完全一致。

抗力系数的取值见 AASHTO LRFD (2024) 第 5.5.4 条。混凝土和钢筋的默认值取值偏保守，其假设是典型的求解示例为 D 区，这也是 SaT 方法的典型应用场景。不过，该方法可以对任意类型的构件进行建模。因此，若评估的是压力控制或拉力控制的构件，用户可以在首选项中修改强度折减系数的取值。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

荷载系数和荷载组合应按照 AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024) 第 3.4.1 条及表 3.4.1-1 至表 3.4.1-6 确定。AASHTO LRFD 明确规定了强度极限状态荷载组合（强度 I 至强度 V）以及正常使用极限状态荷载组合（正常使用 I 至正常使用 IV），并给出了各工况对应的荷载系数。

对于每个模板，程序均包含预定义的基本组合，需根据所处理的构件进一步补充完善。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

AASHTO 要求的各项验算均基于模型给出的直接结果进行评估。验算内容包括混凝土强度、钢筋强度和锚固（粘结剪应力）。

受压混凝土强度按有限元分析得到的最大主压应力 f_c（即辅助结果中的 σ₂）与限值 f'_c,lim 之比进行评估。

钢筋强度在拉力和压力两种情况下均按裂缝处钢筋应力 f_s 与规定限值 f_y,lim 之比进行评估。

粘结剪应力单独评估，按有限元分析计算得到的粘结应力 τ_b 与粘结强度 f_bu 之比进行评估。

然而，AASHTO 并未明确定义粘结强度，因此其数值必须通过定义锚固长度的公式来确定。事实上，粘结强度是确定锚固长度的主要输入量，例如参见 AASHTO LRFD (2024) 第 C5.10.8.2 条或 NCHRP Report 733 附件 E 第 E-9 页。

AASHTO LRFD (2024) 第 5.10.8.2.1 条和第 5.10.8.2.2 条所述的计算，需要已知 l_d 范围内横向钢筋的最大中心间距、沿劈裂面锚固的钢筋或钢丝数量、全部横向钢筋的总截面积以及其他几何量。这些量无法在 Detail 软件的通用输入模型中可靠确定，因此采用了 AASHTO LRFD (2014) 第 5.11.2.1.1 条的方法，具体如下：

假设将钢筋锚固在混凝土块中，锚固长度达到或超过锚固长度 l_d，则拔出钢筋时将导致钢筋断裂，而不是从混凝土中被拔出。这可以用以下公式表示。

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

其中：

• d_b 为钢筋直径
• l_d 为锚固长度
• f_bu 为粘结强度
• f_y 为钢筋屈服强度
• A_b 为钢筋面积

由上式可以很容易地推导出粘结强度的计算公式。

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

基本受拉锚固长度 l_db 按 AASHTO LRFD (2014) 第 5.11.2.1.1 条确定如下：

对于 No. 11 及以下钢筋：   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

对于 No. 14 钢筋：   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

对于 No. 18 钢筋：   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

其中：

• A_b 为钢筋面积 (in²)
• f_y 为钢筋规定屈服强度 (ksi)
• f'_c 为混凝土 28 天规定抗压强度，除非另行规定其他龄期 (ksi)
• d_b 为钢筋直径 (in)

然后，将基本锚固长度 l_db 乘以 AASHTO LRFD (2014) 第 5.11.2.1.2 条和第 5.11.2.1.3 条所述的系数，即可确定作为输入的锚固长度 l_d。

在软件中，第 5.11.2.1.3 条中减小锚固长度的修正系数始终取 1.0。对于顶部水平或接近水平的钢筋，当粘结条件为“不良”时，修正系数取 1.4，具体见下图：

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

混凝土浇筑方向可在软件中设置。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

第 5.11.2.1.2 条中确定的所有其他系数均取 1.0，因为软件仅支持普通重量混凝土和无涂层钢筋。

受压钢筋的粘结剪应力和粘结强度的计算方式与受拉钢筋类似，但采用 AASHTO LRFD (2014) 第 5.11.2.2 条中的公式。

还可以对光圆钢筋进行建模。更多信息请参见：Detail 中的光圆钢筋

总力 F_tot 和极限力 F_lim

总力 F_tot 是有限元分析的结果，可以通过两种方式定义。

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

其中 A_b 为钢筋面积，f_s 为钢筋应力。

或者定义为 锚固力 F_a 与 粘结力 F_bond 之和。

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

其中 F_a 为锚固弹簧中的实际力，F_bond 为粘结力，可沿钢筋长度 l. 对粘结应力 τ_b 积分得到。

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s 为钢筋周长。

极限力 F_lim 是钢筋单元中的最大力，同时考虑钢筋的强度和锚固条件 （混凝土与钢筋之间的粘结以及锚固弯钩、环形钢筋等）。

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

其中 C_s 为钢筋周长，l 为从钢筋起点到所关注点的长度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

其中 F_lim,add 为根据相邻单元之间的夹角大小计算得到的附加力。F_lim,2 必须始终小于 F_u。

CSFM（协调应力场法）中可用的锚固类型包括直钢筋（即不考虑锚固端折减）、90 度弯钩、180 度弯钩、完全粘结和连续钢筋。所有这些类型及相应的锚固系数 β 如图 67 所示（适用于纵向钢筋）。所采用的锚固系数值由 AASHTO LRFD (2014) 第 5.11.2.1 条的公式与第 5.11.2.4.1 条的公式对比推导得出。需要注意的是，尽管有多种可选类型，CSFM（协调应力场法）仅区分三种锚固端类型：(i) 锚固长度不折减，(ii) 标准锚固时锚固长度折减 30%，(iii) 完全粘结。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

箍筋（适用于梁单元）的锚固系数始终为 β = 1.0。

为符合 AASHTO 要求，计算中应使用锚固弹簧。锚固弹簧由 β 系数修正，因此用户在定义钢筋的起始和端部条件时，必须选用其中一种可用的锚固类型。 

在混凝土结构设计中，局部承压区（PLA）主要有两大类：第一类是支座，第二类是锚固区。 

根据现行钢筋混凝土结构设计标准，支座应考虑混凝土的局部压碎以及横向拉力。对于作用在面积 A₁ 上的均布荷载，混凝土的抗压承载力可根据设计分布面积 A₂ 提高至多两倍。参见 AASHTO LRFD (2024) 第 5.6.5 条。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

对于后张锚固区，应遵循 AASHTO LRFD (2024) 第 5.8.4.4 条。

局部承压区必须配置足够的横向钢筋，用以传递该区域产生的劈裂力。若没有所需的横向钢筋，则不能考虑提高混凝土的抗压承载力。

CSFM（协调应力场法）中的局部承压区

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

采用 CSFM（协调应力场法），可以在设计和评估钢筋混凝土结构时考虑局部承压区内混凝土抗压承载力提高的影响。由于 CSFM（协调应力场法）是墙体（2D）模型，而局部承压区属于空间（3D）问题，因此需要找到一种能够将这两类不同问题结合起来的解决方案（图 69）。如果启用“局部承压区”功能，则按照 ACI 生成允许的锥体几何（图 68）。针对指定的混凝土构件几何和各 PLA 的尺寸，所有几何冲突均在 3D 中完整求解。随后，建立局部承压区的计算模型。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

事实证明，修改材料模型并不是合适的方法，主要原因是将属性映射到有限元网格上存在困难。经研究确定，与有限元网格无关的方法是更合适的解决方案。针对已知的受压锥体几何，建立完全协调的虚拟压杆（图 70 和图 71）。这些压杆具有与模型中所用混凝土相同的材料属性，包括应力-应变图。锥体的形状决定压杆的方向，压杆将荷载沿 PLA 逐步分布到设计分布面积上。虚拟压杆的面密度在锥体各部位是变化的，并在荷载方向上增加虚拟的混凝土面积。在受荷面积 (A₁) 的位置，按比值 $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  增加一块虚拟混凝土面积（其中 A_real 为 2D 计算模型中假定的支承面积），该面积向设计分布面积 (A₂) 方向线性减小至零。该方案可确保整个锥体体积内混凝土的压应力保持恒定。

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

局部承压区的承载力按照 AASHTO LRFD (2024) 第 5.6.5 条中规定的设计分布面积与受荷面积之比提高。需要注意的是，这是一个设计模型，无法精确描述局部承压区上的应力状态，其实际传力路径要复杂得多。不过，该方案能够在考虑局部承压区承载力提高的同时，将荷载正确地分布到整个模型。此外，它还能在该区域正确引入横向应力，从而针对劈裂力正确地设计钢筋。

AASHTO LRFD (2024) 第 5.8.4.4 条给出了承压应力的允许值 0.85f_c'。密度受到限制，以确保不超过公式 5.6.5-3 中给出的最大两倍承载力。 

对于锚固区，软件中 PLA 的使用方式与支座相同。因此，第 5.8.4.4 条和第 5.8.4.5 条所定义的局部区和整体区的压应力必须手动校核。所以，PLA 仅用于避免在局部区超出应变准则而导致计算过早中止。另一方面，用于抵抗一般区（第 5.8.4.5 条定义）中爆裂应力、平面内剥落应力和边缘拉应力的钢筋，可以直接在软件中方便地验算。

正常使用极限状态验算包括应力限值、裂缝宽度和挠度限值。混凝土和钢筋单元的应力按照 AASHTO LRFD 进行校核，方式与承载能力极限状态（Strength）的规定类似。

应力限值

混凝土压应力仅对预应力构件（模型中存在预应力荷载工况时）进行评估。评估方法是计算正常使用状态下有限元分析得到的最大主压应力 f_c = σ_c2 与限值之比，限值依据 AASHTO LRFD 表 5.9.2.3.2a-1 确定。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

在软件中，预应力加永久荷载按持续荷载（Sustain load）处理，预应力、永久荷载和可变荷载按总荷载（Total load）处理。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

此外，用户始终可以对短期效应和长期效应进行分析，所用材料模型可考虑或不考虑徐变系数，详见"材料模型（AASHTO）"一节。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

挠度

对于每个启用了挠度评估的组合，均会计算瞬时挠度和总挠度。 

• 计算瞬时挠度时，采用 AASHTO LRFD（2024）第 5.4.2.4 条规定的弹性模量 E_c。 
• 计算总挠度时，采用 AASHTO LRFD（2024）第 C5.12.5.3.6 条规定的有效弹性模量 E_c,eff。 

请参阅本文档中的章节"材料模型（AASHTO）- 混凝土 – 正常使用"。

挠度校核需在顶部功能区中启用。用户根据所分析单元的类型，按照 AASHTO LRFD（2024）第 2.5.2.6.2 条设定挠度限值。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

无法校核裁切端处的挠度。

裂缝宽度

裂缝宽度和裂缝方向仅针对长期效应计算（采用 AASHTO LRFD（2024）第 C5.12.5.3.6 条规定的 E_c,eff），且仅针对启用了裂缝宽度评估的组合。基于用户指定限值的验算如下：

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

其中：

w         由有限元分析计算得到的裂缝宽度，

w_lim     用户定义的裂缝宽度限值。

限值 w_lim 应根据单元类型和暴露等级，按照 AASHTO LRFD（2024）第 5.6.7 条及其条文说明确定。 

裂缝宽度有两种计算方式（稳定裂缝和非稳定裂缝）。一般情况下（稳定裂缝），裂缝宽度通过对钢筋一维单元上的应变进行积分得到。裂缝方向则根据最靠近的三个积分点计算，这些积分点位于二维混凝土单元上，距给定钢筋一维有限单元的中心最近。这种计算裂缝方向的方法与裂缝的实际位置并不一致，但仍能给出具有代表性的数值，由此得到的裂缝宽度结果可与规范要求的钢筋位置处的裂缝宽度限值进行比较。

混凝土 - 强度

CSFM（协调应力场法）中用于强度计算的混凝土模型基于抛物线-塑性应力-应变曲线。与经典钢筋混凝土设计一样，该模型忽略混凝土的抗拉强度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

IDEA StatiCa Detail 中的 CSFM（协调应力场法）实现没有针对受压混凝土考虑以应变表示的显式破坏准则（即达到峰值应力后，采用塑性分支，其 ε_c0 最大值为 5%，而 AS 3600 第 8.3.1 条假定极限应变小于 0.3%）。这一简化无法验算发生受压破坏的结构的变形能力。但是，除了考虑开裂混凝土的系数（k_c2，见图 77）之外，如果还通过 fib Model Code 2010 中定义的折减系数 $\eta_{fc}$ 来考虑混凝土强度提高时脆性增大的影响，则可以正确预测强度，该折减系数如下：

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

其中：

α₂ 为 AS 3600 第 8.3.1 条定义的混凝土抗压强度折减系数
采用抛物线-矩形应力-应变图时，需要用该系数折减最大压应力。这样可使受压区的应力分布取平均值，使得到的抗压强度小于或等于采用带下降塑性分支的应力-应变图计算得到的 抗压强度。矩形应力块的处理方法与此类似，见第 8.1.3 章。

Φ_s 为混凝土的应力折减系数。默认值按 AS 3600 表 2.2.3 设定。